高中人教A版 (2019)第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示达标测试

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课时素养检测

八　平面向量数乘运算的坐标表示

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.下列各组向量中,不能作为平面内所有的向量的基底的一组是 (　　)

A.a=(-1,2),b=(0,5)

B.a=(1,2),b=(2,1)

C.a=(2,-1),b=(3,4)

D.a=(-2,1),b=(4,-2)

【解析】选D.因为(-2)×(-2)-1×4=0,所以a与b共线,不能作为平面内向量的基底.

2.若=i+2j,=(3-x)i+(4-y)j(其中i,j的方向分别与x,y轴正方向相同且为单位向量).与共线,则x,y的值可能分别为              (　　)

A.1,2　  B.2,2   C.3,2　   D.2,4

【解析】选B.由题意知,=(1,2),=(3-x,4-y).

因为∥,所以4-y-2(3-x)=0,即2x-y-2=0.只有B选项,x=2,y=2代入满足.

【补偿训练】

设向量a,b满足|a|=2,b=(2,1),且a与b的方向相反,则a的坐标为 (　　)

A.(-4,-2)　　　 　 B.(3,4)

C.(4,2)     D.(-3,-4)

【解析】选A.因为b=(2,1),且a与b的方向相反,

所以设a=(2λ,λ)(λ<0).因为|a|=2,

所以4λ2+λ2=20,λ2=4,λ=-2.

所以a=(-4,-2).

3.若a=(x,2),b=,c=a+2b,d=2a-b,且c∥d,则c-2d等于 (　　)

A.    B.

C.(1,2)     D.(-1,-2)

【解析】选D.c=(x+1,4),d=,

因为3(x+1)=4,所以x=1.

所以c=(2,4),d=,c-2d=(-1,-2).

4.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c等于              (　　)

A.(1,-1)    B.(-1,1)

C.(-4,6)    D.(4,-6)

【解析】选D.因为4a,3b-2a,c对应的有向线段首尾相接能构成三角形,所以4a+3b-2a+c=0,故有c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).

5.已知向量a=(1,2),b=(0,1),设u=a+kb,v=2a-b,若u∥v,则实数k的值是(　　)

A.-   B.-   C.-   D.-

【解析】选B.v=2(1,2)-(0,1)=(2,3),u=(1,2)+k(0,1)=(1,2+k).因为u∥v,所以2(2+k)-1×3=0,解得k=-.

6.(多选题)下列向量组中,不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是              (　　)

A.e1=(0,0),e2=(1,-2)

B.e1=(-1,2),e2=(5,7)

C.e1=(3,5),e2=(6,10)

D.e1=(2,-3),e2=

【解析】选ACD.A中向量e1为零向量,所以e1∥e2;C中e1=e2,所以e1∥e2;D中e1=4e2,所以e1∥e2.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.已知A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),给出下列结论:

①直线OC与直线BA平行;

②+=;

③+=;

④=-2.

其中,正确结论的序号为________. 

【解析】①因为=(-2,1),=(2,-1),所以=-,又直线OC,BA不重合,所以直线OC∥BA,所以①正确;

②因为+=≠,所以②错误;

③因为+=(0,2)=,所以③正确;

④因为=(-4,0),-2=(0,2)-2(2,1)=(-4,0),所以④正确.

答案:①③④

【补偿训练】

　　　已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三点共线,则实数k的值是________. 

【解析】=-=(4-k,-7),

=-=(-2k,-2).

因为A,B,C三点共线,所以,共线,

所以-2×(4-k)=-7×(-2k),解得k=-.

答案:-

8.对于任意的两个向量m=(a,b),n=(c,d),规定运算“⊗”为m⊗n=(ac-bd,bc+ad),运算“⊕”为m⊕n=(a+c,b+d).设m=(p,q),若(1,2)⊗m=(5,0),则(1,2)⊕m等于________. 

【解析】由(1,2)⊗m=(5,0),可得

解得

所以(1,2)⊕m=(1,2)⊕(1,-2)=(2,0).

答案:(2,0)

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC与OB的交点P的坐标.

【解析】方法一:由O,P,B三点共线,可设=λ=(4λ,4λ),则=-=

(4λ-4,4λ),

=-=(-2,6).

由与共线得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,

解得λ=,

所以==(3,3),所以P点的坐标为(3,3).

方法二:设P(x,y),则=(x,y),因为=(4,4),且与共线,所以=,即x=y.又=(x-4,y),=(-2,6),且与共线,则得(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,所以P点的坐标为(3,3).

10.在△ABC中,已知点A(3,7),B(-2,5).若线段AC,BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标.

【解析】(1)若AC的中点在y轴上,则BC的中点在x轴上,设点C的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得=0,=0,所以x=-3,y=-5,即C点坐标为(-3,-5).

(2)若AC的中点在x轴上,则BC的中点在y轴上,则同理可得C点坐标为(2,-7).

综合(1)(2),知C点坐标为(-3,-5)或(2,-7).

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么 (　　)

A.k=1且c与d同向      B.k=1且c与d反向

C.k=-1且c与d同向   D.k=-1且c与d反向

【解析】选D.若c∥d,则c=λd,所以(k,1)=λ(1,-1),所以k=λ=-1,所以k=-1,且c与d反向.

2.已知点A(-1,1),点B(2,y),向量a=(1,2),若∥a,则实数y的值为  (　　)

A.5    B.6   C.7   D.8

【解析】选C.=(3,y-1),又∥a,所以(y-1)-2×3=0,解得y=7.

3.下列向量中,与向量c=(2,3)不共线的一个向量p= (　　)

A.(3,2)   B.   C.   D.

【解析】选A.因为向量c=(2,3),对于A,2×2-3×3=-5≠0,所以A中向量与c不共线.

【补偿训练】

　　　已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb与a-2b共线,则= (　　)

A.2　　　B.3　　　C.±2　　　D.-2

【解析】选D.向量a=(2,3),b=(-1,2),

则ma+nb=(2m-n,3m+2n),a-2b=(4,-1),

若ma+nb与a-2b共线,

所以-2m+n=12m+8n,

即14m=-7n,所以=-2.

4.(多选题)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四个顶点的坐标是              (　　)

A.(1,5)    B.(-3,-5)

C.(3,5)    D.(5,-5)

【解析】选ABD.设A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),

第四个顶点为D,①若这个平行四边形为▱ABCD,

则=,所以D(-3,-5);

②若这个平行四边形为▱ACDB,

则=,所以D(5,-5);

③若这个平行四边形为▱ACBD,

则=,所以D(1,5).

综上所述,D点坐标为(1,5)或(5,-5)或(-3,-5).

二、填空题(每小题5分,共20分)

5.设向量a=(1,2),b=(2,3).若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线,则λ=________. 

【解析】λa+b=(λ+2,2λ+3),

因为(λa+b)∥c,所以-7(λ+2)=-4(2λ+3)⇒λ=2.

答案:2

6.已知向量a=(-2,3),b∥a,向量b的起点为A(1,2),终点B在坐标轴上,则点B的坐标为________. 

【解析】由b∥a,可设b=λa=(-2λ,3λ).设B(x,y),

则=(x-1,y-2)=b.

由⇒

又B点在坐标轴上,则1-2λ=0或3λ+2=0,

所以B或.

答案:或

【补偿训练】

　　　已知向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,),若a-2b与c共线,则k=________. 

【解析】a-2b=(,3),根据a-2b与c共线,得3k=×,解得k=1.

答案:1

7.如图所示,在四边形ABCD中,已知A(2,6),B(6,4),C(5,0),D(1,0),则直线AC与BD的交点P的坐标为________. 

【解析】设P(x,y),则=(x-1,y),=(5,4),=(-3,6),=(4,0).

由B,P,D三点共线可得=λ=(5λ,4λ).

又因为=-=(5λ-4,4λ),由与共线得,(5λ-4)×6+12λ=0,解得λ=,

所以==,所以P的坐标为.

答案:

【补偿训练】

　　　已知A(-1,4),B(x,-2),若C(3,3)在直线AB上,则x=________. 

【解析】=(x+1,-6),=(4,-1),

因为∥,所以-(x+1)+24=0,

所以x=23.

答案:23

8.(双空题)已知a=(1,0),b=(2,1).当k=______时,ka-b与a+2b共线,若=2a+3b,=a+mb且A,B,C三点共线,则m=________. 

【解析】ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),

a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).

因为ka-b与a+2b共线,

所以2(k-2)-(-1)×5=0,得k=-.

方法一:因为A,B,C三点共线,所以=λ,λ∈R,

即2a+3b=λ(a+mb),所以解得m=.

方法二:=2a+3b=(8,3),

=a+mb=(2m+1,m),

因为A,B,C三点共线,所以∥,

故8m-3(2m+1)=0,m=.

答案:-　

三、解答题(每小题10分,共30分)

9.如图,已知四边形ABCD是正方形,∥,||=||,EC的延长线交BA的延长线于点F,求证:AF=AE.

【证明】建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,则A(-1,1),B(0,1),设点E的坐标为(x,y),

则=(x,y-1),=(1,-1).

因为∥,所以x×(-1)-1×(y-1)=0.　①

又||=||,所以x2+y2=2.　②

由①②联立,解得点E的坐标为.

设点F的坐标为(x′,1),

由=(x′,1)和=共线,

得x′-=0,所以x′=-(2+),

所以点F的坐标为(-2-,1).

所以=(-1-,0),=,

所以||=1+=||,即AF=AE.

10.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,-3-y).

(1)若点A,B,C不能构成三角形,求x,y满足的条件;

(2)若=2,求x,y的值.

【解析】(1)因为点A,B,C不能构成三角形,则A,B,C三点共线.

由=(3,-4),=(6,-3),

=(5-x,-3-y)得=(3,1),=(2-x,1-y),

所以3(1-y)=2-x.

所以x,y满足的条件为x-3y+1=0.

(2)=(-x-1,-y),

由=2得(2-x,1-y)=2(-x-1,-y),

所以

解得

11.如图,在▱OABP中,过点P的直线与线段OA,OB分别相交于点M,N,若=x,=y(0<x<1).

(1)求y=f(x)的解析式;

(2)令F(x)=+x,判断F(x)的单调性,并给出你的证明.

【解析】(1)==-,=-

=x-y,

=-=(-)-x

=-(1+x)+,

又∥,有x-y(1+x)=0,

即f(x)=(0<x<1).

(2)F(x)在(0,1)上为减函数.

证明如下:

由(1)得F(x)=+x=x++1(0<x<1),

设0<x1<x2<1,

则F(x1)-F(x2)=-

=(x1-x2)+

=(x1-x2)=(x1-x2),

由0<x1<x2<1,

得x1-x2<0,x1x2-1<0,x1x2>0,

得F(x1)-F(x2)>0,即F(x1)>F(x2).

所以F(x)在(0,1)上为减函数.

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