人教A版 (2019)必修 第二册平面向量的运算随堂练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册平面向量的运算随堂练习题，共6页。试卷主要包含了计算等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
6(a+b−c)−4(a−2b+c)−2(−2a+c)等于( )
A. 6a+2b+8c
B. 6a−14b
C. −2a−14b
D. 6a+2b
如图，在矩形ABCD中，点E为CD的中点，那么向量12AB+AD等于( )
A. AE
B. AC
C. DC
D. BC
如图，在△ABC中，AB=a，AC=b，DC=3BD，AE=2EC，则DE等于( )
A. −13a+34b
B. 512a−14b
C. 34a+13b
D. −34a+512b
已知在四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=−4a−b，CD=−5a−3b，则四边形ABCD为( )
A. 梯形
B. 正方形
C. 平行四边形
D. 矩形
已知e1，e2是两个不共线的向量，a=e1−2e2，b=2e1+ke2，若a与b是共线向量，则实数k的值为( )
A. 4
B. −4
C. 2
D. −2
二、多选题
已知实数m，n和向量a，b，下列结论中正确的是( )
A. m(a−b)=ma−mb
B. (m−n)a=ma−na
C. 若ma=mb，则a=b
D. 若ma=na，则m=n
已知向量a，b是两个非零向量，在下列条件中，一定能使a，b共线的是( )
A. 2a−3b=4e且2a+2b=−2e
B. 存在相异实数λ，μ，使λa−μb=0
C. xa+yb=0（其中实数x，y满足x+y=0）
D. 已知梯形ABCD中，AB=a，CD=b
在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点P。若AC=a，BD=b，则( )
A. OE=13b
B. OE=14b
C. AF=12a+14b
D. AF=23a+13b
三、填空题
若a=2b+c，则3(a+2b)−2(3b−c)−2(a+b)=______。
已知AP=34AB，PA=λPB，则实数λ=_____。
四、解答题
11.计算：
(1)12(a+2b)+14(3a−2b)−12(a−b)；
(2)15[(3a+2b)−23a−b]−76[12a+37(b+76a)]。
12.如图，在平行四边形OACB中，BD=13BC，OD与BA相交于点E。求证：BE=14BA。
一、单选题
1.答案：D
解析：
6(a+b−c)−4(a−2b+c)−2(−2a+c)=6a+6b−6c−4a+8b−4c+4a−2c= (6a−4a+4a)+(6b+8b)+(−6c−4c−2c)=6a+14b−12c=6a+2b
答案：A
解析：因为E为CD中点，所以DE=12DC，又DC=AB，12AB+AD=DE+AD=AE 。
答案：D
解析：因为DC=3BD，所以BD=14BC，AE=2EC，则AE=23AC。
DE=BE−BD=(AE−AB)−14(AC−AB)=(23AC−AB)−14(AC−AB)=−34AB+512AC=−34a+512b 。
答案：A
解析：AD=AB+BC+CD=(a+2b)+(−4a−b)+(−5a−3b)=−8a−2b=2(−4a−b)=2BC，所以AD∥BC且|AD|≠|BC|，四边形ABCD是梯形 。
答案：B
解析：因为a与b共线，所以存在实数λ，使a=λb，即e1−2e2=λ(2e1+ke2)，可得1=2λ−2=kλ，解得λ=12，k=−4 。
二、多选题
答案：AB
解析：根据向量数乘的分配律，A、B 选项正确；当m=0时，ma=mb，但a不一定等于b，C 错误；当a=0时，ma=na，m不一定等于n，D 错误 。
答案：AB
解析：A 选项中，联立方程可消去e得到a与b的线性关系，从而推出a，b共线；B 选项中，存在相异实数λ，μ使λa−μb=0，则a，b共线；C 选项中，当x=y=0时，不能推出a，b共线；D 选项中，梯形中AB与CD不一定共线 。
答案：BD
解析：因为E是OD中点，OD=12BD，所以OE=12OD=14BD=14b；AE=AO+OE=12AC+14BD=12a+14b，△ADE与△PBE相似，且DE:EB=1:3，所以AP=23AE，AF=AO+OF=AO+34OD=12AC+34×12BD=23a+13b 。
三、填空题
答案：a+2c
解析：
3(a+2b)−2(3b−c)−2(a+b)=3a+6b−6b+2c−2a−2b= (3a−2a)+(6b−6b−2b)+2c=a−2b+2c=a+2c
答案：−3
解析：因为AP=34AB，所以PA=−34AB，又AB=AP+PB，则PA=−34(AP+PB)=−34(−PA+PB)，解得PA=−3PB，所以λ=−3 。
四、解答题
解答：
(1)
12(a+2b)+14(3a−2b)−12(a−b)=12a+b+34a−12b−12a+12b= (12a+34a−12a)+(b−12b+12b)=34a+b
(2)
15[(3a+2b)−23a−b]−76[12a+37(b+76a)]=15(3a−23a+2b−b)−76(12a+37b+12a)=15(73a+b)−76(a+37b)=715a+15b−76a−12b= (715a−76a)+(15b−12b)= −2130a−310b= −710a−310b
证明：
设OA=a，OB=b，则BC=a，BD=13a，OD=OB+BD=b+13a 。
因为A，E，D共线，所以存在实数λ，使OE=λOD=λ(b+13a) ；
又因为B，E，A共线，所以存在实数μ，使OE=μOB+(1−μ)OA=μb+(1−μ)a 。
则λ(b+13a)=μb+(1−μ)a，可得13λ=1−μλ=μ，解得λ=μ=34 。
所以BE=OE−OB=34(b+13a)−b=14(a−b)=14BA，即BE=14BA 。