人教A版 (2019)选择性必修 第二册导数的概念及其意义精品教案

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5.1.2导数的概念及其几何意义
一、教材分析
导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念。牛顿从运动物体瞬时速度的刻画发明了导数，莱布尼茨则从曲线上某一点处的切线的斜率的刻画发明了导数。本质上都是解决了瞬时变化率的数学刻画问题，是对函数局部性质的精确量化分析。导数的本质是函数的瞬时变化率，即函数平均变化率的极限。导数定量刻画了函数的局部变化，是研究函数性质、解决增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等变化率问题的基本工具。
从微积分的知识体系上看，通常先研究极限及其运算，再用极限来定义导数。但在高中数学课程中，不专门安排极限的有关内容，因此不能直接用极限去定义导数。注意到导数是瞬时变化率的数学表达，而高台跳水运动员的速度和抛物线的切线的斜率是典型的变化率问题。通过这些特殊案例，由平均速度到瞬时速度，由割线的斜率到切线的斜率，就可以用直观的方式由平均变化率的极限引出瞬时变化率，进而建立导数的概念。
用平均速度逐渐逼近瞬时速度、用割线斜率逐渐逼近切线斜率，均渗透着极限的思想。从瞬时速度、切线的斜率这些特殊的瞬时变化率出发，再抽象出导数的概念，蕴含着从具体到抽象、由特殊到一般的思维方法与数学思想。导数的几何意义表明，函数在某点的导数是函数的图象在相应点的切线的斜率，渗透着数形结合、以直代曲的重要数学思想。
通过研究求瞬时速度和切线斜率的这两个例子，再现牛顿和莱布尼茨两位数学家的探索历程，渗透数学文化，激发学生学习数学的热情。极限是人们从微观层面认识世界变化规律的重要工具，由于导数是一种特殊的极限，其中自然蕴含着极限思想，所以导数是学生认识极限的窗口，其中呈现的动态逼近一个确定值的过程，可以培养学生的辩证思维，也有利于学生数学抽象、直观想象素养的发展。对导数几何意义的研究，有助于学生理解导数的意义，提升直观想象素养。同时，运用导数定义，求函数在某一点处的导数值，有助于发展学生的数学运算等素养。
二、学情分析
从学生认知层次上分析，主要有物理学习基础与数学学习基础两个方面。具体来说，物理学习基础方面，通过初中、高中物理的学习，学生学会用平均速度近似描述直线运动，对匀变速直线运动的瞬时速度也有一定的直观认识。数学学习基础方面，在高中学习无理指数幂时，学生对极限有一些直观、朴素的认识。在高中函数的学习中，借助函数图象，利用单调性定义、不等式、方程等知识，研究了基本初等函数的主要性质。这些认知基础，对本单元的学习都能起到积极的引领作用。
在本单元的教学中，学生可能遇到的学习障碍，可大致概括为如下“三难”：
一难：难在体会“极限思想”。学生在学习导数之前没有学习过极限，所以学习导数的过程实际上是学生体会极限思想的过程。而学生对极限思想的认识，不可能一蹴而就，需要从典型变化率实例开始，不断加以体会。因此，如何用平均速度的极限理解瞬时速度，用割线斜率的极限理解切线的斜率，并由此体会极限思想，这是第一个教学难点。
二难：难在抽象“导数概念”。导数的概念非常抽象。要抽象出导数概念，除了要体会极限思想，还要舍去“瞬时速度、切线的斜率”两个案例的具体背景，从思想方法和表达形式上归纳出共性。这是第二个教学难点。
三难：难在理解“导数符号”。导数概念的建立过程中，涉及一些全新的符号，如何正确理解这些符号的意义。这是第三个教学难点。
体会极限思想的关键，需要通过“高台跳水运动员的速度”和“抛物线切线的斜率”两个案例，让学生充分经历由“平均变化率”到“瞬时变化率”的全过程.具体来说，要从“数值”和“解析式”两个维度，观察平均速度和割线斜率的变化趋势，正确理解平均速度的极限就是瞬时速度，割线斜率的极限就是切线斜率.在这个过程中，帮助学生体会极限思想，这也是建立导数概念的关键.此外，还应在抽象概括导数的概念、得出导数的几何意义的过程中，以及在利用导数概念及其几何意义求导数、研究客观世界中的变化率问题时，让学生进一步体会极限思想.
抽象导数概念的关键在于以下两点：
①充分经历两个典型案例从平均变化率到瞬时变化率解决问题的过程，感悟解决问题的思想方法，明确结果形式.
②引导学生分析两个典型案例在解决问题的过程与方法、结果形式上的共同特征.具体来说，首先从两个具体案例中概括出平均变化率的概念，并用符号形式化地表示出来；然后进一步通过自变量的改变量趋于0的变化，观察平均变化率的数值变化和形式化后的变化趋势，建立导数的概念.
理解“导数符号”的关键在于，教学中要通过具体案例进行剖析，使学生不仅能正确理解这些符号，还能准确运用相关符号.
三、教学目标
（一）课程标准要求
①通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想。
②体会极限思想。
③通过函数图象直观理解导数的几何意义。
（二）课时目标要求
（1)从具体案例中抽象概括出函数平均变化率与导数的概念，并以此培养数学抽象素养.
（2)通过函数在某点的导数就是函数图象在该点的切线斜率的事实，揭示导数的几何意义，并由此加强直观想象素养的培养.
（3)通过求简单函数的导数，掌握由导数定义求函数导数的步骤，进一步体会极限思想，加强数学运算素养的培养.
四、重点难点
教学重点：从求瞬时速度和求曲线的切线斜率等问题中抽象概括出导数的概念，利用信息技术工具揭示导数的几何意义，并以此进一步体会极限思想.
教学难点：从求函数瞬时变化率的具体案例中抽象概括出导数的概念，理解导数就是特殊的“极限”.
五、教学过程
环节一：复习旧知，导入新课
前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率，这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，具有一致性。
问题1：请你梳理解决上述两类变化率问题的过程，在解决这两类问题时采用的思想方法具有一致性吗?结果的表示形式具有一致性吗?
师生活动：师生一起回顾上节课所学内容，总结如下：
运动物体在时刻的瞬时速度与附近的平均速度关系：
平均速度；
瞬时速度
函数一点处的切线斜率与点附近的割线斜率的关系
函数在点附近的割线斜率
函数在点处的切线斜率为
解决这两类问题时都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也有一样的表示形式．
下面我们用上述思想方法研究更一般的问题，开启今天的新课学习．
设计意图：对两个不同类型的典型实例进行属性分析、比较、综合，概括它们的共同本质特征得到本质属性，为抽象出导数概念作准备。
环节二：数学抽象，学习新知
问题2：你能运用上述思想方法研究函数的“变化率”吗?
师生活动：类比上述思想的本质：“平均变化率”逼近“瞬时变化率”，给出函数平均变化率的概念。
平均变化率的概念：
对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到．这时，的变化量为，的变化量为．我们把比值，即
叫做函数从到的平均变化率．
追问1：对于函数在处的瞬时变化率如何表示？
师生活动：注意到在“高台跳水运动员的速度”和“抛物线的切线的斜率”两个问题结果的形式，其瞬时变化率都是平均变化率的极限，即：
，①
且发现对于定义域中自变量的某个取值,①式都是一个确定的值.
追问2：如果是一般的函数，①是否也是一个唯一确定的值?若是，它有何意义?
师生活动：教师引导学生结合以下两个实例思考，并回答问题：
（1）设;
（2）设.
对于（1）中的，函数从到的平均变化率为：
，
平均变化率的极限，是一个唯一确定的值；
对于（2），函数从到的平均变化率为：
，
平均变化率的极限，不是一个唯一确定的值；
综上，通过对不同函数的探究发现，尽管对一些函数而言，①都是一个唯一确定的值，但并不是对所有函数，①都是一个唯一确定的值.
导数的概念：
如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数(derivative)(也称为瞬时变化率)，记作或，即
．
注：
①：是自变量在处的改变量，所以可正可负，但;是函数值的改变量，可以为0.
②：函数在某处的导数，就是在该处的函数值改变量与自变量改变量之比的极限，因此，它是一个常数而不是变量；
③：函数在处可导，是指当时，有极限，如果不存在极限，就说函数在处不可导，或说无导数.
设计意图：引导学生通过从特殊到一般的数学思维活动，归纳、概括出导数的概念，发展学生的数学抽象素养.
问题3：让我们应用导数的概念，再来重温两个情境.如何用导数表示运动员在时的瞬时速度？如何用导数表示抛物线在点处的切线的斜率？它们的意义是什么？
师生活动：根据导数的概念，解释上节课中的两个具体情景的相关问题。
由导数的定义可知，
在高台跳水运动员的速度的情景中，运动员在时的瞬时速度，就是函数在处的导数；
在抛物线的切线斜率的情景中，抛物线在点处的切线的斜率，就是函数在处的导数．
实际上，导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率，如效率、交变电流、比热容等．
环节三：根据新知，简单应用
例1：设，求．
解：先计算附近的平均变化率：
故，根据导数的定义，
．
方法规律总结：由导数的定义求函数在处的导数的方法
第一步：求函数的增量；
第二步：求平均变化率
第三步：求极限得导数值.
变式训练:
利用导数的定义，求函数在处的导数.
解：
所以
所以，.
例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．已知在第时，原油的温度(单位：)为．计算第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是和．
根据导数的定义，
所以．
同理可得． = 1 \* GB3 ①（请同学们自己完成具体运算过程．）
在第6h时，，
所以．
在第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为与，说明在第2h附近，原油温度大约以的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以的速率上升．
一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况．
例3一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设时汽车的速度(单位：m/s)为，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义．
分析：瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率．因此，在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为，．
解析：在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度就是和．
根据导数的定义，
所以．
同理可得．
在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为与．
说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加，在第附近，汽车的速度每秒大约减少．
环节四：创设情景，学习新知
我们知道，导数表示函数在处的瞬时变化率，反映了函数在附近的变化情况．那么导数的几何意义是什么？
问题4:利用解析几何的知识，观察函数的图象(如图5.1-3),你能发现平均变化率示的几何意义吗?
师生活动:教师引导学生从图象直观的角度看，函数的平均变化率就是割线的斜率.
设计意图:将第2课时中求抛物线的切线的斜率这一变化率问题的过程与方法推广到一般情形.为学生再次经历由平均变化率过渡到瞬时变化率，探究导数的几何意义作铺垫.
追问1：回顾抛物线的中点处的切线与割线的之间的关系，你认为应如何定义曲线在点处的切线?
师生活动：引导学生类比抛物线的切线的研究过程，得出：为了研究曲线在点处的切线，可以在点的附近任取一点考察曲线的割线的变化情况.
教师可以利用信息技术工具，观察当点沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势得到曲线的切线定义.
如图5.1-4，在曲线上任取一点，如果当点沿着曲线无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线称为曲线在点处的切线（tangent line）．
追问2：类似于平均变化率的几何意义为割线的斜率，瞬时变化率的几何意义是什么？
与问题2中抛物线的割线和切线之间关系类似，由于割线的斜率为
.
记，当点沿着曲线无限趋近于点时，即当时，无限趋近于函数在处的导数．因此，函数在处的导数就是切线的斜率，即，这就导数的几何意义．
继续观察图5.1-4，可以发现点处的切线比任何一条割线更贴近点附近的曲线．进一步地，利用信息技术工具将点附近的曲线不断放大(图5.1-5)，

可以发现点附近的曲线越来越接近于直线．因此，在点附近，曲线可以用点处的切线近似代替．
数学上常用简单的对象刻画复杂的对象，例如，用有理数3.1416近似代替无理数，这里，我们用曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线，这是微积分中重要的思想方法——以直代曲.
问题5：对于函数,对于中的任意一个都是一个唯一确定的数.由求函数在处导数的过程，对于与之间的关系，你有什么认识?
师生活动：学生独立思考，小组交流、作答，再进行全班讨论，教师帮助学生总结得出：从求函数在处导数的过程可以看到，当时，是一个确定的数.这样，当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数(简称导数).的导函数有时也记作,即
教师讲解：由导数的意义可知，它也是一个函数，导函数的每一个取值都给出了原函数在此点处的变化率.所以，对导函数性质的研究可以使我们清楚地把握原函数的变化规律.
设计意图:通过从特殊到一般的推广，在函数一般概念的统领下，认识导数也是一个函数，它与原函数存在内在联系，并通过教师引导，知道对导函数的研究是后续的一个非常重要的课题。
环节五：根据新知，简单应用
例4 图5.1-6是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象．根据图象，请描述，比较曲线在，，附近的变化情况．
为使横轴中各点明确区分，本图坐标系中横、纵轴的单位长度选取不一致．
解：我们用曲线在，，处的切线斜率，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况．（1）当时，曲线在处的切线平行于轴，．这时，在附近线比较平坦，几乎没有升降．
（2）当时，曲线在处的切线的斜率．这时，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．
（3）当时，曲线在处的切线的斜率．这时，在附近曲线下降，即函数在附近也单调递减．从图5.1-6可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降得缓慢．
例5 图5.1-7是人体血管中药物浓度(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化的函数图象．根据图象，估计，，，时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)．
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度在此时刻的导数，从图象上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率．
如图5.1-7．画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．
作处的切线，并在切线上取两点，如，，
则该切线的斜率，所以．
表5.1-3给出另外药物浓度的瞬时变化率的估计值．
环节六：新知再认识，能力提升
题型一：导数概念的应用
例：已知在处的导数，求下列各式的值：
（1） ；（2）
【详解】
（1）由导数的定义得：
所以，，
（2）由题意，，
因为，所以.
规律方法：
由导数的定义可知，若函数在处可导，则，它仅与有关，与无关，因此使用导数的定义时要明确公式的形式，当分子为时，分母也应该是(1－Δx)－1，要注意公式的变形.
变式训练：
1. 已知函数在处的导数为，则 .
【答案】4
【详解】根据题意，函数在处的导数，
则，
故答案为：4
2. 已知，则函数在处的导数为（ ）
A．B．3C．D．6
【答案】D
【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可.
【详解】根据题意，设函数在处的导数为.
因为，则，
即，所以. 故选：D
题型二：导数几何意义的图象问题
例：1.已知函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由导数的几何意义判断斜率大小，可知. 故选：C
2．若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据导数的几何意义判断即可.
【详解】因为函数的导函数在区间上是增函数，
即在区间上，函数各点处的斜率k是递增的，
由图知选BCD．故选：BCD.
方法规律：
导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数的大小可以根据函数图象，观察对应切线的斜率的大小.
变式训练：
1．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】结合图形，利用曲线上两点所在直线的斜率和过两点的切线斜率的比较即可得到.
【详解】

如图，设函数的图象上有两点，经过点的切线分别为,
则直线的斜率依次为，
由图知直线的倾斜角满足，，
因函数在上递增，故，
即. 故选：B.
2．如图，直线是曲线在处的切线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据两点斜率公式可得，即可由导数的几何意义求解.
【详解】由图可知：直线与相切于，且经过，
故，因此，故选：A
题型三：曲线的切线方程问题
例：1.已知曲线，求：
(1)的导数；(2)曲线在点处的切线方程.
解:（1）；
故；
则．
故．
（2）切线的斜率为函数在处的导数，又，
所以曲线在点的切线方程为，即.
2.求曲线过点的切线方程.
【答案】或
【详解】，
因为点不在曲线上，
所以设切线的切点是，则切线的斜率，
又切线过点和，所以，
所以，
化简得，
因为，所以或.
所以，或，
所以所求切线方程是或，
即或.
故答案为：或.
方法规律：
1．求曲线在点处的切线方程的步骤
(1)求函数在处的导数，即切线的斜率；
(2)根据直线方程的点斜式可得切线方程为．
2．运用导数的几何意义解决切线问题时，一定要注意所给的点是否在曲线上．若点在曲线上，则该点的导数值就是该点处的切线的斜率；若点不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程
变式训练：
已知曲线．
(1)曲线在点处的切线方程；
(2)曲线过点的切线方程．
（参考数据：）
【详解】先求函数的导函数，
（1）因为在曲线上，且，
∴在点处的切线的斜率k==4.
∴曲线在点处的切线方程为即
所以所求的切线方程为
（2）设曲线与过点的切线相切于点)，
则切线的斜率=，
∴切线方程为，
∵点在切线上，∴，即,
∴，即 ，
解得或，
∴所求的切线方程是或.
环节七：凝练升华，课堂小结
问题环节六归纳总结,反思提升
问题:请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
(1)导数的概念建立过程是怎样的?其中蕴含了哪些思想方法?
(2)什么是导数?导数的本质是什么?由此你能说说导数在研究变化率问题时的作用吗?
(3)用导数的定义求函数在处的导数的基本步骤是什么?
(4)导数的几何意义是什么?你能谈谈其在解决数学问题和客观世界中的变化率问题时的作用吗?
师生活动 学生独立思考、小组交流后，学生代表发言，教师引导完善.
设计意图：通过小结本单元学习内容，梳理导数概念的建构过程，明确导数的研究对象是变化率问 题，研究的方法是用“运动变化的观点”和“极限思想”,实现从平均变化率到瞬时变化率的过渡，让学生加 深对导数的内涵与思想的理解，进一步体会极限思想.通过对导数的几何意义的梳理，进一步体会“以直 代曲”、数形结合的思想方法.
环节八：布置作业，应用迁移
巩固作业：教科书第69-70页练习第1、2、3、4题，P71页习题5.1第4、11题.
巩固作业答案：
练习（第69页）
1．根据图，描述曲线在，附近增(减)以及增(减)快慢的情况．
1．【解析】曲线在，附近都递增，且在附近比在附近增加得快．
2．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．【答案】A
3．求曲线在点处的切线方程．
3．【解析】由题意得，切线斜率，
∴切线方程为，即．
4．吹气球时，气球的半径(单位：)与体积(单位：L)之间的函数关系是．利用信息技术工具，画出时函数的图象，并根据其图象估计，时，与球的瞬时膨胀率．
4．【解析】函数图象如下所示：
，则，，
教材70页习题5.1
4．已知车轮旋转的角度(单位：)与时间(单位：)之间的关系为．求车轮转动开始后第时的瞬时角速度．
【解析】车轮转动开始后第时的瞬时角速度
5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（ ）
5．【答案】C
6．如图，试描述函数在附近的变化情况．
【解析】由图可知：
函数在处的斜率，曲线上升，即函数值在附近单调递增；
函数在处的斜率，曲线上升，即函数值在附近单调递增；
函数在处的斜率，即函数值在附近几乎没有变化；
函数在处的斜率，曲线下降，即函数值在附近单调递减；
函数在处的斜率，曲线下降，即函数值在附近单调递减．
8．一个质量为的物体做直线运动，设位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为
，并且物体的动能．求物体开始运动后第时的动能．
8．【解析】该质点在秒的瞬时速度为，
所以物体开始运动后第5 s时的动能为．
9．根据下面的文字叙述，画出相应的路程关于时间的函数图象的大致形状．
（1）汽车在笔直的公路上匀速行驶；
（2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶；
（3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶．
9．【解析】
（1）汽车在笔直的公路上匀速行驶，则路程关于时间的函数图象如下图所示：
（2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶，则路程关于时间的函数图象如下图所示：
（3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶，则路程关于时间的函数图象如下图所示：
10．已知函数的图象，试画出其导函数图象的大致形状．
10．【解析】
（1）；（2）；（3）．
11．在高台跳水运动中，时运动员的重心相对于水面的高度（单位：）是．高度关于时间的导数是速度，速度关于时间的导数的物理意义是什么？试求、关于时间的函数解析式．
【解析】速度关于时间的导数的物理意义是加速度．
，
加速度．
12．根据下列条件，分别画出函数的图象在这点附近的大致形状：
（1），；（2），；（3），．
【解析】
环节九板书设计
5.1.2 导数的概念及其几何意义
1.导数的概念
例1.
2. 导数的几何意义
3.导函数的概念 例2
表5.1-3
0.2
0.4
0.6
0.8
药物浓度的瞬时变化率
0.4
0
－0.7
－1.4