高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示练习

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导学案
地 位：
本节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）
第六章 平面向量及其应用
6.3.4平面向量的数乘运算的坐标表示
学习目标：
1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示，培养数学抽象的核心素养；
2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件，培养数学抽象的核心素养；
3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，提示数学运算的核心素养。
学习重难点：
1.重点：掌握两数乘向量的坐标运算法则，能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握三点共线的判断方法。
2.难点：理解用坐标表示两向量共线的条件。
自主预习：
本节所处教材的第 页.
复习——
共线向量定理：
向量的加减运算坐标表示：
预习——
向量数乘的坐标表示：
向量共线的坐标表示：
新课导学
学习探究
（一）新知导入
贝贝和晶晶同做一道数学题：“一人从A地到E地，依次经过B地、C地、D地，且相邻两地之间的距离均为502 km.问从A地到E地的行程有多少？”其解答方法是：
贝贝：502＋502＋502＋502＝1 004＋502＋502＝1 506＋502＝2 008(km).
晶晶：502×4＝2 008(km).
可以看出，晶晶的计算较简捷，乘法是加法的简便运算，构建了乘法运算体系后，给一类问题的解决带来了很大的方便.
2.探索交流，解决问题
【探究1】 当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？
【探究2】如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？
（二）平面向量数乘运算的坐标表示
1.【探究1】已知a＝(x，y)，你能得出2a、3a的坐标吗？
平面向量数乘运算的坐标表示：
已知a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝ ，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘以原来向量的 ．
【做一做】1.已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A.(－23，－12) B.(23，12)
C.(7，0) D.(－7，0)
2.已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝________.
2.【探究2】如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，根据共线向量定理，a与b共线时，存在唯一实数λ，使a＝λb，那么根据向量数乘运算的坐标表示，你能发现a与b的坐标之间的关系吗？
平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1))，b＝(x2，y2)，其中b≠0.向量a，b(b≠0)
共线的充要条件是 .
【辩一辩】1.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则eq \f(x1,y1)＝eq \f(x2,y2).( )
2.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y1－x2y2＝0，则a∥b.( )
3.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2－x2y1＝0，则a∥b.( )
【做一做】下列向量与a＝(1,3)共线的是( )
A．(1,2) B．(－1,3) C．(1，－3) D．(2,6)
2.已知向量a＝(－3,3)，b＝(3，x)，若a与b共线，则x等于( )
A．－3 B．3 C．1D．－1
3.中点坐标公式
若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2)，))此公式为线段P1P2的中点坐标公式.
【做一做】已知P(2，6)，Q(－4，0)，则PQ的中点坐标为________.
（三）典型例题
1.向量数乘运算的坐标表示
例1.已知向量a＝(1,2)，b＝(3，－4)，c＝(－2,6)，试求a＋3b,3a－2b＋eq \f(1,2)c.
【类题通法】向量坐标的线性运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量加、减及数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
【巩固练习1】（1）已知的坐标，求的坐标。
（2）若A、B、C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求 eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→)) 的坐标．
2.平面向量共线的坐标运算
例2.已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
【类题通法】根据向量共线求参数值的方法：
根据向量共线的条件求参数值的问题，一般有两种处理思路，一是利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．
【巩固练习2】（1）已知a＝（4，2），b＝（6，y），且a∥b，则y＝________.
（2）若a＝(eq \r(3)，cs α)，b＝(3，sin α)，且a∥b，则锐角α＝________.
3.向量共线的判定及解决点共线问题
例3.如果向量eq \(AB,\s\up6(→))＝i－2j，eq \(BC,\s\up6(→))＝i＋mj，其中i，j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值，使A，B，C三点共线．
【类题通法】三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：(1)证明向量平行；(2)证明两个向量有公共点．
【巩固练习3】如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，试建立适当的坐标系并用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
（四）操作演练 素养提升
1.设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)．若表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为( )
A．(2,6) B．(－2,6) C．(2，－6)D．(－2，－6)
2．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若a－2b与非零向量m a＋n b共线，则eq \f(m,n)等于( )
A．－2 B．2 C．－eq \f(1,2)D.eq \f(1,2)
3.已知两点M(3，－2)，N(－5，－1)，点P满足 eq \(MP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(MN,\s\up6(→)) ，则点P的坐标是________．
4.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ的值________．
课堂小结
通过这节课，你学到了什么知识？


在解决问题时，用到了哪些数学思想？



学习评价
【自我评价】 你完成本节导学案的情况为（ ）
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差
【导学案评价】 本节导学案难度如何（ ）
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差
【建议】 你对本节导学案的建议：

课后作业
完成教材：第33页 练习 第1，2，3,4,5题
第36 页 习题6.3 第5,6,7,8，12题