数学必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行学案

这是一份数学必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行学案

8.5　空间中直线、平面的平行8.5.1 直线与直线平行【学习目标】【自主学习】 一．基本事实41.平行于同一条直线的两条直线 ．这一性质通常叫做平行线的 ．符号表示：EQ \* jc0 \* hps21 \o(\s\up 9(a∥b),b∥c)⇒a∥c.2.定理【小试牛刀】1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)如果一个角的两边与另一个角的两边平行，那么这两个角相等．( )(2)如果两个角相等，则它们的边互相平行．( )2.已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝(　　)A．30° B．150°C．30°或150° D．大小无法确定【经典例题】题型一　直线与直线平行的证明点拨：证明空间中两条直线平行的方法1.利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明．2.利用基本事实4即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b. 例1 如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′中，M、N分别为CD、AD的中点，求证：四边形MNA′C′是梯形．【跟踪训练】1 如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点.(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形.题型二　等角定理的应用点拨：运用定理判定两个角是相等还是互补的途径有两种：一是判定两个角的方向是否相同；二是判定这两个角是否都为锐角或都为钝角，若都为锐角或都为钝角则相等，反之则互补． 例2 下列结论中，正确的结论有(　 　)①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.A．1个　　 B．2个　　C．3个　　 D．4个【跟踪训练】2 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，M，N，P分别为AA1，BB1，CC1的中点．求证：∠MC1N＝∠APB. 【当堂达标】1.下列结论中正确的是( )①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③2.在长方体ABCDA′B′C′D′中，与AD平行的棱有____________(填写所有符合条件的棱)3.空间中有两个角α，β，且角α、β的两边分别平行．若α＝60°，则β＝________．4.如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是________(填序号)． 5.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．求证：(1)四边形BB1M1M为平行四边形；(2)∠BMC＝∠B1M1C1.【课堂小结】1.求证两直线平行，目前有两种途径：一是应用基本事实4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点．2.求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．3.证明线线平行的常用方法(1)利用三角形、梯形中位线的性质．(2)利用平行四边形的性质．(3)利用平行线分线段成比例定理．(4)利用基本事实4.【参考答案】【自主学习】平行 传递性 相等 互补【小试牛刀】1.(1)× (2)×2.C 解析：两个角的两边分别对应平行，那么这两个角是相等或互补关系，所以∠B′A′C′＝30°或150°.【经典例题】例1 证明：连接AC.∵M、N为CD、AD的中点，∴MN∥eq \f(1,2)A C，MN=eq \f(1,2)AC.由正方体性质可知AC∥A′C′.∴MN∥eq \f(1,2)A′C′，MN=eq \f(1,2)A′C′.∴四边形MNA′C′是梯形．【跟踪训练】1 证明(1)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝eq \f(1,2)AC，所以EF∥HG，EF＝HG，所以四边形EFGH是平行四边形.(2)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EH∥BD，EH＝eq \f(1,2)BD.因为EF＝eq \f(1,2)AC，AC＝BD，所以EH＝EF.又因为EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形.例2 B 解析: ②④是正确的.【跟踪训练】2 证明：因为N，P分别是BB1，CC1的中点，所以BNC1P，所以四边形BPC1N为平行四边形，所以C1N∥BP.同理可证C1M∥AP，又∠MC1N与∠APB方向相同，所以∠MC1N＝∠APB.【当堂达标】1.B 解析：①错，可以异面．②正确．③错误，和另一条可以异面．④正确，由平行线的传递性可知．2.A′D′，B′C′，BC3. 60°或120° 解析：因为α与β两边对应平行，但方向不确定，所以α与β相等或互补．4. ①② 解析：结合基本事实4可知，①②均是平行直线，④中RS和PQ相交，③是异面直线．5.证明：(1)因为在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，所以MM1═∥AA1.又因为AA1═∥BB1，所以MM1∥BB1，且MM1＝BB1.所以四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，所以B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，所以C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角，所以∠BMC＝∠B1M1C1.素 养 目 标学 科 素 养1.掌握基本事实4及等角定理.2.会用基本事实4证明线线平行.1.直观想象;2.逻辑推理；文字语言如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 或 图形语言作用判断或证明两个角相等或互补