必修 第二册6.2 平面向量的运算导学案

这是一份必修 第二册6.2 平面向量的运算导学案，文件包含专题12向量的加减数乘运算九个重难点突破原卷版docx、专题12向量的加减数乘运算九个重难点突破解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共41页， 欢迎下载使用。

知识点1向量的加法
三角形法则：已知非零向量,在平面内任取一点,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作
平行四边形法则：已知不共线的两个向量,在平面内任取一点,以同一点为起点的两个已知向量,以为邻边作,则就是与的和
,
规定：零向量与任意向量的和,都有
运算律：①交换律：；②结合律：
知识点2相反向量
1.定义:与向量长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作,与互为相反向量,
3.性质：①；②若互为相反向量,则；
③的相反向量是
知识点3向量的减法
1.向量的减法的定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即,求两个向量差的运算叫做向量的减法.
2.运算法则:在平面内取一点O,作,则.
3.几何意义表示从向量的终点指向的终点的向量.
4.向量减法的两个重要结论:
①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量；
②一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”.
重难点1向量的加法、减法法则
1．如图，在平行四边形中，（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在平行四边形中，，，则可以表示为（ ）

A．B．C．D．
3．如图，在平行四边形中，，，则可以表示为（ ）

A．B．C．D．
4．如图，在中，设对角线，，试用、表示、．

5．如图，已知向量，，不共线，求作向量．

6．如图，已知向量，，，，作出向量.

重难点2向量的加法运算
7．化简 （ ）
A．B．C．D．
8．（多选）下列四个等式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（多选）下列各式中结果一定为零向量的是（ ）
A．B．
C．D．
10．= ， ．
11．化简下列各式:
(1)
(2)
重难点3向量的减法运算
12． （ ）
A．B．C．D．
13．下列各式中不能化简为的是（ ）
A．B．
C．D．
14．若，，则 .
15．化简： ； ； .
16．化简下列各向量的表达式：
(1)；
(2)；
(3)；
重难点4向量加减法运算的应用
17．已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
18．已知向量满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
19．在矩形中，，，则等于（ ）
A．B．C．3D．4
20．已知是四边形所在平面上任一点，且．则四边形一定为（ ）
A．菱形B．梯形C．平行四边形D．矩形
21．已知，，，，，则 .
22．如图，无弹性的细绳OA，OB的一端分别固定在A，B处，同样的细绳OC下端系着一个称盘，且使得，试分析OA，OB，OC三根绳子受力的大小，并判断哪根绳受力最大.

知识点4向量的数乘运算
1.定义:规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,它的长度和方向规定如下:
①;
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，
2.运算律:设为任意实数,则有①；②；
③
特别地,有.
(3)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量以及任意实数恒有.
知识点5共线向量定理
1.共线向量定理的内容：向量与共线的充要条件是存在唯一一个实数,使.
2.三点共线向量表示的两个结论
结论1：如图1，点共线的充要条件是存在唯一实数，使得.
结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得.
重难点5向量的数乘运算
23．已知平面内的两个非零向量，满足，则与（ ）
A．相等B．方向相同C．垂直D．方向相反
24．设是两两不共线的向量，且向量，，则（ ）
A．B．C．D．
25．化简为（ ）
A．B．
C．D．
26．若，则 ．
27．在中，点为边的中点，若，则实数的值为 .
28．求下列未知向.
(1)；
(2)；
(3).
重难点6共线向量定理的应用
29．已知向量，，中任意两个都不共线，并且与共线，与共线，那么等于（ ）
A．B．
C．D．
30．已知向量不共线，，，，则（ ）
A．A，B，C三点共线B．A，C，D三点共线
C．A，B，D三点共线D．B，C，D三点共线
31．已知向量不共线，，，，则实数 ．
32．已知平面向量，，则“”是“存在，使得”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
33．已知不共线的向量，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，DB．A，B，C
C．B，C，DD．A，C，D
34．判断下列各小题中的向量，是否共线：
(1)，；
(2)，（其中两个非零向量和不共线）；
(3)，.
重难点7向量的线性运算
35．在中，，若点满足，则（ ）
A．B．
C．D．
36．如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
37．在中，，则（ ）
A．B．C．D．
38．在中，已知为的中点，为的中点，则为（ ）
A．B．
C．D．
39．如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
40．（多选）数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学的灵感．已知某建筑物的底层玻璃采用正六边形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形，如图所示，则在该图形中，下列说法正确的是（ ）

A．B．
C．D．
41．在平行四边形ABCD中，，，G为EF的中点，则（ ）

A．B．C．D．
重难点8利用向量的线性运算求参数
42．在梯形中，是中点，，设，则（ ）
A．B．C．D．
43．已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
44．已知是所在平面内一点，若均为正数，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
45．如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为（ ）

A．8B．12C．32D．16
46．在梯形中，，则 ．
47．在中，D为CB上一点，E为AD的中点，若，则 ．
48．在平面四边形中，已知的面积是的面积的3倍.若存在正实数使得成立，则的值为

重难点9向量共线定理的推论
49．中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最大值为1
C．的最大值为16D．的最小值为4
50．已知，点在线段上（不包括端点），向量，的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
51．如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（ ）

A．B．C．D．
52．如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则的值为（ ）

A．2B．3C．D．5
53．在中，点为上的点，且，若，则是 （ ）
A．B．C．1D．
54．在中，，E是线段AD上的动点，设，则 ．