初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）加减消元法习题

这是一份初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）加减消元法习题，共12页。
【知识点1 二元一次方程（组）的概念】
1、二元一次方程
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
【题型1 二元一次方程（组）的概念辨析】
【例1】下列方程组中，二元一次方程组有（ ）
①4x+y=2x−2y=−3；②2x−y=1y+z=1；③x=3y−5=0；④x−2y2=3x+3y=1．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式1-1】下列方程中，是二元一次方程的为（ ）
A．3x+2=−7B．x+3=5yC．1x−yD．23xy=1
【变式1-2】若mx−3y=2x−7是关于x,y的二元一次方程，则m满足的条件是（ ）
A．m≠0B．m≠2C．m≠−1D．m≠3
【知识点2 二元一次方程（组）的解】
二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
【题型2 根据二元一次方程（组）的解求字母的值】
【例2】若x=3y=2是关于x，y的二元一次方程ax+by=17的解，其中a，b是正整数，则a+b的可能取值为（ ）
A．4B．5C．7D．9
【变式2-1】关于x，y的方程组2x−y=mx+my=n的解是x=1y=3，则m+n的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式2-2】若二元一次方程组2x−y=−2018−x+2y=−2017的解为x=ay=b，则a＋b的值为 ．
【知识点3 二元一次方程组的解法】
1.代入消元法
①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来；
②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值；
⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解.
2.加减消元法
①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等；
②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，
⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解.
【题型3 二元一次方程组的一般解法】
【例3】解方程组：
(1)2x+y=4x=y−1； (2)3x−y=135x+2y=7．
【变式3-1】解方程组：①x=2y3x−5y=9②4x−2y=73x+2y=10③4x+5y=92x−3y=7④x+y=03x−4y=1比较适宜的方法是（ ）
A．①②用代入法，③④用加减法B．①③用代入法，②④用加减法
C．②③用代入法，①④用加减法D．①④用代入法，②③用加减法
【变式3-2】下面是小希同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程组：x+3y=1, ①3x+y=−5. ②
现有两种思路，思路一：第一步将①转化为用含y的代数式表示x，得到方程③；第二步将③代入②，可消去未知数x．
思路二：第一步给①×3，得到方程③；第二步用③−②，可消去未知数x．
任务：
(1)我选择思路_____，该思路解二元一次方程组的方法为____________________；
(2)按（1）中选择的思路，完成此方程组的解题过程；
(3)上述解二元一次方程组过程中体现的数学思想是_____________________．
A．转化 B．公理化 C．演绎 D．数形结合
【题型4 换元法解二元一次方程组】
【例4】先阅读，再解方程组．
解方程组x−y−1=0①4(x−y)−y=5②时，可由①得x−y=1③，然后再将③代入②，得4×1−y=5，
解得y=−1，从而进一步得x=0y=−1这种方法被称为“整体代入法”．
请用上述方法解方程组2x−3y+2=05−2x+3y7+2y=9
【变式4-1】综合与实践
问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：4x+3y3+6x−y8=84x+3y6+6x−y2=11．
观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的(4x+3y)看成一个整体，把(6x−y)看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
设4x+3y=m，6x−y=n，则原方程组可化为__________，解关于m，n的方程组，得m=18n=16，
所以4x+3y=186x−y=16，解方程组，得__________．
探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：32x+y−2x−2y=2622x+y+3x−2y=13．
【变式4-2】阅读材料：解方程组x−y−5=0①3x−y+2y=9②时，可由①得x−y=5③，然后再将③代入②，得3×5+2y=9，解得y=−3，将y=−3代入①可求得x=2，从而求得方程组的解为x=2y=−3，这种解方程组的方法被称为“整体代入法”．
利用上述方法解方程组：3x+y+1=03x+y−67+2y=7．
【题型5 判断二元一次方程组的解的情况】
【例5】k、b为何值时，关于x、y方程组y=kx+by=3k−1x+2有唯一解？无解？有无数解？
【变式5-1】如果关于x，y的方程组x+y=1ax+by=c有唯一的一组解，那么a,b,c的值应满足的条件是( )
A．a≠bB．b≠cC．a≠cD．a≠c且c≠1
【变式5-2】若方程组y=kx+by=3k−1x+2有无穷多组解，则2k+b2的值为
【变式5-3】已知关于x、y的二元一次方程组3x+5y=63x+ky=10给出下列结论：当k=5时，此方程组无解；若此方程组的解也是方程6x+15y=16的解，则k=10；无论整数k取何值，此方程组一定无整数解（x、y均为整数），其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【题型6 已知一个方程组的解求另一个方程组的解】
【例6】已知关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=2y=−1，则关于x，y的方程组a1(x+2022)+b1(y−2022)=c1a2(x+2022)+b2(y−2022)=c2的解是 ．
【变式6-1】若方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=−6y=4，则关于x，y的方程组3a1x+4b1y=5c13a2x+4b2y=5c2的解是 ．
【变式6-2】若关于x，y的方程组4x+1+3ax−2y=16−bx+1+2x−2y=15（a，b是常数）的解为x=3y=5，则方程组4x+3ay=16−bx+2y=15的解为（ ）
A．x=4y=−7B．x=2y=−7C．x=2y=−4D．x=4y=−4
【题型7 同解方程组中求字母的值】
【例7】已知方程组5x+y=3px+5y=4和x−2y=55x+qy=1有相同的解，则p，q的值为（ ）
A．p=1q=2B．p=−4q=−6C．p=−6q=2D．p=14q=2
【变式7-1】若关于x，y的二元一次方程组ax+3y=74x+y=9和−x+5y=35x+by=8同解，则a+b= ．
【变式7-2】已知关于x，y的方程组mx+2ny=4x+y=1与x−y=3nx+m−1y=3有相同的解，
(1)求这个相同的解；
(2)求m、n的值；
(3)小明同学说，无论a取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程(3+a)x+(2a+1)y=5的解，这句话对吗？请你说明理由．
【题型8 二元一次方程有唯一解】
【例8】已知关于x，y的二元一次方程(a−2)x+(a+1)y+8−a=0．无论a取什么值时，方程都有一个公共的解，则这个公共解是（ ）
A．x=3y=−2B．x=2y=−1C．x=4y=6D．x=4y=−9
【变式8-1】已知关于x，y的二元一次方程(3a+2)x−(2a−3)y−11−10a=0，无论a取何值，方程都有一个固定的解，则这个固定解为 ．
【变式8-2】无论k取何值，等式（2x+3y-1）-2k（-4y+x+16）=0恒成立，则x，y要满足的条件是 ．
【题型9 二元一次方程组的错解和遮挡问题】
【例9】马虎的小李同学在解方程组y=kx+by=2x−1的过程中，错把b看成了8，他的其他解答过程没有错，解得此方程组的解为x=1y=1；而粗心的小杨同学把方程组抄成了y=kx+by=2x+1，他的其他解答过程也没有错，解得此方程组的解为x=3y=7，则题目中的b= ．
【变式9-1】小刚解出了方程组3x−y=32x+y=Δ的解为x=4y=□．因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了方程组和解中的两个数，则Δ、□分别为 ．
【变式9-2】已知▲x+•y=1□x−7y=1是一个被墨水污染的方程组．圆圆说：“这个方程组的解是x=3y=−1，而我由于看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是x=−2y=1．”请你根据以上信息，把方程组复原出来．
【题型10 二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】
【例10】若方程组3x−y=4k−102x+6y=k的解满足x+y=2022，则k等于 ．
【变式10-1】若关于x、y的方程组2x+y=1−3k①x+2y=2②的解互为相反数，则k的值为（ ）
A．k=−1B．k=0C．k=1D．k=2
【变式10-2】已知关于x,y的方程3x−2y=2k+1和y−2x=4的公共解满足x−y=3，则 k= ．
导学二：三元一次方程组的解法
【知识点 三元一次方程组及解法】
1．三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程组，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的的定义进行判断．
2．解三元一次方程组的基本思想是消元，通过代入或加减消，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题．
3．当三元一次方程组中出现比例式时，可采用换元法解方程组．
【题型1 三元一次方程（组）的解】
【例1】三元一次方程x+y+z=5的正整数解有（ ）
A．2组B．4组C．6组D．8组
【变式1-1】方程组3x−y=52x+y−z=04ax+5by−z=−22与方程组ax−by+z=8x+y+5z=c2x+3y=−4有相同的解，则a、b、c的值为（ ）
A．a=−2b=−3c=1B．a=−2b=3c=1C．a=2b=−3c=−1D．a=2b=3c=−1
【题型2 用消元法解三元一次方程组】
【例2】《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如对于方程组，3x+2y+z=39①2x+3y+z=34②x+2y+3z=26③，先将方程①中的未知数系数排成数列32139，然后执行如下步骤：（如图）第一步，将方程②中的未知数系数乘以3，然后不断地减一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．
方程①：32139
第一步方程②：23134→693102⋯⋯→051a
第二步方程③：12326→M⋯⋯→0b839
其实以上步骤的本质就是在消元，根据以上操作，有下列结论：（1）数列M为：369618（2）a＝24（3）b＝4其中正确的有（ ）
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（3）D．（1）（2）（3）
【变式2-1】有理数x、y、z满足x−y+2z=1x+y+4z=3，则x+2y+5z的值是（ ）
A．−4B．3C．4D．值不能确定
【变式2-2】解方程组a+b+c=63a−b+c=42a+3b−c=12．
【变式2-3】实数x,y,z满足3x+7y+z=1,4x+10y+z=2018．则x+3y2017x+2017y+2017z= ．
【题型3 用换元法解三元一次方程组】
【例3】已知x，y，z满足x+43=y+32=z+84，且x−2y+z=12，则x= ．
【变式3-1】若x+y+z≠0且2y+zx=2x+yz=2z+xy=k，则k的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式3-2】解方程组：x−43=y+14=z+25x−2y+3z=30．
【题型4 用整体思想解三元一次方程组】
【例4】在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知3x+2y+z=4①7x+5y+3z=10②，求x+y+z的值．
解：①×2得：6x+4y+2z=8③
②−③得：x+y+z=2
∴x+y+z的值为2．
(1)已知x+2y+3z=105x+6y+7z=26，求3x+4y+5z的值；
(2)马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买40本笔记本、20支签字笔、4支记号笔需要488元．通过还价，班委购买了80本笔记本、40支签字笔、8支记号笔，只花了732元，请问比原价购买节省了多少钱？
【变式4-1】若2x+3y+4z=10且y+2z=2，则x+y+z的值是 ．
【变式4-2】阅读下列材料，然后解答后面的问题．
已知方程组3x+7y+z=204x+10y+z=27，求x＋y＋z的值．
解：将原方程组整理，得
2x+3y+x+y+z=20①3x+3y+x+y+z=27②
②－①，得x＋3y＝7，③
把③代入①，得x＋y＋z＝6.
仿照上述解法，解决下面问题．
已知方程组6x+4y=22−x−6y+4z=−1则x＋2y－z的值为 ．
【题型5 三元一次方程组的阅读理解类问题】
【例5】阅读材料：
我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2可以写成矩阵a1b1c1a2b2c2的形式．例如：3x+4y=165x−6y=33可以写成矩阵34165−633的形式．
根据以上信息解决下列问题：
(1)请求出矩阵4153−23对应的方程组的解；
(2)若矩阵a−2371b452−1c8所对应的方程组的解为x=1y=1z=1，求a+b+c的值．
课后作业
1.下列方程中，与方程组x+y=52x−y=4同解的是（ ）
A．x+y=5B．2x−y=4
C．x+y−52+2x−y−4=0D．2x−y−4x+y−5=0
2.若x=ay=b是方程3x+y=1的一个解，则9a+3b+4的值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
3.已知关于x，y的方程组ax+by=10mx−ny=8的解是x=1y=2，则关于x，y的方程组12ax+y+13bx−y=1012mx+y−13nx−y=8的解为（ ）
A．x=1y=2B．x=2y=1C．x=4y=−2D．x=3y=2
4.已知x=1y=2z=3是方程组ax+by=2by+cz=3cx+az=7的解，则a+b+c的值为（ ）
A．3B．2C．1D．0
5.（1）已知二元一次方程组3x+2y=72x+3y=3则x−y=______，x+y=______．
（2）某班级组织活动购买小奖品，买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需31元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元？
6.在关于m，n的方程m+2n−8+λ4m+3n−7=0中，能使λ无论取何值时，方程恒成立的m，n的和为 ．
7.若方程组x+ya−2=0a−3x+9y=0是二元一次方程组，求a的值．
8.解方程：
5x−6y=12x−6y=10 2x+y=28x+3y=9． x−13=2y+344x−3y=7
9.已知方程组2x+my=10 ①nx−2y=−6 ②，小聪由于看错了方程①中的系数m，得到方程组的解为x=26y=42；小明由于看错了方程②中的系数n，得到方程组的解为x=14y=−18；请你根据上述条件求原方程组的解．
10.一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）
(1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，要求三种车同时参与运货，你能求出几种车型的辆数吗？
(3)求出哪种方案的运费最省？最省是多少元．
学生/课程

年级
7年级
学科
数学（春季）
授课教师

日期
时段

核心内容
二元一次方程组和三元一次方程组的解法（第10讲）
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（吨/辆）
6
9
10
汽车运费（元/辆）
500
600
600