高中数学人教A版 (2019)必修 第二册平面向量基本定理及坐标表示课时练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册平面向量基本定理及坐标表示课时练习，共5页。试卷主要包含了已知向量a=，b=，c=等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
已知向量a=(1,2)，b=(2,3)，c=(3,4)，且c=λ1a+λ2b，则λ1，λ2的值分别为( )
A. −2，1
B. 1，−2
C. 2，−1
D. −1，2
若三点A(4,3)，B(5,m)，C(6,n)在一条直线上，则下列式子一定正确的是( )
A. 2m−n=3
B. n−m=1
C. m=3，n=5
D. m−2n=3
下列选项中，与向量(1,2)平行的单位向量为( )
A. (4,2)
B. (−2,1)
C. (55,255)
D. (−255,−55)
已知向量a=(−6,1)，b=(7,−2)，且(a+mb)∥(3a−b)，则m等于( )
A. 13
B. −13
C. 3137
D. −3137
已知a=(1,2)，b=(3,4)，AB=a+5b，BC=−2a+8b，CD=3(a−b)，则( )
A. A，B，C三点共线
B. A，C，D三点共线
C. A，B，D三点共线
D. B，C，D三点共线
二、多选题
(多选)已知a=(1,2)，b=(3,0)，c=(5,4)，下列计算正确的是( )
A. c=2a+b
B. c=a+2b
C. a=12c−12b
D. b=12c−12a
(多选)下列向量中，与向量c=(2,3)不共线的向量的坐标为( )
A. (5,4)
B. (1,32)
C. (32,1)
D. (13,12)
(多选)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知OA=(−4,1)，OB=(8,−5)，若P是线段AB的三等分点，则点P的坐标是( )
A. (2,1)
B. (3,0)
C. (4,−1)
D. (5,−2)
三、填空题
设OA=(2,−1)，OB=(3,0)，OC=(m,3)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围是______。
已知A(2,4)，B(−4,6)，若AC=32AB，BD=43BA，则CD的坐标为______。
四、解答题
11.已知向量a=(3,4)，b=(1,2)，c=(−2,−2)。
(1)若a=mb+nc，求实数m，n的值；
(2)若(a+b)∥(b+kc)，求实数k的值，并判断此时a+b与b+kc是同向还是反向？
12.已知两点A(3,−4)，B(−9,2)，点P在直线AB上，且|AP|=13|AB|，求点P的坐标。
一、单选题
答案：D
解析：因为c=λ1a+λ2b=λ1(1,2)+λ2(2,3)=(λ1+2λ2,2λ1+3λ2)=(3,4)，所以λ1+2λ2=32λ1+3λ2=4，解得λ1=−1λ2=2。
答案：A
解析：因为三点A(4,3)，B(5,m)，C(6,n)在一条直线上，所以AB=λAC ，AB=(1,m−3)，AC=(2,n−3)，所以λ=12 ，则m−3=12(n−3)，即2m−n=3。
答案：C
解析：记向量a=(1,2)，|a|=12+22=5。与向量a方向相同的单位向量为a|a|=(55,255)；与向量a方向相反的单位向量为−a|a|=(−55,−255)，故C符合题意。
答案：B
解析：已知向量a=(−6,1)，b=(7,−2)，则a+mb=(−6+7m,1−2m)，3a−b=(−25,5)。因为(a+mb)∥(3a−b)，所以5(−6+7m)−(−25)(1−2m)=0，解得m=−13。
答案：C
解析：由题意知，AB=a+5b=(16,22)，BC=−2a+8b=(22,28)，CD=3(a−b)=(−6,−6)。则BD=BC+CD=(16,22)=AB ，所以AB∥BD，又AB与BD有公共点B，所以A，B，D三点共线。
二、多选题
答案：AC
解析：已知a=(1,2)，b=(3,0)，c=(5,4) 。2a+b=2(1,2)+(3,0)=(2+3,4+0)=(5,4)=c，故A正确；a+2b=(1,2)+2(3,0)=(1+6,2+0)=(7,2)≠c，故B错误；12c−12b=12(5−3,4−0)=(1,2)=a，故C正确；12c−12a=12(5−1,4−2)=(2,1)≠b，故D错误。
答案：AC
解析：对于向量c=(2,3)，若两向量(x,y)与c共线，则2y−3x=0 。对于A选项，2×4−3×5=8−15=−7≠0，故(5,4)与c=(2,3)不共线；对于B选项，2×32−3×1=3−3=0，故(1,32)与c=(2,3)共线；对于C选项，2×1−3×32=2−92=−52≠0，故(32,1)与c=(2,3)不共线；对于D选项，2×12−3×13=1−1=0，故(13,12)与c=(2,3)共线。所以不共线的是AC。
答案：AD
解析：已知OA=(−1,4)，OB=(8,−5)，则AB=OB−OA=(8−(−1),−5−4)=(9,−9)。设P(x,y)，则AP=(x+1,y−4)。因为P是线段AB的三等分点，所以AP=13AB或AP=23AB 。当AP=13AB时，x+1=13×9y−4=13×(−9)，解得x=2y=1 ；当AP=23AB时，x+1=23×9y−4=23×(−9)，解得x=5y=−2。即点P的坐标是(2,1)或(5,−2)。
三、填空题
答案：{m∣m≠6}
解析：因为A，B，C三点能构成三角形，所以AB，AC不共线 。AB=OB−OA=(3−2,0−(−1))=(1,1)，AC=OC−OA=(m−2,3−(−1))=(m−2,4)。若两向量共线，则1×4−1×(m−2)=0，解得m=6，所以m的取值范围是{m∣m≠6}。
答案：(11,−113)
解析：设C(x1,y1)，D(x2,y2) 。已知AC=32AB，AB=(−4−2,6−4)=(−6,2)，则(x1−2,y1−4)=32(−6,2)=(−9,3)，解得x1=−7，y1=7，即C(−7,7) 。又BD=43BA，BA=(2−(−4),4−6)=(6,−2)，则(x2+4,y2−6)=43(6,−2)=(8,−83)，解得x2=4，y2=103，即D(4,103) 。所以CD=(4−(−7),103−7)=(11,−113)。
四、解答题
答案：
(1) m=1，n=−1；
(2) k=12，a+b与b+kc方向相反。
解析：
(1) 已知a=(3,4)，b=(1,2)，c=(−2,−2)，且a=mb+nc，则(3,4)=m(1,2)+n(−2,−2)=(m−2n,2m−2n)，所以m−2n=32m−2n=4，用第二个方程减去第一个方程得：(2m−2n)−(m−2n)=4−3，即m=1，将m=1代入m−2n=3，得1−2n=3，解得n=−1。
(2) 因为a=(3,4)，b=(1,2)，c=(−2,−2)，所以a+b=(3+1,4+2)=(4,6)，b+kc=(1−2k,2−2k) 。又因为(a+b)∥(b+kc)，所以6(1−2k)=4(2−2k)，即6−12k=8−8k，移项可得−12k+8k=8−6，−4k=2，解得k=12 。此时b+kc=(1−2×12,2−2×12)=(−2,−3)，a+b=(4,6)=−2(−2,−3)，所以a+b与b+kc方向相反。
答案：点P的坐标为(−1,−2)或(7,−6)。
解析：设点P的坐标为(x,y)。
若点P在线段AB上，因为|AP|=13|AB|，所以AP=12PB 。AP=(x−3,y+4)，PB=(−9−x,2−y)，则(x−3,y+4)=12(−9−x,2−y)，即x−3=12(−9−x)y+4=12(2−y) 。解第一个方程：2(x−3)=−9−x，2x−6=−9−x，2x+x=−9+6，3x=−3，x=−1；解第二个方程：2(y+4)=2−y，2y+8=2−y，2y+y=2−8，3y=−6，y=−2，所以P(−1,−2)。
若点P在线段BA的延长线上，因为|AP|=13|AB|，所以AP=−12PB 。则(x−3,y+4)=−12(−9−x,2−y)，即x−3=−12(−9−x)y+4=−12(2−y) 。解第一个方程：2(x−3)=9+x，2x−6=9+x，2x−x=9+6，x=7；解第二个方程：2(y+4)=−(2−y)，2y+8=−2+y，2y−y=−2−8，y=−6，所以P(7,−6)。
综上，点P的坐标为(−1,−2)或(7,−6)。