高中人教A版 (2019)直线的倾斜角与斜率课时训练

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知识点一 两条直线(不重合)平行的判定
知识点二 两条直线垂直的判定
【题型目录】
题型一、两条直线平行的判定
题型二、已知直线平行求参数
题型三、两条直线垂直的判定
题型四、已知直线垂直求参数
题型五、直线平行、垂直的判定在几何中的应用
题型一、两条直线平行的判定
1．已知两条直线：，：，则下列说法正确的是（ ）
A．与一定相交B．与一定平行
C．与一定相交或平行D．以上均不对
【答案】D
【分析】利用两直线的位置关系判断.
【详解】解：当时，与重合；当时，与平行，当时，与相交，
故选：D
2．（多选）若与为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，则它们的斜率相等B．若与的斜率相等，则
C．若，则它们的倾斜角相等D．若与的倾斜角相等，则
【答案】BCD
【分析】由两直线斜率不存在可知A错误；根据两直线平行与斜率和倾斜角的关系可知BCD正确.
【详解】对于A，当和倾斜角均为时，，但两直线斜率不存在，A错误；
对于B，若和斜率相等，则两直线倾斜角相等，可知，B正确；
对于C，若，可知两直线倾斜角相等，C正确；
对于D，若两直线倾斜角相等，则两直线斜率相等或两直线斜率均不存在，可知，D正确.
故选：BCD.
3．根据下列给定的条件，判定直线与直线是否平行或重合：
（1）经过点，；经过点，；( )
（2）的斜率为，经过点，；( )
（3）平行于轴，经过点，；( )
（4）经过点，，经过点，．( )
【答案】 不平行 平行或重合 平行 重合
【分析】根据过两点的直线的斜率公式，计算直线的斜率，根据斜率的关系，并注意直线是否重合，可判断（1）（2）（4）；当两直线斜率都不存在时，看它们是否重合，即可判断（3）.
【详解】（1），，，所以与不平行．
（2）的斜率，的斜率，即，无法判断两直线是否重合，
所以与平行或重合．
（3）由题意，知的斜率不存在，且不是轴，的斜率也不存在，恰好是轴，所以．
（4）由题意，知，，所以与平行或重合．
需进一步研究，，，四点是否共线，．所以，，，四点共线，所以与重合．
4．根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行．
(1)的倾斜角为60°，经过点，；
(2)平行于y轴，经过点，．
【答案】(1)或与重合；(2)
【分析】（1）根据两直线的斜率关系即可判断位置关系，
（2）根据两直线均无斜率即可判断位置关系.
【详解】（1）由题意，知直线的斜率，直线的斜率，所以，所以或与重合．
（2）由题意，知是y轴所在的直线，所以．
题型二、已知直线平行求参数
5．已知直线：，：，若，则（ ）
A．0B．1C．2D．
【答案】D
【分析】由题意，直线平行，根据公式求参数，解方程并验根，可得答案.
【详解】由题意，，则，，，
解得：或，当时，，故不符合题意，
当时，，符合题意.故选：D.
6．过点两点的直线与直线平行，直线的倾斜角为，则___________
【答案】
【分析】根据题意,求出直线的斜率和直线的斜率，由，二者斜率相等构造方程解得答案.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，
过两点的直线的斜率，由直线与直线平行，所以解得.
故答案为：.
7．若直线不能构成三角形，则的取值集合是________.
【答案】
【分析】首先解出直线的交点，若三条直线不能构成三角形，则过直线的交点，或者与直线其中一条直线平行，分三种情况讨论，求出的值，得到答案.
【详解】由，解得，即直线与的交点为M（1，1），
因为直线不能构成三角形，所以过点M或或，
若过点M，则，即，若，则，即，
若，则，即,综上，m的取值集合为.
故答案为：.
8．已知两直线，.求分别满足下列条件的，的值：
(1)直线过点，并且直线与垂直；
(2)直线与直线平行，并且直线在轴上的截距为.
【答案】(1)，；(2)，
【分析】（1）根据直线垂直的充要条件以及点在直线上，列出方程组即可解出；
（2）根据两直线平行斜率相等，以及直线纵截距的意义，列出方程，即可解出．
【详解】（1）因为l1⊥l2，所以a(a－1)＋(－b)·1＝0，即a2－a－b＝0.①
又点(－3，－1)在l1上，所以－3a＋b＋4＝0.②
由①②得a＝2，b＝2.
（2）因为直线l2在y轴上的截距为3，所以b＝－3，
又,所以,所以,故.
题型三、两条直线垂直的判定
9．设a、b、c分别为中、、所对边的边长，则与的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直B．垂直
C．平行D．重合
【答案】B
【分析】根据两直线的位置关系直接判断两直线的位置关系即可.
【详解】由题可知：直线与的斜率分别为，
又在中，所以，所以两条直线垂直，故选：B.
10．直线过点和点，直线过点和点，则直线与的位置关系是______．
【答案】垂直
【分析】分，，三种情况讨论即可.
【详解】①当时，直线过点和点，直线过点和点，
此时直线的斜率，直线的斜率不存在，因此；
②当时，直线过点和点，直线过点
和点．此时直线的斜率不存在，直线的斜率，因此；
③当时，直线的斜率，直线的斜率，此时，∴．
故答案为：垂直.
11．判断下列直线与是否垂直：
(1)的倾斜角为，经过，两点；
(2)的斜率为，经过，两点；
(3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且.
【答案】(1)；(2)与不垂直；(3)
【分析】（1）的斜率为，根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可；
（2）根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可；
（3）根据二倍角的正切公式求出的值，判断斜率的乘积是否为即可.
【详解】（1）因为的倾斜角为，所以的斜率为.
因为经过，两点，所以的斜率为.
因为，所以.
（2）因为经过，两点，所以的斜率为.
因为的斜率为，且，所以与不垂直.
（3）记的斜率为，因为，所以，解得或.
因为为锐角，所以.
因为的斜率为，且，所以.
题型四、已知直线垂直求参数
12．“”是“直线：与直线：互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据给定直线方程求出的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】依题意，，解得或，
所以“”是“直线：与直线：互相垂直”的充分不必要条件.
故选：A
13．若直线与直线垂直，则_______.
【答案】
【分析】根据两直线垂直，斜率相乘等于求出参数的值
【详解】直线：的斜率为，直线：与直线：垂直时，
，解之得，故答案为：.
14．已知直线经过，，直线经过点，．如果，求的值．
【答案】5或2
【分析】分析两直线的斜率是否存在，再根据直线垂直判断斜率之间的关系求出a.
【详解】因为直线经过点，，且， 所以的斜率存在，设斜率为，
当时，直线斜率不存在，，则，此时与垂直．
当时，，此时直线斜率存在．由，得．解得．
综上，的值为或．
15．已知直线和直线互相垂直，求的取值范围．
【答案】
【分析】通过两直线垂直的充要条件得到，然后两边同时除以m，使用不等式即可解决.
【详解】因为，所以，所以，因为，所以．
因为，所以，所以，故的取值范围为．
题型五、直线平行、垂直的判定在几何中的应用
16．已知四边形的顶点，则四边形的形状为___________.
【答案】矩形
【分析】分别求出直线的斜率，根据斜率判断对应直线得位置关系，即可得出结论.
【详解】解：，且不在直线上，.
又，且不在直线上，，四边形为平行四边形.又.平行四边形为矩形.
故答案为：矩形.
17．已知，，.
（1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标；
（2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形.
【答案】（1）（-1，6）或（7，2）或（3，-2）；（2）平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形.
【分析】（1）分四边形、、是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解，即可；
（2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为，即可.
【详解】（1）由题意得，，，设.
若四边形是平行四边形，则，，即，解得，即.
若四边形是平行四边形，则，，即，解得，即.
若四边形是平行四边形，则，，即，解得，即.
综上，点的坐标为（-1，6）或（7，2）或（3，-2）.
（2）若的坐标为（-1，6），因为，，所以，所以，
所以平行四边形为菱形.若的坐标为（7，2），因为，，
所以，所以平行四边形不是菱形.若的坐标为（3，-2），因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形.因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形.
1．直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交B．平行C．重合D．不能确定
【答案】D
【分析】根据直线方程判断直线的位置关系，注意讨论参数的数量关系.
【详解】当时，两直线重合，当时，两直线平行，所以题设两直线位置可能重合、平行.
故选：D
2．下列说法中正确的是（ ）
A．若两条直线斜率相等，则它们互相平行
B．若，则
C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交
D．若两条直线的斜率都不存在，则它们相互平行
【答案】C
【分析】根据直线平行和斜率之间的关系对选项一一判断即可得出答案.
【详解】若两条直线斜率相等，则它们互相平行或重合，A错误；
若，则或，的斜率都不存在，B错误；
若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交，C正确；
若两条直线的斜率都不存在，则它们互相平行或重合，D错误．故选：C.
3．已知直线l的倾斜角为10°，直线l1l，直线l2⊥l，则l1与l2的倾斜角分别为（ ）
A．10°，10°B．80°，80°
C．10°，100°D．100°，10°
【答案】C
【分析】由两线的位置关系，结合已知条件及直线平行、垂直的判定，即可求倾斜角大小.
【详解】∵l1l，∴它们的倾斜角相等，即l1的倾斜角为10°，∵l2⊥l，若l2的倾斜角为，则，
∴，即，∴.故选：C.
4．直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（ ）
A．平行B．重合
C．相交但不垂直D．垂直
【答案】C
【分析】由韦达定理可得方程的两根之积为，从而可知直线、的斜率之积为，进而可判断两直线的位置关系
【详解】设方程的两根为、，则．直线、的斜率，故与相交但不垂直．故选：C．
5．已知直线，，，则“”的必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】C
【分析】直线，平行的充要条件是“”，进而可得答案．
【详解】解：直线，，若，则，解得：或当时，与重合，故“” “”，故“”的必要不充分条件是“或”，故选：C．
6．已知，，直线与直线垂直，则的最小值是（ ）
A．B．4C．D．6
【答案】C
【分析】由两线垂直的判定可得，再应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立的条件.
【详解】因为直线与直线垂直，所以，即，
所以（当且仅当，时，等号成立）.故选：C．
7．已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若直线与直线的方程分别为与，则直线与的位置关系是______．（填平行、重合或垂直）
【答案】垂直
【分析】判断出两条直线斜率乘积为，由此确定两条直线垂直.
【详解】由已知得两条直线的斜率分别为，，因为中，所以，所以直线与垂直.
故答案为：垂直
8．判断下列各组直线的位置关系（“垂直”“平行”或“既不垂直也不平行”）：
(1)与；
(2)与；
(3)与；
(4)与；
(5)与；
(6)与．
【答案】(1)既不垂直也不平行；(2)平行；(3)垂直；(4)既不垂直也不平行；(5)垂直；(6)平行
【分析】求出直线的斜率，根据两直线的斜率之间的关系可判断（1），（2），（3），（4），根据直线斜率不存在或斜率为零时的情况可判断（4），（5）.
【详解】(1)直线的斜率 ，直线的斜率 ，
由于且，故两直线既不垂直也不平行；
(2)即，两直线斜率都为1，且两直线不重合，故两直线平行；
(3)的斜率，的斜率，由于，故两直线垂直；
(4)的斜率，的斜率，
由于且，故两直线既不垂直也不平行；
(5)即的斜率不存在，即 的斜率为0，故两直线垂直；
(6)即 ，即 ，两直线斜率都是0，且不重合，故两直线平行.
9．已知直线，．请从以下三个条件中选出两个求实数，的值．
(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)选(1)和(2)，；
(2)选(1)和(3)，或；
(3)选(2)和(3)，a、b无解.
【分析】根据两直线的位置关系可知，若两直线垂直则两直线的斜率之积为-1；若两直线平行则两直线的斜率相等且不重合.
【详解】（1）若选条件(1)和(2)，和，
由，得，即，
当时，，，与不垂直，
当时，，，与不垂直；
故且，得，
又，，所以，解得，则；
（2）若选条件(1)和(3)，和，
由，得，
当时，，，与不平行；
当时，，，与不平行；
故且，则，解得或，故或，
即或；
（3）若选条件(2)和(3)，和，根据两条直线的位置关系，可得和不可能同时成立，
此时无解.
10．已知点，，，，求证：四边形ABCD是梯形．
【答案】证明见解析
【分析】根据题意，只要证明四边形一组对边平行，且不相等，即可证明四边形为梯形.
【详解】由点，，，，可得 ,
而 , ,故,但 ,
所以四边形ABCD是梯形．
1．“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（ ）条件
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分又非必要
【答案】D
【分析】根据直线平行与斜率之间的关系，逐个选项进行判断即可.
【详解】充分性：直线与平行，但是和都没有斜率，即当和都垂直于轴时，与仍然平行，但是，此时不满足直线与的斜率相等，故充分性不成立；
必要性：直线与的斜率相等，则直线与平行或重合，故必要性不成立；
综上，“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的既非充分又非必要条件.故选：D
2．直线和直线平行，则直线和直线的位置关系是（ ）
A．重合B．平行C．平行或重合D．相交
【答案】B
【分析】利用两直线平行的等价条件即可求解.
【详解】因为直线和直线平行，所以，
故直线为，与直线平行故选：B
3．已知角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线垂直，则的值为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】B
【分析】根据题意可得，然后利用齐次式的方法求解即可.
【详解】因为角的终边与直线垂直，即角的终边在直线上，所以，，故选：B．
4．已知、，直线，，且，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先由，可得，变形得，所以，化简后利用基本不等式求解即可
【详解】因为、，直线，，且，
所以，即，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为，故选：D
5．已知三条直线：，：，：所围成的图形为直角三角形，则该三角形的面积为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】根据题意，分和两种情况讨论求解即可得答案.
【详解】解：由题意知，若，则，与的交点坐标为，则此时三角形的面积为，
若，则，与的交点坐标为，所以此时三角形的面积为．所以该三角形的面积为或．
故选：C
6．将直线绕原点逆时针旋转，再向右平移个单位长度，所得到的直线为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将直线绕原点逆时针旋转，得到直线，再根据平移公式即可求解．
【详解】将直线绕原点逆时针旋转，则斜率为，得到直线，再向右平移个单位长度，所得到的直线为，即，故选：B
7．（多选）已知直线：与：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与直线可能重合
B．直线与直线可能垂直
C．直线与直线可能平行
D．存在直线上一点P，直线绕点P旋转后可与直线重合
【答案】BD
【分析】分别求出直线，的斜率，根据两直线平行和垂直斜率满足的关系即可逐一求解.
【详解】直线的斜率为，直线的斜率，
，，不可能相等，直线与直线不可能重合，也不可能平行，故A，C均错误；
当时，，，直线与直线可能垂直，故B正确；
直线与直线不可能重合，也不可能平行，直线与直线一定有交点，
存在直线上一点，直线绕点旋转后可与直线重合，故D正确．故选：BD．
8．（多选）已知直线与为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则斜率
B．若斜率，则
C．若倾斜角，则
D．若，则倾斜角
【答案】BCD
【分析】利用直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率和直线的平行问题的应用求出结果．
【详解】A选项，，可能直线与的倾斜角都是，斜率不存在，所以A选项错误.
B选项，根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等，则直线平行，所以B选项正确.
C选项，当两条直线的倾斜角相等时，直线平行，所以C选项正确.
D选项，当两条直线平行时，则倾斜角必相等，所以D选项正确.故选：BCD
9．（多选）已知直线，，则（ ）
A．当变化时，的倾斜角不变B．当变化时，过定点
C．与可能平行D．与不可能垂直
【答案】AB
【分析】对四个选项一一验证：
对于A：由直线的斜率为即可判断；对于B：由直线恒过定点即可判断；
对于C：用反证法证明；对于D：当， 与垂直，即可判断.
【详解】对于A：当变化时，直线的斜率为，所以的倾斜角不变.故A正确；
对于B：直线恒过定点.故B正确；
对于C：假设与平行，则，即，这与相矛盾，所以与不可能平行.故C不正确；
对于D：假设与垂直，则，即，所以与可能垂直.故D不正确.故选：AB
10．（多选）已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据三角形为等腰直角三角形列方程组，即可求解.
【详解】设，由题意可得
，可化为，
解得:或，即或．故选：AC
11．“”是“直线与平行”的__________条件.
【答案】必要不充分
【分析】由两直线平行可知斜率相等，且不重合.
【详解】，则，直线与平行，
当时，两条直线分别为：和，显然不平行.
当时，则有,且（注：时，两直线重合）,解得：.
所以“”是“直线与平行”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分
12．直线：与直线：相交，则m的取值范围为______．
【答案】
【分析】假设两线平行求参数m，进而可得与有交点时对应的m的范围.
【详解】若与平行，则，可得，所以要使与有交点，则.
故答案为：
13．设直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，倾斜角分别为α、β，若k1k2＝﹣1，则|α﹣β|＝__．
【答案】
【分析】利用直线的倾斜角和斜率、两条直线互相垂直的性质，得出结论．
【详解】
如图，因为直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，倾斜角分别为α、β，
若k1k2＝﹣1，则直线l1与l2的相互垂直，它们的倾斜角相差，故|α﹣β|，
故答案为：．
14．已知等腰直角三角形的斜边所在的直线方程为，则直角边和所在的直线的斜率之和为______．
【答案】
【分析】作出图形，根据两角差的正切公式可求得直线的斜率，再利用可得直线的斜率，即可得解.
【详解】因为为等腰直角三角形，则，
设直线的倾斜角为，则，不妨设点在直线的上方，
设直线、的斜率分别为、，倾斜角分别为、，设，由图可知，则，解得，因为，则，故，因此，直角边和所在的直线的斜率之和为.故答案为：.
15．判断下列各组直线是否垂直，并说明理由：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)垂直，理由见解析
(2)垂直，理由见解析
(3)垂直，理由见解析
【分析】（1）分别求出两条直线的斜率，根据斜率之积即可得出结论；
（2）分别求出两条直线的斜率，根据斜率之积即可得出结论；
（3）易得轴，轴，即可得出结论.
【详解】（1）解：设两条直线，的斜率分别为，，则，，
因为，所以；
（2）设两条直线，的斜率分别为，，则，，因为，所以；
（3）解：由两个方程，可知轴，轴，所以．
16．已知直线，直线，求：当m为何值时，直线与分别有如下位置关系：相交、平行、重合．
【答案】答案见详解．
【分析】当时，，，l1与l2相交；当时，两直线的斜截式方程为：，，再利用两条直线的相交、平行、重合的条件即可得出．
【详解】当时，，，l1与l2相交；
当时，两直线的斜截式方程为：，．
①当时，即m≠3，m≠﹣1且时，两直线相交，
②当，且，即m＝﹣1时，两直线平行．
③当，且，即m＝3时，两直线重合．
综上：当m≠3，m≠﹣1时，两直线相交；
当m＝﹣1时两直线平行；
当m＝3时两直线重合．
17．设a为实数，若三条直线，，共有两个不同的交点，求a的值.
【答案】或
【分析】由其中两条直线平行，第三条与它们不平行可得．
【详解】三条直线只有两个交点，因此其中两条平行，另外一条与它们不平行，
直线与直线显然不平行，
由直线与平行得，解得；
由直线与平行得，解得，
所以或．类型
斜率存在
斜率不存在
前提条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
对应关系
l1∥l2⇔k1＝k2
l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在
图示
图示
对应关系
l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1
l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2