数学必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行一等奖教案

这是一份数学必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行一等奖教案，共12页。

本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第八章《立体几何初步》的第五节《空间直线、平面的平行》。以下是本节的课时安排：
上节课类比平面内直线的传递性，学习了空间两直线的特殊位置关系—平行，得到了基本事实4.今天，我们将在此基础上展开对空间直线与平面的位置关系展开研究.
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面平行的判定定理，并加以证明，培养数学抽象的核心素养；
2.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线和平面平行的性质定理，并加以证明，培养数学抽象的核心素养；
3.会应用直线与平面平行的判定定理和性质定理，发展学生的逻辑推理素养和直观想象素养。
1.重点：直线与平面平行的判定定理和性质定理及其应用。
2.难点：直线与平面平行的判定定理和性质定理的探索过程及其应用。
（一）新知导入
门扇的竖直两边是平行的，当门扇绕着一边转动时只要门扇不被关闭，不论转动到什么位置，它能活动的竖直一边所在直线都与固定的竖直边所在平面(墙面)存在不变的位置关系.
问题 (1)上述问题中存在着不变的位置关系是指什么？
(2)若判断直线与平面平行，由上述问题你能得出一种方法吗？
提示 (1)平行.
(2)可以，只需在平面内找一条与平面外直线平行的直线即可.
（二）直线与平面平行
知识点一 直线与平面平行的判定定理
用判定定理判定直线a和平面α平行时，必须具备三个条件
(1)直线a在平面α外，即a ⊄α；
(2)直线b在平面α内，即b⊂α；
(3)两直线a，b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可.
【思考1】若一直线与平面内的直线平行，一定有直线与平面平行吗？
【提示】不一定.要强调直线在平面外.
【思考2】如果一条直线与平面内无数条直线都平行，那么该直线和平面之间具有什么关系？
【提示】 平行或直线在平面内.
【做一做】如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是( )
A.相交 B.b∥α
C.b⊂α D.b∥α或b⊂α
解析 由a∥b，且a∥α，知b∥α或b⊂α.
答案 D
知识点二 直线与平面平行的性质定理
【辩一辩】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．( )
(2)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α.( )
(3)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行．( )
(4)若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α.( )
(5)若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
（三）典型例题
1.直线与平面平行的判定
例1.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.
证明：如图，作ME∥BC，交BB1于点E，作NF∥AD，交AB于点F，连接EF，
则EF⊂平面AA1B1B，且eq \f(ME,BC)＝eq \f(B1M,B1C)，eq \f(NF,AD)＝eq \f(BN,BD).
∵在正方体ABCD­A1B1C1D1中CM＝DN，B1C＝BD，∴B1M＝NB.
∴eq \f(ME,BC)＝eq \f(BN,BD)＝eq \f(NF,AD).又AD＝BC，∴ME＝NF.又ME∥BC∥AD∥NF，
∴四边形MEFN为平行四边形，∴MN∥EF.
∵MN ⊄平面AA1B1B，EF⊂平面AA1B1B，∴MN∥平面AA1B1B.
【类题通法】用判定定理证明直线与平面平行的步骤如下：
(1)找：在平面内找到一条直线或作出一条直线与已知直线平行；
(2)证：证明已知直线与该直线平行；
(3)结论：由判定定理得出结论．
【巩固练习1】如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点.
求证：MN∥平面PAD.
证明：如图，取PD的中点G，连接GA，GN.
∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点，∴GN∥DC，GN＝eq \f(1,2)DC.
∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点，∴AM＝eq \f(1,2)DC，AM∥DC，
∴AM∥GN，AM＝GN，∴四边形AMNG为平行四边形，∴MN∥AG.
又∵MN ⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD.
2.直线与平面平行的性质
例2.如图所示，已知异面直线AB，CD都平行于平面α，且AB，CD在α的两侧，若AC，BD分别与α相交于M，N两点，求证eq \f(AM,MC)＝eq \f(BN,ND).
证明：如图所示，连接AD，交平面α于点P，连接PM，PN.
因为CD∥α，平面ACD∩α＝PM，
所以CD∥PM，所以在△ACD中，有eq \f(AM,MC)＝eq \f(AP,PD).
同理，在△DAB中，有eq \f(AP,PD)＝eq \f(BN,ND)，所以eq \f(AM,MC)＝eq \f(BN,ND).
【类题通法】 (1)利用线面平行的性质定理解题的步骤
(2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行.
【巩固练习2】如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.
证明：如图，连接AC，交BD于点O，连接MO.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以点O是AC的中点．
又因为点M是PC的中点，
所以AP∥OM.
又因为AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，
所以AP∥平面BDM.
因为平面PAHG∩平面BDM＝GH，
AP⊂平面PAHG，所以AP∥GH.
3.线面平行性质定理与判定定理的综合应用
例3.求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么该直线与相交平面的交线平行．
已知：a，l是直线，α，β是平面．
a∥α，a∥β，且α∩β＝l.
求证：a∥l.
证明：如图，在平面α内任取一点A，且使A∉l.
∵a∥α，∴A∉a.
故点A和直线a确定一个平面γ，
设γ∩α＝m.
同理，在平面β内任取一点B，且使B∉l，
则点B和直线a确定平面δ，设δ∩β＝n.
∵a∥α，a⊂γ，γ∩α＝m，
∴a∥m.同理a∥n，则m∥n.
又m ⊄β，n⊂β，∴m∥β.
又∵m⊂α，α∩β＝l，∴m∥l.又a∥m，∴a∥l.
【类题通法】利用线面平行的判定和性质定理，可以完成线线平行与线面平行的相互转化．转化思想是一种重要数学思想．该转化过程可概括为：
eq \x(\a\al(线线,平行))eq \(――→,\s\up11(在平面内作或),\s\d4(找一条直线))eq \x(\a\al(线面,平行))eq \(――→,\s\up11(经过直线作或找平面),\s\d4(与平面相交的直线))eq \x(\a\al(线线,平行))
【巩固练习3】如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明.
解：直线l∥平面PAC.证明如下：
因为E，F分别是PA，PC的中点，
所以EF∥AC.
又EF ⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，
所以EF∥l.
因为l ⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，
所以l∥平面PAC.
（四）操作演练 素养提升
1.下列说法正确的是( )
A.若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B.若直线a在平面α外，则a∥α
C.若直线a与直线b不相交，直线b⊂α，则a∥α
D.若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线
2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则A1C1与平面ACE的位置关系为________.
3.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或异面
4.如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是________.
答案：1.D 2.平行 3.A 4.平行四边形
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
完成教材：第138页 练习 第1，2,3,4题
第143 页 习题8.5 第1,2,3,4,5,6,7，10,11,12题










8.5空间直线、平面的平行
课时内容
8.5.1直线与直线平行
8.5.2直线与平面平行
8.5.3平面与平面平行
所在位置
教材第133页
教材第135页
教材第139页
新教材内容分析
本节内容是空间直线平行的传递性和等角定理，由平面图形推广到立体图形得到，直线与直线平行是研究空间直线、平面平行的基础。
本节内容是空间直线平面平行，按照“判定--性质”展开内容，通过直观感知和操作确认，归纳出直线与平面平行的判定和性质定理。
本节内容是空间平面与平面平行，与研究直线与平面平行一样，借助长方体模型，理解平面与平面平行的判定和性质定理。
核心素养培养
通过基本事实4和等角定理的应用，培养直观想象的核心素养.
通过典型实例的观察与分析，概括出直线与平面平行的判定与性质定理，提升逻辑推理的核心素养。
通过平面与平面平行的判定定理和性质定理的学习，培养直观想象的核心素养；借助平行关系的综合问题，提升逻辑推理的核心素养.
教学主线
平行关系的相互转化
文字语言
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号语言
a ⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α
图形语言
文字语言
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
符号语言
a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b
图形语言