初中数学北师大版（2024）七年级下册（2024）探究三角形全等的条件第3课时教案

这是一份初中数学北师大版（2024）七年级下册（2024）探究三角形全等的条件第3课时教案，共8页。教案主要包含了学习任务分析，学生起点分析，教学目标，教学过程设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
一、学习任务分析
全等三角形是平面几何的重要内容，是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点。通过尺规作图探索得出三角形全等的条件，这样的学习过程，有助于发展学生的空间观念和几何直观。
作为探索三角形全等的条件的第3课时，本课时主要内容为研究已知两边及一角的情况，利用尺规作图探索“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”“两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等的两个三角形不一定全等”。前面两个课时已经探索了三角形全等的三种判定条件：SSS、ASA、AAS，本节课通过回顾与类比，让学生自行探索还需要继续讨论哪种情况，通过动手操作（画图）探索已知“两边及其夹角”能否作出全等三角形，明晰三角形全等的判定条件“SAS”，再探索“两边及其中一边的对角”能否作出全等三角形，给出反例，得出结论，为下一课时的利用三角形全等的判定条件“SAS”解决几何问题做准备。
二、学生起点分析
学生在小学阶段已经对三角形相关知识有所了解，在本章前面几节课中，又学习了三角形的有关概念与性质、全等三角形的概念与性质，学生通过画图、观察、比较、交流等方式探索到了三角形全等的一些条件，并能够利用尺规作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，具备利用尺规作三角形的基本技能，为探究本课时的知识奠定了基础，但本课时中“两边一角”的两种情况较复杂，因此学生需要充分的操作和探讨的时间来体会这一过程体现的数学问题。
在相关知识的学习过程中，学生已经经历了探究直线平行的条件、三角形的内角和定理、探索三角形全等的条件等活动，具有研究几何问题的初步经验；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，积累了一定的合作学习的经验，具备一定的合作与交流的能力。
三、教学目标
1.经历探索三角形全等条件的过程，体会分类、推理等数学思想方法，积累数学活动经验，发展几何直观、推理能力和有条理的表达能力。
2.掌握三角形全等的判定条件：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。了解三角形的稳定性。
3.能利用尺规作图：已知两边及其夹角作三角形。
4.能运用三角形全等的条件解决简单问题。
教学重点：探索三角形全等的条件——“边角边”。
教学难点：说明两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等的两个三角形不一定全等。
四、教学过程设计
本节课设计六个教学环节：【第一环节】知识回顾，结构关联；【第二环节】新知引入，自主探索；【第三环节】深入探索，归纳结论；【第四环节】练习提高，学以致用；【第五环节】总结提升，纳入系统；【第六环节】因材施教，分层作业。
【第一环节】知识回顾，结构关联
1.活动内容
前面几节课我们学习了哪些判定三角形全等的条件？你认为接下来我们会利用哪三个条件探索三角形全等呢？
思考：如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能情况呢？每种情况下得到的三角形都全等吗？
2.活动目的
通过提问让学生复习三角形全等的判定条件SSS、ASA、AAS；设计一个结构化的问题，意在让学生类比前两个课时的学习，自主提出接下来要探索“两边及一角”这种情况能否判定两个三角形全等，并思考研究的思路和方法，形成研究内容和研究思路的整体架构。通过这一问题，帮助学生形成对相关内容的结构化认识，提高学生对知识和方法的应用和迁移能力。
3.实际效果
教学时，对于结构化问题“你认为接下来我们会利用哪三个条件探索三角形全等呢？” 由于学生已经知道判定三角形全等至少需要三个条件，学生比较容易想到接下来要研究两边一角的情况，在学生回答后，教师不必急于进行新内容的教学，而应继续追问：“你是怎么想的？”“你打算如何展开研究呢？”然后再给出下面的思考问题。让学生充分交流和表达，体会数学知识与方法之间的联系，帮助学生对相关内容逐步形成结构化的认识。对于思考问题，通过上一节ASA、AAS的学习，学生应该能考虑到两边及其夹角，两边及其一边的对角这两种情况，可以小组讨论，讨论后派代表进行展示，激发学生的求知欲，调动学生的学习主动性。在这一过程中，教师应引导学生体会分类的思想方法。
【第二环节】新知引入，自主探索
1.活动内容
尝试·思考
如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角，情况会怎样呢？
活动1：动手操作
如图，把圆规平放在桌面上，在圆规的两脚上各取一点A，C，自由转动其中一脚时，△ABC的形状、大小随之改变，当∠ABC取一定值时，△ABC的形状、大小确定吗？
学生动手操作，当小组内同学将∠ABC取相同的度数时，通过观察、对比、叠合等方法发现，得到的三角形形状、大小完全相同。（组内同学圆规相同，点A，C选取的位置相同）
获得启示：三角形的两边及其夹角确定，三角形的形状、大小也确定。
活动2：尺规作图
小组合作，选择两条线段和一个角作为三角形的两边及其夹角，并用尺规作出这个三角形。你作的三角形与同伴作的一定全等吗？
活动3：比较与归纳
剪一剪：把所作的三角形剪下来。
比一比：同一条件下作出的三角形与其他同学作的比一比，是否全等。
学生展示并归纳结论：
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。
活动4：展示与交流
回顾上述作图过程，请你总结“已知三角形的两边及其夹角，用尺规作这个三角形”的方法和步骤。各小组派代表展示本组的作图方法。
如图，已知线段 a，c，∠α，用尺规作△ABC，使BC= a，AB= c，∠ABC =∠α。
2.活动目的
让学生亲历“动手操作－尺规作图－比较与归纳－展示与交流”的过程，从实践操作的具体实例到高度抽象的数学结论，感悟基本事实的正确性，由此获得三角形全等的判定条件“边角边”。在概括基本事实的过程中，引导学生通过现象看本质，提升学生的归纳能力。让学生通过合作学习获得数学活动经验，并在展示与交流中小组之间互相补充、互相竞争，气氛热烈，通过尺规画三角形，探索并感受三角形全等的判定条件，对基本事实的理解更加深刻。本环节活动的设计遵循学生认知、思维发展规律和知识的发生发展规律，从动作思维到形象思维，再到抽象思维，推动学生思维水平逐级发展，数学素养逐步提升。
3.实际效果
在小组讨论之前，留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。
对于活动2，小组内自主选择两条线段和一个角，学生可以直尺和圆规作出三角形，并进行比较，也可以改变线段长和角度再作出三角形，最后得出结论。
对于活动3，小组内是在同一条件下作出的三角形，组内同学进行比较，得到的三角形全等，建议引导学生回顾课堂上探究问题的归纳过程，增强归纳能力。
对于活动4，已知两条线段的长度和一个角度，利用尺规作三角形。教师注意收集生成性资源，选择有代表性的作法进行展示，展示时，保留学生尺规作图痕迹。从活动2到活动4，让学生体会从特殊到一般的数学思想。
活动时，学生先组内交流，再动手按要求进行尺规作图。可能出现如下作法。
作法1：
1.作一条线段BC = a。
2.以点B为顶点，以BC为一边，作角∠DBC =∠α。
3.在射线BD上截取线段BA= c。
4.连接AC。
△ABC就是所要作的三角形。
作法2：
1.作角∠MBN =∠α。
2.在射线BM上截取BA= c，
在射线BM上截取BC= a。
3.连接AC。
△ABC就是所要作的三角形。
【第三环节】深入探索，归纳结论
1.活动内容
尝试·交流
如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角，情况会怎样呢？
C
D
B
A
活动1：动手操作
如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC，固定长木棍，转动短木棍，得到△ABD，这个实验说明了什么？
在转动中，发现两个三角形并不全等。
如图，在△ABC 和△ABD 中，AB =AB，AC = AD，∠B =∠B，但△ABC 和△ABD 不全等。
活动2：尺规作图
如图，已知△ABC的AB 边和边长为l的 AC 边，以及AC 边的对角∠B，你能用尺规确定顶点 C 的位置吗？
活动3：比较与归纳
把你作的三角形与同伴作的进行比较，由此你发现了什么？与同伴进行交流。
同学们可以通过观察比较，发现大家作的三角形不一定重合，可以得到结论：
两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等。
2.活动目的
通过教具和学生动手进行尺规作图，生动形象地让学生认识到两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等（简写为“边边角”或“SSA”）的两个三角形不一定全等，突破本节课的难点及易错点，同时使学生更充分地参与到数学学习活动中，帮助学生更好地理解掌握知识。
3.实际效果
本环节通过实例让学生关注到“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等”，又通过尺规作图，进一步将学生的形象思维提高到逻辑思维，挖掘“SSA”不能判定两个三角形全等的原因。总结概括出当已知两边及一角时，这个角必须是这两边的夹角，从而进一步巩固对三角形全等判定条件“SAS”的认识。
建议老师给学生留出充分的时间进行画图、观察、比较、沟通，然后收集学生的作品，加以比较，为学生顺利探究出结论创设条件。
活动时，学生先组内交流，再动手按要求进行尺规作图，然后小组派代表展示本组的作图方法。
作法：如图，以点A为圆心，线段l长为半径画弧，交∠B的另一边于点C，连接AC，则△ABC与△ABC’ 即为反例。
通过举反例来否定一个结论，是数学推理中常用的方法，让学生了解这一点非常重要。
【第四环节】练习提高，学以致用
1.活动内容
练习1.分别找出各图中的全等三角形，并说明理由。
练习2.小明做了一只如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD。将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？请说明理由。
2.活动目的
本环节将教材课后习题作为练习，促使学生深化对所学知识的理解与认识，提高他们分析问题、解决问题的能力。通过这组练习，加深学生对三角形全等判定条件“SAS”的理解，巩固三角形全等判定条件“SAS”的运用，提高学生的思维能力，积累解题经验。
3.实际效果
通过巩固练习，学生能够进行简单的几何推理，增强了应用“SAS”解决问题的能力。在教学中，教师要引导学生剖析“SAS”的题设和结论，阐释“SAS”的作用，通过三角形全等，可以进一步说明边和角相等。
【第五环节】总结提升，纳入系统
1.活动内容
（1）通过本节课的学习，你掌握了什么知识？我们是沿着怎样的路径开展研究的？
（2）你感悟到哪些数学思想方法？对我们学习有什么帮助？
（3）你还有哪些收获、疑问或者新思考？
2.活动目的
以问题引领学生梳理数学知识、感悟思想方法、明晰研究路径，为其他探究学习提供研究范式。多角度总结反思，有利于学生积累经验，形成新的认知结构图，为后续学习做铺垫。
3.实际效果
学生畅所欲言所学到的知识与思想方法，对本节课探索的三角形全等的条件“SAS”，以及“SSA”不能判定三角形全等的过程进行回顾反思，也可以阐述自己对三角形全等的条件的理解，还可以对所有学习过的三角形全等的条件进行归纳总结。只要学生言之成理，教师都应予以鼓励。
【第六环节】因材施教，分层作业
1.活动内容
必做题：习题4.3第5，6，10题。
选做题：第5题。
2.活动目的
必做题是对课堂所学知识的进一步巩固与拓展，培养学生对知识的应用能力，选做题供学有余力的学生尝试解决，分层布置作业为不同水平的学生提供发展的空间和可能。
3.实际效果
学生可以根据自己的学习情况，自主选择是否挑战选做题。
五、教学反思
1.合作学习，共同探究
采取小组合作学习的方式，提高学生的研究热情。合作学习之前，让学生先独立思考问题，再进行合作交流，共同解决问题，在汇报交流时引导学生们边倾听边思考，并特别注意自己与他人的不同点，从而在交流中获取有效的信息，更全面深刻地理解问题。在活动设计方面，学生有一半以上的时间在动手实践、小组探究，学生参与面广、参与度高，特别是汇报展示，学生们的表现非常精彩，学生是主角，教师只是设计者、引导者。
2.全面提升核心素养
学生在动手操作和尺规作图中，提高了实践能力；在分析问题中不断发现问题，解决问题；在探索三角形全等的条件中，体会分类讨论、从特殊到一般等数学思想。学生通过动手操作、尺规作图、观察比较、合作交流，直至归纳得出结论，整个过程学生不仅得到了两个三角形全等的条件，更重要的是经历了知识的形成过程，学会学习，学会思考。学生数学核心素养的形成是一个长期的过程。引导学生逐步深入地参与数学活动，培养他们自觉地用数学的眼光分析问题，用数学的思维解决问题，用数学语言表达问题。
3.需要注意的问题
在小组讨论时，要给予学生充足的讨论时间；在尺规作图时，让学生动手作三角形，尽量让每一位同学都能从尺规作图中感受三角形全等的条件；在巩固练习中，要注重对学生思维的培养。