人教A版 (2019)选择性必修 第一册直线的方程获奖教案

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教学目标
了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系
能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化
能运用直线的一般式方程解决有关问题
教学重难点
重点：能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化．
难点：能运用直线的一般式方程解决有关问题.
教学过程
复习回顾，引入新知
课前回顾：之前学习的直线的四种方程形式分别是什么？
y−y0=k(x−x0)
预设：点斜式：
y−y1y2−y1=x−x1x2−x1
y=kx+b
斜截式：
xa+yb=1
两点式：
截距式：
教师：从代数的角度，观察以上四个方程式都是一个怎样的方程？
预设：都是关于x, y的二元一次方程
思考：我们知道以上四种形式的直线方程，都有其使用的局限性，也就是说，每一种形式都不能表示所有直线. 那么，是否能找到一种直线方程，它没有局限性，可以表示所有直线呢？
新课探究
思考：我们知道，直线与二元一次方程有关系，那么平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？
预设：
综上，任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程.
思考：任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？
预设：
综上，关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．
定义：直线的一般式方程的定义：
思考：直线的一般式方程与其他几种形式的直线方程相比，有什么优点？
没有局限性，可以表示所有直线，学生通过比较讨论，发现直线的一般式方程与其他的直线方程的一个不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所以直线，而点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都不能表示与x轴垂直的直线。
教师：请同学们对一般式方程进行理解和辨析
预设：
探究：在方程中，，，为何值时，方程表示的直线：
①平行于x轴？②平行于y轴？③与x轴重合？④与y轴重合？
预设：① 当A=0，B≠0，C≠0时，方程表示的直线与x轴平行；
② 当B=0，A≠0，C≠0 时，方程表示的直线与y轴平行；
③ 当 A=0，B≠0，C=0时，方程表示的直线与x轴重合 ；
④ 当 B=0，A≠0，C=0 时，方程表示的直线与y轴重合；
⑤ 当C=0时，方程表示的直线过原点.
要求：请同学们列出表格，对已学习的直线五种形式进行辨析比较
师生：学生开始列表格，然后教师巡视，选择总结比较好的答案进行拍照分享。
思考：直线的一般式方程与其他形式之间有什么关系？
思考：如果直线的l1，l2的一般式方程为l1 :A1x+B1y+C1=0， l2 :A2x+B2y+C2=0 ，若l1与l2平行，则A1，A2，B1，B2，C1，C2应满足什么条件呢？相交呢？垂直呢？重合呢？
（i）若A1B2=A2B1且C1B2≠B1C2，l1//l2；
（ii）若A1B2≠A2B1，l1与l2相交；
（iii）若A1A2+B1B2=0，l1⊥l2；
（iv）A1B1=A2B2=C1C2，l1与l2重合.
预设:
应用新知
.例5 已知直线经过点，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程．
预设：经过点，斜率为的直线的点斜式方程是
，
化为一般式，得
．
方法总结：求直线方程的一般步骤：先根据已知条件特点选择合适的方程形式，求出对应方程，然后再转化为一般式方程.
.跟踪练习 已知直线经过点，斜率为3，求直线的一般式方程．
预设：经过点，斜率为3的直线的点斜式方程是
，
化为一般式，得
．
例6 把直线的一般式方程化为斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形．
分析：求直线在轴上的截距，即求直线与轴交点的横坐标，只要在直线的方程中令即可得的值．
预设：把直线的一般式方程化为斜截式．因此，直线的斜率，它在轴上的截距是．
在直线的方程中，令，得，即直线在轴上的截距是．由上面可得直线与轴、轴的交点分别为，，过A，B两点作直线，就得直线（如下图）
跟踪练习 把直线的一般式方程化为斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形．
预设：把直线的一般式方程化为斜截式．因此，直线的斜率，它在轴上的截距是．
在直线的方程中，令，得，即直线在轴上的截距是．由上面可得直线与轴、轴的交点分别为，，过A，B两点作直线，就得直线（如下图）
教师：引导学生回顾之前所学，体会数形结合思想；
能力提升
题型一：根据已知条件选择适当形式求直线方程
预设：
预设：
预设：
预设：
方法总结：求直线方程的一般步骤是什么？
第一步：求斜率与定点：根据题意求出所求直线斜率，和某一个定点坐标；
第二步：写点斜式方程：利用斜率和定点坐标写出点斜式方程；
第三步：下结论：将点斜式方程化简为一般式方程.
题型二：利用直线位置关系求参数值
预设：
方法总结：
课堂小结
随堂限时小练
1. 由下列各条件,求直线的一般式方程.
(1) 斜率是1,经过点A(1,8);
(2) 在x轴和y轴上的截距分别是-7,7;
(3) 经过两点P1(-1,6),P2(2,9);
(4) 在y轴上的截距是7,倾斜角是45°.
答案： 每个小题的答案都是
2.设直线l的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值：
(1) 直线l的斜率为-1；
(2) 直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0.
解：(1) 因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y=−2k−3x+2,
由题意得−2k−3=−1,解得k=5.
(2)法一：直线l的方程可化为xk−3+y2=1,
由题意得k-3+2=0，解得k=1.
法二：令x=0，得y=2，令y=0，得x=k-3.
由题意得k-3+2=0，所以k=1.
3. 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
(1)过点(－1，3)，且与l平行；
(2)过点(－1，3)，且与l垂直．
解：方法一：l的方程可化为y＝－eq \f(3,4)x＋3，∴l的斜率为－eq \f(3,4).
(1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－eq \f(3,4).又l′过点(－1，3)，
∴由点斜式知其方程为y－3＝－eq \f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.
(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为eq \f(4,3)，又l′过点(－1，3)，
∴由点斜式可得方程为y－3＝eq \f(4,3)(x＋1)，即4x－3y＋13＝0.
方法二：(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－12)．将点(－1，3)代入上式得m＝－9.∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.将(－1，3)代入上式得n＝13.
∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.
已知直线：，与：平行，则的值是（ ）
A．0或1B．0或C．0D．
解：因为对于直线（不同时为零），直线（不同时为零）；当直线时，等价于；
所以有，解得. 故选：C.
经过点，且平行于直线的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
解：平行于直线的直线方程可设为，
又所求直线过点，
则，解之得，
则所求直线为.
故选：A
课后作业布置
作业1：完成教材：第66页 练习1,2,3
作业2：配套辅导资料对应的《直线的一般式方程》
课后作业答案
练习（第66页）
1．根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式：
（1）经过点，斜率是；（2）经过点，平行于轴；
（3）经过点，；（4）在轴、轴上的截距分别是，．
1．解析：（1），化成一般式为；
（2）；
（3） ，化成一般式为；
（4），化成一般式为．
2．求下列直线的斜率以及在y轴上的截距，并画出图形：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
2．解析：（1），斜率为，在轴上的截距为5；
（2），，斜率为，在轴上的截距为；
（3），斜率为，在轴上的截距为0；
（4），，斜率为，在轴上的截距为．
3．已知直线的方程是．
（1）当时，直线的斜率是多少？当时呢？
（2）系数，，取什么值时，方程表示经过原点的直线？
3．解析：（1）由，得．
当时，，直线的斜率是．
当时，，，直线的斜率不存在．
（2）若直线过原点，则将代入，得，
所以当，不全为零时，方程表示过原点的直线．
习题2.2（第67页）
1．写出满足下列条件的直线的方程：
（1）经过点，斜率是； （2）经过点，且与x轴垂直；
（3）斜率是，在y轴上的截距是7； （4）经过，两点；
（5）在y轴上的截距是2，且与x轴平行； （6）在x轴、y轴上的截距分别是4，．
1．（1），即； （2）；
（3），即；（4），；
（5）； （6），即
注意：利用直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式求得直线的方程时，一般将结果化为一般式方程形式．
2．判断，，三点是否共线，并说明理由．
2．解析：(方法1)直线的斜率，直线的斜率．所以．
又直线与直线有公共点，所以，，三点共线．
(方法2)直线的斜率，所以经过，两点的直线方程是．
把点的坐标代入方程，得，满足方程．
所以点在直线上，因此，，三点共线．
(方法3)，，，，又直线与直线有公共点，所以，，三点共线．
3．已知两点，，求线段的垂直平分线的方程．
3．解析：已知两点，，则线段的中点的坐标是．
因为直线的斜率，所以线段的垂直平分线的斜率是．
因此，线段AB的垂直平分线的方程是，即．
4．已知的三个顶点，，，求经过两边和的中点的直线的方程．
4．解：(方法1)由已知，得线段的中点的坐标是，线段的中点的坐标是．经过点，的直线的两点式方程是，化成一般式为．
(方法2)由已知，得线段的中点的坐标是，直线BC的斜率．
因为连接线段，中点的直线平行于，
所以经过，中点的直线的方程是，即．
5．一根弹簧，挂4N的物体时，长20cm．在弹性限度内，所挂物体的重量每增加1N，弹簧就伸长1.5cm．试写出弹簧的长度l（单位：cm）与所挂物体重量G（单位：N）之间关系的方程．
5．解：设弹簧原长为b，弹性系数为k，弹簧的长度与所挂物体重量G之间关系的方程为．
由题意，得当时，，所以①；
当时，，所以②．
①②联立，解得．
因此，弹簧的长度与所挂物体的重量G之间关系的方程为．
6．菱形的两条对角线分别位于x轴和y轴上，其长度分别为8和6，求菱形各边所在直线的方程．
6．解：如图，由已知，得，，，，
边所在直线的方程是，即．
边所在直线的方程是，即．
边所在直线的方程是，即．
边所在直线的方程是，即．
7．求经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．
7．解：因为直线经过点，且在x轴、y轴上的截距相等，所以，
（1）当直线l过原点时，它的方程为．
（2）当直线l不过原点时，设它的方程为，由已知得，解得．
所以直线l的方程为．
因此，所求直线l的方程为或．
易错提醒：直线在两坐标轴上的截距相等包含两种情形：截距相等且为0；截距相等且不为0．
8．求满足下列条件的直线的方程：
（1）经过点，且与直线平行；
（2）经过点，且平行于过和两点的直线；
（3）经过点，且与直线垂直．
8．解析：（1）解法一：由直线，得直线的斜率为，
所以经过点，且与直线平行的直线方程为，即．
解法二：设所求直线方程为，将代入，得，
所以所求直线方程为．
（2）由已知，得经过点和的直线的斜率，所以经过点，
且平行于MN的直线方程为，即．
（3）解法一：由已知，得方程表示的直线的斜率．
所以与直线垂直的直线的斜率为．
所以经过点，且与垂直的直线方程为，即．
解法二：设所求直线方程为，将代入，得，
所以所求直线方程为．
其他思路：过已知点与直线平行或垂直的直线可分别设为，．将点的坐标代入所设方程，求得即可．
9．的三个顶点是，，，求：
（1）边上的中线所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程；
（3）边的垂直平分线的方程．
9．解析：（1）由已知，得边中点的坐标是，又，所以直线的方程为，
即．
（2）边所在的直线的斜率，因为边上的高与垂直，所以边上的高所在直线的斜率为，又边上的高经过点，所以边上的高所在的直线方程为，
即．
（3）由已知，得直线的斜率，边中点的坐标是．
所以边的垂直平分线的方程是，即．
10．求直线（，不同时为0）的系数，，分别满足什么关系时，这条直线有以下性质：
（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x轴相交；（3）只与y轴相交；
（4）是x轴所在的直线；（5）是y轴所在的直线．
10．解析：（1）直线与x轴相交，即方程组有唯一解，于是．
同理，直线与y轴相交时有．
所以，且时，已知直线与两条坐标轴相交．
（2）已知直线只与x轴相交，即直线平行于y轴或与y轴重合．
所以当，时，已知直线方程为，只与x轴相交．
（3）已知直线只与y轴相交，即直线平行于x轴或与x轴重合．
所以当，时，已知直线方程为，只与y轴相交．
（4）因为x轴的方程为，所以当，，时，已知直线就是x轴所在的直线．
（5）因为y轴的方程为，所以当，，时，已知直线就是y轴所在的直线．
11．设点在直线上，求证：这条直线的方程还可以写成
．
11．证明：已知点在直线上，所以有．
于是，即．
提示：（1）牢记本题结论，用于设过定点的直线方程．
（2）直线必过点．
12．若直线沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置．试求直线的斜率．
12．解析：显然，直线l不垂直于x轴．设直线的方程为，则直线沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后成为直线：．
因为与是同一条直线，所以有．解得．
所以所求直线的斜率为．
解法二：在直线上取点，则当直线向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，点移动到点，因为直线回到原来的位置，所以点也在直线上，
所以直线的斜率为．
提示：直线的平移规律是：左加右减，上加下减．
13．一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程．
13．解析：如图，入射光线所在直线就是直线PQ．
根据直线的两点式方程，得直线PQ的方程是，即．
根据光的反射原理，作出点P关于x轴对称的点，
直线就是反射光线所在直线，它的方程是．
综上，入射光线和反射光线所在直线的方程分别是，．
14．已知直线，的方程分别是：（，不同时为0），（，不同时为0），且，求证：．
14．证明：由，
（1）设，则直线的斜率，直线的斜率，且，所以．
（2）若，
①不妨设，，则有，则直线的方程化为，平行于y轴，
又，所以，直线的方程化为，平行于x轴．显然，．
②若，且，又因为，中必有一个是0，这与不同时为0，
不同时为0矛盾，所以不能同时为0．
综上．
15．画出直线：，并在直线外取若干点，将这些点的坐标代入，求它的值；观察有什么规律，并把这个规律表示出来．
15．解析：经过取点、计算、观察知，在直线上方的点的坐标使得的值小于零，
在直线下方的点的坐标使得的值大于零．