高中数学8.5 空间直线、平面的平行学案设计

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知识点1异面直线所成的角
知识点2直线与平面垂直的判定和性质
1.直线与平面垂直的判定定理
2.直线与平面垂直的性质定理
推论：
①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．
②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面.
③若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面
④垂直于同一条直线的两个平面平行.
知识点3直线和平面所成的角
重难点1求异面直线所成的角
1．如图，在直三棱柱中，为等腰直角三角形，且，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】将直三棱柱补形为如图所示的正四棱柱：

连接、，则，
则异面直线与所成角的平面角为(或其补角)，
又，，
由余弦定理可得：，
所以，故B正确.
故选：B.
2．在正四棱锥中，为的中点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】连接交于，取的中点，再连接，
因为，所以为所求角或其补角，
在中，为的中点，且，所以，
所以正四棱锥的所有棱长都相等．
设四棱锥的棱长均为2，在中，，，
所以.
故选：D.
3．如图，空间四边形的所有棱长为1，D、E分别是棱的中点，则与所成角为
【答案】
【详解】取中点，连接、、、，
则且，，
有，故，则，
由，故与所成角等于，
又，
即，即与所成角为.
故答案为：.
4．如图，在每个面都为等边三角形的四面体中，若点，分别为，的中点，试求异面直线与所成的角．
【答案】
【详解】如图，连接，， 取的中点为，连接，.
又因为为的中点，
所以，
则为异面直线与所成的角(或补角)．
设四面体的棱长为a，
则，
又分别为的中点，
所以，
在等边中，，
所以，同理，
在中，因为，
所以，
所以
故是等腰直角三角形，
故，即异面直线与所成的角为.
5．在长方体中，，，M、N分别是AD、DC的中点.
(1)求：棱锥的体积；
(2)求：异面直线与所成角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，，∴，，
故，
又⊥平面，
故三棱锥的体积为：
.
（2）连接，
∵M、N分别是AD、DC的中点，∴，
又，∴，

异面直线与所成角为或其补角，
其中，，
由余弦定理得，
故异面直线与所成角的余弦值为．
重难点2由异面直线所成的角求长度
6．如图，在长方体中，，异面直线与所成的的余弦值为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】连接，交于点，取的中点，连接.
因为，所以与所成的角为（或其补角）.
令，在中，由，得.
又，，
由余弦定理得，即，解得，
所以.
故选：C
7．如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线所成的角为，则（ ）
A．1B．C．1或2D．2或
【答案】D
【详解】如图，过点作平面于点，则是母线，
连接底面，，
则四边形是平行四边形，，
与所成的角就是或其补角．
当时，是等边三角形，，
在中，；
当时，在中，，
在中，．
综上，或.
故选：D．
8．在正三棱柱中，E，F分别是棱BC，的中点，若异面直线与EF所成的角是45°，则该三棱柱的侧面积与表面积的比值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】取AC中点D，连接FD，DE，
又在正三棱柱中，E，F分别是棱BC，的中点，
则，且面ABC，
又直线与EF所成的角是45°，，
直线与EF所成的角是45°
故为等腰直角三角形，
不妨设，则，
则
故
故选：D
9．已知四面体中，，、分别为、的中点，且异面直线与所成角为，则 .
【答案】或
【详解】取线段的中点，连接、，
在四面体中，，、分别为、的中点，为的中点，
所以，，，且，，
所以，异面直线、所成角为或其补角，
因为异面直线与所成角为，则或.
当时，则是边长为的等边三角形，此时，；
当时，由余弦定理可得
.
综上所述，或.
故答案为：或.
10．如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB＝CD，E、F分别为BC、AD的中点．

(1)若AB⊥CD，求EF与AB所成的角的大小；
(2)若AB＝CD＝2，且异面直线AB与CD所成角的大小为60°，求线段EF的长．
【答案】(1)45°；
(2)或
【详解】（1）取BD的中点G，连接EG、FG；

因为E、F分别为BC、AD的中点，所以EG∥CD，GF∥AB，
且EG＝CD，GF＝AB；又AB＝CD，所以EG＝GF；
因为AB⊥CD，所以EG⊥GF；
在△EGF中，EG＝GF，EG⊥GF，所以△EGF为等腰直角三角形，得∠EFG＝45°；
因为GF∥AB，所以EF与AB所成的角即为∠EFG，
即EF与AB所成的角的大小为45°；
（2）因为AB＝CD＝2，所以EG＝GF＝1；
因为AB与CD所成角的大小为60°，所以∠EGF＝60°或120°；
在△EGF中，当∠EGF＝60°时，此三角形为等边三角形，故EF＝1；
在△EGF中，当∠EGF＝120°时，由余弦定理得，EF2＝EG2＋GF2－2EG·GF·cs120°＝3，故EF＝，
综上，或
11．如图，在空间四边形中，，M，N分别是，的中点．若异面直线与所成的角为，求的长．
【答案】或4.
【详解】如图所示：
取的中点E，连接．因为M，N分别是的中点，
所以且，且，
从而（或其补角）即为与所成的角．
又异面直线与所成的角为，所以或，
当时，由余弦定理可知
.
当时，由余弦定理可知
重难点3线面垂直的判定和性质
12．如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点.证明：平面.
【答案】证明见解析
【详解】
因为四边形是菱形，所以.
因为，，平面，且，所以平面.
因为平面，所以.
因为，所以，即.
因为，平面，且，所以平面.
13．如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，，，为棱的中点.求证：平面.
【答案】证明见解析
【详解】
由题意可知，平面，又平面，所以，
又，所以，
又，面，
所以平面，又平面，
所以，
因为为的中点，，
在中，，所以，
所以，即，
而，面，
故有平面.
14．如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面．
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
【详解】（1）由题意，底面是矩形，即，
平面，平面，所以平面；
（2）由题意，平面，平面，
所以，
又底面是矩形，即，
平面，平面，
所以平面．
15．在正方体中，E为棱的中点，底面对角线AC与BD相交于点O.求证：

(1)平面；
(2).
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）
如图，连结，在正方体中，
因为，为棱的中点，
所以为的中位线，所以，
又因为平面，不在平面内，
所以平面.
（2）在正方体中，
由面，面，所以，又，
面，面，，所以面，
又由面，所以.
16．如图所示，已知平面，，点E和F分别为和的中点.

(1)证明：平面；
(2)证明：平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）连接，在中，
∵点E和F分别是和的中点，，
又平面且平面，
平面；

（2）为中点，，
平面，平面，
平面，，
又平面且，
平面.
17．如图，在三棱锥中，，是的中点，且.

(1)求证：平面；
(2)若，求证：平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）
因为，是的中点，所以.
在中，，
由已知，所以，所以.
又平面，
所以平面.
（2）
因为，是的中点，
所以.
由(1)知.
又因为平面，
所以平面.
重难点4直线与平面所成的角
18．如图，在正方体中，直线与平面所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】连接，则，
因为平面，平面，
所以，
又平面，
所以平面，
所以即为直线与平面所成角的平面角，
在等腰直角三角形中，，
所以直线与平面所成的角为.
故选：B.
19．（多选）如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体，且该八面体的各棱长均相等，则（ ）
A．平面平面
B．平面平面
C．直线与平面所成角的正弦值是
D．平面与平面夹角的余弦值是
【答案】AD
【详解】连接AC交BD于点O，则点O为正方形ABCD的中心，
由对称性可知，，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面CDE，平面，所以平面，
同理平面，又，AF，平面，
所以平面平面，A正确；
取中点，连接，则，
所以为二面角的平面角，
设该八面体的棱长为，则，
所以，
所以二面角不是直二面角，则平面与平面不垂直，
而平面平面，所以平面与平面也不垂直，B错误；
同理，取中点，连接，为二面角的平面角，
，所以平面与平面夹角的余弦值是，D正确；
由，，得，在正方形ABCD中，，
平面BEDF，平面BEDF，又，所以平面BEDF，
所以即为直线AE与平面BDE所成的角，
设该八面体的棱长为2，则，
所以，所以，C错误.
故选：AD.
20．如图，在四棱锥中，平面，， 为棱的中点．
(1)求证：//平面；
(2)当 时，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）取中点为，连接，如下所示：
在△中，因为分别为的中点，故//；
又，故//，则四边形为平行四边形，//；
又面面，故//面.
（2）过点作延长线的垂线，垂足为，连接，如下所示：
由（1）可知，//，故平面也即平面；
因为//，则；
又面面，故；
又面，故面；
又面，则，又；
面，故面，
则即为与平面的夹角；
在△中，因为，则，；
在△中，因为，，则；
又，，即直线与平面所成角的正弦值为.
21．已知三棱锥中，平面，过点分别作平行于平面的直线交于点．
(1)求证：平面；
(2)若为的中点，，求直线与平面所成角的正切值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【详解】（1）由平面平面，平面，
得平面平面，而平面，
所以平面．
（2）连接，由平面平面，得，
则是直线在平面内的射影，是直线与平面所成的角，
在中，，则，
由点是的中点，得，在中，，
所以直线与平面所成角的正切值是．
22．如图在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，设分别为的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为面面，且面面，，面，
所以面，又面，
所以，
又，又，
所以，
所以为等腰直角三角形，且，
又，且面，
所以面，又面，
所以平面平面；
（2）因为分别为的中点，所以，
所以直线与平面所成角的大小等于直线与平面所成角的大小，
因为侧面底面，
所以就是直线与平面所成角，
又为等腰直角三角形，且，
所以，
即直线与平面所成角的大小为.
23．如图，是矩形所在平面外一点，且平面．已知．
(1)求二面角的大小；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵底面为矩形，∴，
又∵平面，平面，
∴，
平面，∴平面，
又平面，∴，
易知即二面角平面角，，
由题意易知，故二面角的大小为．
（2）如图所示，过作交于点，连接，
根据已知平面，平面，∴，
∵平面，
∴平面，
由直线与平面的夹角的定义可知直线与平面所成角为，
矩形中，易知，
又易知，
∴，
∴直线与平面所成角的正弦值为．
重难点5线面垂直的存在性问题
24．如图，矩形中，，平面，若在线段上至少存在一个点满足，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】解：平面，平面，
，
又，，
平面，又平面，
，
所以点是以中点为圆心，以为直径的圆与的交点，
，，在线段上至少存在一个点满足，
．
故答案为：．
25．如图所示，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝2.
(1)求PC与平面PBD所成的角；
(2)在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？若存在，确定E点的位置；若不存在，说明理由.
【答案】(1)30°
(2)存在，E为PB的中点
【详解】（1）解：设AC交BD于O，
∵PD⊥平面ABCD，平面ABCD，∴PD⊥AC，
又BD⊥AC，且，∴OC⊥平面PBD，
又平面PBD，∴OC⊥OP，
∴∠CPO为PC与平面PBD所成的角，
∵PD=AD=2，∴AC=，∴OC= ，PO= ，
∴tan∠CPO= = ，∴∠CPO=30° ，
即PC与平面PBD所成的角为30°；
（2）解：在线段PB上存在一点E，E 为PB的中点，使得PC⊥平面ADE ，
因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，
所以，
又因，
所以BC⊥平面PDC，因为平面PDC，所以DF⊥BC，
又取PC的中点F，取PB的中点E，连结EF，则， 所以PC⊥EF，
因为PD=DC，所以DF⊥PC，
又因为，所以PC⊥平面DEF，
因为，所以，
则平面即为平面，
所以PC⊥平面ADE.
所以在线段PB上存在一点E，E 为PB的中点时，PC⊥平面ADE.
26．若图，三棱柱的侧面是平行四边形，，，且、分别是、的中点.
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【详解】（1）证明：取中点，连接、.
因为、分别是、的中点，
所以且.
在平行四边形中，且，
因为是的中点，所以且.
所以且，所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）解：当点为线段的中点时，平面，理由如下：
取的中点，连接、.
因为，，，所以，平面，
因为、分别为、的中点，则，
平面，平面，则平面，
又因为平面，，所以，平面平面，
所以，平面.
故当点是线段的中点时，平面，此时，.
27．如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是平行四边形，BC1⊥C1C，平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，且E，F分别是BC，A1B1的中点.
(1)求证：BC1⊥A1C；
(2)求证：EF∥平面A1C1CA；
(3)在线段AB上是否存在点P，使得BC1⊥平面EFP？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在,
【详解】（1）证明：因为，又平面平面，
且平面平面，平面，所以平面．
又因为平面，所以．
（2）证明：取中点，连，连．
在中，因为，分别是，中点，
所以，且．
在平行四边形中，因为是的中点，
所以，且．
所以，且．
所以四边形是平行四边形，所以．
又因为平面，平面，所以平面．
（3）解：在线段上存在点，使得平面．
取的中点，连，连．
因为平面，平面，平面，
所以，．
在中，因为，分别是，中点，所以．
又由（2）知，所以，．
由，平面，所以平面．
故当点是线段的中点时，平面．此时．
28．如图1，在中，，，分别为，的中点，点是线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2．
（1）证明：；
（2）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，．
【详解】（1）证明：由已知得且，
，又，
平面，面平面，
，
又平面，
.
（2）
线段上存在点，使平面.
理由如下：如图，分别取的中点，则.
平面即为平面.
由（1）知平面，
又是等腰三角形底边的中点，，
平面，从而平面，
故线段上存在点，使平面，其中.
29．如图，在正方体中，，.
（1）求证：；
（2）在线段上，是否存在点，使得平面？并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析.
【详解】（1）如图，连接，因为，，所以，分别为，的中点，所以，
又，所以.
（2）如图，取的中点，连接，，
因为平面，所以，又，所以.
因为，，所以.
因为，所以平面，
所以在线段上，存在点，使得平面.
【点睛】关键点睛：本题考查空间中的线线垂直，线面垂直关系的证明，关键在于准确地应用判定定理，满足判定定理所需的条件得以证明．
知识点4平面与平面垂直的判定与性质
1.平面与平面垂直的判定定理
2.平面与平面垂直的性质定理
知识点5二面角的概念
重难点6垂直有关命题的判断
30．已知直线和平面，则下列判断中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【详解】A：若，则两直线平行或异面或相交，故A错误；
B：若，当直线在平面内时，则直线不平行于平面，故B错误；
C：若，设过的平面与相交于，则，
又因为，，所以，所以，所以，故C正确；
D：若，则或或，故D错误；
故选：C.
31．已知是直线，，是两个不同的平面，下列正确的命题是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】D
【详解】选项A：根据给定条件有 或；
选项B：根据给定条件有 或；
选项C：根据给定条件有与的位置可能平行、相交或m在α内；
选项D：因为，所以存在直线使得，
又因为，所以，因为，所以.
故选：D.
32．设，为两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，则
【答案】B
【详解】
对于A中，若，，，则，故A不正确；
对于B, 若，，则，若，则，故B正确；
对于C中，，不一定垂直；
对于D中，，或与相交.
故选：B.
33．（多选）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（ ）
A．若，则
B．若，则与为异面直线
C．若，则
D．若，则
【答案】AD
【详解】对于A，因为，所以存在直线，使得.因为，所以，所以，故A正确.
对于B根据B选项的条件直线与可能相交，也可能为异面直线.故B不正确.
根据C选项的条件不能排除.故C不正确
对于D因为若则存在直线，使得，因为所以，所以 ，故D正确.
故选：AD
34．（多选）已知m、n为两条不重合的直线，、为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，，则
【答案】ABD
【详解】对于A，若， ，所以，
又且m、n为两条不重合的直线，则，故A正确；
对于B，若，，则或，
当时，又，从而，
当，存在平面，使得，且，
又，从而，又，所以，故B正确；
对于C，若，，则，又，则或，故C错误；
对于D，若，，则，又 ，，所以，故D正确.
故选：ABD.
重难点7证面面垂直
35．如图，在三棱柱中，．
(1)求证：平面平面；
(2)求四棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【详解】（1）如图，取的中点，连接，
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以．
在中，，所以，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）由（1）可知平面，，
所以四棱锥的体积
．
36．如图，在几何体中，四边形为菱形，对角线与的交点为O，四边形为梯形，.
(1)若，求证：平面；
(2)若，求证：平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）证明：取的中点，连接，，
∵是菱形的对角线，的交点，
∴，且，
又∵，且，
∴，且，
从而为平行四边形，
∴，
又平面，平面，
∴平面.
（2）证明：连接，
∵四边形为菱形，∴，
∵，是的中点，∴，
又，平面，
∴平面，又平面，
∴平面平面.
37．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为的中点.证明：平面平面.

【答案】证明见解析
【详解】因为平面，平面，则，
取中点，连接，

因为，，，
则，且，可知四边形为平行四边形，
又因为，，可知四边形为正方形，
则，⊥，
所以为等腰直角三角形，
故，，即，
又，平面，可得平面，
因为平面，所以平面⊥平面.
38．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且，为中点．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）连接交于点，连接，
四边形为正方形，为中点，又为中点，，
平面，平面，平面.
（2）平面，平面，；
四边形为正方形，；
，平面，平面，
平面，平面平面.
39．已知平面五边形如图1所示，其中，是正三角形．现将四边形沿翻折，使得，得到的图形如图2所示．求证：平面平面．
【答案】证明见解析
【详解】如图，取的中点，连接，
因为是等边三角形，为的中点，所以，
因为，所以，
因为，，，
所以四边形为矩形，所以，
又因为，所以，即，
因为，，，平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面．
40．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的正方形，．证明：平面平面；
【答案】证明见解析
【详解】连接，与相交于点，连接，
四边形ABCD是边长为2的正方形，则，为和的中点，
，则，
平面，，平面，
又因为平面，所以平面平面.
重难点8利用面面垂直证线面垂直
41．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M为CD的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM.点O是线段AM的中点．求证：
(1)平面BDO⊥平面ABCM；
(2)AD⊥BM.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】
证明：（1） 在矩形ABCD中，AB＝2AD，M为CD的中点，∴ AD＝DM.
∵ O是AM的中点，∴ DO⊥AM.
∵ 平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，∴ DO⊥平面ABCM，
∵ DO⊂平面BDO，∴ 平面BDO⊥平面ABCM.
（2） 在矩形ABCD中，AB＝2AD，M为CD的中点，
∴ AM＝BM＝AD＝AB，则AM2＋BM2＝AB2，
∴ AM⊥BM.
由（1）知，DO⊥平面ABCM，
∵ BM⊂平面ABCM，∴ DO⊥BM.
∵ DO∩AM＝O，DO⊂平面ADM，AM⊂平面ADM，
∴ BM⊥平面ADM.
∵ AD⊂平面ADM，∴ AD⊥BM.
42．如图，四棱锥中，，，，平面ABCD⊥平面PAC．

(1)证明：；
(2)若，M是PA的中点，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
取BC中点N，连接AN，则，又，，
所以四边形ANCD为正方形，则，，

又在中，，则，所以，即．
又平面ABCD⊥平面PAC，平面平面，平面，
所以平面，又面PAC，所以．
（2）
连接，交于O，连接，
因为平面，平面，所以
由于，，又因为，为的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面
所以，
，
又因为M为PA中点，所以
43．在三棱柱中，平面平面ABC，，，D为AC的中点．求证：平面平面.

【答案】证明见解析
【详解】取的中点，连接，如下图所示：

由题意可知为等边三角形，则，且，可得，
因为平面平面ABC，平面平面，平面，
所以平面ABC，由平面ABC，可得，
又因为，，平面，
可得平面，且平面，
所以平面平面.
44．如图，在直三棱柱中，为正三角形，点E，F分别在棱，上，且，．

(1)证明：平面平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取AC的中点，过点作，交于点，连接BG，EH，如图．
由，且，则，
由，则，所以，
由，且可知，，且，
所以四边形BEHG是平行四边形，所以．
因为为正三角形，点为AC的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．

（2）因为，所以，又，
所以．
由（1）知平面，且，
因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
所以．
45．如图，在三棱柱中，，平面平面为的中点.

(1)求证：平面；
(2)求证：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）连接交于点，则为的中点，连接，
因为为的中点，所以，
又平面，且平面，
所以平面.
（2）连接，因为，所以四边形为菱形，
所以，
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
又平面，所以，
因为平面，
所以平面，
又平面，所以.

46．如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，，且在中，，．
(1)求证：；
(2)若，求四棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
如图，取CD的中点E，连接BE．
∵，∴．∵且，
∴四边形ABED是矩形，
∴．
又∵，即，且，平面PAD，平面PAD，
∴平面PAD．
∵平面PAD，
∴．
（2）由题可得，．
又平面PAD，平面ABCD，∴平面平面ABCD．
∵平面平面，∴过P作于H，则平面ABCD．
∵，，∴．
∴．
故四棱锥的体积为．
重难点9求二面角的大小
47．如图，正方体，棱长为是的中点，则二面角的正弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
如图，取中点，连接，，
因为为正方体，所以，，
因为为中点，所以，，
因为平面平面，平面，平面，
所以是二面角的平面角，
，，，
，所以二面角的正弦值为.
故选：B.
48．三棱锥中，平面ABC，，，，，则二面角的大小为 .
【答案】30°
【详解】由题可得，即，
如图：
平面ABC，平面ABC，，
又，，PC，平面PAC，
平面PAC，
而平面PAC，，
即为二面角的平面角，
在直角三角形PCA中，，
可得
故答案为：
49．如图，已知平面与底面所成角为，且．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
因为平面，平面，所以，
又由已知得，，
则，即，
又平面，
所以平面；
（2）
因为平面，平面，所以，
所以为二面角的平面角，
因为平面与底面所成角为，
所以为与底面所成角，由，得，
在中，，则，
所以二面角的大小为．
50．如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，为的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的平面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
由题意，
因为四边形为菱形，所以.
连接AC.

因为，
所以为等边三角形，从而.
在中，是的中点，
所以.
因为平面，平面，
所以.
∵，面，平面，面，
∴平面.
又平面，
∴平面PCE⊥平面PAD
（2）由题意及（1）得，
在平面中，过点作，垂足为，连接.

因为平面,平面，所以.
又, 平面,平面，所以平面.
又平面，所以，
从而是二面角的平面角．
在Rt中，,，
所以.在Rt中，，，
所以.
在Rt中,
,
所以二面角的平面角的正弦值为.
51．如图，已知正方形所在平面与等腰直角三角形所在平面相互垂直.以为直径，在平面内作半圆（半圆位于的左侧）.点为弧上的一点.

(1)证明：平面ADF;
(2)若点为弧的中点，求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：由于平面平面，且两平面交线为，平面，，
所以平面，
又平面，
所以，
又在以为直径的半圆上，
因此可以得到.
又因为，平面，
所以平面ADF.
（2）
过在平面内作交的延长线于点，
则平面，
过作交于点，连接.
由于平面，平面ABCD，
所以，
又，，，平面，
所以平面，又平面，即，
又，
所以就是所求二面角的平面角.
点为弧的中点，设正方形的边长为2，则，，
则，
，，
在中，，所以，
即二面角的余弦值为.
52．如图（1），六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，沿进行翻折，得到的图形如图（2）所示，且.

(1)求证：平面.
(2)求二面角的余弦值；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在等腰梯形ADEF中，作于M，

则，可得，
连接AC，则，
因为，可得，
由，可得，
且，平面，所以平面.
（2）由（1）可知平面ADEF，且平面，可得，
且，，平面，可得平面，
且平面，可得，
又，可知就是二面角的平面角，
在，可得，
所以二面角的余弦值为.
重难点10面面垂直的存在性问题
53．如图示，正方形与正三角形所在平面互相垂直，是的中点.

(1)求证：；
(2)在线段上是否存在一点N，使面面？并证明你的结论.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点，当为中点时面面，证明见解析
【详解】（1）
，为的中点．
，平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，
．
（2）存在点，当为中点时，面面；
证明如下：
四边形是正方形，为的中点，则，
所以，又，所以
，
由（1）知，平面，平面，，
又，平面，平面，
平面，
平面平面．

54．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．

(1)求证：平面；
(2)在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，.
【详解】（1）由侧面是正三角形，M是的中点，得，
由正方形，得，而平面平面，平面平面，
且平面，则平面，又平面，于是，
而平面，
所以平面.
（2）取的中点，的中点，连接，连接，连接，连接，

于是，由正方形，得，则，令，
显然是正的中心，，，
又平面平面，平面平面，则平面，
平面，即有，而平面，
则平面，平面，在平面内过作交于，
显然，而平面，因此平面，
连接并延长交于，连接，于是平面平面，
过作，则有，，，
，，则，又，，
从而点是线段的中点，，过作交于，
于是，即，显然，因此，
所以在棱上存在点N使平面平面成立，.
55．如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点.

(1)证明：平面；
(2)在棱上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，且点为棱的中点
【详解】（1）证明：取的中点，连接、、，
因为且，故四边形为平行四边形，所以，且，
因为为的中点，则且，
因为、分别为、的中点，所以，且，
所以，且，故四边形为平行四边形，所以，，
因为平面，平面，所以，平面，
因为、分别为、的中点，所以，，
因为平面，平面，所以，平面，
因为，、平面，所以，平面平面，
因为平面，故平面.
（2）解：当点为的中点时，平面平面，

因为四边形为矩形，则，因为，则，
因为四边形为菱形，则，
因为，则为等边三角形，
因为为的中点，所以，，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，平面平面，
因此，当点为的中点时，平面平面.
56．在四棱锥中，是等边三角形，且平面平面，，．

(1).在AD上是否存在一点M，使得平面平面，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
(2).若的面积为，求三棱锥的体积．
【答案】(1)存在；证明见解析
(2)
【详解】（1）存在，当M为的中点时，平面平面．
证明：取AD的中点M，连接，
由是等边三角形，可得，
由平面平面，平面，
平面平面，可得平面，
由平面，可得平面平面．
（2）设，可得，
则，由，
可得，
由.
所以三棱锥P－ABC的体积为．
.
57．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形且，，．
(1)求的值；
(2)若，是否存在，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，.
【详解】（1）解：取线段的中点，连接、，
因为四边形是边长为的菱形，则，，
因为，由余弦定理可得，
，所以，即，
又且是的中点，,
，、平面，平面，
平面，，，，
，；
（2）解：过点在平面内作，垂足为点，
因为平面，平面，
所以，平面平面，
平面平面，平面，，
所以，平面，
过点作，分别交、于点、，
因为，则，
所以，、、、四点共面，
因为平面，
所以，平面平面，
因为，，，
则，
因为，，由余弦定理可得，
所以，，
，
所以，,
，
因为，所以，.
定义
已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，则与所成的锐角(或直角)
取值范围
垂直
如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作.
文字语言
图形语言
符号语言
线线垂直线面垂直
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
文字语言
图形语言
符号语言
线面垂直线线平行
垂直于同一个平面的两条直线平行.
定义
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角
规定
一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；
一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角
取值范围
文字语言
图形语言
符号语言
线面垂直面面垂直
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
文字语言
图形语言
符号语言
面面垂直线面垂直
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
画法
记法
二面角或
二面角的平面角
①；②；③，
则二面角的平面角是．