人教版数学八上同步单元讲练测第12单元02基础练（2份，原卷版+解析版）

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第十二单元 全等三角形一、选择题1. 下列各项中，两个图形属于全等图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．2. 如图，，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据全等三角形的性质，判断即可．【详解】如图， ∵，且，∴，，，不成立，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．3. 如图，，点在同一条直线上，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 6【答案】A【解析】【分析】由，可得，再由可得，最后计算即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．4. 小亮设计了如下测量一池塘两端的距离的方案：先取一个可直接到达点，的点，连接，，延长至点，延长至点，使得，，再测出的长度，即可知道，之间的距离．他设计方案的理由是（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用“边角边”判断两个三角形全等，利用全等三角形对应边相等，得．【详解】解：可行．理由如下：在和中，故选A．【点睛】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．5. 如图，若，则添加一个条件后，仍无法判定的是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查三角形全等的判定方法，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据题意和图形，可以得到，然后根据各个选项中的条件，结合全等三角形的判定定理即可求解．【详解】解：A、添加条件，又，由不能判定与全等，故A符合题意；B、添加条件，又，由能判定与全等，，故B不符合题意；C、添加条件，又，由能判定与全等，故C不符合题意；D、添加条件，又，由能判定与全等，故D不符合题意．故选：A．6. 根据下列已知条件．能唯一画出的是（ ）A. ，， B. ，，C. ，， D. ，【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【详解】解：A．由，则不能画出三角形，故不符合题意；B．不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的一个三角形，故不符合题意；C．符合全等三角形的判定定理“”，能画出唯一的一个三角形，故符合题意； D．不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的一个三角形，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了构成三角形的条件，全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．7. 是的中线，，则的取值可能是（ ）A. 3 B. 6 C. 8 D. 12【答案】A【解析】【分析】先画出图形，延长至点，使得，连接，再利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的三边关系定理即可得．【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，则， 是的中线，，在和中，，，，在中，，即，，观察四个选项可知，只有A符合，故选：A．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．8. 如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点，，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，作于点，若，，的面积为13，则AC的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8【答案】B【解析】【分析】过点作于点F，根据角平分线的尺规作图方法可知：平分，再根据角平分线的性质，可得，再根据，求解即可．【详解】解：如图，过点作于点F， 由题意可知：平分，∵，，∴， ∵，，，∴，∴．故选：B【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图方法和角平分线的性质，解本题的关键在根据题意得出平分．9. 如图，在四边形中，，，连接，，．若P是边上一动点，则的长不可能是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6【答案】A【解析】【分析】根据余角的性质可得，即平分，作于E，则，再根据垂线段最短即可得到答案．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，即平分，作于E，则，∵P是边上一动点，则，即，∴的长不可能是；故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质和角平分线的性质，得出平分是解题的关键．10. 如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为 边上一动点，当的值最小时，的度数是（ ）A. 118° B. 125° C. 136° D. 124°【答案】D【解析】【分析】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案．【详解】解：在上截取，连接，如图：∵平分，，∴，∵，∴，∴，∴，∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图：∵，，∴．故选：D．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置．二、填空题11. 如图，四边形与四边形全等，则________，________，________，________．【答案】 ①. ##度 ②. ##度 ③. 12 ④. 6【解析】【分析】先根据四边形内角和定理求出，再根据全等图形的性质求解即可．【详解】解：∵在四边形中，∴，∵四边形与四边形全等，∴由图可知，故答案为：；；12；6．【点睛】本题主要考查了全等图形的性质，四边形内角和定理，熟知全等图形对应角相等，对应边相等是解题的关键．12. 如图，，的延长线交于点F，， 则= ________°．【答案】87【解析】【分析】根据“全等三角形对应角相等”和三角形内角和定理先求出的度数，再根据“对顶角相等”和三角形内角和定理即可求得的度数.【详解】 故答案为：87．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理.熟练掌握以上知识是解题的关键.13. 如图，在的正方形网格中标出了和，则___________度．【答案】【解析】【分析】作辅助线，使为等腰直角三角形，根据全等三角形，可得到，利用等角代换即可得解．【详解】解：如图，连接、，，，， 由图可知，在和中，，，，， ，故答案为：．【点睛】本题考查了网格中求两角和，构造全等三角形，利用等角代换是解题关键．14. 如图，D是延长线上一点，交于点E，，．若，，则的长是________． 【答案】3【解析】【分析】根据已知条件可得出，利用全等的性质得到，再由线段的和差关系，即求得．【详解】∵∴，在和中，∴，∴，∵，∴，故答案为：3．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，牢记判定定理：“”、“”、“”、“”是解题关键．15. 如图所示，已知四边形中，，，，，点为线段的中点，点在线段上以/的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为___/时，能够使与全等． 【答案】3或【解析】【分析】根据①当时，；②当时，两种情况进行讨论，从而可求点的运动速度；【详解】解：设运动时间为；当时，，∵点在线段上以/的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．∴的运动速度等于点运动速度；②当时，，∵点为线段的中点，点在线段上以/的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．，，∴,∴，∴点运动速度：；故答案为：或．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．三、解答题16. 沿着图中的虚线（小正方形虚线边），用四种不同的方法（构成4种不同图形）将下面的图形分成两个全等的图形．【答案】见解析【解析】【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形进行求解即可．【详解】解：如图所示，即为所求；【点睛】本题主要考查了考查了全等图形的概念，熟知相关概念是解题的关键．17. 如图，已知，点E在边上，与相交于点F．（1）若，求线段的长；（2）若，求的度数．【答案】（1）5 （2）​【解析】【分析】（1）由，得到，而，即可得到；（2）由，得到，，由三角形外角的性质得到进行求解即可．【小问1详解】解：∵，∴，∵，∴；【小问2详解】∵，∴，，∵，，∴．【点睛】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等．18. 学习《利用三角形全等测距离》后，“开拓”小组同学就“测量河两岸、两点间距离”这一问题，设计了如下方案：如图，在点所在河岸同侧平地上取点和点．使点、、在一条直线上，且，测得，，在的延长线上取一点，使，这时测得的长就是、两点间的距离．你同意他们的说法吗？请说明理由． 【答案】同意，见解析【解析】【分析】证明，推出，即可得到结论．【详解】解：同意，理由：，，，，，在和中，，，，，即，测得的长就是、两点间的距离．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．19. 如图，，，分别平分和，经过点E．求证：．【答案】证明见解析【解析】【分析】在上截取，连接，通过证明和，然后根据全等三角形的性质分析求证．【详解】证明：在上截取，连接．∵，分别平分和，∴．∵，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键．20. 如图1，已知，，与交于点． （1）求的度数；（2）如图2，连接，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有全等三角形（不包括已知全等三角形）【答案】（1） （2），，，【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解；（2）根据，可得三组对应边相等，三组对应角相等，进而结合图形，即可写出图中所有全等三角形．【小问1详解】∵∴中，∴∴【小问2详解】解：∵，∴,∴，即，在中，∴∴，，∴，即在中，∴在中，∴，∴在中，∴，综上所述，图中所有全等三角形为，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．21. 如图，在中，D是边上一点，E是边上一点，连接． （1）过点A作的平行线，与的延长线交于点F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若D是的中点，求证：．【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）尺规作，延长即可；（2）证明即可．【小问1详解】解：如图：AF即为所求； ；小问2详解】证明：∵，∴，∵D是的中点，∴，∴，∴．【点睛】该题主要考查了尺规作相等角以及全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解答该题的关键是熟悉各种尺规作图的基本操作，熟练运用全等三角形的性质和判定解题．22. 如图所示，小安同学为电力公司设计了一个安全用电的标识，点、、、在同一条直线上，且，，．（1）求证：；（2）若，，求的度数．【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）证明，得出，即可求解；（2）根据全等三角形的性质可得，进而根据三角形内角和定理即可求解．【小问1详解】证明： 又 在与中 【小问2详解】 ， 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．23. 问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______．拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间关系是否仍然成立？请说明理由．【答案】问题发现：，；拓展探究：成立，理由见解析【解析】【分析】问题发现：根据题目条件证△ACE≌△DCB，再根据全等三角形的性质即可得出答案；拓展探究：用SAS证，根据全等三角形的性质即可证得．详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示：∵，∴，又∵,∴（SAS），，∵，∴，∴，∴，，故答案为：，；拓展探究：成立．理由如下：设与相交于点，如图1所示：∵，∴，又∵，，∴（SAS），∴，，∵，∴，∴，∴，即，依然成立．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解决本题的关键．24. 【问题提出】（1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且.求证：；【问题探究】（2）如图②，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）结论不成立，应当是理由见解析【解析】【分析】（1）延长到点，使，连接，由全等三角形的判定和性质得出，，，继续利用全等三角形的判定得出，结合图形及题意即可证明；（2）在上截取，使，连接，结合图形利用全等三角形的判定得出，再次使用全等三角形的判定得出，利用全等三角形的性质即可证明．【详解】（1）证明：如图①，延长到点，使，连接.又∵，，∴，∴，，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：结论不成立，应当是，理由：如图②，在上截取，使，连接，∵，，∴，又∵，，∴，∴，，又∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．25. 在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度；（2）求证：DE=CD+BE；（3）当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】（1）90° （2）见解析 （3）CD= BE + DE，证明见解析【解析】【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到90°；（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE．（3）同（2）易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE = AD +DE，所以 CD= BE + DE．【小问1详解】∵∠BAC=90°∴ ∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°故答案为：90°．【小问2详解】证明：∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90° ∵ ∠DAC+∠DCA=90°且 ∠DAC+∠EAB=90°∴ ∠DCA=∠EAB ∵在△DCA和△EAB中 ∴△DCA≌△EAB (AAS)∴ AD=BE且EA=DC 由图可知：DE = EA+AD = DC+BE．【小问3详解】∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90° ∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴ ∠DCA=∠EAB ∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB (AAS) ∴ AD=BE且AE=CD由图可知：AE = AD +DE∴ CD= BE + DE．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．一、选择题（2023·吉林长春·统考中考真题）26. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C. 两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D. 两点之间线段最短【答案】A【解析】【分析】根据题意易证，根据证明方法即可求解．【详解】解：O为、的中点，，，（对顶角相等），在与中，，，，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的证明，正确使用全等三角形的证明方法是解题的关键．（2023·四川凉山·统考中考真题）27. 如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有等．根据求出，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．【详解】解：∵，∴，即，，∴当时，利用可得；当时，利用可得；当时，利用可得；当时，无法证明；故选：D．（2023·福建·统考中考真题）28. 阅读以下作图步骤：①在和上分别截取，使；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，连接，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ） A. 且 B. 且C. 且 D. 且【答案】A【解析】【分析】由作图过程可得：，再结合可得，由全等三角形的性质可得即可解答．【详解】解：由作图过程可得：，∵，∴．∴．∴A选项符合题意；不能确定,则不一定成立，故B选项不符合题意；不能确定,故C选项不符合题意，不一定成立，则不一定成立，故D选项不符合题意．故选A．【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键．（2023·山东·统考中考真题）29. 如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解．【详解】解：如图， 由图可知：，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；故选C．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．（2022·四川资阳·中考真题）30. 如图所示，在中，按下列步骤作图：第一步：在上分别截取，使；第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于的一半）为半径作圆弧，两弧交于点F；第三步：作射线交于点M；第四步：过点M作于点N．下列结论一定成立的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意可知，平分，即可得出正确答案．【详解】解：由题意可知，平分，∵不一定等于90°，∴，因此A选项不正确；∵不一定等于90°，∴不一定等于，因此B选项不正确；∵平分，∴，因此C选项不正确；∵不一定等于90°，∴不一定等于，因此D选项不正确；故选C．【点睛】本题考查了尺规作图——角平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定，掌握角平分线的作图方法是本题的关键．二、填空题（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）31. 如图，，与交于点O，请添加一个条件________，使．（只填一种情况即可） 【答案】或或【解析】【分析】根据三角形全等的判定方法处理．【详解】∵∴，若，则；若，则；若，则；故答案为：或或．【点睛】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定；掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）32. 如图，①在上分别截取线段，使；②分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，在内两弧交于点；③作射线．若，则_________． 【答案】【解析】【分析】由作图可知是的角平分线，根据角平分线的定义即可得到答案．【详解】解：由题意可知，是的角平分线，∴．故答案为：【点睛】此题考查角平分线的作图、角平分线相关计算，熟练掌握角平分线的作图是解题的关键．（2023·湖南·统考中考真题）33. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为，则的长为__________．【答案】【解析】【分析】根据作图可得为的角平分线，根据角平分线的性质即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于点，依题意，根据作图可知为的角平分线，∵∴，故答案为：．【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键．（2022·北京·统考中考真题）34. 如图，在中，平分若则____．【答案】1【解析】【分析】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作于点F，∵平分，，，∴，∴．故答案为：1．【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题的关键．（2023·重庆·统考中考真题）35. 如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为___________． 【答案】3【解析】【分析】证明，得到，即可得解．【详解】解： ∵，∴，∵，，∴，∴，∴，在和中：，∴，∴，∴，故答案为：3．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键．三、解答题（2023·辽宁大连·统考中考真题）36. 如图，在和中，延长交于， ，．求证：． 【答案】证明见解析【解析】【分析】由，，可得，证明，进而结论得证．【详解】证明：∵，，∴，∵，，，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．（2023·吉林·统考中考真题）37. 如图，点C在线段上，在和中，．求证：． 【答案】证明见解析【解析】【分析】直接利用证明，再根据全等三角形的性质即可证明．【详解】解：在和中，∴∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．（2023·云南·统考中考真题）38. 如图，是的中点，．求证：． 【答案】见解析【解析】【分析】根据是的中点，得到，再利用证明两个三角形全等．【详解】证明：是的中点，，在和中，，【点睛】本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决本题的关键．（2023·辽宁营口·统考中考真题）39. 如图．点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，．． （1）求证：；（2）若，，求的长．【答案】（1）证明见解析 （2）4【解析】【分析】（1）直接利用证明即可；（2）根据全等三角形的性质得到，则．【小问1详解】证明：在和中，，∴；【小问2详解】解：∵，，∴，又∵，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．（2023·河南·统考中考真题）40. 如图，中，点D在边上，且． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．（2）若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：．【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可；（2）证明，即可得到结论．【小问1详解】解：如图所示，即为所求， 【小问2详解】证明：∵平分，∴，∵，，∴，∴．【点睛】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等三角形的判定是解题的关键．