高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算导学案

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知识点1向量的夹角
（1）如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角.
显然,当时,与同向;当时,与反向.
（2）如果与的夹角是,我们说与垂直,记作.
知识点2向量数量积的定义
已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则
规定:零向量与任一向量的数量积为0.
知识点3向量的投影
（1）如图（1）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
（2）如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量.
（3）设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有
知识点4向量数量积的性质
设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则
（1）；（2）；（3）；
【注】当与同向时, ；当与反向时，.
（4）；（5）或
知识点5数量积运算的运算律
（1）；（2）；（3）
重难点1数量积的概念及简单运算
1．已知单位向量满足，则（ ）
A．B．C．0D．
【答案】D
【分析】由题设，两侧平方应用数量积运算律求结果.
【详解】依题意，两边同时平方得，
所以，可得．
故选：D
2．已知等边三角形的边长为1，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接利用向量的数量积公式计算得到答案.
【详解】因为，且向量与的夹角为，所以，
故选：C．
3．（多选）下列关于向量，，的运算，一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据平面向量数量积运算性质和定义逐一判断即可.
【详解】A：由平面向量数量积的运算性质可以判断本选项一定成立；
B：与共线，与共线，而与不一定共线，
所以不一定成立，因此本选项不一定成立；
C：，所以本选项一定成立；
D：当 时，，所以本选项不一定成立，
故选：AC
4．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．对任意向量，都有
B．若且，则
C．对任意向量，都有
D．对任意向量，都有
【答案】AD
【分析】可由数量积的定义及运算律可逐一判定选项.
【详解】，，
可得，故选项A正确；
由可得，
又，可得或，
故选项B错误；
,
所以不一定成立，
故选项C错误；
由向量数量积运算的分配律可知选项D正确；
故选：AD.
5．设单位向量，的夹角为60°，则 .
【答案】2
【分析】根据向量数量积的运算律即可求解.
【详解】,
故答案为：2
6．已知，，，则 .
【答案】0
【分析】直接根据数量积的运算律、数量积的定义进行运算即可求解.
【详解】由题意.
故答案为：0.
重难点2平面几何的数量积运算
7．正方形边长为，则（ ）
A．2B．4C．5D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的数量积运算求得正确答案.
【详解】
.
故选：B
8．在平行四边形中，是线段的中点，则（ ）
A．1B．4C．6D．7
【答案】A
【分析】根据平面向量数量积运算求得正确答案.
【详解】
.
故选：A
9．在边长为3的菱形ABCD中，，，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平面向量数量积的运算性质、定义，结合平面向量基本定理进行求解即可.
【详解】因为，，
菱形ABDC边长为3，，
所以，
故选：C
10．已知等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是BC，AC的中点，则（ ）
A．B．C．D．0
【答案】A
【分析】将，设为基底，表示出，，运用数量积定义解决问题.
【详解】解：
.
故答案选：A.

11．在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为（ ）
A．-15B．-12C．-6D．0
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算将用，表示，再由向量数量积运算可得结果.
【详解】
，，
，,
,
又,
，又，，，
.
故选：B.
12．如图，在四边形ABCD中，AD=3，BC=4，E，F分别是AB，CD的中点，P，Q分别是AC，BD的中点，则 ．

【答案】/1.75
【分析】可连接，根据题意即可得出四边形为平行四边形，从而可得出，然后进行数量积的运算即可．
【详解】如图，连接，

∵为的中点，为对角线的中点，
，，
∴四边形为平行四边形，
，，
，，
故答案为：
重难点3向量的模
13．已知，，且，的夹角为，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】根据向量的减法运算可得，平方后结合数量积的运算，即可求得答案.
【详解】由题意得，所以
，
故，
故选：D
14．设向量，满足，，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】利用的平方与的平方之间的关系求解.
【详解】因为，，
以上两式相减，可得，即，
所以.
故选：B
15．已知向量满足，且，则等于（ ）
A．B．C．D．7
【答案】B
【分析】根据方程组求出，，再分别求它们的模，相加即可.
【详解】由得：，
又，，
∴，
.
所以.
故选：B
16．已知，是单位向量，向量满足，且，则 ．
【答案】/
【分析】利用平面向量数量积的运算法则，得到关于与的方程组，解之即可得解.
【详解】因为，两边平方，得，所以．
因为，两边平方，得，所以．
代入上式，得，所以．
故答案为：.
17．已知向量的夹角为，，则 ， ．
【答案】 2
【分析】根据向量垂直的表示得，利用数量积的运算性质计算可得；根据与，结合数量积的运算性质求解可得出.
【详解】由向量的夹角为，且，
得，
所以．
因为，
，
所以．
故答案为：2，.
18．已知向量满足，则的最大值是 ，最大值是 ．
【答案】 3
【分析】综合应用平面向量的数量积和三角函数的知识即可解决.
【详解】设向量的夹角为，，因为，
所以，
故的最大值是3；
同理，所以，
则，因为，所以，故.
因为，所以，故最大值是.
故答案为：3；.
重难点4向量的夹角
19．设非零向量，满足，，则向量的夹角等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先将等式两边平方，可得，再用平面向量的夹角公式计算即可.
【详解】由等式，两边平方得：，
则，且，所以.
，即.
故选：B.
20．若都为非零向量，且，，则向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据两向量垂直数量积等于0，联立，得，利用两向量的夹角公式计算即可.
【详解】因为，，所以，
即，
化简得，所以．
所以．因为，所以．
故选：D．
21．如图，在平行四边形中，，，，点满足，则与夹角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解法一：利用基底法解决向量数量积与夹角问题；解法二：建立直角坐标系，利用坐标法求得向量夹角.
【详解】解法一：由题意可得，，
则，
，
，
故．
解法二 如图，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，，
所以，，
则．

故选：D.
22．已知向量，，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据模长公式，结合数量积的运算律，即可由夹角公式求解.
【详解】由可得，所以，
同理由和可得
所以，
故，
故选：D
23．已知单位向量满足，则的值为 .
【答案】
【分析】根据已知条件有，对两边平方有，解得或，验证两种情况，确定的值.
【详解】记的夹角为，均为单位向量，则，
由，即，两边平方，得，
即，即，则，
当时，，不符合题意，
所以，又，则.
故答案为：.
24．已知两个单位向量，满足，则 ．
【答案】/
【分析】由，得，则，，所以，可求．
【详解】两个单位向量，满足，有，得，
，，
所以，所以．
故答案为：
重难点5向量的垂直
25．已知单位向量满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由向量垂直得到方程，求出，再利用向量夹角余弦公式求出答案.
【详解】由得，
又为单位向量，
，
，又，
.
故选：B.
26．设，为两个单位向量，且，若与垂直，则 .
【答案】/-0.4
【分析】根据向量与垂直可得，结合数量积的运算，即可求得答案.
【详解】由题意知设，为两个单位向量，且，与垂直，
故，即，
故，解得，
故答案为：
27．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为
【答案】
【分析】利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义，求得与的夹角的值．
【详解】非零向量，满足，且，
设与的夹角为，，，
则，解得，
．
故答案为：．
28．已知向量是单位向量，，且满足，则 ．
【答案】3
【分析】根据题意可得，根据垂直关系可得，再根据模长关系运算求解.
【详解】因为向量是单位向量，，可知，
因为，则，化简可得，
所以．
故答案为：3.
29．，的夹角为，，.
(1)求；
(2)若与互相垂直，求.
【答案】(1)7
(2).
【分析】（1）利用，展开后代入数量积公式求得答案；
（2）由与互相垂直，得，展开后化为关于的方程求解.
【详解】（1），的夹角为，，，
.
故.
（2）若与互相垂直，则，
即.
所以，整理得，
即，解得.
重难点6向量的投影向量
30．已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据投影向量的概念求解.
【详解】因为，所以．
所以向量在向量上的投影向量为．
故选：C．
31．已知Rt的面积为6，斜边长为6，设为在上的投影向量， .
【答案】
【分析】根据向量的投影、向量数量积等知识求得正确答案.
【详解】依题意.
依题意，,
所以
.
故答案为：
32．已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由两边平方可得，再根据投影向量的计算公式即可求解.
【详解】因为，所以，
即，
即，解得.
所以在方向上的投影向量为.
故选:A.
33．已知向量在向量上的投影向量为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意得，再由平方，可知，结合向量夹角公式即可求解.
【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以．
因为，所以，即，
故，所以．
因为，所以.
故选：B．
34．已知向量，，若在方向上的投影向量为，则实数m的值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】根据数量积公式，代入投影向量公式，即可求解.
【详解】由题可知，
向量在方向上的投影向量为，
所以，，
所以，得.
故选：B
35．已知向量，，若与共线，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据与共线，可得，求得，再利用向量在向量上的投影向量为，计算即可得解.
【详解】由向量，，
若与共线，则，所以，
，
所以向量在向量上的投影向量为：
，
故选：C
36．如图，平行四边形中，，且，为边的中点，在上投影向量是，则 .

【答案】3
【分析】利用投影向量定义得，利用向量加法运算得，然后利用数量积的定义及运算律求解即可.
【详解】因为，又，
所以.
故答案为：3
重难点7数量积的最值问题
37．在中，，点P满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先确定点的位置，然后根据向量数量积运算、圆的轨迹以及圆的几何性质求得的最大值.
【详解】设中点为，由题可知：，
所以为的中点，故：
，
由，知点P的轨迹是以BC为弦，圆周角为的优弧（除去两点），
由圆的性质可知，当时，最大；
此时是等边三角形，，.
故选：B
【点睛】在三角形中，如果一个角是固定值，则根据圆的几何性质“同弧所对的圆周向相等”，可以判断出这个角对应的定点的轨迹是圆弧.求解向量数量积，可以通过转化的方法，转化为容易计算的角度来进行求解.
38．已知向量，满足，，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】D
【分析】根据向量数量积的运算性质，可得答案.
【详解】因为，所以，即，
整理得，
又，所以，即，
所以，即，又，
所以当与反向时，取得最大值，且最大值为.
故选：D.
39．已知P是所在平面内一点，，，，则的最大值是 .
【答案】
【分析】利用平面向量数量积的运算法则将转化为，从而得解.
【详解】因为，，，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值是.
故答案为：.
40．已知菱形的边长为1，，点E是边上的动点，则的最大值为（ ）．
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】设，，令,直接利用向量的数量积定义运算即可.
【详解】设，，
，
∴的最大值为．
故选:D．
41．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径∥，点在正六边形的边上运动，则的最大值为（ ）

A．9B．10C．11D．12
【答案】D
【分析】由，，然后由数量积的运算计算，结合正六边形性质可得．
【详解】如图，连接，显然，
，
点在正六边形的边上运动，是其中心，因此的最大值等于其边长4，
所以的最大值为．
故选：D．

42．已知点M是矩形内（包括边界）的一个动点，若，，则的最大值为 .
【答案】5
【分析】设的中点为，连接，可得，然后求解最值即可．
【详解】设的中点为，连接，
则=
．
∵点点M是矩形内（包括边界）一动点，且,
∴，则，
当点与点或点重合时，取得最大值5.
故答案为：5．