人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程教学设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程教学设计，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。

第二章 直线和圆的方程
2.2 直线的方程
2.2.1 直线的点斜式方程
教学设计
一、教学目标
1. 理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；
2. 能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；
3. 体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
二、教学重难点
1. 教学重点
直线的点斜式方程和斜截式方程.
2. 教学难点
直线的点斜式推导过程中直线与方程对应关系的理解.
三、教学过程
（一）新课导入
问题1：确定一条直线需要什么条件？
给定一点和直线的斜率（或倾斜角），就能唯一确定一条直线.
问题2：在平面直角坐标系中，直线l经过点，且斜率为k.怎样用直线上的已知点和斜率k表示出该直线上所有点的坐标满足的关系式？
（二）探索新知
如图，设是直线l上不同于点的任意一点，因为直线l的斜率为k，由斜率公式得，即.

由上述推导过程可知：
（1）直线l上每一个点的坐标(x，y)都满足关系式；
（2）坐标满足关系式的每一个点都在直线l上.
若点的坐标满足关系式，则.
当时，，这时点与重合，显然有点在直线l上；
当时，有，这表明过点，的直线的斜率为k.因为直线l，的斜率都为k，且都过点，所以它们重合.所以，点在直线l上.
由（1）（2）可得：坐标满足关系式的点一定在直线l上；直线l上任意一点的坐标一定满足关系式.我们把方程称为过点，斜率为k的直线l的方程.
方程由直线上一个定点及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.
思考：（1）当直线l的倾斜角为0°时，直线l的方程是什么？
（2）当直线l的倾斜角为90°时，直线l的方程是什么？
如下图，当直线l的倾斜角为0°时，，即，这时直线l与x轴平行或重合，直线l的方程是，即.

如下图，当直线l的倾斜角为90°时，由于无意义，直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示.又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是，即.

例1 直线l经过点，且倾斜角，求直线l的点斜式方程，并画出直线l.
解：直线l经过点，斜率，代入点斜式方程得.
画图时，只需再找出直线l上的另一点，例如，取，则，得点的坐标为，过，两点的直线即为所求，如下图所示.

下面来看点斜式的一种特殊情形：如果斜率为k的直线l过点，这时是直线l与y轴的交点，代入直线的点斜式方程，得，即.
我们把直线l与y轴的交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距.这样，方程由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.其中，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距.
思考：方程与我们学过的一次函数表达式类似.我们知道，一次函数的图象是一条直线，你如何从直线方程的角度认识一次函数？你能说出一次函数，及图象的特点吗？
对于，当时，表示y是x的一次函数；当时，是一个常数函数.k表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距.
表示斜率为2，在y轴上的截距为-1的直线；表示斜率为3，在y轴上的截距为0的直线；表示斜率为-1，在y轴上的截距为3的直线.
例2 已知直线，试讨论：（1）的条件是什么？（2）的条件是什么？
解：（1）若，则，此时与y轴的交点不同，即；反之，若，且，则.
（2）若，则；反之，若，则.

对于直线，
，且；
.
（三）课堂练习
1.已知直线的方程为，则( )
A.该直线过点，斜率为 B.该直线过点，斜率为1
C.该直线过点，斜率为 D.该直线过点，斜率为1
答案：C
解析：直线的方程可化为点斜式，故直线过点，斜率为.
2.直线与直线在同一平面直角坐标系内的图象只可能是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：对于A选项，由得，而由得，矛盾；对于B选项，由得，而由得，矛盾；对于C选项，由得，而由得，矛盾；对于D选项，由得，而由得.故选D.
3.已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：因为直线的斜率为2，所以直线的斜率为.又直线过点，故所求直线的方程为，选B.
4.已知直线l过点，且直线l的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，则直线l的点斜式方程为_____________.
答案：
解析：由，得斜率为，设直线的倾斜角为，直线l的倾斜角为，斜率为k，则，.
又直线l过点，所以直线l的点斜式方程为.
5.已知点和直线.
（1）求过点且与直线平行的直线的点斜式方程；
（2）求过点且与直线垂直的直线的点斜式方程.
答案：（1）因为直线的方程为，所以该直线的斜率，所以过点且与直线平行的直线的点斜式方程为.
（2）易知与直线垂直的直线的斜率为，所以过点且与直线垂直的直线的点斜式方程为.
（四）小结作业
小结：直线的点斜式方程和斜截式方程.
作业：
四、板书设计
2.2.1 直线的点斜式方程
1. 方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.
当直线l的倾斜角为0°时，直线l的方程是.
当直线l的倾斜角为90°时，直线l的方程是.
2. 方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.其中，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距.
3. 对于直线，
，且；
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