人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行优秀学案

8.5.2　直线与平面平行

知识点1　直线与平面平行的判定定理

如果直线a与平面α内的一条直线b平行，直线a与平面α一定平行吗？

[提示]　不一定，直线a可能在平面α内．

1．下列条件中能确定直线a与平面α平行的是(　　)

A．a⊄α，b⊂α，a∥b

B．b⊂α，a∥b

C．b⊂α，c⊂α，a∥b，a∥c

D．b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BD

A　[由直线与平面平行的判定定理知选A．]

知识点2　直线与平面平行的性质定理

2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若直线l∥平面α，直线a⊂平面α，则l∥a． (　　)

(2)若直线m∥平面α，n∥平面α，则m∥n． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×

3．如图，在三棱锥S ­ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则(　　)

A．EF与BC相交

B．EF∥BC

C．EF与BC异面

D．以上均有可能

B　[∵平面SBC∩平面ABC＝BC，又∵EF∥平面ABC，∴EF∥BC．]

4．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线有________条．

1　[如图所示，

∵l∥平面α，P∈α，

∴直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，

∴P∈m，∴l∥m且m是唯一的．]

类型1　直线与平面平行的判定

【例1】　(对接教材P138练习2)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN．求证：MN∥平面AA1B1B．

 [证明]　法一：如图①，作ME∥BC，交BB1于点E，作NF∥AD，交AB于点F，连接EF，

①

则EF⊂平面AA1B1B，

且＝，＝．

∵在正方体ABCD­A1B1C1D1中，CM＝DN，B1C＝BD，∴B1M＝NB．

∴＝＝．又AD＝BC，

∴ME＝NF．又ME∥BC∥AD∥NF，

∴四边形MEFN为平行四边形．∴MN∥EF．

∵MN⊄平面AA1B1B，EF⊂平面AA1B1B，

∴MN∥平面AA1B1B．

法二：如图②，连接CN并延长交BA所在直线于点P，连接B1P，则B1P⊂平面AA1B1B．

②

∵△NDC∽△NBP，

∴＝．

又CM＝DN，B1C＝BD，

∴＝＝．

∴MN∥B1P．

∵MN⊄平面AA1B1B，B1P⊂平面AA1B1B，

∴MN∥平面AA1B1B．

证明直线与平面平行的步骤是什么？

[提示]　证明直线与平面平行，可以用定义，也可以用判定定理，但说明直线与平面没有公共点不是很容易(当然也可用反证法)，所以更多的是用判定定理，用判定定理证明直线与平面平行的步骤如下：

1．如图，P是▱ABCD所在平面外一点，E，F分别为AB，PD的中点，求证：AF∥平面PEC．

[证明]　设PC的中点为G，连接EG，FG．

∵F为PD的中点，

∴GF∥CD，且GF＝CD．

∵AB∥CD，AB＝CD，E为AB的中点，

∴GF∥AE，GF＝AE，

∴四边形AEGF为平行四边形，

∴EG∥AF．

又∵AF⊄平面PEC，EG⊂平面PEC，

∴AF∥平面PEC．

类型2　直线与平面平行的性质

【例2】　如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体．求证：截面MNPQ是平行四边形．

[证明]　因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，

所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN．

同理，AB∥PQ，

所以MN∥PQ．同理可得MQ∥NP．

所以截面MNPQ是平行四边形．

运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行.

2．如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，P，Q分别为棱AA1，AC的中点．在平面ABC内过点A作AM∥平面PQB1交BC于点M，并写出作图步骤，但不要求证明．

[解]　取BB1中点E，连接AE，则AE∥PB1，

连接CE，取CE中点N，连接QN，则QN∥AE，所以QN∥PB1，即Q，N，P，B1四点共面，连接B1N并延长交BC于H，连接QH，则Q，H，B1，P四点共面，

过A作AM∥QH交BC于M，即为所求．

类型3　直线与平面平行的判定与性质

【例3】　求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．

1．若直线l∥平面α，则l平行于平面α内的所有直线吗？

[提示]　不是．

2．若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？这些平面与α的交线与直线a有什么关系？

[提示]　若a∥α，则过a且与α相交的平面有无数个．这些平面与α的交线与直线a相互平行．

[解]　已知直线a，l，平面α，β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β．求证：a∥l．

证明：如图所示，过a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b．

同样过a作平面δ交平面β于c，

∵a∥β，∴a∥c．则b∥c．又∵b⊄β，c⊂β，∴b∥β．

又∵b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l．又∵a∥b，∴a∥l．

线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行.利用线面平行的性质定理解题的具体步骤：1确定或寻找一条直线平行于一个平面；2确定或寻找过这条直线且与这个平行平面相交的平面；3确定交线；4由性质定理得出线线平行的结论.

3．若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行．

[解]　已知：a∥b，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l．求证：a∥b∥l．

证明：如图所示，∵a∥b，b⊂β，a⊄β，

∴a∥β，

又a⊂α，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b，

∴a∥b∥l．

1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　)

A．一条直线不相交

B．两条直线不相交

C．无数条直线不相交

D．任意一条直线不相交

D　[直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点．]

2．若a，b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．

平行或相交或b在α内　[如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设平面ABCD为α，A1B1为a，则a∥α，当分别取EF，BC1，BC为b时，均满足a与b异面，于是b∥α，b∩α＝B，b⊂α(其中E，F为棱的中点)．]

3．过正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1．求证：BB1∥EE1．

[证明]　如图所示，∵CC1∥BB1，CC1⊄平面BEE1B1，

∴CC1∥平面BEE1B1．

又∵平面CEE1C1过CC1且交平面BEE1B1于EE1，

∴CC1∥EE1．

由于CC1∥BB1，

∴BB1∥EE1．

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)直线与平面平行的判定定理的内容是什么？应用此定理应注意什么问题？

(2)判定直线与平面平行的方法有哪些？

(3)直线与平面平行的性质定理的内容是什么？

(4)线线平行与线面平行之间是如何转化的？