人教B版高中数学选修1 第二章《平面解析几何》单元测试题(含答案)

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《平面解析几何》单元测试一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.(2020∙上海交大附中开学考试)若直线经过点,则( )A.B.C.D.2.已知圆,直线与圆交于,两点,当弦长最短时的值为( )3.(2019∙安徽阜阳期中)已知点和圆,一束光线从点出发,经过轴反射到圆的最短路程是( )A.6B.7C.D.94.(2020∙湖北襄阳高二期末)将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度,得到离心率为的双曲线,则( )A.对任意的B.当时,;当时,C.对任意的D.当时,;当时,5.(2019∙湖北黄石月考)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线称之为三角形的欧拉线.已知的顶点,若其欧拉线方程为,则顶点的坐标是( )6.(多选题)已知为坐标原点,是抛物线上的一点,为其焦点,若与双曲线的右焦点重合,则下列说法正确的有( )A.若,则点的横坐标为4B.该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为C.若外接圆与抛物线的准线相切,则该圆面积为D.周长的最小值为7.(多选题)(2020∙江苏南京高二期末)泰戈尔说过一句话:世界上最远的距离,不是树枝无法相依,而是相互了望的星星,却没有交会的轨迹;世界上最远的距离,不是星星之间的轨迹,而是纵然轨迹交会,却在转瞬间无处寻觅.已知点,直线,若某直线上存在点,使得点到点的距离比到直线的距离小1,则称该直线为“最远距离直线”,则下列结论正确的是( )A.点的轨迹曲线是一条线段B.点的轨迹与直线是没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点)C.不是“最远距离直线”D.是“最远距离直线”8.(2020∙云南师大附中月考)已知圆的方程为,过点的直线与圆相交的所有弦中,弦长最短的弦为,弦长最长的弦为,则四边形的面积为( )A.309.抛物线的焦点为,准线为,经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点,垂足为,则的面积是( )A.410.已知分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上一点,且为坐标原点,若,则椭圆的离心率为( )A.B.C.D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)11.(2020∙浙江丽水月考)已知,直线过点,若直线与线段总有公共点,则直线的斜率取值范围是,倾斜角的取值范围是 .12.(2020∙江苏苏州湾(吴江)外国语学校期末)已知直线,若直线与直线垂直,则的值为 ,动直线被圆截得的最短弦长为 .13.已知为椭圆的两个焦点,为上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为 .14.(2020∙山西师大附中高二月考)设为坐标原点,是以为焦点的抛物线上任意一点,是线段上的点,且,则直线的斜率的最大值为 .三、解答题(本大题共3小题,共30分)15.(10分)已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴上,且抛物线上有一点到焦点的距离为5.(1)该抛物线的方程;(2)已知抛物线上一点,过点作抛物线的两条弦和,判断直线是否过定点,并说明理由.16.(10分)(2020∙上海交大附中开学考试)已知直线和点.(1)直线上是否存在点,使得为直角三角形,若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由;(2)在直线上找一点,使得最大,求出点的坐标.17.(10分)已知椭圆上的点到右焦点的最大距离是,且.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于两点,线段的中垂线交轴于点,求实数的取值范围.答案解析:1.答案D解析:依题意可得,点在单位圆上,所以直线1与单位圆有交点,则圆心即原点到直线的距离,即.2.答案解析:据题意直线恒过定点,圆心,如图，当直线与垂直时,弦长最短,此时.3.答案C解析:由题可知,圆,整理得,圆心,半径,最短距离即和圆心关于轴对称的点的距离再减去半径的距离,所以.4.答案解析:依题意,,因为,由于,所以当时,,,所以;当时,,而,,所以.所以当时,;当时,.5.答案A解析:设,因为,由重心坐标公式得重心为,代入欧拉线方程得,①的中点为,所以的中垂线方程为,联立解得所以的外心为,则,化简得,②联立①②得或,当时,重合,舍去,所以顶点的坐标是.6.答案ACD解析:因为双曲线的方程为,所以1,则,因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,所以,即,若,则点的横坐标为;因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,所以抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为;因为,所以外接圆的圆心的横坐标为1,又因为外接圆与抛物线的准线相切,所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离等于半径,所以圆心在抛物线上且到准线的距离为3,所以,所以该外接圆面积为;因为的周长为.7.答案BCD解析:由题意可得,点到点的距离比到直线的距离小1,即等价于“点到点的距离等于到直线的距离”故点轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,其方程是;点的轨迹方程是抛物线,它与直线没有交点,即两者是没有交会的轨迹;要满足“最远距离直线”则必须满足与上述抛物线有交点,把代入抛物线,消去并整理得,因为0,无解,所以不是“最远距离直线”;把1代入抛物线,消去并整理得,因为,有解,所以是“最远距离直线”.8.答案解析:圆的标准方程为,即圆是以为圆心,5为半径的圆,且由,即点在圆内,则最短的弦是以为中点的弦,所以,所以,过最长的弦为直径,所以,且,故而.9.答案解析:如图,直线的斜率为时.∴为正三角形.设准线交轴于,则,且,∴.10.答案:A解析:由向量加法的平行四边形法则及可证得,从而在中易得到的关系,得离心率.如图,取中点,连接,则,∴.∵,∴∴.∵,不妨设,则,∴,又.11.答案: 解析:如图,若直线与线段总有公共点,则,即12.答案0或2,.解析:由题意,直线与直线垂直,如图,所以,解得或.动直线过定点,圆化为,圆心到直线的距离的最大值为,所以动直线被圆截得的最短弦长为.13.答案8解析:因为,所以.令,所以可得,,所以,所以,所以.14.答案解析:设,由题意,显然时不符合题意,故,则,可得:,当且仅当时取等号.15.解析:(1)求出抛物线的焦点坐标,结合题意列关于的等式求解,则抛物线方程可求.(2)由(1)求出的坐标,设出直线的方程,联立直线方程和抛物线方程,化为关于的一元二次方程后两点纵坐标的和与积,利用得到与的关系,进一步得到方程,由直线系方程可得直线所过定点.解:(1)由题意设抛物线方程为,其准线方程为,∵到焦点的距离等于到其准线的距离,∴抛物线的方程为.(2)由(1)可得点,可得直线的斜率不为0,设直线的方程为,联立得,则①.设,则.即,得,∴,即或,代入①式检验均满足,∴直线的方程为或.∴直线过定点,定点不满足题意,故舍去.16.解析:(1点,故,若直线上存在点,使得为直角三角形,设,则讨论以下三种情况:①若是斜边,则,即,所以,则,方程无解;②若是斜边,则,即,符合题意,此时;③若是斜边,则,即.所以.综上,若直线上存在点,使得为直角三角形,是斜边.(2)根据题意,过的圆与直线相切于时,最大.因为,所以延长线与直线相交于点,根据圆的性质,而,所以,故切点的坐标为,故,所以是等腰直角三角形,此时最大,为.17.解析:(1)根据椭圆上的点到右焦点的最大距离是,得到,再结合求解.(2)由(1)得,设直线的方程为与椭圆方程联立,结合韦达定理得到线段的中点为,当时,直线为轴,此时,当时,直线的方程为,将点坐标代入得到求解.解:(1)由已知可得解得所以椭圆的标准方程为.(2)由(1)得,设直线的方程为.与椭圆方程联立得消去,可得.,设,则,所以线段的中点为.①当时,直线为轴,此时.②当时,直线的方程为.化简得.将点坐标代入,得.所以.综上所述,实数的取值范围为.