高中数学人教A版 (2019)必修 第二册平面向量基本定理及坐标表示课后测评

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册平面向量基本定理及坐标表示课后测评，共6页。
一、单选题
已知a=(−1,2)，b=(2,3)，则(2a−b)⋅b等于（ ）
A. -5 B. 5 C. -6 D. 6
已知向量a=(1,−2)，b=(x,4)，且a∥b，则|a−b|等于（ ）
A. 53 B. 35 C. 25 D. 22
已知向量a=(3,1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a⋅b=3，则b等于（ ）
A. (32,12) B. (12,32) C. (14,334) D. (1,0)
平面向量a与b的夹角为60∘，a=(2,0)，|b|=1，则|a+2b|等于（ ）
A. 3 B. 23 C. 4 D. 12
已知向量a=(−2,m)，b=(1,−2)，c=(m+1,5)，若a⊥b，则a与b+c的夹角为（ ）
A. π4 B. 3π4 C. 2π3 D. π3
二、多选题
已知向量a=(2,1)，b=(x,2)，下列说法正确的是（ ）
A. 若a∥b，则x=4
B. 若a⊥b，则x=−1
C. 若|b|=5，则x=1
D. 若a⋅(a−b)=0，则x=32
已知向量a+b=(1,1)，a−b=(−3,1)，c=(1,1)，设a，b的夹角为θ，则（ ）
A. |a|=|b| B. a⊥c C. b∥c D. θ=135∘
在△ABC中，AB=(2,3)，AC=(1,k)，若△ABC是直角三角形，则k的值可能为（ ）
A. −23 B. 113 C. 3±132 D. 23
三、填空题
已知向量a=(m,3)，b=(1,m+1)。若a⊥b，则m=______。
已知向量a，b满足|a|=1，b=(−1,3)，|2a−b|=23，则a，b的夹角为______。
四、解答题
已知向量a与b同向，b=(1,2)，a⋅b=10，求：
(1) 向量a的坐标；
(2) 若c=(2,1)，求(a⋅c)b。
已知向量a=(1,2)，b=(x,1)。
(1) 若(a+2b)⊥(2a−b)，求x的值；
(2) 若向量a与向量b的夹角为锐角，求x的取值范围。
一、单选题
答案：A
解析：已知a=(−1,2)，b=(2,3) ，先计算2a−b：2a=2(−1,2)=(−2,4)，则2a−b=(−2−2,4−3)=(−4,1)。根据向量数量积坐标运算公式m⋅n=m1n1+m2n2（其中m=(m1,m2)，n=(n1,n2)），可得(2a−b)⋅b=(−4)×2+1×3=−8+3=−5 。
答案：B
解析：因为a∥b，根据两向量平行的坐标关系，若m=(m1,m2)，n=(n1,n2)平行，则m1n2−m2n1=0 ，所以1×4−(−2)×x=0，即4+2x=0，解得x=−2，则b=(−2,4) 。那么a−b=(1−(−2),−2−4)=(3,−6) 。再根据向量模长公式|m|=m12+m22，可得|a−b|=32+(−6)2=9+36=45=35 。
答案：B
解析：设b=(x,y) 。因为a⋅b=3，且a=(3,1)，根据向量数量积坐标运算公式可得3x+y=3 ①；又因为b是单位向量，所以|b|=1，由向量模长公式可得x2+y2=1 ②。联立①②，由①得y=3−3x，代入②得x2+(3−3x)2=1，展开得x2+3−6x+3x2=1，即4x2−6x+2=0，化简为2x2−3x+1=0，因式分解得(2x−1)(x−1)=0，解得x=12y=32或x=1y=0 。因为b是不平行于x轴的单位向量，所以y≠0，故b=(12,32) 。
答案：B
解析：已知a=(2,0)，则|a|=22+02=2 。根据向量数量积公式a⋅b=|a||b|csθ（θ为a与b夹角），已知夹角为60∘，|b|=1，可得a⋅b=2×1×cs⁡60∘=2×12=1 。求|a+2b|，先对其平方：|a+2b|2=(a+2b)2=a2+4a⋅b+4b2 ，a2=|a|2=22=4，b2=|b|2=12=1 ，所以|a+2b|2=4+4×1+4×1=12，则|a+2b|=12=23 。
答案：B
解析：因为a⊥b，根据向量垂直的坐标关系，若m=(m1,m2)，n=(n1,n2)垂直，则m⋅n=m1n1+m2n2=0 ，所以a⋅b=−2×1+m×(−2)=0，即−2−2m=0，解得m=−1 。则a=(−2,−1)，c=(−1+1,5)=(0,5)，b+c=(1+0,−2+5)=(1,3) 。设a与b+c的夹角为θ，根据向量夹角公式csθ=a⋅(b+c)|a||b+c| ，a⋅(b+c)=−2×1+(−1)×3=−2−3=−5 ，|a|=(−2)2+(−1)2=5，|b+c|=12+32=10 ，所以csθ=−55×10=−552=−22 。又因为θ∈[0,π]，所以θ=3π4 。
二、多选题
答案：ABD
解析：
A选项：若a∥b，根据两向量平行的坐标关系，若m=(m1,m2)，n=(n1,n2)平行，则m1n2−m2n1=0 ，所以2×2−1×x=0，即x=4，A正确。
B选项：若a⊥b，根据向量垂直的坐标关系，若m=(m1,m2)，n=(n1,n2)垂直，则m⋅n=m1n1+m2n2=0 ，所以2x+2=0，解得x=−1，B正确。
C选项：若|b|=5，由向量模长公式|b|=x2+22=5，两边平方得x2+4=5，即x2=1，解得x=±1，C错误。
D选项：a−b=(2−x,1−2)=(2−x,−1)，若a⋅(a−b)=0，则2(2−x)+1×(−1)=0，即4−2x−1=0，3−2x=0，解得x=32，D正确。
答案：BD
解析：已知a+b=(1,1)，a−b=(−3,1) ，联立方程组a+b=(1,1)a−b=(−3,1)，两式相加可得2a=(1−3,1+1)=(−2,2)，则a=(−1,1)；两式相减可得2b=(1−(−3),1−1)=(4,0)，则b=(2,0) 。
A选项：|a|=(−1)2+12=2，|b|=22+02=2，|a|≠|b|，A错误。
B选项：a=(−1,1)，c=(1,1)，a⋅c=−1×1+1×1=0，根据向量垂直的判定，若m⋅n=0，则m⊥n，所以a⊥c，B正确。
C选项：b=(2,0)，c=(1,1)，因为2×1−0×1=2≠0，根据两向量平行的判定，若m1n2−m2n1≠0，则两向量不平行，所以b与c不平行，C错误。
D选项：a=(−1,1)，b=(2,0)，a⋅b=−1×2+1×0=−2，|a|=2，|b|=2 ，根据向量夹角公式csθ=a⋅b|a||b|=−222=−22 ，又因为0∘≤θ≤180∘，所以θ=135∘，D正确。
答案：ABC
解析：已知AB=(2,3)，AC=(1,k)，则BC=AC−AB=(1−2,k−3)=(−1,k−3) 。
若∠A=90∘，则AB⋅AC=0，根据向量数量积坐标运算公式可得2×1+3×k=0，即2+3k=0，解得k=−23 。
若∠B=90∘，则AB⋅BC=0，即2×(−1)+3×(k−3)=0，−2+3k−9=0，3k=11，解得k=113 。
若∠C=90∘，则AC⋅BC=0，即1×(−1)+k(k−3)=0，−1+k2−3k=0，由一元二次方程求根公式x=−b±b2−4ac2a（这里a=1，b=−3，c=−1）可得k=3±(−3)2−4×1×(−1)2×1=3±132 。
所以k的值为−23或113或3±132，答案是ABC。
三、填空题
答案：−34
解析：因为a⊥b，根据向量垂直的坐标关系，若m=(m1,m2)，n=(n1,n2)垂直，则m⋅n=m1n1+m2n2=0 。所以a⋅b=m×1+3×(m+1)=0，展开得m+3m+3=0，即4m+3=0，解得m=−34 。
答案：2π3
解析：已知|2a−b|=23，对其两边平方得|2a−b|2=(2a−b)2=4a2−4a⋅b+b2=12 。因为|a|=1，所以a2=|a|2=1；又b=(−1,3)，则|b|=(−1)2+(3)2=1+3=2，b2=|b|2=4 。代入上式可得4×1−4a⋅b+4=12，化简得8−4a⋅b=12，−4a⋅b=4，a⋅b=−1 。设a，b的夹角为θ，θ∈[0,π]，根据向量数量积公式a⋅b=|a||b|cs⁡θ，可得csθ=a⋅b|a||b|=−11×2=−12 ，所以θ=2π3 。
四、解答题
答案：
(1) a=(2,4)；
(2) (a⋅c)b=(8,16)。
解析：
(1) 因为a与b同向，且b=(1,2)，所以可设a=λb=(λ,2λ)(λ>0) 。又因为a⋅b=10，根据向量数量积坐标运算公式可得λ×1+2λ×2=10，即λ+4λ=10，5λ=10，解得λ=2，所以a=(2,4) 。
(2) 已知a=(2,4)，c=(2,1)，先计算a⋅c，根据向量数量积坐标运算公式m⋅n=m1n1+m2n2，可得a⋅c=2×2+4×1=4+4=8。
那么(a⋅c)b=8(1,2)=(8×1,8×2)=(8,16)。
答案：
(1) x=−2或x=72；
(2) x的取值范围为(−2,12)∪(12,+∞)。
解析：
(1) 已知向量a=(1,2)，b=(x,1)。
则a+2b=(1,2)+2(x,1)=(1+2x,2+2)=(2x+1,4)，2a−b=2(1,2)−(x,1)=(2−x,4−1)=(2−x,3)。
因为(a+2b)⊥(2a−b)，根据向量垂直的性质，若两向量垂直，则它们的数量积为0，即(a+2b)⋅(2a−b)=0。
由向量数量积坐标运算公式可得(2x+1)(2−x)+4×3=0，展开式子得4x−2x2+2−x+12=0，整理得−2x2+3x+14=0，两边同时乘以−1得2x2−3x−14=0。
因式分解得(2x−7)(x+2)=0，则2x−7=0或x+2=0，解得x=72或x=−2。
(2) 因为向量a与向量b的夹角为锐角，所以a⋅b>0，且向量a与向量b不共线。
由a⋅b>0，根据向量数量积坐标运算公式可得1×x+2×1>0，即x+2>0，解得x>−2。
若向量a与向量b共线，则1×1−2×x=0，即1−2x=0，解得x=12，所以x≠12。
综上，x的取值范围为(−2,12)∪(12,+∞)。