人教A版（2019） 高中数学必修二第六章平面向量及其应用之重难点01—等和线定理专题精讲（原卷版+解析版）

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重难点01等和线定理（精讲）目录 TOC \o "1-3" \h \z \u  HYPERLINK \l "_Toc187306119" 1 知识点一、平面向量三点共线定理  PAGEREF _Toc187306119 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc187306120" 2 知识点二、等和线定理  PAGEREF _Toc187306120 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc187306121" 3 题型一：x+y问题（系数为1）  PAGEREF _Toc187306121 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc187306122" 4 题型二：mx+ny问题（系数不为1）  PAGEREF _Toc187306122 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc187306123" 5 题型三：mx-ny问题  PAGEREF _Toc187306123 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc187306124" 6 题型四：mx+ny问题  PAGEREF _Toc187306124 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc187306125" 7 题型五：mx2+ny2问题  PAGEREF _Toc187306125 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc187306126" 8 【同步练习】  PAGEREF _Toc187306126 \h 6知识点一、平面向量三点共线定理 已知，若，则三点共线；反之亦然。知识点二、等和线定理平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。①当等和线恰为直线时，；②当等和线在点和直线之间时，；③当直线在点和等和线之间时，；④当等和线过点时，；⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；题型一：x+y问题（系数为1）【例1】（2024·山东滨州·统考一模）在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【变式1-1】如图，，点由射线，线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则实数对可以是（    ）A． B． C． D．【变式1-2】（2024·上海浦东新·高三上海市建平中学校考开学考试）已知的外接圆圆心为，，若，则的最大值为（    ）A． B． C． D．题型二：mx+ny问题（系数不为1）【例2】（2024·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【变式2-1】（2024·安徽合肥·高三阶段练习）如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若（）存在最大值，则的取值范围为（ ）  A． B． C． D．【变式2-2】（多选题）（2024·河北唐山·高二唐山一中校考阶段练习）如图，圆О是边长为的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，（，），则可以取值为（    ）A． B． C． D．1题型三：mx-ny问题【例3】（2024·上海嘉定·高二校考期末）如图,，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时，的取值范围是（    ）A． B． C． D．【变式3-1】（2024·河南平顶山·高一统考期末）如图所示，点P在由线段AB，AC的延长线及线段BC围成的阴影区域内（不含边界），则下列说法中正确的是 ．（填写所有正确说法的序号）①存在点P，使得；②存在点P，使得；③存在点P，使得；④存在点P，使得．【变式3-2】（2024·高一课时练习）已知△ABC中，，若点P为四边形AEDF内一点(不含边界)且，则实数x的取值范围为 .题型四：mx+ny问题【例4】（2024·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E是线段上的两个动点，且，则的的最小值是（    ）A．4 B． C． D．2【变式4-1】（2024·广东汕头·高一金山中学校考期中）如图，在中，分别是的中点，是线段上两个动点，且，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【变式4-2】（2024·山东菏泽·高一统考期末）在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线于点，且，，其中且，若的最小值为 .题型五：mx2+ny2问题【例5】（2024·全国·高三专题练习）在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值为 .【变式5-1】（2024·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（    ）A． B． C． D．1【变式5-2】（2024·全国·高三专题练习）如图，在中，为边上不同于，的任意一点，点满足.若，则的最小值为 .  【同步练习】一、单选题1．（2024·上海金山·统考一模）已知的外接圆圆心为，，若(，)，则的最小值为（    ）A． B． C． D．22．（2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知点为所在平面内一点，满足，为中点，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．3．（2024·山东烟台·统考三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ）A． B．2 C． D．14．（2024·辽宁沈阳·高三统考期中）如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若（）存在最大值，则的取值范围是（   ）A． B． C． D．5．（2024·辽宁丹东·高三统考期末）已知扇形的圆心角是，半径是1，是弧上不与重合的一点，设，若存在最大值，则实数的取值范围为（     ）A． B． C． D．二、多选题6．（2024·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考期中）已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的值可能为（    ）A． B． C． D．7．（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）如图，圆O是边长为2的等边三角形的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，，则可以的取值为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3三、填空题8．（2024·福建三明·高二三明一中校考开学考试）如图，在扇形中，，C为弧AB上的一个动点，若，则的取值范围是 .9．（2024·四川绵阳·高一统考期中）在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是 ．10．（2024·全国·高三专题练习）在扇形中，，，C为弧上的一个动点，若，则的取值范围是 .11．（2024·全国·高三专题练习）扇形中，，为上的一个动点，且，其中.（1）的取值范围为 ；（2）的取值范围为 .12．（2024·河南平顶山·高一统考期末）如图所示，点P在由线段AB，AC的延长线及线段BC围成的阴影区域内（不含边界），则下列说法中正确的是 ．（填写所有正确说法的序号）①存在点P，使得；②存在点P，使得；③存在点P，使得；④存在点P，使得．13．（2024·全国·高一专题练习）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足，设，则的最小值为 14．（2024·全国·高一专题练习）如图，矩形中，，，、分别为线段、上的点，且满足，若，则的最小值为 ．  15．（2024·上海黄浦·高二格致中学校考期中）如图，矩形ABCD中，，，M，N分别为线段BC，CD上的点，且斜边上的高为1，若，，则的最小值是 ．四、解答题16．（2024·高一课时练习）在学习向量三点共线定理时，我们知道当P、A、B三点共线，O为直线外一点，且时，（如图1），小明同学提出了如下两个问题，请同学们帮助小明解答．(1)当或时，O、P两点的位置与AB所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由；(2)如图2，射线，点P在由射线OM、线段OA及BA的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，求实数x的取值范围，并求当时，实数y的取值范围．