人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示学案

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知识点1平面向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量,
（1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即
（2）向量垂直:
知识点2平面向量的模与夹角的坐标表示
（1）向量的模:设,则
（2）两点间的距离公式:若,则
（3）向量的夹角公式:设两非零向量,a与b的夹角为θ,则
重难点1数量积的坐标表示
1．已知向量，则（ ）
A．10B．18C．D．
【答案】A
【分析】根据平面向量的坐标运算法则进行运算即可.
【详解】因为向量，
所以，
故选:A.
2．已知向量，，则 .
【答案】
【分析】根据向量的坐标运算即可求解.
【详解】因为，，所以，
故.
故答案为：
3．若，则实数（ ）
A．6B．C．3D．
【答案】B
【分析】将两边平方，结合数量积的运算律求出，再根据数量积的坐标公式即可得解.
【详解】因为，所以，
即，所以，
即，解得.
故选：B.
4．已知向量，，，则 ．
【答案】
【分析】求出向量，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解之即可.
【详解】因为向量，，
则，
所以，，解得.
故答案为：.
5．已知向量，，且与的夹角余弦值为，则（ ）
A．或B．或C．D．或
【答案】B
【分析】利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出．
【详解】，，，
显然，
故有：，解得或．
故选：B．
6．已知向量，，则使成立的一个充分不必要条件是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据向量坐标运算公式将原问题转化为的一个充分不必要条件进而求解.
【详解】因为，，
所以，，
所以，
解得，
所以使成立的一个充分不必要条件是.
故答案为：（答案不唯一）
重难点2向量模的坐标运算
7．已知向量和的夹角的余弦值为，，，则等于（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】B
【分析】先由模长公式得，再结合数量积公式求即可.
【详解】由题意可得，，，
可得，，
解得.
故选：B.
8．已知向量满足，则 .
【答案】
【分析】根据平面向量数量积运算法则求出答案.
【详解】因为，所以，
故.
故答案为：
9．设，，．
(1)试用、表示；
(2)若，求的值，说明此时与是同向还是反向，并求．
【答案】(1)；
(2)，反向，.
【分析】（1）利用平面向量线性运算的坐标表示列式计算即得.
（2）利用共线向量的坐标表示列式计算，并利用模的坐标表示计算即得.
【详解】（1）设，依题意，，
从而，解得，
所以.
（2）依题意，，而，由，
得，解得，此时与反向，
所以.
10．（多选）已知向量，若，则等于（ ）
A．0B．－1C．1D．－2
【答案】CD
【分析】根据向量的坐标运算，求出，，由，求出的值，判断选项.
【详解】，，
，，
又，，
解得或.
故选：CD
11．已知向量，，且与共线，则 .
【答案】
【分析】由向量垂直的条件求出，再得出，最后求出模长即可.
【详解】因为与共线，
所以，
所以，
所以，
所以，
故答案为：.
12．在平行四边形中，，则 .
【答案】10
【分析】根据向量加减的坐标运算和向量模的坐标运算即可得到答案.
【详解】因为四边形为平行四边形，则，
，则，
故答案为：10.
重难点3向量垂直的坐标运算
13．已知向量，若，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由求出x，得出，再由向量夹角的公式求出结果即可.
【详解】由题意知，解得，
所以，
所以
故选：D.
14．已知点及平面向量，，．
(1)当点P在x轴上时，求实数m的值；
(2)当时，求实数k的值．
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）利用向量坐标的线性运算化简可得坐标，再由题意列出方程求解；
（2）根据向量垂直，转化为向量数量积为0求解.
【详解】（1）,
因为点P在x轴上，
所以，解得.
（2），，
又因为，
所以，
解得.
15．已知向量，若，则（ ）
A．B．C．D．40
【答案】B
【分析】利用向量垂直的性质和模长求出即可.
【详解】由已知可得，
因为，
所以，
所以，
所以，
故选：B.
16．已知向量，若，且，则 ．
【答案】
【分析】由向量垂直的坐标表示和向量的模长组成方程组，求出结果即可.
【详解】因为，
所以，①
又因为，，
所以，②
由①②解得；或，
所以或，
故答案为：.
17．已知向量，，且，则实数= .
【答案】1
【分析】利用向量垂直的坐标表示，结合数量积公式，即可求解.
【详解】因为，
，.
由可得.
所以.
故答案为：1.
18．已知向量，若与垂直，请写出满足条件的向量的一个坐标 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】先求出 ，再根据向量垂直条件即可得出满足条件的的一个坐标.
【详解】设，则，
由与垂直，得，
所以，于是，
取，则，于是的一个坐标可以是．
故答案为：（答案不唯一）.
重难点4向量夹角的坐标运算
19．已知向量，，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由平面向量的坐标运算分别得到以及，然后由平面向量的夹角公式即可解出.
【详解】∵向量，，∴，
∴，，
∴向量与夹角的余弦值为.
故选：D．
20．已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量的夹角为钝角，由且与不共线求得的范围，再利用充分条件和必要条件的定义判断..
【详解】由已知可得，由可得，解得，
所以由与的夹角为钝角可得解得，且.
因此，当时，与的夹角不一定为钝角，则充分性不成立；
当与的夹角为钝角时，，且，即成立，则必要性成立.
综上所述，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件.
故选：B．
21．已知向量，，，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量的坐标运算及数量积的运算性质、夹角公式求解.
【详解】，，
，
，
，.
故选：A
22．已知向量，，若非零向量与，的夹角均相等，则满足条件的一个的坐标为 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】设，由题设有，利用平面向量夹角坐标表示求得的关系，即可得答案.
【详解】设，与，的夹角分别为，，则，
故，可得，整理得，
取，则.
故答案为：（答案不唯一）
23．在平面直角坐标系中，已知向量与夹角为，则的坐标可能是 .（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意，设，再结合平面向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】设，则，
化简可得，则，
不妨取，，则是其中一个解.
故答案为：（答案不唯一）.
24．已知向量，，，若，则等于
【答案】
【分析】确定，再利用向量的夹角公式计算得到答案.
【详解】，，，
，即，即，解得.
故答案为：.
重难点5投影向量的坐标运算
25．已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由投影向量公式计算出结果即可.
【详解】，，
在上的投影向量为，
故选：B
26．（多选）已知向量，，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则在上的投影向量为
D．若，，则在上的投影向量为
【答案】AC
【分析】根据向量平行的坐标表示可判断AB；由向量垂直的坐标表示结合已知求出向量，可得向量，然后根据投影向量公式可得投影向量，可判断CD.
【详解】由向量平行的坐标表示可知，若，则，A正确，B错误；
若，且，则，解得，
则，，
则在上的投影向量为，C正确，D错误．
故选：AC
27．在平面直角坐标系中为原点，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由投影向量的定义及数量积、模长的坐标表示求向量在向量上的投影向量.
【详解】由题设，
向量在向量上的投影向量为.
故选：B
28．向量在向量上的投影向量为，则 .
【答案】
【分析】根据投影向量公式可得，然后由向量模的坐标表示可得.
【详解】因为，
所以向量在向量上的投影向量为，
所以，所以，
所以.
故答案为：
29．已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．2D．或2
【答案】C
【分析】利用投影向量的定义，由数量积的坐标表示即可求出.
【详解】利用投影向量的定义，由向量在向量上的投影向量为可得，
即可得，
结合，得，
即，所以，
故选：C．
30．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据投影向量的定义运算求解.
【详解】，又，
所以在向量上的投影向量为.
故选：A.
重难点6数量积的最值范围
31．已知正方形的边长为，在边上，则的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，得出，，的坐标，设出点坐标，利用坐标运算求解即可．
【详解】由题意，建立如图所示坐标系，
则，，，
设，，
则，，
，
所以，
所以，
故当时，有最大值．
故选：C．
32．设向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】根据投影向量的知识列式，然后利用基本不等式求得正确答案.
【详解】依题意，，
向量在向量上的投影向量：
，
所以，
当且仅当时等号成立.
故选：A
33．已知点是边长为2的正内一点，且，若，则的最小值为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】取的中点，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得点的轨迹方程为，可设点，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的最小值.
【详解】取的中点，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，
则点、、，
设点，，，，
且，则，可得，
由于点在正内，则，可得，则，
可得，，
，
所以当时，取最小值.
故选：C.
34．在梯形中，已知，点分别在线段和上，则的最大值为 ．
【答案】3
【分析】先建立平面直角坐标系，通过写出的坐标表示，再进行运算，最后根据取值范围得到最大值.
【详解】如图建系，，所以，

设，则，
令，
则，
所以
当时取到等号.
故答案为：3
35．△ABC中，AC = BC，∠BAC = ，D为BC中点，E为AB中点，M为线段CE上动点，= 4，则| AC | = ；的最小值为 .
【答案】 4
【分析】根据即可条件可判断出△ABC为等边三角形，再根据向量的数量积运算公式展开题中式子即可算出三角形边长，最后根据三角形边长建立平面直角坐标系将各点表示出来运用向量的坐标运算即可得出答案.
【详解】空1：由题可知△ABC为等边三角形，，
解得，因此；
空2：如图，设，，，其中，
，，，
当时，，即为的最小值.
故答案为：4；.
36．正方形的边长为 2，点E和F分别是边BC和AD上的动点，且，则 的最大值为
【答案】
【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示求解即得.
【详解】在边长为2的正方形中，建立如图所示的直角坐标系，令，

则，由，得，
于是，
因此，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
故选：
37．在边长为的正方形中，是中点，则 ；若点在线段上运动，则的最小值是 .
【答案】
【分析】根据题意，以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】
根据题意，以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，
因为正方形的边长为，且是中点，
则，
则，
所以；
设，其中，
则，则，
所以，，
则，，
其中，，
当时，有最小值为.
所以的最小值是.
故答案为：30；