高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行精品学案设计

8.5.3　平面与平面平行

知识点1　平面与平面平行的判定定理

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)如果一条直线和一个平面内的另一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． (　　)

(2)如果一个平面内有两条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行． (　　)

(3)直线a∥平面β，直线b∥平面β，a⊂平面α，b⊂平面α⇒平面α∥平面β． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

2．在长方体ABCD­A′B′C′D′中，下列结论正确的是(　　)

A．平面ABCD∥平面ABB′A′

B．平面ABCD∥平面ADD′A′

C．平面ABCD∥平面CDD′C′

D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′

D　[在长方体ABCD­A′B′C′D′中，上底面ABCD与下底面A′B′C′D′平行．]

知识点2　平面与平面平行的性质定理

3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)平面α∥平面β，平面α∩平面γ＝直线a，平面 β∩平面γ＝直线b⇒直线a∥直线b． (　　)

(2)平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β⇒a∥b． (　　)

[答案]　(1)√　(2)×

4．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是(　　)

A．平行　　B．相交　　C．异面　　D．平行或异面

A　[因为圆台的上、下底面互相平行，所以由平面与平面平行的性质定理可知m∥n．]

5．已知长方体ABCD­A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是(　　)

A．平行    B．相交    C．异面    D．不确定

A　[由面面平行的性质定理易得．]

类型1　平面与平面平行的判定

【例1】　(对接教材P140例4)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．

求证：(1)E，F，B，D四点共面；

(2)平面MAN∥平面EFDB．

[解]　(1)连接B1D1，

∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，

∴EF∥B1D1．

而BD∥B1D1，∴BD∥EF．

∴E，F，B，D四点共面．

(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD．

又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB．

∴MN∥平面EFDB．

连接MF．∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，

∴MF∥A1D1，MF＝A1D1．

∴MF∥AD且MF＝AD．

∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF．

又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE，

∴AM∥平面BDFE．

又∵AM∩MN＝M，

∴平面MAN∥平面EFDB．

平面与平面平行的判定方法

(1)定义法：两个平面没有公共点．

(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．

(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β．

(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ．

1．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD．求证：平面MNQ∥平面PBC．

[证明]　∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，

∴MQ∥AD，NQ∥BP．

又∵BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，

∴NQ∥平面PBC．

∵四边形ABCD为平行四边形．

∴BC∥AD，∴MQ∥BC．

又∵BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，

∴MQ∥平面PBC．

又∵MQ∩NQ＝Q，MQ⊂平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，

∴平面MNQ∥平面PBC．

类型2　平面与平面平行的性质

【例2】　如图，已知平面α∥平面β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．

平面与平面平行性质定理的条件有哪些？

[提示]　必须具备三个条件：①平面α和平面β平行，即α∥β；

②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；

③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.,以上三个条件缺一不可.

[解]　因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，

因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD，所以＝，即＝，所以BD＝．

应用平面与平面平行性质定理的基本步骤

2．已知三个平面α，β，γ满足α∥β∥γ，直线a与这三个平面依次交于点A，B，C，直线b与这三个平面依次交于点E，F，G．求证：＝．

[证明]　连接AG交β于H，连接BH，FH，AE，CG．

因为β∥γ，平面ACG∩β＝BH，平面ACG∩γ＝CG，

所以BH∥CG．同理AE∥HF，

所以＝＝，

所以＝．

类型3　平行关系的综合应用

【例3】　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．

求证：GH∥平面PAD．

[证明]　如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO．

∵ABCD是平行四边形，

∴O是AC的中点，

又M是PC的中点，

∴PA∥MO，而AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，

∴PA∥平面BMD，

又∵PA⊂平面PAHG，

平面PAHG∩平面BMD＝GH，

∴PA∥GH．

又PA⊂平面PAD，GH⊄平面PAD，

∴GH∥平面PAD．

1．证明直线与直线平行的方法

(1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质等．

(2)基本事实4．

(3)线面平行的性质定理．

(4)面面平行的性质定理．

2．证明直线与平面平行的方法

(1)线面平行的判定定理．

(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．

3．如图，三棱锥A­BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH．

求证：CD∥平面EFGH．

[证明]　由于四边形EFGH是平行四边形，

∴EF∥GH．

∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，

∴EF∥平面BCD．又∵EF⊂平面ACD，

平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD．

又∵EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，

∴CD∥平面EFGH．

1．在正方体EFGH­E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的是(　　)

A．平面E1FG1与平面EGH1

B．平面FHG1与平面F1H1G

C．平面F1H1E与平面FHE1

D．平面E1HG1与平面EH1G

A　[根据面面平行的判定定理，可知A正确．]

2．(多选题)设a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是(　　)

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在一个平面γ，满足α∥γ，β∥γ

D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

CD　[对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交．若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项C，平行于同一个平面的两个平面显然是平行的，故选项C的内容是α∥β的一个充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选CD．]

3．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中(　　)

A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线

D．有且只有一条与a平行的直线

D　[由于α∥β，a⊂α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确．]

4．用一个平面去截三棱柱ABC­A1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分别于点E，F，G，H． 若A1A>A1C1，则截面的形状可以为________．(填序号)

①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形．

②⑤　[当FG∥B1B时，四边形EFGH为矩形；当FG不与B1B平行时，四边形EFGH为梯形．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)平面与平面平行的判定定理是什么？还有哪些方法可以判断平面与平面平行？

(2)平面与平面平行的性质定理是什么？平面与平面平行的性质还有哪些？

(3)如何实现线线平行、线面平行及面面平行的转化？