高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册直线与圆锥曲线的位置关系教案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册直线与圆锥曲线的位置关系教案，共17页。教案主要包含了本节内容分析，学情整体分析，教学活动准备，教学活动设计等内容，欢迎下载使用。
直线与圆锥曲线的位置关系是圆锥曲线知识应用的重点内容,在学习了三大圆锥曲线之后,安排这一节课,旨在巩固曲线和方程的理论,并能熟练运用.同时有关圆锥曲线的问题,特别是直线与圆锥曲线的位置关系问题,也是解析几何中的主体内容,这些问题的解决既丰富了圆锥曲线知识,同时也有力地印证前面学习的直线与圆的位置关系所用的基本思想方法.因此在教学中应加强练习,使学生充分掌握这单元的知识和方法.在学习中使学生进一步体会数形结合的思想,形成用代数方法解决几何问题的能力,是巩固所学的圆锥曲线知识的好方法,具有相当重要的意义.另外,本部分的学习是通过由特殊到一般逐步展开的,可以进一步发展的学生观察、归纳、类比、概括等能力,发展有层次的思维及灵活处理问题的能力.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
二、学情整体分析
本节课之前已经学习了圆锥曲线,因此,学生比较熟悉这些曲线,而且,每一种曲线都有和直线位置关系的问题,加上之前又学习了建立平面直角坐标系求直线方程的方法,这些都为本节课的学习奠定了必要的基础.
同时,高二学生对高中数学学习的基本方法有了较好的体验和了解,具备了一定的观察、类比、归纳、概括、表达能力.通过三大圆锥曲线方程的学习,对坐标系下建立方程进行了反复训练,这些都为本节课的学习做了能力和方法上的准备.
当然,由于学生对直线与圆锥曲线的位置关系认识还不深刻,在探究知识的形成与方法的运用时可能会遇到一些困难,在教学中一定要时刻关注学生反馈的信息,循序渐进地开展教学.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.点与圆锥曲线的位置关系
2.直线与圆锥曲线的位置关系
3.直线交圆锥曲线的弦长
4.中点弦问题
【教学目标设计】
1.能用直线与圆锥曲线的位置关系有关知识,解决相关的数学问题与实际问题.
2.在探索直线与圆锥曲线的位置关系的过程中,学会运用数形结合的思想解决问题.
【教学策略设计】
新课程下的教学,力求知识的形成过程,为克服课堂时间不足,需要学生做好课前预习,在教师的引导下,学生已经具备一定探究与研究问题的能力.所以在设计问题时应考虑周全和灵活性,采用启发式、探索式等教学策略,师生共同探讨,共同研究,让学生积极思考,主动学习.在教学过程中采用讨论法,向学生提供具备启发式和思考性的问题.因此,要求学生在课上讨论,提高学生的探索、推理、想象、分析和总结归纳等方面的能力,使学生在问题的指引下、教师的指导下,把探究活动层层展开、步步深入,力求体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________
【教学重点难点】
重点 1.体会解决直线与圆锥曲线问题的步骤.
2.通过具体问题的解决归纳直线与圆锥曲线相交、相切、相离的定义,体会直线与圆锥曲线交点个数可转化为方程组的解.
3.了解直线与圆锥曲线位置关系中封闭曲线与不封闭曲线的差异.
4.理解圆锥曲线切线斜率的意义,为后续导数的学习提供基础.
5.体会直线与圆锥曲线的位置关系是后续复杂问题的突破口,体现了数形结合、函数与方程、分类讨论以及转化与化归的数学思想方法.
难点 1.圆锥曲线的定义在解题中的运用.
2.平面几何知识在解题中的简化功能.
3.根与系数的关系在解题中“设而不求”的意义.
4.曲线的几何特征与方程的代数特征的统一.
5.设点、设参数及参数方程在解题中的作用.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、_________________________________________
2.其他材料______________________________________________________
四、教学活动设计(课时建议:1课时)
教学导入
师:上本节课之前,请看一下下面的资料并回答问题.
【情境设置】
探究直线与圆锥曲线的位置关系
廊桥(如图),顾名思义,桥上建有廊屋的桥,以便过往的行人在桥上纳凉休息,躲避风雨日晒.江西省境内就保存着大量的古廊桥,这些古廊桥最早建于唐代,最晚建于清代末期,是我国重要的文化遗产.风雨廊桥、徽派建筑、青石小道勾勒出了独具韵味的古典美,犹如一幅恬静的水墨丹青画卷.这幅画卷不仅给大家带来艺术美的享受,里面还蕴含着建筑结构、几何图形等理性的知识.例如,桥洞的截面有的呈半圆形,有的呈方形,还有的呈抛物线形,如果把桥面的边沿和廊屋的立柱看成线段,同学们能在图中找出直线和抛物线的哪些位置关系？
【设计意图】
教师提出实际问题,激发学生的学习兴趣,由此引出课题.过渡自然,同时使学生在活动的过程中形成问题探究的意识,初步感受运用数形结合的方法研究几何问题的思想,为新课的展开创设良好的课堂环境.
生:相交、相切、相离.
师:那么,直线与椭圆、双曲线是否也有这样的位置关系？我们知道,通过直线的方程、圆的方程可以探讨直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系的问题,而且这些问题都可以转化为方程组的解的问题.
类似地,因为平面直角坐标系中的点在椭圆、双曲线、抛物线上的充要条件是点的坐标满足对应的方程,所以我们同样可以通过方程组的解的问题来探讨直线与这些曲线的位置关系的问题.
师:本节课我们将学习直线与圆锥曲线的位置关系.
探究1 点与圆锥曲线的位置关系
师:先看这样一道例题.
【典型例题】
探究点与圆锥曲线的位置关系
例1 已知点P(k,1),椭圆,点P在椭圆外,则实数k的取值范围为[___]
【以学定教】
在解决直线与圆锥曲线的位置关系时,充分利用圆锥曲线的几何性质,通过观察、讨论,归纳概括使问题简单化.学生在学习了直线与圆的位置关系的基础上,研究直线与圆维曲线的位置关系,进一步让学生感悟数形结合及方程思想的运用.
师:如何研究点与椭圆的位置关系？
生:可以从方程的角度去研究.
师:请同学们独立做题.
【学生自主学习,教师巡视教室后进行总结】
生解:依题意得,,解得或,故实数k的取值范围为.
师:在处理点与圆锥曲线的位置关系问题时,首先紧扣判定条件,然后转化为解不等式等问题,注意求解过程与结果的准确性.例如,对于椭圆来说,点P(x0,y0)与椭圆(a>b>0)的位置关系如下:
(1)点P在椭圆上⇔;
(2)点P在椭圆内部⇔;
(3)点P在椭圆外部⇔.
师:若将本例中点P坐标改为“P(1,k)”呢?
生解:依题意得,,解得,即或,故实数的取值范围为.
【猜想探究能力】
先从点与椭圆的位置关系入手,为以后直线和椭圆恒有交点作准备,也为直线与圆锥曲线的位置关系的方法奠定基础,体现数形结合及方程思想,巩固学生的猜想探究能力.
探究2 直线与圆锥曲线的位置关系
师:类比直线与圆的位置关系从几何角度看,直线与圆锥曲线的位置关系有哪些？
生:从几何角度看和直线与圆的位置关系相似,可分为三类:无公共点,有且只有一个公共点及有两个相异的公共点.
【教师在黑板上作图】
师:从代数角度看呢？
生:从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程,根据消元后所得方程解的情况来判断.
设直线l的方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆锥曲线方程为F(x,y)=0.
由,消元,消去y后得ax2+bx+c=0.
师:若a=0时,什么情况？
生:若a=0,ax2+bx+c=0为一次方程.
师:此时直线与圆锥曲线的位置关系如何？
生:当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行:当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合).
师:若a≠0,直线与圆锥曲线的位置关系如何？
生:需要考虑△=b2-4ac的正负.
若△>0,直线和圆锥曲线相交于不同两点;
若△=0,直线和圆锥曲线相切于一点;
若△0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点.
△=0时,直线和圆锥曲线相切于一点.
△b>0)与点P(b,0),过点P可作出该椭圆的一条切线.( )
(2)直线y=k(x-a)与椭圆(a>b>0)的位置关系是相交.( )
(3)若直线与抛物线只有一个交点,则该直线与抛物线相切.( )
生解:(1)×(2)√(3)×
师:椭圆与圆类似,是封闭曲线,能否用中心到直线的距离来判断直线与椭圆的位置关系？
生:不能.椭圆虽然与圆类似,但中心到椭圆上各点的距离不完全相等.
【以学定教】
通过巩固练习,帮助学生巩固直线与圆锥曲线的位置关系,发展学生的逻辑推理核心素养.
师:下面看教材例题.
【典型例题】
直线与圆锥曲线的位置关系
例2 判断直线y=2x-2与椭圆是否有公共点,如有,求出公共点的坐标,如公共点有两个,求出以这两个公共点为端点的线段长.
【观察记忆能力】
通过点在封闭的圆锥曲线内部,判定直线与圆锥曲线的位置关系,能够直观地确定直线与圆锥曲线相交,避免解方程的运算.也巩固了之前学习的点与椭圆的位置关系,很好地锻炼了学生的思维能力和观察记忆能力,提升了直观想象核心素养.
师:你认为应该怎样来判断直线与椭圆是否有公共点？如果有两个公共点,应该怎样求得对应线段的长？
生:联立直线与椭圆的方程,看方程组的解,如果有两个公共点,用两点间距离公式求线段长.
生解:联立直线与椭圆的方程,可得方程组
解方程组可得,或
因此直线与椭圆有两个公共点,且公共点的坐标为(0,-2),.
从而可得所求线段长为.
师:因为该直线恒过点(1,0),该点在椭圆的内部,故由图形可知,该直线与椭圆总相交.对于一些特殊位置的直线和椭圆,可以采用数形结合的方式来判断其位置关系.
【典型例题】
直线与圆锥曲线的位置关系
例3 判断直线l:y=x+1与双曲线C:x2-y2=1是否有公共点,如果有,求出公共点的坐标.
【深度学习】
本题通过判断,明确直线与圆锥曲线只有一个交点并不等价于相切.体现数形结合思想的运用,加深直线与圆锥曲线相交的理解.
【学生自主解题,教师点评】
生解:联立直线与双曲线的方程,可得方程组
消去y,可得x2-(x+1)2=1,由此可解得x=-1.此时,y=0.
因此直线与双曲线有一个公共点,且公共点的坐标为(-1,0).
师:如图所示是例3中的直线与双曲线,图中还作出了双曲线的渐近线.从图中可以看出,直线l与双曲线C相交于双曲线的左顶点.此时,虽然直线l与双曲线C只有一个公共点,但并不给人以“相切”的形象.一般地,给定直线l与曲线C(椭圆、双曲线、抛物线),如果联立它们的方程并消去一个未知数后,得到的是一个一元二次方程且该方程只有一个实数解(即有两个相等的实数解),则称直线与圆锥曲线相切.由定义可知,例3中的直线与双曲线不相切,而且可以看出,直线与圆、直线与椭圆只有一个公共点是直线与它们相切的充要条件;但直线与双曲线、直线与抛物线只有一个公共点不是直线与它们相切的充要条件.
师:有时直线与双曲线的位置关系,还可以通过直线与渐近线的位置关系来确定.
【以学定教】
通过具体的问题,帮助学生回顾学习过的直线与圆锥曲线的位置关系,同时利用数形结合、分类讨论、函数与方程的思想方法解决问题,培养学生知识迁移的能力.
【巩固练习】
直线与圆锥曲线的位置关系
已知直线l:kx-y+2-k=0,双曲线C:x2-4y2=4,当k为何值时,
(1)l与C无公共点;
(2)l与C有唯一公共点;
(3)l与C有两个不同的公共点？
【综合问题解决能力】
根据直线与双曲线的交点个数,求解直线方程中的参数,巩固学生解决直线与曲锥曲线位置的方法,提升综合问题解决能力.
师分析:直线与圆锥曲线的公共点的个数,就等于直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组的解的个数.因此本题可转化为方程组解的个数去判定,从而确定参数的取值.
生解:(1)将直线方程与双曲线方程联立,消去y得(1-4k2)x2-8k(2-k)x-4(k2-4k+5)=0.①
要使l与C无公共点,即方程①无实数解.
当l-4k2=0时,方程有解,不满足条件;
当l-4k2≠0,且△0,得-3