人教A版 (2019)选择性必修 第一册直线的方程优质教学设计及反思

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题组一 求两点式直线方程
【例题1】三角形三个顶点是，，，求BC边上的中线所在直线的两点式方程.
【答案】
【分析】求出BC边上的中点，利用两点式方程即可求得.
【详解】因为，，所以BC边上的中点，
所以BC边上的中线所在直线.
题组二 求截距式直线方程
【例题2】根据下列条件求直线的截距式方程，并画出图形.
（1）在x轴、y轴上的截距分别是2，3；
（2）在x轴、y轴上的截距分别是，6．
【答案】（1）（图见解析）（2）（图见解析）
【分析】由截距式直接写出答案即可.
【详解】（1）由截距式得：.
（2）由截距式得：.
题组三 利用截距关系求直线方程
【例题3】（1）求过点且在轴、轴上截距相等的直线的方程．
【答案】或
【分析】分类讨论，当直线过原点，即截距都为零，易得直线方程；当直线不过原点，由截距式，设出直线方程，把点坐标代入，就能求出结果.
【详解】设直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距也为a，
直线过原点时，满足题意，即，
直线过，直线方程为；
直线不过原点时，即，
设直线方程为：，
代入得，,
所以直线方程为；
综上所述：或.
（2）已知直线过点，在轴、轴上的截距互为相反数，求出直线的方程；
【答案】或；
【分析】分直线过原点和不过原点两种情况求直线方程；
【详解】①当直线经过原点时，在轴、轴上的截距互为相反数都等于0，此时直线的方程为，
②当直线不经过原点时，设直线的方程为
在直线上，，，即．
综上所述直线的方程为或
（3）直线l经过点A(－3,4)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求该直线的方程.
【答案】4x＋3y＝0或x＋2y－5＝0.
【分析】直线过原点时，直线方程为；直线不过原点时，根据截距式写出方程，结合所过的点求出方程即可.
【详解】当直线经过原点时，直线方程为：；
当直线不经过原点时，若轴截距为，则轴截距为，即可设直线方程为：，
把点A(－3,4)代入，得，解得，即直线方程为：x＋2y＝5.
综上，直线方程为：4x＋3y＝0或x＋2y－5＝0.
（4）根据下列条件，求直线的方程.
① 过点，且在两坐标轴上的截距之和为2；
② 过点，且在两坐标轴上的截距之差为2．
【答案】① ② 或
【分析】① 根据题意求出直线在轴上的截距，再利用截距式即可写出答案.
② 根据题意求出直线在轴上的截距，再利用截距式即可写出答案.
【详解】① 因为直线在轴上的截距为5，则在轴上的截距为.
则直线为.
② 因为直线在轴上的截距为5，则在轴上的截距为或.
则直线为或.
所以直线为或
题组四 直线与坐标轴围成图形的面积问题
【例题4】（1）已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程．
【答案】或
【分析】根据直线的斜距式方程，可得轴上的交点，即可根据三角形面积即可求解.
【详解】设直线方程为，则时，时，.
由已知可得，
即，∴.
故所求直线方程为或
（2）过点作直线分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB面积最小时，求直线的方程；
【答案】（1）；（2）
【分析】由题意设，，其中，为正数，可设直线的截距式为，代点可得，
由基本不等式可得，由等号成立的条件可得和的值，由此得到直线方程，
【详解】由题意设，，其中，为正数，可设直线的截距式为，直线过点，，
（1）由基本不等式可得，解得：，当且仅当，即且时，上式取等号，
面积，则当，时，面积最小，此时直线的方程为，即，
基础达标
1．求过下列两点的直线的两点式方程：
(1)，；
(2)，．
【答案】(1)；
(2).
【分析】由直线两点式方程的定义即可得解.
【详解】（1）因为直线过点，，
所以该直线的两点式方程为；
（2）因为直线过点，，
所以该直线的两点式方程为
2．已知的三个顶点坐标为，，，M为AB的中点，N为AC的中点，求中位线MN所在直线的两点式方程．
【答案】
【分析】先利用中点坐标公式求出点，然后可求出MN所在直线的两点式方程.
【详解】解：因为，，，M为AB的中点，N为AC的中点，
所以，，
所以中位线MN所在直线的两点式方程为．
3．求经过点的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式.
【答案】答案见解析
【分析】直接由直线的两点式写出，并转化为其它式.
【详解】过A，B两点的直线的两点式方程是.
化为点斜式为：，
斜截式为：，
截距式为：.
4．求过点，且在轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程．
【答案】或
【分析】利用截距式求得直线方程，并化为一般式.
【详解】依题意可知直线的截距存在不为，
设直线方程为，
代入得，
解得或，
所以直线方程为或，
即或.
5．已知直线过点，在下列条件下分别求直线的方程：
(1)在轴、轴上的截距之和为4；
(2)与轴、轴围成的三角形面积为20.
【答案】(1)，或
(2)，或，，或
【分析】（1）当直线分别与轴、轴上垂直时，截距分别为5、1，不符合题意；当直线不与轴、轴上垂直且不过原点时，设直线的方程为，利用已知条件可得答案；
（2）由题意设直线的方程为，直线过点，与轴、轴围成的三角形面积为20，求出可得答案.
【详解】（1）由已知直线不过原点，
当直线分别与轴、轴上垂直时，截距分别为5、1，不符合题意；
当直线不与轴、轴上垂直且不过原点时，
设直线的方程为，
因为直线过点， 在轴、轴上的截距之和为4，
所以，解得，或，
可得直线的方程为，或；
（2）由题意设直线的方程为，
因为直线过点，与轴、轴围成的三角形面积为20，
所以，解得，或，
，或，
所以直线的方程为，或
或，或.
6．在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点作直线．若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程；
【答案】(1)或
【分析】考虑直线过原点和不过原点两种情况，代入点坐标计算得到答案.
【详解】当直线过原点时，设，因为点在上，所以，即，
此时直线的方程为；
当直线不过原点时，设直线的方程为，点在上，，即，
此时直线的方程为，
综上所述：直线的方程为或；
7．已知直线过点．若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程；
【答案】或
【分析】当直线过原点时，直线的方程为，当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入直线的方程求解即可；
【详解】（1）当直线过原点时,直线的方程为：，
当直线不过原点时，设直线的方程为：，
直线过点，则，此时的方程为：，
故的方程：或.
（2）设直线的方程为，．
令，则，
令，则，
∴直线与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积
．
当且仅当，即时，三角形面积最小．
此时的方程为．
能力提升
1．已知直线经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意首先确定，的范围，然后逐一考查所给命题的真假即可.
【详解】已知直线经过第一、二、三象限，则直线在轴上的截距，在轴上的截距，
由直线的斜率小于1，可知，结合可得，
对于A，由绝对值的性质可知，故选项A错误，
对于B，由幂函数的单调性可知，故选项B错误，
对于C，由不等式的性质，可得，，则，故选项C错误，
对于D，，，则，故选项D正确.
故选：D
2．（多选）已知直线过点，且直线在坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】分直线过原点，直线截距相等，直线截距互为相反数三种情况设直线分别为，结合过点可得答案.
【详解】当直线过原点时，设直线方程为，因过点，则直线的方程为，即，故A正确；
当直线截距相等时，设直线方程为，因过点，则，则直线的方程为，故C正确；
当直线截距互为相反数时，设直线方程为，因过点，则，则直线的方程为，故B正确．
故选：ABC．
3．（1）经过定点且斜率为k的直线l的方程如何表示？
（2）直线在y轴上的截距b是直线与y轴交点到原点的距离吗？它的取值范围是什么？
（3）一次函数的解析式与直线的斜截式方程有什么不同？
【答案】（1）；（2）不是，；（3）答案见解析
【分析】（1）由点斜式写出方程；
（2）由斜截式的意义求解即可；
（3）根据取值不同进行解答.
【详解】（1）将k及点代入直线方程的点斜式得.
（2）不是直线与y轴交点到原点的距离，
是直线在y轴上交点的纵坐标，截距b的取值范围是.
（3）一次函数的x的系数，否则就不是一次函数了；
直线的斜截式方程中的k可以为0.
4．已知点，求下列直线的方程：
(1)求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程；
(2)光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程．
【答案】(1)或.
(2)
【分析】（1）根据题意，分直线过原点与不过原点讨论，结合直线的截距式代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，求得点关于轴的对称点的坐标为，再由直线的点斜式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）当直线过原点时，满足在轴上的截距是轴上截距的2倍，
此时直线方程为，将代入，可得，化简可得；
当直线不过原点时，设直线方程为，且，
即，将代入，可得，解得，
则直线方程为，化简可得；
综上，直线方程为或.
（2）点关于轴的对称点的坐标为，
由题意可知，反射光线所在的直线经过点与，
所以反射光线所在的直线斜率为，
则反射光线所在的直线方程为，
化简可得.
5．已知直线过点，若直线的斜率，当与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小时，求直线的方程．
【答案】
【分析】设直线的方程为，，根据三角形的面积公式和基本不等式即可求出最值，进而得到直线方程．
【详解】设直线的方程为，．
令，则，
令，则，
∴直线与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积
．
当且仅当，即时，三角形面积最小．
此时的方程为．
直击高考
1．（23-24高三上·河南开封·期中）若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由条件可得，再结合基本不等式即可得到当取最小值的条件，即可得到结果.
【详解】因为直线经过点，则，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值为，
此时，则.
故选：D
2．（2006·上海·高考真题）已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，则面积最小值为 ．
【答案】
【分析】设直线的方程为，由题意可得，根据三角形的面积公式及基本不等式即可求解.
【详解】依题意，设直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，
则直线的方程为，
直线过点，，
，
，
，即，
当且仅当， 即 时取等号，
面积最小值为.
故答案为：.