高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用精练

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc187263267" 1题型一、已知两边及一角解三角形 PAGEREF _Tc187263267 \h 2
\l "_Tc187263268" 2题型二、已知三边解三角形 PAGEREF _Tc187263268 \h 2
\l "_Tc187263269" 3题型三、利用余弦定理判断三角形的形状 PAGEREF _Tc187263269 \h 2
\l "_Tc187263270" 4题型四、已知两角及任意一边解三角形 PAGEREF _Tc187263270 \h 3
\l "_Tc187263271" 5题型五、已知两边及其中一边的对角解三角形 PAGEREF _Tc187263271 \h 3
\l "_Tc187263272" 6题型六、三角形形状的判断 PAGEREF _Tc187263272 \h 4
\l "_Tc187263273" 7题型七、实际应用问题 PAGEREF _Tc187263273 \h 4
\l "_Tc187263274" 8题型八、三角形多解问题 PAGEREF _Tc187263274 \h 7
\l "_Tc187263275" 9题型九、三角形边长、面积、周长最值与范围问题 PAGEREF _Tc187263275 \h 7
\l "_Tc187263276" 10题型十、三角形中的图形类问题 PAGEREF _Tc187263276 \h 9
\l "_Tc187263277" 11题型十一、面积与周长求值问题 PAGEREF _Tc187263277 \h 12
题型一、已知两边及一角解三角形
1．（2024·全国·高一假期作业）在中角A、B、C所对边a、b、c满足，，，则（ ）.
A．4B．5C．6D．6或
2．（2024·全国·高一随堂练习）在中，角的对边分别是，已知，，，则等于（ ）
A．1B．2C．D．
3．（2024·山东青岛·高一校联考期末）在中，，则（ ）
A．B．C．D．
题型二、已知三边解三角形
4．（2024·江西·高一统考期末）在中，为边上一点（不含端点），，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·上海徐汇·高一位育中学校考期末）在钝角中，角所对的边分别为，若，则最大边的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·吉林通化·高一校考阶段练习）在中，已知，则角为（ ）
A．B．C．D．
题型三、利用余弦定理判断三角形的形状
6．（2024·全国·高一假期作业）在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
7．（2024·河南郑州·高一中牟县第一高级中学校考阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形
8．（2024·北京·高一东直门中学校考期末）中，，，分别是内角，，的对边，若且，则的形状是（ ）
A．底角是的等腰三角形B．等边三角形
C．三边均不相等的直角三角形D．等腰直角三角形
题型四、已知两角及任意一边解三角形
8．（2024·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考期末）的内角，，对边分别为，，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·浙江·高一期末）在中，，则边长（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·高一课时练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（ ）
A．1:2:3B．1:2: C．1::2D．2: :1
题型五、已知两边及其中一边的对角解三角形
12．（2024·陕西铜川·统考一模）在中，，.则（ ）
A．B．C．D．或
13．（2024·广东东莞·高一东莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且，若，，则△ABC的外接圆直径为（ ）
A．B．C．D．
14．（2024·山西运城·高一统考期末）如图，四边形四点共圆，其中为直径，，，，则的长度为（ ）

B．C．D．
题型六、三角形形状的判断
15．（2024·全国·高一假期作业）在中，若，则是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．等边三角形
16．（2024·福建福州·高一校联考期末）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（ ）
A．等腰非直角三角形B．直角非等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
17．（2024·四川成都·高一统考期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且满足，则为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．以上皆有可能
题型七、实际应用问题
18．（2024·云南文山·高一校考阶段练习）西点中学高一学生王某以三栋教学楼为中心（处），看到九栋宿舍处在教学楼北偏东方向，此时他认为教学楼处到九栋宿舍处距离应为100m，从教学楼继续向东行驶到升旗台（）处后，看到九栋宿舍在北偏东方向，若以上数据正确且三个点都在同一平面，那么升旗台到九栋宿舍处距离应为 m.
19．（2024·安徽阜阳·高一阜阳市第三中学校考阶段练习）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛_上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为 m．

20．（2024·辽宁·高一校联考期末）抚仙湖，位于澄江市、江川区、华宁县之间，湖面积仅次于滇池和洱海，为云南省第三大湖，也是我国最大的深水型淡水湖泊．如图所示，为了测量抚仙湖畔M，N两点之间的距离，现取两点E，F，测得公里，，，，则M，N两点之间的距离为 公里．

21．（2024·江西·高一统考期末）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图，为了测量山顶处的海拔高度，从山脚处沿斜坡到达处，在处测得山顶的仰角为45°，山脚的俯角为15°.已知两地的海拔高度分别为100m和200m.记在水平面的射影分别为，则山顶的海拔高度为 m.

22．（2024·高一单元测试）落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，则滕王阁的高度OP＝ 米．
23．（2024·河北邢台·高一统考期末）罗星塔位于福建省福州市马尾区南部的闽江之滨，是国际公认的航标、闽江门户标志，有“中国塔"之誉．如图，为测量罗星塔的塔高，选取与塔底在同一水平面的两个测量基点与．现测得，，，在点处测得塔顶的仰角为60°，则估计罗星塔的塔高 m．（参考数据：取，结果精确到0.1m）

24．（2024·全国·高一专题练习）瀑布是庐山的一大奇观，唐代诗人李白曾在《望庐山瀑布中》写道：日照香炉生紫烟，遥看瀑布挂前川，飞流直下三千尺，疑是银河落九天.为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：沿一段水平山道步行至与瀑布底端在同一水平面时，在此位置测得瀑布顶端的仰角正切值为，沿山道继续走20，测得瀑布顶端的仰角为.已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为.根据这位同学的测量数据，可知该瀑布的高度为 ；若第二次测量后，继续行进的山道有坡度，坡角大小为，且两段山道位于同一平面内，若继续沿山道行进，则该同学望向瀑布顶端与底端的视角正切值为 .（此人身高忽略不计）
25．（2024·福建泉州·高一校联考期末）如图，某人身高1.73m，他站的地点A和云南大理文笔塔塔底O在同水平线上，他直立时，测得塔顶M的仰角（点E在线段上，忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段向塔前进100m到达点B，在点B直立时，测得塔顶M的仰角：塔尖的视角（N是塔尖底，在线段上）.

（1）求塔高 ；
（2）此人在线段上离点O 米，他直立看塔尖的视角最大？
参考数据：，，.
26．（2024·高一课时练习）“一带一路”国际合作高峰论坛（于2017年5月14日至15日）在北京举行，会议期间达成了多项国际合作协议，其中有一项是在某国投资建设一个深水港码头，如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量.已知AB=60m，BC=120m，于A处测得水深AD=120m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=150m，则cs∠DEF= .
题型八、三角形多解问题
27．（2024·江苏苏州·高一南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 若满足的三角形有两个，则边长a的取值范围是 .
28．（2024·上海·高一假期作业）下列条件判断三角形解的情况，正确的是 （填序号）；
①，，，有两解；
②，，，有一解；
③，，，无解；
④，，，有一解．
29．（2024·湖南岳阳·高一校联考阶段练习）已知中，，，的对边分别为a，b，c，若，，给出下列条件中：①，②，③，能使有两解的为 ．（只要写出一个正确答案的序号即可）
题型九、三角形边长、面积、周长最值与范围问题
30．（多选题）（2024·重庆·高一统考期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c ，若，且，延长至D，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则周长的最大值为
D．若，则面积的最大值为
31．（多选题）（2024·江苏宿迁·高一统考期末）在中，，，则下列判断正确的是（ ）
A．的周长有最大值为21
B．的平分线长的最大值为
C．若，则边上的中线长为
D．若，则该三角形有两解
32．（2024·安徽滁州·高一校联考阶段练习）在中，角所对的边分别为，且满足.
(1)已知为线段上一点，且满足，若，求的长；
(2)若为锐角三角形，求面积的范围.
33．（2024·黑龙江哈尔滨·高一校考阶段练习）美化环境，建设美好家园，大家一直在行动．现有一个直角三角形的绿地，，计划在区域建设一个游乐场，其中米，米，．

(1)若米，求NC的长；
(2)设，求游乐场区域面积的最小值，并求出此时的值．
34．（2024·山东德州·高一统考期末）从①；②；③；
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在锐角中，分别是角的对边，若________________．
(1)求角的大小；
(2)求取值范围；
(3)当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，求面积的最大值．
（注：若选择多个条件，按第一个解答计分）
35．（2024·江苏镇江·高一统考阶段练习）条件①；②；③（其中为的外接圆半径）.在这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答.
在中，内角，，的对边分别为，，，且满足__________.
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值.（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个计分）
题型十、三角形中的图形类问题
36．（2024·山东临沂·高一统考期末）如图，在平面四边形中，，，，，．

(1)求的值；
(2)求的长．
37．（2024·河北衡水·高一河北武邑中学校考期末）如图所示，在平面四边形ABCD中，，，，，．
(1)求BD的长；
(2)若AC与BD交于点O，求的面积．
38．（2024·江苏宿迁·高一统考期末）在圆的内接四边形中，，，，示意如图．

(1)若是圆的直径，求的长；
(2)若圆的直径为，求四边形的面积．
39．（2024·河南开封·高一统考期末）已知四边形是由与拼接而成，如图所示，，.

(1)求证：；
(2)若，，求的长.
40．（2024·重庆铜梁·高一铜梁中学校校考期末）如图，在梯形中，，.
(1)求证：；
(2)若，，求的长度.
41．（2024·浙江杭州·高一杭师大附中校考期末）老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域规划为枇杷林和放养走地鸡，区域规划为民宿供游客住宿及餐饮，区域规划为鱼塘养鱼供垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏，已知．
(1)若，求护栏的长度即的周长；
(2)若鱼塘的面积是民宿面积的倍，求．
题型十一、面积与周长求值问题
42．（2024·河南洛阳·高一栾川县第一高级中学校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且面积为，若，则 ．
43．（2024·内蒙古赤峰·高一统考期末）在内，角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角的值；
(2)若的面积为，，求的周长．
44．（2024·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且.
(1)求；
(2)若，的周长为3，求的面积S.
45．（2024·全国·高一假期作业）设的内角的对边分别为，且．
(1)求的大小；
(2)若，且的周长为，求的面积．
题型十二、利用向量证明平面几何问题
46．（2024·全国·高一专题练习）证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.已知：平行四边形ABCD．求证：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.
47．（2024·广东广州·高一广州市第二中学校考阶段练习）在等边中，，点为的中点，交于点.
（1）证明：点为的中点；
（2）若，求的面积.
48．（2024·江苏苏州·高一校联考阶段练习）我们知道，“有了运算，向量的力量无限”.实际上，通过向量运算证明某些几何图形的性质比平面几何的“从图形的已知性质推出待证的性质”简便多了.下面请用向量的方法证明“三角形的三条高交于一点”.已知，，是的三条高，求证：，，相交于一点.
题型十三、利用向量解决平面几何求值问题
49．（2024·全国·高一课堂例题）已知点，，，求：
(1)的值；
(2)的大小；
(3)点A到直线BC的距离．
50．（2024·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．

(1)求的余弦值．
(2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．
51．（2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）在ΔABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设AB=，AC=

(1)试用，表示；
(2)若，求∠ARB的余弦值
(3)若H在BC上，且RH⊥BC设，若，求的范围.
题型十四、向量在物理中的应用
52．（2024·高一课时练习）一个质点受到平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知，成角且，，则（ ）
A．B．C．D．
53．（2024·北京·高一校考期末）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论：
①越大越费力，越小越省力；②的范围为；
③当时，；④当时，.
其中正确结论的序号是（ ）

A．①③B．①④C．②③D．②④
54．（2024·安徽黄山·高一统考期末）某河流南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处时，（ ）
A．B．C．D．