人教A版 (2019)5.3 导数在研究函数中的应用综合训练题

这是一份人教A版 (2019)5.3 导数在研究函数中的应用综合训练题，文件包含人教A版高中数学选择性必修第二册同步讲与练第13讲导数的最值四种题型总结原卷版doc、人教A版高中数学选择性必修第二册同步讲与练第13讲导数的最值四种题型总结解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
考点一：函数的最值
一个连续函数在闭区间上一定有最值，最值要么在极值点处取得，要么在断点处取得。
求函数最值的步骤为：
①求在内的极值（极大值或极小值）；
②将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
【题型目录】
题型一：利用导数求函数的最值（不含参）
题型二：根据最值求参数
题型三：根据最值求参数范围
题型四：含参数最值讨论问题
【典型例题】
题型一：利用导数求函数的最值（不含参）
【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数在区间上可导，则“函数在区间上有最小值”是“存在，满足”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由开区间最小值点必为极小值点可知极小值点导数值为，充分性成立；利用可验证出必要性不成立，由此得到结论.
【详解】为开区间 最小值点一定是极小值点 极小值点处的导数值为
充分性成立
当，时，，结合幂函数图象知无最小值，必要性不成立
“函数在区间上有最小值”是“存在，满足”的充分不必要条件
故选：
【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到导数极值与最值的相关知识；关键是能够明确极值点处的导数值为，但导数值为的点未必是极值点.
【例2】（2022·全国·高二课时练习）函数在上的最大值、最小值分别是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求得导函数，令即可求得极值点．再代入端点值即可求得最大值与最小值．
【详解】函数
所以，令解方程可得
由表格可知，函数在上的最大值为，最小值为
所以选D
【点睛】本题考查利用导数求函数在某区间内的最大值与最小值，注意函数端点处对函数最值的影响，属于基础题．
【例3】(2022江苏单元测试)函数在[0，2]上的最大值是( )
A．B．C．0D．
【答案】A
【解析】由，得，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以，故选：A
【例4】（2022·全国·高二课时练习）设，在上，以下结论正确的是 （ ）
A．的极值点一定是最值点B．的最值点一定是极值点
C．在上可能没有极值点D．在上可能没有最值点
【答案】C
【分析】结合极值点、最值点的概念对所给选项进行分析即可.
【详解】由已知，，由，得或时；由，
得时，所以在上单调递增，在，上单调递减.
对于选项A，取 ，易知的极值点为，
且，而，所以不是最小值点，故A错误；
对于选项B，取，则在上单调递减，故是最值点，但
不是极值点，故B错误，C正确；
对于选项D，由连续函数在闭区间上一定存在最值，知选项D错误.
故选：C
【点睛】本题考查函数的极值点、最值点概念的辨析，考查学生对极值点、最值点的理解，是一道容易题.
【例5】已知函数，，则函数的最大值为（ ）
A．0B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的导函数的正负性判断函数在已知区间的单调性，结合余弦函数的性质进行求解即可.
【详解】
∵，∴当时，单调递增，
当时， 单调递减，
∴.
故选：C.
【例6】（2022·全国·高二课时练习）已知函数在x=2处取得极小值，则在上的最大值为______．
【答案】
【分析】根据函数在x=2处取得极小值可得，求得a的值，继而判断函数在上的极值情况，计算端点处函数值并进行比较，可得答案.
【详解】因为，所以，
由题意可得，解得，
则，，
令，可得x=1或x=2，当x在上变化时，与的变化情况如下表：
所以函数的极大值为，极小值为，
又因为，
且，所以，
所以，
故答案为：
【例7】（2022·山东·滕州市第一中学新校高三阶段练习）已知函数
(1)当时，求在上的值域；
【答案】(1)
【分析】（1）由，可知单调递增，从而 可求得值域；
（1）
由题意知，
，
时，，，
时，恒成立，所以单调递增，
∴，即
所以的值域为.
【例8】（2022·江苏省响水中学高二阶段练习）已知函数．
(1)求函数在区间上的最小值；
【答案】(1)0
【分析】（1）先对函数求导得，令，求导后判断其单调性，结合零点存在性定理可求出原函数的单调性，从而可求出其最小值，
（1）
因为，所以．
记．
则，所以为上的单调减函数．
又，，
所以存在唯一的实数，使得．
所以当时，；当时，，
所以函数在单调递增，在单调递减，
因为，，
所以，
【题型专练】
1．（2022·全国·高二课时练习）（多选）下列结论中不正确的是（ ）.
A．若函数在区间上有最大值，则这个最大值一定是函数在区间上的极大值
B．若函数在区间上有最小值，则这个最小值一定是函数在区间上的极小值
C．若函数在区间上有最值，则最值一定在或处取得
D．若函数在区间内连续，则在区间内必有最大值与最小值
【答案】ABC
【分析】根据极值与最值的关系判断即可.
【详解】若函数在区间上有最值，则最值可能在极值点或区间端点处取得，故A，B，C都不正确；函数在闭区间上一定有最值，故D正确.
故选：ABC.
2.(2022全国课时练习)函数y＝的最大值为( )
A．e－1 B．e C．e2D．10
【答案】A
【解析】令 当时， ；当 时 ，
所以函数得极大值为 ，因为在定义域内只有一个极值，所以故选：A.
3．（2023陕西安康市教学研究室一模（文））函数在上的最小值为___________．
【答案】
【分析】利用导数确定单调性即可求解最值.
【详解】因为，当时,，所以在上单调递增，
所以．
故答案为：
4.函数在上的最大值为（ ）
A．B．πC．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导数研究的单调性，进而求其最大值.
【详解】
由题意，在上，即单调递增，
∴.
故选：B
5．（2022山东淄川中学高二阶段练习（文））定义在闭区间上的连续函数有唯一的极值点，且，则下列说法正确的是
A．函数的最大值也可能是B．函数有最小值，但不一定是
C．函数有最小值D．函数不一定有最小值
【答案】C
【分析】根据函数的极值与最值的定义即可求解.
【详解】∵定义在闭区间上的连续函数有唯一的极值点，且，
∴函数在区间上单调递减，在上单调递增，
∴当时，函数有极小值，也为最小值．
故选：C．
6.（2022·河南郑州·三模（文））在区间上的最小值是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求导函数，分析其导函数的符号，得出原函数的单调性，从而可求得最小值．
【详解】
因为，所以，令，解得，
所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以函数在上的最小值为，
故选：B．
7．（2022·浙江省诸暨市第二高级中学高二期中多选题）下列说法错误的是（ ）
A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大;
B．函数在闭区间上的最大值一定是极大值;
C．对于，若，则无极值;
D．函数在区间上一定存在最值.
【答案】ABD
【分析】对于A，利用函数极值的概念判断，对于BD，利用函数最值的概念判断，对于C，对函数求导后，可知，从而可求出的范围
【详解】对于A，因为函数的极值是它附近的函数值比较，是一个局部概念，所以函数在闭区间上的极大值不一定比极小值大，所以A错误，
对于B，因为函数在闭区间上的最大值在极大值或端点处取得，所以函数在闭区间上的最大值不一定是极大值，所以B错误，
对于C，由，得，当时，，所以，所以在上递增，所以无极值，所以C正确，
对于D，若函数在区间上是增函数或减函数，由于端点处函数值无意义，所以函数在区间上没有最大值和最小值，所以D错误，
故选：ABD
8.（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先对函数求导，求出函数的单调区间，进而可求出函数的最大值
【详解】
解：由，得，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
因为，
所以函数的最大值为，
故选：B
题型二：根据最值求参数
【例1】（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数（为常数），在区间上有最大值，那么此函数在区间上的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求得导数，得出函数的额单调性，结合函数单调性和端点的函数值，即可求解.
【详解】由题意，函数，可得，
令，即，解得或（舍去）．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时取最小值，而，
即最大值为，所以，
所以此函数在区间上的最小值为
故选：B.
【例2】（2021·全国·高三专题练习）已知函数（），，的最大值为3，最小值为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用导数求出函数的单调性，得到的最小值为，最大值为，解方程组即得解.
【详解】．令，得或（舍去）．
当时，，当时，，
故为极小值点，也是最小值点．
∵，，，
∴的最小值为，最大值为，
∴，解得，
∴．
故选：C
【例3】（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数的最小值为0．
(1)求实数的值；
【答案】(1)；
【分析】（1）求导函数，导函数为增函数，由题意在定义域内有实数解，即，而，由此得出关于的方程，引入新函数，利用导数证明此方程只有唯一解，从而可得结论；
（1）
，显然在定义域内是增函数，有最小值，则有实数解，时，，
，，
，，
令，，
时，，递减，时，，递增，
所以，因此由得；
【例4】（2022·全国·高三阶段练习）已知和有相同的最大值.（）
(1)求的值；
【答案】(1)
【分析】（1）分别用导数法求出与的最大值，由最大值相等建立等式即可求解；
（1）
的定义域为，且，，
当时，，递增；当时，，递减；
所以，
的定义域为，且，
当时，，递增；当时，，递减；
所以，
又和有相同的最大值，
所以，解得，
又，
所以；
【例5】（2023天津市南开区南大奥宇培训学校高三阶段练习）已知函数．
(1)若f(x)在(–1，f(–1))处的切线方程为，求a，k的值；
(2)求f(x)的单调递减区间；
(3)若f(x)在区间[–2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
【答案】(1)
(2)和
(3)
【分析】（1）利用切点和斜率求得.
（2）利用导数求得的单调递减区间.
（3）分析在区间上的极值以及区间端点的函数值，结合最大值为求得，进而求得最小值.
(1)
因为，
所以，
由题设可得，
解得.
(2)
令，解得或，
所以函数f(x)的单调递减区间为和．
(3)
因为，
所以．
因为在上，所以f(x)在[– 1，2]上单调递增，
又由于f(x)在[– 2，– 1]上单调递减，
因此f(2)和f(– 1)分别是f(x)在区间[– 2，2]上的最大值和最小值．
于是有22+a=20，解得．
故.
因此，
即函数f(x)在区间[– 2，2]上的最小值为– 7．
【题型专练】
1．（2022江苏高二专题练习）若函数在区间上的最大值是4，则m的值为( )
A．3B．1C．2D．
【答案】B
【分析】利用导函数求出在上的单调性，然后结合已知条件即可求解.
【详解】，令，解得或，
当时，；当时，或，
故在和上单调递增，在上单调递减，
从而在上单调递减，在上单调递增，
又，，则，
所以在区间上的最大值为，解得．
故选：B．
2．（2022全国高二课时练习）已知函数（a是常数）在上有最大值3，那么它在上的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求导得到函数的单调区间得到函数最大值为，再比较端点值的大小得到最小值.
【详解】，
由得或，故函数在上单调递增；
由得，故函数在上单调递减，
故函数的最大值为．
故．
又，，
故当时，函数取得最小值为-37．
故选：D.
3．（2020·河北·张家口市第一中学高二期中）若函数在区间上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为（ ）
A．-5B．7C．10D．-19
【答案】A
【分析】利用导数判断函数的单调性，根据最值，即可求得，再求函数在该区间的最小值.
【详解】，，
当时，，函数单调递减，
所以函数的最大值是，得，
函数的最小值是.
故选：A
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若区间的最小值为且最大值为1，则的值可以是（ ）
A．0B．4C．D．
【答案】AB
【分析】先求导，分类讨论利用导数法研究函数的最值，即可求解
【详解】，
令，解得或.
①当时，可知在上单调递增，
所以在区间的最小值为，最大值为.
此时，满足题设条件当且仅当，，
即，.故A正确.
②当时，可知在上单调递减，
所以在区间的最大值为，最小值为.
此时，满足题设条件当且仅当，，
即，.故B正确.
③当时，可知在的最小值为，
最大值为b或或，，
则，与矛盾.
若，，
则或或，与矛盾.故C､D错误.
故选：AB
5．（2022·广东梅州·高二阶段练习）已知函数．
(1)若函数的最大值是，求实数的值；
【答案】(1)1
【分析】（1）求出函数的导函数，对分两种情况讨论得到函数的单调性，结合，求出参数的值；
(1)
解：因为的定义域为，
由题意
由．
当时，，，则函数在上单调递增，
故当时，，不合乎题意；
当时，由，可得．
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减
则，故，解得．
6．（2022·全国·高二期末）已知函数的最小值为．
(1)求的值；
【答案】(1)
【分析】（1）利用导数求得函数的单调区间可得，计算可得结果.
(1)
由题可知.
令，解得；令，解得.
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，解得.
7．（2022·甘肃·高台县第一中学高二阶段练习（理））设函数的导数满足，.
(1)求的单调区间；
(2)在区间上的最大值为，求的值.
(3)若函数的图象与轴有三个交点，求的范围.
【答案】(1)递增区间为，递减区间为，
(2)
(3)
【分析】（1）求函数的导数，根据条件建立方程组关系求出，的值，结合函数单调性和导数之间的关系即可求的单调区间；
（2）利用导数求出函数在区间上的最大值，建立方程关系即可求的值.
（3）根据的单调性求得极值，令极大值大于，极小值小于，解不等式即可求的范围.
（1）
由可得，
因为，，
所以，解得：，，
所以，，
由即可得：，
由即可得：或，
所以的单调递增区间为，单减区间为和.
（2）
由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极小值，
，
，
则在区间上的最大值为，
所以.
（3）
由（1）知当时，取得极小值，
当时，取得极大值
，
若函数的图象与轴有三个交点，
则得，解得，
即的范围是.
题型三：根据最值求参数范围
【例1】（2022·重庆十八中高二期末）若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求导，求得其最小值点，再根据在区间上有最小值，由最小值点在区间内求解可得.
【详解】因为函数，所以，
当或时，，当时，，
所以当时，取得最小值，
因为在区间上有最小值，且
所以，
解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C
【例2】（2022·山西运城·模拟预测（理））已知函数，若函数在上存在最小值.则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
先利用导数判断出函数的极值点，建立不等式，即可求出的取值范围.
【详解】
，，
当时，，单调递减；当或时，，单调递增，
∴在处取得极小值，在处取得极大值.
令，解得或，
又∵函数在上存在最小值，且为开区间，
所以，解得.
即的取值范围是.
故答案为：.
【例3】（2022·全国·高三专题练习（文））若函数在上有最大值，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求导分析，并分析函数的单调性，得在处取到极大值，根据条件可知，代入函数解不等式即可．
【详解】由得，
当时，；当时，；当时，；
所以在和上单调递增，在上单调递减，
故在处取到极大值，又因为在上有最大值，且
所以，则
解得
故选：A
【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知函数无最大值，则实数a的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令，求导研究其单调性和极值，作出和y＝－2x的图像，数形结合即可得到f(x)无最大值时，a的取值范围.
【详解】令，则，
令，解得或；令，解得，
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
g(－1)＝2，g(1)＝－2，
据此，作出和y＝－2x的图像，
由图可知，当x＝a＜－1时，函数f(x)无最大值.
故选：D.
【点睛】本题关键是利用导数求出g(x)单调性，求出其极值点和极值，以便准确作出其图像，然后数形结合即可求解.
【例5】（2022·全国·高二单元测试）若函数在上有最小值，则实数a的值可能是（ ）.
A．B．C．0D．1
【答案】ABC
【分析】利用导数研究函数的性质可得为函数的极小值点，为极大值点.
根据题意可知函数的极小值点必在区间内，即且，
解不等式组即可.
【详解】令，解得，
所以当时，
当时，
所以为函数的极小值点，为函数的极大值点.
因为函数在区间上有最小值，
所以函数的极小值点必在区间内，
即实数a满足，且.
由，解得.
不等，即，
有，，
所以，即.
故实数a的取值范围是.
故选：ABC.
【题型专练】
1．（2022·重庆·高二阶段练习）函数在区间上有最小值，则m的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据f(x)的导数求f(x)的单调性和极值，作出f(x)简图，数形结合即可求m的范围.
【详解】，
易知在，单调递增，在单调递减，
又，，，，
故f(x)图像如图：
函数在区间上有最小值，则由图可知.
故选：B.
2．（2022重庆高二期末）若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出函数的导数，分析函数的单调性，可得在处取得最小值，由题意可得，从而可求实数的取值范围
【详解】由，得，
当或时，，当时，，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得最小值，
因为函数在区间内有最小值，
所以，且，
所以，且，
解得，
故选：D
3.（2022·辽宁实验中学高二期中）已知函数，若函数在上存在最小值，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】对函数求导，求出函数的单调区间和极值，再根据函数在上存在最小值求参数范围.
【详解】
，
当时，单调递减；当或时，单调递增，
∴在取得极大值，处取得极小值.
令，整理得，解得：或
∵函数在上存在最小值，
∴，解得.
故答案为：.
4．（2022·全国·高二专题练习）已知函数，若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，作出函数的图象，由已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为，则，
令，可得；令，可得或.
所以，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为，
所以，，
令，即，即，解得，
如下图所示：
由题意可得，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
5.（2022宁夏石嘴山市第一中学高三月考（文））设函数.
①若，则的最大值为____________________；
②若无最大值，则实数的取值范围是_________________.
【答案】2
【解析】
①若，则，时的值域为，
时，则
故时，单调递增；时，单调递减，
，故值域为，
综上，值域为，最大值为2；
②函数，故时的值域为，所以要使无最大值，则需时的最大值小于.
由，知，
当时在上单调递增，，故解得；
当时或，故且，无解，
综上，要使无最大值，则.
故答案为：2；.
题型四：含参数最值讨论问题
【例1】（2020·四川省阆中东风中学校高三月考（文））已知函数，其中为常数，且.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在处取得极值，且在的最大值为1，求的值.
【答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减；（2）或.
【解析】
（1），，令，得或1，则列表如下：
所以在和上单调递增，在上单调递减.
（2）∵，
令，，，
因为在处取得极值，
所以，
①时，在上单调递增，在上单调递减，
所以在区间上的最大值为，令，解得；
②当，；
(i)当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
所以最大值1可能在或处取得，而，
∴，
∴，
(ii)当时，在区间上单调递增；上单调递减，上单调递增，
所以最大值1可能在或处取得而，
所以，解得，与矛盾；
(iii)当时，在区间上单调递增，在单调递减，
所以最大值1可能在处取得，而，矛盾，
综上所述，或
【例2】（2022北京市第十三中学高三开学考试）已知函数.
（1）函数的最大值等于________；
（2）若对任意，都有成立，则实数a的最小值是________.
【答案】 1
【解析】
（1）函数定义域是，，
时，，递增，时，，递减，
∴时，取得极大值也是最大值；
（2）若对任意，都有成立，
等价于当时，，
由（1）当时，，且，满足题意；
当，在上递增，，在递减，，
只要即可，∴，
综上，的最小值是1.．
故答案为：；1．
【例3】（2021·湖北·武汉市第一中学高三阶段练习）已知函数.
（1）若，求函数在区间上的最大值与最小值；
（2）若函数的最小值为0，求实数的值.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）求导，得到函数的单调区间,即可求出最值.
(2)对参数进行分类讨论，即可求解.
【详解】解：（1）∵，∴.
令，得.
当，∴，∴是单调递减的；
当，∴，∴是单调递增的，
∴，.
又∵，，∴，
∴，
.
（2），
当时，，∴在上是递增的，无最小值，不满足题意；
当时，令，得.
当时，，∴是单调递减的；
当时，，∴是单调递增的，
∴.
令，.
令，则.
当，，∴是递增的；当，，∴是递减的.
∴，∴，
即.
【题型专练】
1．（2022·山东烟台·高二期末）若函数在区间[1，2]上的最小值为0，则实数a的值为（ ）
A．－2B．－1C．2D．
【答案】C
【分析】对函数求导后，分和两种情况求出函数的单调区间，从而可求出函数的最小值，使最小值等于零，从而可出实数a的值
【详解】由，得，
当时，在上恒成立，
所以在上递增，
所以，解得（舍去），
当时，由，得或，
当时，在上恒成立，
所以在上递增，
所以，解得（舍去），
当时，当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值，所以，解得（舍去），
当时，当时，，所以在上递减，
所以，解得，
综上，，
故选：C
2.【2019年高考全国Ⅲ卷】已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）或.
【解析】（1）．令，得x=0或.
若a>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；
若a=0，在单调递增；
若a