初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）二元一次方程组的概念习题

这是一份初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）二元一次方程组的概念习题，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知方程是关于x，y的二元一次方程，则m，n的取值范围分别是（ ）
A．B．C．D．
3．用加减消元法解方程组，正确的方法是（ ）
A．①+②得2x=5B．①+②得3x=12
C．①+②得3x+7=5D．先将②变为x-3y=7③，再①-③得x=-2
4．已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（ ）
A．B．C．D．
5．下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．关于，的方程组有无数解，则、的值为（ ）
A．，B．，C．，D．，
7．下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
8．把一根长7m的钢管截成规格为2m和1m的钢管(要求两种规格至少有一根)．在不造成浪费的情况下，不同的截法有（ ）
A．1种B．2种C．3D．4种
9．若是方程组的解，则m+n的值是（ ）
A．1B．－1C．2D．－2
10．下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
11．用代入消元法解方程组时，消去y后得到的方程是（ ）
A．B．
C．D．
12．方程的正整数解有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．无数个
二、填空题
13．若，都是方程的解，则 ， ．
14．已知是方程的解，则代数式的值为 ．
15．若方程组是关于，的二元一次方程组，则代数式的值是 ．
16．在下列数对中：①；②；③；④，其中是方程的解的是 ；是方程的解的是 ；既是方程的解，又是方程的解的是 填序号
17．已知是方程的一个解，那么 ．
三、解答题
18．小明在做家庭作业时发现练习册上一道解方程的题目被墨水污染，“口”和“△”表示被污染的内容，他着急，翻开书后面的答案，这道题的解是，你能帮助他补上“口”和“△”的内容吗？说出你的方法．
19．已知方程组，由于甲看错了方程①中的a得到方程的解为，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为，求a+b的值是多少？
20．某球迷协会组织36名球迷租乘汽车赴比赛场地，为中国国家男子足球队呐喊助威，可租用的汽车有两种：一种是每辆可乘8人，另一种是每辆可乘4人.
要求租用的车子不留空座，也不超载.
（1）请你给出所有不同的租车方案；
（2）若8座车的租金是300元/天，4座车的租金是200元/天，请你设计费用最少的租车方案，并求出最少费用.
21．当y=－3时，二元一次方程3x+5y=－3和3y－2ax=a+2（关于x，y的方程）有相同的解，求a的值．
22．阅读下列材料：
材料一：最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个．我们将两个整数a、b的最大公约数表示为(a，b)，如(12，18)=6；(7，9)=1．
材料二：求7x+3y=11的一组整数解，主要分为三个步骤：
第一步，用x表示y，得y；
第二步，找一个整数x，使得11﹣7x是3的倍数，为更容易找到这样的x，将11﹣7x变形为12﹣9x+2x﹣1=3(4﹣3x)+2x﹣1，即只需2x﹣1是3的倍数即可，为此可取x=2；
第三步，将x=2代入y，得y=﹣1．∴是原方程的一组整数解．
材料三：若关于x，y的二元一次方程ax+by=c(a，b，c均为整数)有整数解，则它的所有整数解为(t为整数)．
利用以上材料，解决下列问题：
（1）求方程(15，20)x+(4，8)y=99的一组整数解；
（2）求方程(15，20)x+(4，8)y=99有几组正整数解．
23．下列方程中哪些是二元一次方程？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
24．阅读下列材料，然后回答问题：
对于实数x、y我们定义一种新运算，（其中a、b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中x、y叫做线性数的一个数对，若实数x、y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x、y叫做正格线性数的正格数对．
（1）若，则_______，_______；
（2）已知，，若正格线性数（其中k为整数），问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出，若没有，请说明理由．
《8.1二元一次方程组》参考答案
1．C
【详解】试题分析：二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程．两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程组．A选项中的最高次数为2次，则不是；B选项中含有3个未知数，则不是；D选项中的最高次数为2次，则不是，故本题选择C．
2．D
【分析】本题考查二元一次方程的概念，理解含有两个未知数，含未知数的项的次数最高为1的整式方程为二元一次方程是解题关键．
根据二元一次方程的定义进行解答即可．
【详解】解：方程可化为，
∵方程是关于、的二元一次方程，
∴，
∴，
故选：D．
3．D
【详解】先将②变为x-3y=7③，
再①-③得x=-2，
故选D．
4．D
【分析】直接解方程，根据方程有正整数解，并且a为整数求出可能的取值，相加即可．
【详解】解：，
则，
∴，
若，则不成立，
若，则，
∵有正整数解，
∴a的取值为0，，，，
∴，
故选D．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解，二元一次方程的解，正确掌握相关定义是解题关键．
5．B
【分析】根据二元一次方程组的定义逐项分析即可．
【详解】A．共有3个未知数，故不是二元一次方程组；
B．是二元一次方程组；
C．项的次数是2，故不是二元一次方程组；
D．分母中含有未知数，故不是二元一次方程组．
故选B．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项最高次数都是一次，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组．
6．D
【分析】由关于，的方程组有无数组解，①②求出关于，的等式，再根据题意判断即可．
【详解】解：由关于，的方程组，
①②得：，
方程组有无数组解，
，，
解得：，．
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，关键是要理解方程组有无数组解的含义．
7．A
【分析】本题考查了二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1次的方程；根据二元一次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：A、符合二元一次方程的定义，故是二元一次方程，符合题意；
B、是一元一次方程，故不符合题意；
C、有两个未知数，但含未知数的项的次数是二次的，不是二元一次方程，故不符合题意；
D、方程左边不是整式，不是二元一次方程，故不符合题意；
故选：A．
8．C
【分析】设截成2m的钢管x段，1m的钢管y段，根据钢管的总长度为7m，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出结论．
【详解】解：设截成2m的钢管x段，1m的钢管y段，
依题意得：2x+y=7，
∴y=7-2x，
又∵x，y均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴共有3种截法．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用,找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
9．B
【详解】把代入方程组 中，得，
解得m=-1，n=0．
故m+n=-1，故选B.
点睛：本题考查了方程组解的定义，将已知的方程组的解代入方程组中，可得到关于m、n的二元一次方程组，即可得m和n的值，从而求出代数式的值．
10．D
【详解】分析：根据二元一次方程的定义(含有两个未知数，且未知数的最高次数为1次的整式方程)即可得出答案．
详解：A、只含有一个未知数，则不是二元一次方程；B、左边含有分式，则不是二元一次方程；C、未知数的最高次数为2次，则不是二元一次方程；D、是二元一次方程．故选D．
点睛：本题主要考查的就是二元一次方程的定义，属于基础题型．解答这个问题的关键就是要明白二元一次方程的定义．
11．D
【分析】根据方程组的特点，用代入消元法将方程1变形后代入方程2可得出正确选项.
【详解】解：
由①得 ③，
将③代入②，得.
故选D.
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解本题的关键．
12．B
【分析】根据二元一次方程解的定义，列出所有的正整数解．
【详解】解：将变形成，
当时，，
∴只有一组正整数解．
故选：B．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，解题的关键是根据要求逐个列出方程的解．
13． 3 -4
【分析】根据题意把解代入方程，组成关于a，b的二元一次方程组进行求解即可；
【详解】将，代入，得，解得，．
故答案是：3，4．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的求解，准确计算是解题的关键．
14．
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，代数式求值，根据是方程的解得出，然后代入求值即可．
【详解】解：∵是方程的解，
，
，
故答案为：．
15．-2或-3
【分析】二元一次方程组的定义：（1）含有两个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1，据此列式即可求解．
【详解】解：根据是关于，的二元一次方程组，
则，，，
解得，，．
所以代数式的值是．
或，，，
解得，，．
所以代数式的值是．
故填：-2或-3
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，利用它的定义即可求出代数式的解．
16． ①③ ③ ③
【分析】把四组值分别代入方程和，然后根据二元一次方程的解的定义进行判断．
【详解】解：；；；，
∴①③是方程的解；
当，时，，
∴①不是方程的解；
当，时，，
∴②不是方程的解；
当，时，，
∴③是方程的解；
当，时，，
∴④不是方程的解．
故答案为①③；③；③．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
17．
【分析】将x、y的值代入方程解出k即可．
【详解】将x=5，y=-5代入2x+ky=7，
，
解得：k=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的概念以及代入求值，关键在于细心计算．
18．8和9．
【详解】试题分析：本题考查了二元一次方程组的解，把方程组的解代入两方程即可帮助他补上方框的内容．
解：把x=2，y=-1代入两方程，
得3×2-2×（-1）=8，5×2-1=9．
∴被污染的内容是8和9．
19．
【分析】根据方程组解的定义，应满足方程②，应满足方程①，将它们分别代入方程②①，就可得到关于a，b的方程，解得a，b的值．
【详解】解：根据题意 是②方程的解， 是①方程的解，
∴ ，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组解的定义，解决本题的关键是熟练掌握二元一次方程组解的定义．
20．（1）8座车0辆，4座车9辆；8座车1辆，4座车7辆；8座车2辆，4座车5辆；8座车3辆，4座车3辆；8座车4辆，4座车1辆;（2）租车方案为8座车4辆，4座车l辆，此时费用为（元）.
【分析】通过理解题意可知球迷是36名，可租车有8座车和4座车，要求租用的车子不留空座，也不超载．依此可列二元一次方程．二元一次方程组在一般情况下有无数组解，但在实际问题中应根据实际情况进行讨论．
【详解】（1）设8座车租x辆，4座车租y辆，
则8x+4y=36，
即2x+y=9，
∵x，y为非负数，
∴x可取0，1，2，3，4，
则y依次为9，7，5，3，1，
则租车方案有：
8座车4辆，4座车1辆；
8座车3辆，4座车3辆，
8座车2辆，4座车5辆等．
（2）因8座车相对4座车的费用少，欲使费用最小，则必须多租8座车，
所以符合要求的租车方案为：8座车4辆，4座车1辆，此时费用为：4×300+1×200=1400（元）．
【点睛】任意一个二元一次方程都有无数个解，但具体问题要具体分析，如本题中未知数的解都应是整数．
21．
【分析】把y=-3代入不含参数的方程求出x的值，再将x和y的值代入含有参数的方程求解即可
【详解】解：把y=－3代入3x+5y=－3得3x+5×（－3）=－3．
解得x=4．
把代入方程3y－2ax=a+2得3×（－3）－2a×4=a+2．
解得a=－．
【点睛】本题考查已知二元一次方程组的解求参数，熟练掌握该知识点是解题关键．
22．（1）；（2）原方程有5组正整数解．
【分析】（1）先化简原方程，由材料可求解； （2）先求出原方程的整数解，根据材料即可求解．
【详解】（1）∵(15，20)=5，(4，8)=4，
∴原方程变形为：5x+4y=99，
∴x，
∴99﹣4y是5的倍数，
∴当y=1时，x=19，
∴是原方程的解；
（2）∵5x+4y=99的有正整数解，
方程所有整数解为(t为整数)．
其中
方程所有正整数解记为(t为整数)．
当时，正整数解为：，
当时，正整数解为：，
当时，正整数解为：，
当时，正整数解为：，
∴原方程有5组正整数解．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解，理解题意是本题的关键．
23．（1）（5）
【分析】本题考查二元一次方程的定义，含有两个未知数，且含未知数的项的次数是1的整式方程是二元一次方程，逐个判断即可．
【详解】解：（1）方程是二元一次方程；
（2）方程中的项的次数为2，所以该方程不是二元一次方程；
（3）方程中的项的次数为2，所以该方程不是二元一次方程；
（4）方程不是整式方程，所以该方程不是二元一次方程；
（5）方程是二元一次方程．
综上所述，（1）；（5）是二元一次方程．
24．（1）11，3；（2）有，x=2，y=6
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）根据题中的新定义化简已知等式，由x，y都为正整数，k为整数，确定出所求即可．
【详解】解：（1）根据题中的新定义得：L（2，3）=2+3×3=2+9=11，
；
（2）根据题中的新定义化简=2，得：，
解得：b=2，
化简L（x，kx）=18，得：3x+2kx=18，
依题意，x，y都为正整数，k是整数，
∴3+2k是奇数，
∴3+2k=1，3，9，
解得：k=-1，0，3，
当k=-1时，x=18，kx=-18，舍去；
当k=0时，x=6，kx=0，舍去；
当k=3时，x=2，kx=6，
综上，k=3时，存在正格数对x=2，y=6满足条件．
【点睛】此题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
D
D
B
D
A
C
B
D
题号
11
12








答案
D
B