第15讲 导数的应用（导数与函数的极值，最值）（原卷及解析版）

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(1)极小值点与极小值
若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，，而且在点附近的左侧，右侧，就把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值．
(2)极大值点与极大值
若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，，而且在点附近的左侧，右侧，就把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值．
(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值 ．
特别提醒：
（1），不一定是极值点
（2）只有且两侧单调性不同 ，才是极值点.
(3)求极值点，可以先求的点，再列表判断单调性.
2.求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：
（1）确定函数的定义域
（2）求方程的根
（3）用方程的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格
（4）由在方程的根左右的符号，来判断在这个根处取极值的情况
若左正右负，则为极大值；
若 左负右正，则为极小值；
若 左右同号，则无极值。
3.最大值:
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（1）对于任意的，都有;
（2）存在，使得
那么，称是函数的最大值
4.最小值:
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（1）对于任意的，都有;
（2）存在，使得
那么，称是函数的最小值
题型一：求极值
1．（全国高二课时练习）函数的极小值为（ ）
A．1B．
C．D．
【答案】B
【详解】
f′(x)＝－1＋2x＝2，令f′(x)＝0，得x＝．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
当x＝时，f(x)有极小值．
故选：B．
2．（全国高二课时练习）函数在区间上的极大值为（ ）
A．B．
C．－1D．0
【答案】C
【详解】
f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ －1.
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，
故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.
故选：C
3．（河南新乡县一中（文））已知函数，则的极大值为（ ）
A．0B．C．D．1
【答案】D
【详解】
因为，所以在，上单调递增，在[0，1]上单调递减，
所以的极大值为.
故选：D
4．（江苏沭阳·高二期中）函数的极大值为（ ）
A．18B．21C．26D．28
【答案】D
【详解】
函数的定义域为，求导，令，解得：，
所以当时，函数有极大值
故选：D.
5．（福建南平·高二期末）已知是函数的极小值点，则函数的极小值为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】B
【详解】
由题意，函数，可得，
因为是函数的极小值点，
则，即，解得，可得，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当是函数的极小值点，
所以函数的极小值为.
故选：B.
6．（山西省古县第一中学高二期中（理））已知函数的极大值和极小值分别为，，则（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】D
【详解】
解：，当时，该方程两个根为，
或，，
故在取到极大值、极小值，且，
.
故选：D.
7．（全国高二课时练习）函数在上的极大值为（ ）
A．B．0C．D．
【答案】A
【详解】
由可得
当时，单调递增
当时，单调递减
所以函数在上的极大值为
故选：A
8．（全国高二课时练习）已知函数极值点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【详解】
解：由，可得，
由，可得，令，可得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
故可得函数存在一个极值点，
故选：B.
题型二：根据极值求参数
1．（西藏日喀则区南木林高级中学高二期末（文））函数，已知在时取得极值，则等于（ ）
A．2B．5C．4D．3
【答案】B
【详解】
由题意，，且，
∴，可得.
∴，
当，有或，则、上递增；
当，有，则上递减；
∴是的极值点.
综上，.
故选：B
2．（安徽师范大学附属中学高二期中（文））函数在处有极值10，则的值为（ ）
A．，，或，B．，，或，
C．，D．，
【答案】C
【详解】
因为，所以，
由题意可得：，解得：或.
当时，，
在x=1的左右两侧正负相反，所以在处有极值，符合题意；
当时，恒成立，
所以在处无极值，应舍去；
故选：C
3．（陕西武功·高二期中（理））函数，已知在时取得极值，则的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【详解】
对函数求导得，
因为在时取得极值，所以，解得.
故选：D.
4．（宁夏吴忠中学（文））若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
解：，
因为函数f(x)＝x3＋ax2＋x既有极大值又有极小值，
所以函数有两不同的零点，
即，解得或，
所以a的取值范围是(－∞，－)∪ (，＋∞).
故选：B.
5．（四川省蒲江县蒲江中学高二月考（文））已知有极值，则的取值范围为（ ）
A．或B．C．或D．
【答案】C
【详解】
因为有极值，
所以有两个不相等的实根，
只需，
解得：或.
故选：C
6．（永寿县中学高二月考（理））若函数既有极大值，也有极小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
由题设，，又既有极大值，也有极小值，
∴有两个不同的零点，
∴，可得或.
故选：A
7．（南京市宁海中学高二期中）已知函数在处有极值0，则的值为（ ）
A．4B．7C．11D．4或11
【答案】C
【详解】
解：由，得，
因为在处有极值0，
所以，即，解得或，
当时，，则 在上单调递增，此时函数无极值，所以舍去，
当时，，令，得或，经检验 和都为函数的极值点，
综上，
所以，
故选：C
8．（甘肃兰州一中高二月考（文））已知函数的导数，且在处取得极大值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
（1）当时，
当时，，当时，，
则在处取到极小值，不符合题意；
（2）当时，函数无极值，不符合题意；
（3）当时，
当时，，当时，，
则在处取到极大值，符合题意；
（4）当时，，函数无极值，不符合题意；
（5）当时，
当时，，当时，，
则在处取到极小值，不符合题意；
综上所述，
故选：．
9．（滑县实验学校）已知函数在处取得极值0，则（ ）
A．4B．11C．4或11D．3或9
【答案】B
【详解】
因为，由题有，即，解得或，检验：当时，不合题意，舍掉；
当'时，，令，得或；令得.
所以在，上单调递增，在上单调递减，符合题意，则.
故选：B.
10．（元氏县第四中学高二期中）若函数在处取极值0，则（ ）
A．0B．2C．-2D．1
【答案】A
【详解】
解：,
则,
若在处取极值0，
则,解得：,
故,
故选：．
题型三：求最大（小）值
1．（广东高三月考）函数在上的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
因为，
所以当时，，此时函数是增函数，
所以，即.
故选：A.
2．（全国）函数在上的最小值为（ ）
A．B．C．0D．
【答案】B
【详解】
由，
得．
，得或．
所以在和上单调递增，在上单调递减．
又，，
所以在上的最小值为．
故选：B．
3．（全国高二专题练习）函数在上的最大值是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】A
【详解】
因为，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减.
所以，当时，函数取得最大值，即.
故选：A.
4．（安徽金安·毛坦厂中学（理））已知函数，则在上的最大值与最小值的差为（ ）
A．12B．2C．6D．4
【答案】A
【详解】
由，
令导数为0得，则，，单减；
时，，单增，
则，
，故，
故选：A
5．（合肥市第十一中学（理））在区间上的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
，，令，解得.
所以，，为减函数，
，，为增函数，
又因为，，
所以函数在的最大值为.
故选：D
6．（山西运城·（理））函数在上的最大值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【详解】
因，当时，，
由，得，当时，，当时，，
于是得在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值.
故选：B
7．（山西运城·（文））函数在上的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
【答案】D
【详解】
，所以时，，递减，时，，递增，
所以是在上的唯一极值点，极小值也是最小值．．
故选：D．
8．（四川省资中县第二中学高二月考（理））函数在上的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
因为函数，所以，
所以当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
又，，
所以函数在上的最大值是.
故选：C.
9．（重庆市清华中学校）函数在上的最小值是（ ）
A．B．C．D．0
【答案】B
【详解】
由题知，，.
当时，
由得，；由得，.
所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
函数的最小值为.
故选：B.
10．（北京大兴·高二期末）若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
解：令，，则，
令，解得；令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
又，作出函数的大致图象，
结合图象，由题意可得，解得，
所以实数的取值范围是，．
故选：．
x
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
极大值
极小值