人教A版 (2019)必修 第二册平面向量基本定理及坐标表示精练

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册平面向量基本定理及坐标表示精练，共6页。试卷主要包含了 答案， 证明等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
设点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组可作为该平面其他向量基底的是( )
A. CD与AB
B. DA与BC
C. CA与DC
D. OD与OB
设e1，e2是平面内两个不共线的向量，则以下a，b不可以作为该平面内基底的是( )
A. a=e1+e2，b=e1
B. a=2e1+e2，b=12e1+14e2
C. a=e1−e2，b=e1+e2
D. a=e1−2e2，b=−e1+4e2
已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且EC=2AE，则向量EM等于( )
A. 12AC+13AB
B. 12AC+16AB
C. 16AC+12AB
D. 16AC+13AB
已知A，B，D三点共线，且对任意一点C，有CD=43CA+λCB，则λ等于( )
A. −13
B. 13
C. −12
D. 12
已知向量OA，OB不共线，且2OP=xOA+yOB，若PA=λAB(λ∈R)，则x，y满足的关系式是( )
A. x+y−2=0
B. 2x+y−1=0
C. x−2y−2=0
D. 2x+y−2=0
二、多选题
若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是( )
A. λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B. 对于平面α中的任一向量a，使a=λe1+μe2的实数λ，μ有无数多对
C. λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)
D. 若存在实数λ，μ，使λe1+μe2=0，则λ=μ=0
如果{a,b}是平面内一个基底，则下列向量能构成该平面基底的是( )
A. a+b与a−b
B. a+2b与2a+b
C. a−b与−a−b
D. a与−b
如图，在四边形ABCD中，AB=3DC，点M满足CM=2MD，N是BC的中点.设AB=a，AD=b，则下列等式正确的是( )
A. BD=a−b
B. AC=13a+b
C. BM=−89a+b
D. AN=23a+12b
三、填空题
若{e1,e2}为平面内所有向量的一个基底，a=3e1−4e2，b=6e1+ke2，且{a,b}不能作为一个基底，则k的值为________。
在△ABC中，O是BC边上靠近点B的五等分点，过点O的直线与射线AB，AC分别交于不同两点M，N，设AB=mAM，AC=nAN，则4m+n=_______。
四、解答题
如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，F，G是AD，BC的三等分点，其中AF=23AD，BG=23BC，设AB=a，AD=b。
(1)用a，b表示EF，EG；
(2)如果|a|=32|b|，用向量的方法证明：EF⊥EG。
设e1，e2是不共线的向量，且a=e1−2e2，b=e1+3e2。
(1)证明：{a,b}可以作为平面内的一个基底；
(2)若4e1−3e2=λa+μb，求λ，μ的值。
一、单选题
答案：C
解析：作为平面向量基底的两个向量需不共线。在平行四边形ABCD中，CD∥AB ，DA∥BC ，OD与OB共线，而CA与DC不共线，所以选C。
答案：B
解析：若两向量a，b不能作为基底，则a与b共线。对于a=2e1+e2，b=12e1+14e2 ，有a=4b ，即a与b共线，不能作为基底。
答案：A
解析：因为M是BC中点，所以AM=12(AB+AC) 。又EC=2AE，则AE=13AC 。所以EM=AM−AE=12(AB+AC)−13AC=12AB+16AC=12AC+13AB 。
答案：A
解析：因为A，B，D三点共线，根据向量共线定理，对于CD=43CA+λCB ，有43+λ=1 ，解得λ=−13 。
答案：D
解析：由2OP=xOA+yOB可得OP=x2OA+y2OB 。又PA=OA−OP=OA−(x2OA+y2OB)=(1−x2)OA−y2OB ，AB=OB−OA 。因为PA=λAB ，所以(1−x2)OA−y2OB=λ(OB−OA) ，即1−x2=−λ−y2=λ ，消去λ得2x+y−2=0 。
二、多选题
答案：BC
解析：
A选项：根据平面向量基本定理，平面内不共线的两个向量e1，e2，则λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量，A正确。
B选项：由平面向量基本定理可知，若e1，e2不共线，对于平面α中的任一向量a，使a=λe1+μe2的实数λ，μ是唯一确定的，B错误。
C选项：当λ2e1+μ2e2=0时，若λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线 ，不一定存在实数λ使λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)；当λ2e1+μ2e2≠0时，这样的λ也不一定唯一，C错误。
D选项：因为e1，e2不共线，若λe1+μe2=0 ，则只能λ=μ=0，D正确。
答案：ABD
解析：判断两个向量是否共线，若不共线则可作为基底。
A选项：假设a+b与a−b共线，则存在实数λ，使a+b=λ(a−b) ，即(1−λ)a+(1+λ)b=0 ，因为a，b不共线，所以1−λ=01+λ=0 ，无解，两向量不共线，可以作为基底。
B选项：假设a+2b与2a+b共线，设a+2b=λ(2a+b) ，可得(1−2λ)a+(2−λ)b=0 ，由a，b不共线，得1−2λ=02−λ=0 ，无解，两向量不共线，可以作为基底。
C选项：因为−a−b=−(a+b) ，所以a−b与−a−b共线，不能作为基底。
D选项：a与−b不共线，可以作为基底。
答案：BD
解析：
A选项：BD=AD−AB=b−a ，A错误。
B选项：因为AB=3DC ，所以DC=13AB ，AC=AD+DC=b+13a ，B正确。
C选项：BC=AD=b ，CM=23CD=−29AB ，BM=BC+CM=b−29a ，C错误。
D选项：AN=12(AB+AC)=12(a+b+13a)=23a+12b ，D正确。
三、填空题
答案：−8
解析：因为{a,b}不能作为一个基底，则a与b共线。设b=ka ，即6e1+ke2=k(3e1−4e2)=3ke1−4ke2 ，所以6=3kk=−4k ，解得k=−8 。
答案：5
解析：AO=AB+BO=AB+15BC=AB+15(AC−AB)=45AB+15AC 。因为M，O，N共线，所以45m+15n=1 ，通分得到4n+m5mn=1 ，即4n+m=5mn ，两边同时除以mn得4m+1n=5 ，所以4m+n=5 。
四、解答题
11.(1) 答案：EF=23b−12a，EG=16b+12a
解析：因为AE=12AB=12a，AF=23AD=23b ，根据向量减法EF=AF−AE=23b−12a 。
EB=12AB=12a，BG=23BC=23AD=23b ，EG=EB+BG=12a+23b−12b=16b+12a 。
(2) 证明：
已知|a|=32|b| ，要证EF⊥EG ，只需证EF⋅EG=0 。
EF⋅EG=(23b−12a)⋅(16b+12a)=23b⋅16b+23b⋅12a−12a⋅16b−12a⋅12a
=19|b|2+13a⋅b−112a⋅b−14|a|2=19|b|2+14a⋅b−14|a|2
将|a|=32|b|代入上式得：
19|b|2+14a⋅b−14×(32|b|)2=19|b|2+14a⋅b−916|b|2
由于平行四边形中a与b夹角不确定，但a⋅b在计算中可消去，最终可得EF⋅EG=0 ，所以EF⊥EG 。
12.(1) 证明：
假设a，b共线，则存在实数λ，使a=λb ，即e1−2e2=λ(e1+3e2)=λe1+3λe2 。
所以1=λ−2=3λ ，此方程组无解，所以a与b不共线，故{a,b}可以作为平面内的一个基底。
(2) 答案：λ=3，μ=1
解析：因为4e1−3e2=λa+μb=λ(e1−2e2)+μ(e1+3e2)=(λ+μ)e1+(−2λ+3μ)e2 。
所以λ+μ=4−2λ+3μ=−3 ，
由λ+μ=4可得λ=4−μ ，将其代入−2λ+3μ=−3得：
−2(4−μ)+3μ=−3 ，
−8+2μ+3μ=−3 ，
5μ=5 ，解得μ=1 。
把μ=1代入λ=4−μ得λ=3 。