人教A版 (2019)第七章 复数7.1 复数的概念学案

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知识点1数系的扩充及复数的有关概念
1.复数的有关概念
（1）复数的定义:形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,且.
（2）复数集:全体复数构成的集合叫做复数集.
（3）复数的表示:,其中叫做复数的实部,叫做复数的虚部.
2.数系的扩充

3.复数相等
若,则复数与相等的充要条件是且.
4.复数的分类
（1）对于复数,当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数0;当时,它叫做虚数;当且时,它叫做纯虚数.
这样,复数可以分类如下:
重难点1复数的概念
1．下列命题正确的个数是（ ）
①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小.
A．1B．2
C．0D．3
2．给出下列命题：
①若R，则是纯虚数；
②若R且，则；
③若C，则复数的实部为a，虚部为b；
④i的平方等于.
其中正确命题的序号是（ ）
A．①B．②
C．③D．④
3．已知复数（）的实部大于虚部，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．若x是实数，则x是复数
B．若z是虚数，则z不是实数
C．复数与（R）不可能相等
D．没有平方根
5．给出下列四个命题：
①两个复数不能比较大小；
②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
③纯虚数集相对复数集的补集是虚数集；
④以2为实部的复数有无数个．
其中真命题是 .（填写序号）
6．以的实部为虚部，的虚部为实部的复数为 ．
重难点2复数的分类
7．已知复数（其中为虚数单位）为纯虚数，写出关于复数的一个正确结论： .
8．已知x是实数，则“复数是纯虚数”的充分不必要条件是“ ”.
9．已知，其中，，则的值为 .
10．实数m取什么值时，复数是：
(1)实数？
(2)虚数？
(3)纯虚数？
11．在复数，，，，0，中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？其中虚数的实部与虚部分别是什么？
12．已知，为的一个内角．若不论为何值，总存在使得是实数，求实数的取值范围．
重难点3复数相等的充要条件
13．已知为虚数单位，为实数，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
14．已知，其中，i为虚数单位，则以为根的一个一元二次方程是（ ）
A．B．C．D．
15．定义：复数是()的转置复数，已知，i是虚数单位，若，则复数的转置复数是 .
16．已知复数，且，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
17．已知，，若，求实数的值．
18．分别求满足下列条件的实数x，y的值．
(1) ；
(2).
知识点2复数的几何意义
1.复平面
实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数都与平面直角坐标系上的点一一对应，将这个平面称为复平面.横坐标代表复数的实部，纵坐标代表复数的虚部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴.
2.复数的几何意义
（1）复数一一对应复平面内的点.
（2）复数一一对应平面向量.
实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数都与平面直角坐标系上的点一一对应，将这个平面称为复平面.横坐标代表复数的实部，纵坐标代表复数的虚部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴.
①复数的几何意义：
②复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，即
共轭复数
（1）定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
（2）表示:复数的共轭复数表示为,即若,则.
（3）性质:①两个共轭复数的对应点关于实轴对称；②实数的共轭复数是它本身,即.
重难点4复数与复数坐标
19．已知是虚数单位，在复平面内，复数和对应的点间的距离是（ ）
A．0B．1C．D．
20．在复平面内，是原点，向量对应的复数为，与关于轴对称，则点对应的复数是 ．
21．复数对应的点在第四象限，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
22．求实数m的值或取值范围，使得复数分别满足：
(1)z是实数；
(2)z是纯虚数；
(3)z在复平面中对应的点位于第三象限.
23．复平面内表示复数的点为．
(1)当实数取何值时，复数表示纯虚数？并写出的虚部；
(2)当点位于第四象限时，求实数的取值范围；
(3)当点位于直线上时，求实数的值．
重难点5共轭复数
24．已知（虚数单位）， 则的共轭复数的虚部为（ ）
A．2B．C．3D．
25．复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
26．已知复数，则的共轭复数对应的点位于复平面的（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
27．已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ）
A．1B．C．3D．
28．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．复数和其共轭复数都是成对出现的
B．实数不存在共轭复数
C．互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于虚轴对称
D．复数和其共轭复数的模相等
重难点6复数的模及其应用
29．已知复数z满足，则（ ）
A．3B．2C．D．1
30．若，则实数（ ）
A．1B．2C．3D．4
31．已知复数，则满足的所有不相等的复数z之和的虚部为（ ）
A．1B．iC．2D．2i
32．（多选）若 (为虚数单位)，其中是实数，则（ ）
A．B．
C．D．
33．(多选)已知复数的模等于2，则实数m的值可以为（ ）
A．1B．2C．3D．4
34．若复数满足，且是纯虚数，则复数 .
重难点7复数与复平面内向量的关系
35．在复平面内，复数与分别对应向量和，其中为坐标原点，则（ ）
A．1B．5C．D．
36．在复平面内，复数与所对应的向量分别为和，其中为坐标原点，则对应的复数为 ．
37．在复平面内，向量表示的复数为，将向量向右平移2个单位长度后，再向上平移1个单位长度，得到向量，求：
(1)向量对应的复数；
(2)点对应的复数．
38．在复平面内，是原点，向量对应的复数是，向量对应的复数是.若，则 .