人教A版 (2019)选择性必修 第一册直线的方程课时训练

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知识点1 直线方程的点斜式、斜截式
注：1．直线的点斜式及斜截式方程适用条件是什么？
斜率存在及已知点(或直线在y轴上的截距)．
2．经过点P0(x0，y0)的直线有无数条，可以分为两类：
(1)斜率存在的直线，方程为y－y0＝k(x－x0)；
(2)斜率不存在的直线，方程为x－x0＝0，即x＝x0.
3．当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0.
4．直线的斜截式y＝kx＋b是直线的点斜式y－y0＝k(x－x0)的特例．如：直线l的斜率为k且过点(0，b)，该直线方程为y＝kx＋b.
5．纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零．
6．斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一定可看成一条直线的斜截式方程．
【即学即练1】方程y＝k(x－2)表示( )
A．通过点(－2,0)的所有直线
B．通过点(2,0)的所有直线
C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线
【即学即练2】已知直线的方程是x＋y＝1，则斜率k＝________.
【即学即练3】在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为________．
【即学即练4】已知直线l的方程为y＋eq \f(27,4)＝eq \f(9,4)(x－1)，则l在y轴上的截距为( )
A．9 B．－9 C.eq \f(27,4) D．－eq \f(27,4)
【即学即练5】(多选)给出下列四个结论，正确的是( )
A．方程k＝eq \f(y－2,x＋1)与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线
B．直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1
C．直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1
D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程
【即学即练6】求满足下列条件的m的值．
(1)直线l1：y＝－x＋1与直线l2：y＝(m2－2)x＋2m平行；
(2)直线l1：y＝－2x＋3与直线l2：y＝(2m－1)x－5垂直．
知识点2 直线的两点式与截距式方程
注：（1）两点式方程
①利用两点式求直线方程必须满足x1≠x2且y1≠y2，即直线不垂直于坐标轴．
（即：当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示．）
②两点式方程与这两个点的顺序无关．
③方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等．
截距式方程
①如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程．
②将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图．
③与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示．
④过原点的直线的横、纵截距都为零．
【即学即练7】已知△ABC三顶点A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为( )
A．2x＋y－8＝0B．2x－y＋8＝0
C．2x＋y－12＝0D．2x－y－12＝0
【即学即练8】直线x－2y＝4的截距式方程是____________．
【即学即练9】(多选)下列命题中不正确的是( )
A．经过点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
C．经过任意两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可用方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示
D．不经过原点的直线都可以用方程eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1表示
知识点3 直线的一般式方程
1．定义：关于x，y的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
2．系数的几何意义：当B≠0时，则－eq \f(A,B)＝k(斜率)，－eq \f(C,B)＝b(y轴上的截距)；
当B＝0，A≠0时，则－eq \f(C,A)＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．
3．直线一般式方程的结构特征
①方程是关于x，y的二元一次方程．
②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．
③x的系数一般不为分数和负数．
④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．
4.当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质：
①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交；
②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；
③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；
④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；
⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合．
注：（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示
（2）每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)都能表示一条直线
【即学即练10】若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________
【即学即练11】直线x－eq \r(3)y＋1＝0的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．120°D．150°
【即学即练12】斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为________．
【即学即练13】已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－4，则直线l的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．
【即学即练14】已知直线l1：x＋my＋6＝0和l2：mx＋4y＋2＝0互相平行，则实数m的值为( )
A．－2 B．2
C．±2D．2或4
考点一 直线的点斜式方程
解题方略：
求直线的点斜式方程的方法步骤
(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)；
(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．
【例1-1】若直线l过点(2,1)，分别求l满足下列条件时的直线方程：
(1)倾斜角为150°；
(2)平行于x轴；
(3)垂直直线m：y＝eq \f(1,3)x＋2.
变式1：已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l的方程为________．
变式2：经过点(－1,1)，斜率是直线y＝eq \f(\r(2),2)x－2的斜率的2倍的直线方程是( )
A．x＝－1 B．y＝1
C．y－1＝eq \r(2)(x＋1)D．y－1＝2eq \r(2)(x＋1)
变式3：以A(2，－5)，B(4，－1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )
A．y－(－3)＝2(x－3) B．y－3＝2(x－3)
C．y－3＝－eq \f(1,2)(x－3) D．y－(－3)＝－eq \f(1,2)(x－3)
变式4：已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：
(1)AB边所在直线的方程；
(2)AC边与BC边所在直线的方程．
变式5：已知直线过，并与两坐标轴截得等腰三角形，那么直线的方程是（ ）．
A．或B．或
C．或D．或
【例1-2】已知点A(3,3)和直线l：y＝eq \f(3,4)x－eq \f(5,2).求：
(1)过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程；
(2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程．
变式1：若原点在直线l上的射影是P(－2,1)，则直线l的方程为( )
A．x＋2y＝0B．y－1＝－2(x＋2)
C．y＝2x＋5D．y＝2x＋3
【例1-3】直线l1过点P(－1,2)，斜率为－eq \f(\r(3),3)，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线l2，求直线l1和l2的方程．
考点二 直线的斜截式方程
解题方略：
直线的斜截式方程的求解策略
(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．
(2)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别；
(3)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决一次函数的图象问题时，常通过把一次函数解析式化为直线的斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．
【例2-1】根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
变式1：求倾斜角是直线y＝－eq \r(3)x＋1的倾斜角的eq \f(1,4)，且在y轴上的截距是－5的直线方程．
变式2：直线y－b＝2(x－a)在y轴上的截距为( )
A．a＋bB．2a－b
C．b－2aD．|2a－b|
【例2-2】若直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有( )
A．k>0，b>0 B．k>0，b0，b