人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.5 空间直线、平面的平行精品综合训练题

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一．基本事实4
二．空间等角定理
1.定理
2.推广：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
三．直线与平面平行的判定定理
四．直线与平面平行的性质定理
五．平面与平面平行的判定定理
六．两个平面平行的性质定理
知识简用
题型一 直线与直线平行
【例1-1】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是（ ）
A．相交B．异面C．平行D．垂直
【例1-2】在正六棱柱任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
题型二 等角定理
【例2-1】不在同一个平面内的两个三角形的三组对应边分别平行，则这两个三角形（ ）
A．一定是全等三角形B．一定是相似但不全等的三角形
C．一定是相似或全等的三角形D．可能不全等或相似
【例2-2】给出下列命题：
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．
其中正确的命题有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
题型三 直线与平面平行
【例3-1】如图，在长方体中，，，与交于点，点是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.
【例3-2】正方体的边长为1，为正方形的中心．
(1)求证：直线平面；
(2)求三棱锥的体积．
【例3-3】如图，在五面体P-ABCD中，，底面ABCD是菱形，且，点M是AB的中点，点E在棱PD上，满足．求证：平面EMC．
题型四 平面与平面平行
【例4-1】如图，在长方体中，，E，F，Q分别为的中点，求证：平面平面．
【例4-2】如图，在棱长为的正方体中，点在上，点在上，点在上，且，是的中点．求证：平面平面．
题型五 平行的判断定理与性质的辨析
【例5-1】下列能保证直线与平面平行的条件是（ ）
A．，
B．，，
C．､，，，，且
D．，，，
【例5-2】对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是（ ）
A．如果，，m、n是异面直线，那么
B．如果，，m、n是异面直线，那么n与相交
C．如果，，m、n共面，那么
D．如果，，m、n共面，那么
【例5-3】在下列判断两个平面与平行的4个命题中，真命题的个数是（ ）．
①都垂直于平面r，那么
②都平行于平面r，那么
③都垂直于直线l，那么
④如果l、m是两条异面直线，且，，，，那么
A．0B．1C．2D．3
8.5 空间直线、平面的平行（精讲）
思维导图
典例精讲
考点一 线线平行
【例1-1】若，且，与方向相同，则下列结论正确的有（ ）
A．且方向相同B．，方向可能不同
C．OB与不平行D．OB与不一定平行
【例1-2】如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（ ）
A．3条B．4条
C．5条D．6条
【一隅三反】
1．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是________(填序号).
2.如图所示，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点，求证：,,,四点共面.
3．如图，E，F分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．
考点二 等角性质
【例2-1】已知，，，则（ ）
A．B．或
C．D．或
【例2-2】如图，在正方体中，，分别是棱和的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）求证：．
【一隅三反】
1．下列结论，其中正确的是________(填序号).
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等.
②如果两个角的两边都平行于一个平面，那么这两角相等或互补.
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补.
④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.
2．如图，三棱柱中，，，分别为，，的中点.求证：.

3．长方体中，分别为棱的中点.
（1）求证：；
（2）求证：.
考点三 线面平行
【例3-1】如图，四棱锥中，底面为边长为2的菱形且对角线与交于点O，底面，点E是的中点．
(1)求证：∥平面；
(2)若三棱锥的体积为，求的长．
【例3-2】如图，在四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，，，E、、F分别为棱AD、、AB的中点．证明：直线平面．
【例3-3】如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为的中点.
(1)证明：AF平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面，并给出必要的证明.
【一隅三反】
1．在正方体中，分别是的中点，则下列说法中错误的是（ ）
A．平面B．平面
C．平面D．平面
2．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）
A．B．
C．D．
3.如图所示，正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13，M为PA上的点，且PM∶MA=5∶8.
(1)在线段BD上是否存在一点N，使直线MN平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值，如果不存在，请说明理由；
(2)假设存在满足条件（1）的N点，求线段MN的长.
4．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件：________时，平面.
考点四 面面平行
【例4-1】如图，在三棱柱中，分别为的中点，．求证：
(1)平面；
(2)平面平面．
【例4-2】（多选）在正方体中，下列四组面中彼此平行的有（ ）
A．平面与平面B．平面与平面
C．平面与平面D．平面与平面
【一隅三反】
1．如图，在长方体中，写出满足条件的一个平面：
（1）与平面平行的平面为______；
（2）与平面平行的平面为______；
（3）与平面平行的平面为______．
2．如图：在正方体中，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)若为的中点，求证：平面平面.
3.由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为平行四边形，O为与的交点．
(1)求证：∥平面；
(2)求证：平面∥平面；
(3)设平面与底面的交线为l，求证：．
考点五 判断定理与性质定理辨析
【例5-1】已知为不同的平面，a，b为不同的直线，那么下列条件中能推出与平行的是（ ）
A．内有无数条直线与平行B．
C．直线，且D．内任何直线都与平行
【例5-2】已知为三条不重合的直线，是两个不重合的平面，给出下列四个说法：
①，则；
②，则；
③，则；
④，则.
其中正确的是（ ）
A．①④B．①②C．②④D．③④
【一隅三反】
1．下列条件中能推出平面平面的是（ ）
A．存在一条直线，，
B．存在一条直线， ，
C．存在两条平行直线，，，，，
D．存在两条异面直线，，，，，
2．已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题（ ）
①，；
②，；
③，；
④，；
⑤，，．
A．①⑤B．①②C．②④D．③⑤
3．a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面．给出下列四个命题：
①； ②
③； ④．
其中真命题是．
A．①②③B．①③C．①④D．①③④
考点六 距离相关问题
【例6】已知正方体的棱长为分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若平面，则线段的长度范围是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
2.在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动．若平面AMN，则PA1的最小值是（ ）
A．1B．C．D．
3.已知正方体的棱长为分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若面，则线段的长度范围是（ ）
A．B．C．D．
8.5 空间直线、平面的平行（精练）
1．如果直线平面，那么直线与平面内的（ ）
A．一条直线不相交B．两条相交直线不相交
C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交
2．如图，在四棱柱中，平面平面，且，则四边形的形状是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
3．在三棱锥中，点E，F分别在上．若，则直线与平面的位置关系为（ ）
A．平行B．相交C．平面D．不能确定
4．如果，表示直线，，表示平面，那么下列说法中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，，则
5．下列条件中，能得出直线与平面平行的是（ ）
A．直线与平面内的所有直线平行
B．直线与平面内的无数条直线平行
C．直线与平面没有公共点
D．直线与平面内的一条直线平行
6．如图，已知平面平面，点为，外一点，直线，分别与，相交于，和，，则与的位置关系为（ ）
A．平行B．相交C．异面D．平行或异面
7．已知为三条不重合的直线，为两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
8．已知正方体，下列结论中，正确的是______．（填序号）
①；②；③平面．
9．长方体的底面是正方形，，分别是侧棱，上的动点，，在棱上，且.若平面，则_________.
10．在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点，
求证：(1) ； (2)∠EA1F＝∠E1CF1.
11．如图，在正方体中，与交于点，求证：
(1)直线平面；
(2)直线平面．
12．如图，M，N，K分别是正方体的棱的中点．求证：∥平面．
13．如图所示，在四棱柱中，已知，．在DC上是否存在一点E，使平面？若存在，试确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
14．如图，在五面体中，，底面ABC是正三角形，．四边形是矩形，问：D在AC上运动，当D在何处时，有平面，并说明理由．
15．如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，求证：
(1)平面；
(2)平面平面.
16．如图所示，在正方体中，，，分别是，，的中点．求证：平面平面．
17．如图，四棱锥的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别为AB，PD的中点，且PA＝AD＝2．
(1)求证：平面PEC；
(2)求三棱锥的体积．
18.如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点．
(1)求证：EF平面BDD1B1；
(2)设G为棱CD上的中点，求证：平面GEF平面BDD1B1．
19.如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)若平面，求证：为的中点．
20．如图，正方体中，、、、分别是相应棱的中点，证明：平面平面．
21．如图，四棱锥中，，，为的中点．
(1)求证：平面.
(2)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．
22．如图，四棱锥中，，，点为上一点，为，且平面.
(1)若平面与平面的交线为，求证：平面；
(2)求证：.
1．（多选）如图，点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论一定正确的有（ ）
A．∥B．∥面
C．∥面D．三棱锥的体积不变
2．如图，在正方体中，为线段上任意一点（包括端点），则一定有（ ）
A．与异面B．与相交
C．与平面平行D．与平面相交
3.如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱、的中点，是侧面上一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在长方体中，分别为的中点.点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是______・
5．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别为A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且AF=AB．
(1)求证：EF∥平面BDC1；
(2)在棱AC上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．
6．如图所示，在正方体中，点N在BD上，点M在上，且，求证：平面．
7．如图，在长方体中，，E为CD中点．问：在棱上是否存在一点P，使得平面？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
8．如图，平面平面平面，异面直线 分别与平面 相交于点和点．已知，，，求、、的长．
文字语言
平行于同一条直线的两条直线平行
图形语言
符号语言
直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c
作用
证明两条直线平行
说明
基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性
文字语言
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
符号语言
OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°
图形语言
作用
判断或证明两个角相等或互补
文字语言
如果平面外一条直线与此平面内一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号语言
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊄α，,b⊂α，,a∥b))⇒a∥α
图形语言
文字语言
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
符号语言
a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b
图形语言
文字语言
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊂α，b⊂α，,a∩b＝A，,a∥β，b∥β))⇒α∥β
图形语言
文字语言
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
符号语言
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
图形语言