高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系导学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系导学案及答案，文件包含专题35空间直线平面的平行十个重难点突破原卷版docx、专题35空间直线平面的平行十个重难点突破解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共73页， 欢迎下载使用。

知识点1基本事实4与等角定理
1.基本事实4
①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．
②符号表述：，作用：证明两条直线平行
2.等角定理
①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
②符号语言：,或
等角定理的两个推论：
（1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；
（2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。
作用：判断和证明两个角相等或互补。
3.空间四边形
顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形．
这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；
所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；
连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．
知识点2直线与平面平行
1．直线与平面的位置关系
2．直线与平面平行的判定定理
3．直线与平面平行的性质定理
重难点1基本事实4与空间四边形
1．若，且，OA与的方向相同，则（ ）
A．，且方向相同B．，且方向不同
C．OB与不平行D．OB与不一定平行
【答案】D
【详解】在正方体中，如下图所示，则，
如下图所示，则与不平行，
综上所述，D选项符合.
故选：D
2．当角与角的两边分别平行，当角时，角
【答案】或
【详解】因为角与角的两边分别平行，
所以角与角相等或互补，
又，所以或.
故答案为：或
3．已知，的两边EF、FM分别平行于的两边AB与BC.则 ．
【答案】或
【详解】由等角定理，如果一个角的两边与另一个角的两边平行，则两个角相等或互补，所以或.
故答案为：或.
4．如图，正方体中，E，F，G分别是棱，及的中点，，则

【答案】/
【详解】连接，如下图所示：

依题意且，所以四边形为平行四边形，
所以，
同理可得，
根据空间等角定理可知或与互补，显然与不互补，
所以；
由正方体可知，平面，而平面，所以，
即，又，所以，
故答案为：
5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1.
【答案】证明见解析
【详解】
证明：如图所示，连接B1C.
因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以GF∥B1C.
又ABCD－A1B1C1D1为正方体，
所以CD∥AB，A1B1∥AB，所以CD∥A1B1，
所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D∥B1C.
又B1C∥FG，所以A1D∥FG.
同理可证A1C1∥EG，DC1∥EF.
又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两条边分别对应平行且方向相同，
所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF.
所以△EFG∽△C1DA1.
重难点2等角定理的应用
6．一平面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形只有一条对角线与这个截面平行，那么这四个交点围成的四边形是（ ）
A．梯形B．菱形C．平行四边形D．任意四边形
【答案】A
【详解】解：根据题意，不妨设该面截空间四边形ABCD的四边得到四个交点E、F、G、H，AC∥平面EFGH，BD不平行于平面EFGH.
因为AC∥平面EFGH，AC平面ABC，且平面ABC平面EFGH=EF，
所以AC∥EF，
同理可得：AC∥GH，
所以GH∥EF；
下面证明EH与FG不平行.
假设EH∥FG,由FG平面BCD，平面，得EH∥平面BCD，
又因为EH平面ABD，且平面ABD平面BCD=BD，
由线面平行的性质可得：EH∥BD，
又EH平面EFGH，平面
所以BD∥平面EFGH，
与题设BD不平行于平面EFGH矛盾，
所以EH与FG不平行，
所以四边形EFGH是梯形.
故选：A．

【点睛】
7．如图，在三棱柱中，E，F分别是AB，AC上的点，且，则EF与的位置关系是（ ）
A．异面B．平行C．相交D．平行或相交
【答案】B
【解析】根据线段比例关系,可得直线与直线的平行.结合空间中平行线的传递性即可判断.
【详解】因为在中,
所以
又因为
所以
故选:B
【点睛】本题考查了根据线段比例关系证明直线平行,空间中平行线传递性的应用,属于基础题.
8．在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别边上的中点，则直线EG和FH的位置关系是 ．
【答案】相交
【详解】∵E、F、G、H分别是四边上的中点，
∴，即，
同理可得：，
故E、F、G、H四点共面，且为平行四边形，则直线EG和FH的位置关系是相交.
故答案为：相交.
9．如图，E、F、G、H分别为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且AC＝6，BD＝4，则当＝ 时，四边形EFGH为菱形．
【答案】/1.5
【详解】解：∵E、F、G、H分别为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且AC＝6，BD＝4，
∴当＝＝＝时，EH∥BD∥FG，EF∥AC∥GH，且EH＝GF＝BD＝，EF＝GH＝＝，
∴当＝时，四边形EFGH为菱形．
故答案为：．
10．如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是棱的中点，则EF与GH在原正方体中的位置关系为 .
【答案】平行
【详解】由题意，将正方体的表面展开图还原构造成正方体，如图所示:
分别取AB，AA1的中点Q，P，连接EP，FQ，PQ，A1B，
由正方体的结构特征可得EF∥PQ，
又因为点Q，P，H，G分别是AB，AA1，A1B1，BB1的中点，故PQ∥A1B，HG∥A1B，
故PQ∥HG，所以EF∥GH.
故答案为：平行
11．如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行．
【答案】证明见详解
【详解】∵E、H分别是AB、AD的中点，则，
又∵F、G分别是BC、CD上的点，且，则，
∴，
故直线EH与直线FG平行．
12．在空间四边形中，，与直线都平行的平面分别交于点E，F，G，H．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求四边形的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为直线平面平面，平面平面，所以．
同理得，所以．同理得，所以四边形是平行四边形，
（2）由（1）可知，两式相加得，所以四边形的周长为．
重难点3证线面平行
13．如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】对于A,如下图所示，
易得,
则，
又平面,平面,
则平面，故A满足；
对于B，如下图所示，
为所在棱的中点，连接,
易得,
则四边形为平行四边形，
四点共面，
又易知，
又平面,平面,
则平面，故B满足；
对于C,如下图所示，
点为所在棱的中点，连接,
易得四边形为平行四边形，四点共面，
且,
又平面,平面,
则平面，故C满足；
对于D，连接,
由条件及正方体的性质可知四边形是等腰梯形，
所以与所在的直线相交，
故不能推出与平面不平行，故D不满足，
故选：D.
14．已知三棱柱中，D，E分别是AB，的中点，有以下四个结论：
①直线平面； ②直线平面；
③直线平面； ④直线平面CDE.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】
对于①：如图1，连接，交于点F，连接DF，则点F是的中点，又D是AB的中点，所以，因为平面，平面，所以直线平面，所以①正确.
对于②：如图2，取BC的中点F，连接DF，，因为D是AB的中点，所以，且，又，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以直线平面，故②正确.
对于③：如图3，取BC的中点F，连接DF，因为D是AB的中点，所以，且，又，，所以，，连接EF，所以四边形是平行四边形，所以，显然EF与平面相交，则与平面相交，故③错误.
对于④：如图4，连接，交EC于点F，连接DF，则平面平面，若直线平面CDE，则，由于D是AB的中点，所以点F是的中点，而显然点F不是的中点，矛盾，故④错误.
故选：B.
15．如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点.证明：平面.

【答案】证明见解析
【详解】证明：取中点M，连接，如图所示，G为中点，则，
又，得，由，，得，
所以四边形为平行四边形，，
又平面，平面，所以平面.

16．如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，是棱的中点.

(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【详解】（1）连接交于点，连接，

则为的中点，因为为的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）.
17．设点A是所在平面外一点，点M，N分别是和的重心．求证：平面．
【答案】证明见解析
【详解】
如图，延长，分别交、于点E 、F， 连接.
分别是和的重心，
分别为和的中线，
，
又平面，平面，
所以//平面.
18．如图，已知点 P 是平行四边形 所在平面外的一点，E、F 分别是、上的点且 E、F 分别是、的中点．求证：平面．

【答案】证明见解析.
【详解】因为在平行四边形中，是的中点，
所以是的中点，
因为E是的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面．
重难点4利用线面平行证明线线平行
19．如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面，使，设与SM交于点N，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】连接交于点，连接，则平面即为平面，
因为，平面，平面，
所以，
因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分，
所以，，
所以且，
所以，
又，所以，
所以.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：根据线面平行得性质及平行线分线段成比例定理得到是解决本题得关键.
20．已知直三棱柱 的侧棱和底面边长均为 分别是棱 上的点， 且 ， 当 平面 时， 的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】过作交于，连接，
因为，∴，故共面,
因为 平面 ，平面平面 ，平面，
所以，又,
∴四边形为平行四边形，
又，
∴，
所以.
故选：B．
21．已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】连接，，则过点.如图所示
∵平面，平面平面，平面，
∴，∵，
∴.
故选：B.
22．已知正方体的边长为4，点E是棱CD的中点，P为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，则点P的轨迹长为（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】A
【详解】如图，
分别作的中点G，H，F，连接，
由题可知，
则四边形为平行四边形，
平面BEF，平面，平面；
同理可得平面，∴平面平面，
由题意知平面，又点P为四边形内（包括边界）的一动点，
线段GH，点P的轨迹为GH，．
故选：A．
23．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，Q为的中点，点M在侧棱上且.若平面，试确定实数t的值.

【答案】
【详解】如图，连接交于点，交于点，连接，易知为的中点．

因为分别为正三角形的边上的中线，
所以为正三角形的中心．
设菱形的边长为，
则，.
因为平面，平面，平面平面，
所以.
所以.
即，所以实数的值为.
24．如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱上的动点，点P在棱上，且，若平面PBD，求EF的长.

【答案】
【详解】因为长方体的底面ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为的正方形，所以，，
如图所示，连接与交于点，连接，
在棱上取，连接，，则，且，
因为平面PBD，且平面，平面平面，
所以，所以，
又因为，所以四边形QEFC是平行四边形，所以，
在直角中，，，所以，
所以.

25．如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E是PD的中点．
(1)求证：平面EAC．
(2)若M是CD上异于C，D的点，连接PM交CE于点G，连接BM交AC于点H，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）连接交于，连接，
因为四边形是平行四边形，所以为中点，
又因为为中点，所以是的中位线，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面，平面平面，平面，
所以.
重难点5线面平行的存在性问题
26．如图，四棱锥中，是的中点，四边形为平行四边形，且平面．试探究在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由；

【答案】存在，为的中点，证明见解析
【详解】在线段上存在点，且为的中点，使得平面.
证明如下：

取得中点，连接，，.
因为为的中点，
所以，且.
因为为的中点，且四边形为平行四边形，
所以，且，
所以，且，
所以四边形为平行四边形.
所以.
因为平面，平面，
所以平面.
27．如图，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中点，E是AB上一点，且．将沿着DE折起，形成四棱锥，其中A点对应的点为P．在线段PB上是否存在一点F，使得平面PDE？若存在，指出的值，并证明；若不存在，说明理由.
【答案】存在，
【详解】当时，平面PDE，证明如下：
过点C作，交的延长线于，
在PE上取一点M，使得，连接HM，FM，
因为，，所以且，
因为D是AC的中点，且，所以且，
所以且，所以四边形CFMH是平行四边形，即，
又因为平面PDE，平面PDE，所以平面.

28．如图，在正方体中，分别是的中点.
(1)证明：平面；
(2)棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【详解】（1）连接，
分别为中点，，
，，四边形为平行四边形，，
，又平面，平面，
平面.
（2）假设在棱上存在点，使得平面，
延长交于，连接交于，
，为中点，为中点，
，，，
平面，平面，平面平面，
，又，四边形为平行四边形，，
；
当时，平面.
29．如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为的中点.
(1)证明：AF平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面，并给出必要的证明.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，证明见解析
【详解】（1）证明：取中点，连接，在中，为的中点，
.
为的中点，，
即四边形为平行四边形，.
平面平面平面.
（2）设，取中点，连接，则在中，
分别是的中点，
平面平面，
平面.
与相似，且相似比为，
为的三等分点.
在点位置时满足平面.
即点在线段靠近端的三等分点时符合题意.
30．如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为ABC．已知AA1=4，BB1=2，CC1=3.在边AB上是否存在一点O，使得OC∥平面A1B1C1.
【答案】存在
【详解】存在，取AB的中点O，连接OC，作OD∥AA1交A1B1于点D，连接C1D，则OD∥BB1∥CC1.
因为O是AB的中点，
所以OD=(AA1+BB1)=3=CC1，则四边形ODC1C是平行四边形，所以OC∥C1D.
又C1D⊂平面C1B1A1，且OC平面C1B1A1，
所以OC∥平面A1B1C1.
即在边AB上存在一点O，使得OC∥平面A1B1C1.
知识点3平面与平面平行
1．平面与平面平行的判定定理
2．平面与平面平行的性质定理
3.其余推论
①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面．
②夹在两个平行平面间的平行线段相等．
③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
重难点6平行有关命题的判断
31．下列命题中正确的个数是（ ）
①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α.
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【详解】
可借助正方体来判断.如图，在正方体中，∥，在过的平面内，故命题①不正确；
∥平面，平面，但不平行于BC，故命题②不正确；
运用反证法，假设b与α不平行，则有：
(1)与相交，因为，所以a与α相交，这与a∥矛盾，
(2)，这与题设矛盾，故假设不成立，即b∥，故命题③正确.
故选：B.
32．已知表示两条直线，表示平面，下列命题中正确的有（ ）
①若，且，则；
②若相交且都在平面外，，则；
③若，则；
④若，且，则．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【详解】
对于①，若，且，则或相交，故①错误；
对于③和④，与也可能相交，均错误；
对于②，设相交确定平面，根据线面平行的判定定理知，根据平行平面的传递性得知．
故选：A．
33．，是两个平面，，是两条直线，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，，则
【答案】C
【详解】A项：若，，则或，故选项A不正确；
B项：若，，则或m与n异面，故选项B不正确；
C项：若，则与没有公共点，又因为，所以m与没有公共点，所以，故选项C正确；
D项：若，，，则或与相交，故选项D不正确.
故选：C.
34．下列条件中能推出平面平面的是（ ）
A．存在一条直线，，
B．存在一条直线， ，
C．存在两条平行直线，，，，，
D．存在两条异面直线，，，，，
【答案】D
【详解】A.如图所示：，存在一条直线，，，但平面与平面相交，故错误；
B.如图所示： ，存在一条直线，，，但平面与平面相交，故错误；
C. 如图所示：，存在两条平行直线，，，，，，但平面与平面相交，故错误；
D.如图所示：，在平面内过b上一点作，则，又，且，所以，故正确；
故选：D
35．已知是不同的直线,是不同的平面,下列命题中真命题为（ ）
A．若,则
B．若,则
C．若,则
D．若,则
【答案】C
【详解】解:由题知,不妨将, 放在长方体中可知,
关于选项A,如图所示可知A错误,
关于选项B,如图所示可知B错误,
关于选项D,如图所示可知D错误,
根据面面平行的性质定理可知,选项C正确.
故选:C
36．平面与平面平行的充分条件是（ ）
A．内有无穷多条直线都与平行
B．直线，直线，且
C．内的任何一条直线都与平行
D．直线，且直线不在内，也不在内
【答案】C
【详解】C选项是面面平行的定义，A，B，D中，平面与平面相交时都有可能满足.
故选：C.
重难点7证面面平行
37．在正方体中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（ ）．
A．截面与截面B．截面与截面
C．截面与截面D．截面与截面
【答案】B
【详解】
如图，选项A、B、C、D分别对应图1、图2、图3、图4．


对于A，与相交，截面与相交，故A错误；
对于B， 截面与平行．证明：因为，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面，
同理可证平面，，平面，
所以平面平面．故B正确；
对于C，截面与相交于D点，故C错误；
对于D，与相交，截面与相交，故D错误；
故选：B．
38．如图，多面体中，四边形与四边形均为梯形.已知点四点共面，且.证明：平面平面.
【答案】证明见解析
【详解】证明：四边形与四边形均为直角梯形，
且有，，
因为平面，平面，所以平面，
同理可得平面，
因为平面，且，
所以平面平面，得证.
39．在圆柱中，等腰梯形ABCD为底面圆的内接四边形，且，矩形ABFE是该圆柱的轴截面，CG为圆柱的一条母线．求证：平面平面ADE．

【答案】证明见解析
【详解】在圆柱中，，平面，平面，
故平面；
连接，因为等腰梯形为底面圆的内接四边形，，

故，
则为正三角形，故，则，
平面，平面，故平面；
又平面，
故平面平面．
40．如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形， AC与BD交于点O，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．求证：平面平面PCD．

【答案】证明见解析
【详解】由于点，分别是棱的中点，所以，
因为为菱形，，，
平面，平面，故平面，
又是的中点，所以，平面，平面，故平面，
由于，平面 ，所以平面平面.
41．如图所示，为所在平面外一点，、、分别为、、的重心．求证：平面平面．
【答案】证明见解析
【详解】如图
记的中点分别为；连接；连接；
因为分别为、的重心，
所以，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
同理平面，
又，平面，
所以平面平面．
重难点8利用面面平行证明线面、线线平行
42．如图所示，两条异面直线与两平行平面α，β分别交于点B，A和D，C，点M，N分别是的中点，求证：平面α.

【答案】证明见解析
【详解】
如图，过点作交于点，取的中点，连接.

因为，所以确定平面.
则平面，平面，
因为，所以.
又分别为的中点，
所以，
因为，
所以.
又分别为的中点，
所以，且.
所以，
因为面，
所以平面.
又平面，
所以平面.
43．如图，平面ADE，．求证：．
【答案】证明见解析
【详解】
∵，平面ADE，平面ADE，∴平面ADE．
∵平面ADE，，平面BCF，
∴平面平面．
又平面平面，平面平面，
∴．
44．如图，正方体的棱长为3，点在棱上，点在棱上，在棱上，且是棱上一点.

(1)求证：四点共面；
(2)若平面∥平面，求证：为的中点.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）证明：在上取一点，使得，
连接，则，
因为，所以四边形是平行四边形，
所以，
同理，四边形是平行四边形，所以，且，
又，且，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以，
所以四点共面.

（2）因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以.
所以.
在中，，
在中，，
所以，即为的中点.
45．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，点E在上，且．在棱上是否存在一点F，使得平面?若存在，求点F的位置，若不存在，请说明理由.
【答案】当是棱的中点时，平面，证明见解析
【详解】当是棱的中点时，平面，证明如下：
取的中点，连接，记与交于点O，连接．
易得平面平面平面．
由是的中点，知是的中点，
由四边形是正方形，知O为的中点，所以，
平面平面平面．
又，平面，∴平面平面，
平面平面.
46．如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点．证明：平面.

【答案】证明见解析
【详解】证明：如图所示：

取的中点，连接、、，
因为且，故四边形为平行四边形，
所以且，
因为为的中点，所以且，
因为、分别为、的中点，
所以且，
所以且，故四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为、分别为、的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为，、平面，
所以平面平面，
因为平面，故平面．
47．如图，在多面体中，四边形是菱形，且．
求证：平面.
【答案】证明见解析
【详解】
因为四边形是菱形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
因为，平面，平面，
所以平面，
又因为，平面，
所以平面平面，
又平面，
所以平面．
重难点9面面平行的存在性问题
48．如图平面，是矩形，，，点是的中点，点是边上的任意一点．当是的中点时，线段上是否存在点，使得平面平面，若存在指出点位置并证明，若不存在说明理由．
【答案】存在为中点使面面，理由见解析
【详解】存在为中点，使得平面平面，理由如下：
当为中点，连接，
又是的中点，是的中点，
所以，，
而平面，平面，所以平面，
同理可证面，
又，即平面平面，
综上，为中点时平面平面．
49．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是上一点且平面

(1)证明：为的中点；
(2)在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，为中点
【详解】（1）
连接，设，连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以，又底面为平行四边形，所以为的中点，
所以为的中点．
（2）
存在，为中点时，平面平面，
因为为中点，为的中点，所以，
由于，所以，
由于平面，平面，
所以平面，
同理可证得平面，
由于，平面，
所以平面平面.

50．如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，分别为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)在底面四边形内部（包括边界）是否存在点，使得平面平面？如果存在求点的位置，并求的最大值，如果不存在请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析，的最大值为2
【详解】（1）证明：取的中点，连接.
中，分别为的中点，，
分别为的中点，，，
故四边形为平行四边形，，
平面平面，平面.
（2）解：取中点为，连接，，
在中，分别为的中点，，
平面平面，平面.
因为且，且、分别为、的中点，所以，且，
所以，四边形为平行四边形，，且，
平面平面，平面.
又，且平面，故平面平面.
所以点存在，且，即点在线段上移动，可使平面平面，
当点运动到时，此时的最大值，最大值为2.
51．如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点．
(1)求证：平面．
(2)在线段上是否存在一点，使平面平面请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析
【详解】（1）证明：因为，分别为线段的中点所以A.因为，所以B.又因为平面，平面，所以平面．
（2）取的中点，连接，因为为的中点所以．
因为平面，平面，所以平面，
同理可得，平面，又因为，，平面，所以平面平面
故在线段上存在一点，使平面平面．
52．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】存在，点F是PB的中点，证明见解析
【详解】当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，
证明如下：如图连接BD与AC交于点O，连接FO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点，∴OF∥PD.
又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，
∴OF∥平面PMD.
又MA∥PB且PB＝2MA.
∴PF∥MA且PF＝MA，
∴四边形AFPM是平行四边形，∴AF∥PM.
又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD，
∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC，
∴平面AFC∥平面PMD.
53．在如图所示的五面体ABCDEF中，△ADF是正三角形，四边形ABCD为菱形，，EF平面ABCD，AB=2EF=2，点M为BC中点，在直线CD上是否存在一点G，使得平面平面，请说明理由
【答案】存在且G为中点，理由见解析．
【详解】连接AC交BD于点O，连接OM，OF，取CD的中点G，连接GM，GE，
因为平面ABCD，平面ABEF，平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以，
因为，所以四边形OMEF是平行四边形，
所以，因为平面BDF，平面BDF，所以平面BDF.
因为点G与点M分别为CD与BC的中点，所以，
因为平面BDF，平面BDF，所以平面BDF，
而GM∩EM=M，平面平面BDF.
所以存在且G为中点，使平面平面.
重难点10平行的综合
54．如图，三棱柱中，为中点，为上一点，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【详解】由题意知，，在上取点，使得，
则且，所以四边形为平行四边形，
故，又平面，平面，
所以平面.
在上取点，使得，
有，所以，则，
又平面，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，则点M的轨迹为线段.
在中，，由余弦定理，
得，
即点M的轨迹长度为.
故选：C
55．（多选）如图，已知正方体，点、、分别为棱、、的中点，下列结论正确的有（ ）
A．与共面B．平面平面
C．D．平面
【答案】AB
【详解】如下图所示：
对于A选项，连接，
在正方体中，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
因为、分别为、的中点，则，故，
所以，与共面，A对；
对于B选项，因为且，所以，四边形为平行四边形，
则，
又因为、分别为、的中点，则，所以，，
因为平面，平面，所以，平面，
同理可证平面，
因为，、平面，所以，平面平面，B对；
对于C选项，不妨设的棱长为，则，
，，
因为平面，平面，则，
所以，，
所以，，故、不垂直，C错；
对于D选项，假设平面，
又因为平面，，、平面，
所以，平面平面，
事实上，平面与平面不平行，假设不成立，D错.
故选：AB.
56．（多选）已知正方体中，E为棱的中点，O是正方形ABCD的中心，则（ ）
A．直线与直线相交
B．平面截正方体表面为梯形
C．直线平面
D．平面平面
【答案】BC
【详解】直线与直线异面，所以直线与直线异面，所以A错误；
如图，
在平面中，延长和交于点P，
连接交，分别于点M，N，
则四边形就是平面截正方体表面所得图形，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，
所以，又因为与相交，
所以四边形为梯形，所以B正确；
因为是的中点，E为棱的中点，
所以，平面，
所以平面，所以C正确；
因为，与不平行，所以与不平行，
由面面平行性质定理，知平面与平面不平行，所以D错误．
故选：BC．
57．在正四棱柱中，、分别是为棱、的中点，是的中点，点在四边形上及其内部运动，则满足条件 时，有平面（或）．
【答案】点M在线段FH上
【详解】解：如图所示：
取中点Q，连接QN，QF，连接FH，
由已知得QN，FH与、都平行且相等，因此FH与QN平行且相等，
从而是平行四边形，则，
又分别是中点，则，平面，平面，
∴平面，同理平面，
而，平面，
∴平面平面，
因此只要，就有平面．
故答案为：点M在线段FH上
58．如图，已知四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且为侧棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
(3)若F为侧棱的中点，求证：平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）
连接交于O，连接，
为侧棱的中点，O是的中点，
，
平面平面；
平面．
（2）为侧棱的中点，
到平面的距离等于S到平面的距离的一半，
到平面的距离，
（3）
法1：设M为侧棱的中点，连结，，
为侧棱的中点，F为侧棱的中点，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平面平面平面．
法2：
设G为侧棱的中点，连结．
为侧棱的中点，G为侧棱的中点，
，
平面平面；
平面．同理可证平面．
，且都在平面内；，且都在平面内，
所以平面平面．
平面平面．
59．如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求：
(1)正四棱锥的表面积；
(2)若为的中点，求证：平面；
(3)侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)在侧棱存在点，使得平面，
【详解】（1）在正四棱锥中，，
则正四棱锥侧面的高为，
所以正四棱锥的表面积为；
（2）如图，连接交于点O，连接，则O为AC的中点，
当M为SA的中点时，，
又平面平面，
所以平面；
（3）在侧棱上存在点E，使得平面，满足.
理由如下：
取的中点Q，由，得，
过Q作的平行线交于E，连接，，
中，有，又平面，平面，
所以平面，由，得.
又，又平面，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，而平面，
所以平面.
叙述
位置关系
记法
一条直线a与平面α有两个不同的公共点
直线在平面内
直线a与平面α只有一个公共点A
直线与平面相交
一条直线a与平面α没有公共点
直线与平面平行
文字语言
图形语言
符号语言
线线平行线面平行
如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行

文字语言
图形语言
符号语言
线面平行线线平行
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
文字语言
图形语言
符号语言
线面平行面面平行
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行

文字语言
图形语言
符号语言
面面平行线线平行
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行