人教版数学八上同步单元讲练测第12单元01讲（2份，原卷版+解析版）

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第十二单元 全等三角形考点1 全等三角形的概念和性质1.全等图形：能够 的图形叫做全等图形；2.全等多边形：能够 的多边形叫做全等多边形；3.全等三角形：能够 的三角形叫做全等三角形；4.全等多边形的性质：全等多边形的对应边 ，对应角 ；5.全等三角形的性质：全等三角形的对应边 ，对应角 ；考点2 全等三角形的判定1. 全等三角形判定1——“边角边”：两边和它们的 对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.2.全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的 对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 3.全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的 对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）4.全等三角形判定4——“边边边”： 对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 5.直角三角形全等的判定——“HL”： 和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．考点3角平分线的性质定理和判定定理1.角平分线的性质定理角的平分线上的点到角两边的 相等。2.角平分线的判定定理角的内部到角两边 相等的点在角的平分线上。考点4角的平分线的尺规作图1．作图步骤（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E．（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C．（3）画射线OC．射线OC即为所求．2．图示全等三角形的判定： 1．一般三角形的判定定理及推论比较2．一般三角形全等判定的方法选择3．如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形．【例题】1. 如图，某公园有一个假山林立的池塘．，两点分别位于这个池塘的两端，小明想出了这样一个办法：先在的垂线上取两点，，使，过D作交的延长线于点．线段的长即为，两点间的距离，此处判定三角形全等的依据是(　　)A B. C. D. 2. 如图，已知，要使，只需要添加一个条件是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，和是的高，交于点，且，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 64. 如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论①；②；③；④中，正确的有　　个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发沿直线以的速度移动，过点作的垂线交直线于点．（1）试说明：；（2）当点运动多长时间时，？请说明理由．6. 已知点C为线段上一点，分别以为边在线段同侧作和，且，直线与交于点F． （1）如图①，求证：；（2）如图①，若，则＝______°；如图②，若，则＝______°；如图③，若，则＝______°；（3）如图④，若，则______°（用含的代数式表示）；（4）若A、B、C三点不在同一直线上，线段与线段交于点C（交点F至少在中的一条线段上），如图⑤，若，试判断与的数量关系，并说明理由．【练经典】7. 小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使 ，，，点 ，， 在同一直线上，就能保证 ，从而可通过测量 的长度得知小河的宽度 ．在这个问题中，可作为证明 的依据的是 （　　　） A. 或 B. 或C. 或 D. 或8. 如图，，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图为某单摆装置示意图，摆线长，当摆线位于位置时，过点作于点，测得，当摆线位于位置时，与恰好垂直，则此时摆球到的水平距离的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，和中，点在上，且，和交于点，．求证：． 11. 如图，已知，和分别平分和并交于点F． （1）如图1，求证：（2）如图2，若，为的外角角平分线交的延长线于点M，求证：（3）如图3，在（2）的条件下，若，，求的长．全等三角形模型（1）图形变换中的全等形（2）常见的全等模型【例题】12. 如图，点、在上，且，、，与交于点O．则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个14. 已知：如图，，，，，是垂足，． （1）求证：；（2）求证：．15. （1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形．【练经典】16. 如图，若，，要使，添加的条件不能是（ ） A. B. C. D. 17. 如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分其中正确的结论个数有（ ）个．A. 4 B. 3 C. 2 D. 118. 如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，，，． （1）求证：；（2）若，，求度数．19. 通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：[模型呈现]如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：．[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________________．[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为_____________．20. （1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°到△ADG的位置，然后再证明△AFE≌△AFG，从而得出结论：________________．（2）探索延伸：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠BAD．上述结论是否仍然成立？请说明理由．（3）方法应用：如图3，E、F分别是正方形ABCD边BC、CD上的动点，连接AE、AF，并且始终保持∠EAF=45°，连接EF并延长与AD的延长线交于点G，说明AG=EG．（正方形四边相等，四个角均为90°）全等三角形辅助线【例题】21. 如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与面积之和为（ ）A. 36 B. 21 C. 30 D. 2222. 如图，，，，，点M为的中点，，______．23 如图，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：CD＝AB＋AD24. （1）如图1，已知中，AD是中线，求证：；（2）如图2，在中，D，E是BC的三等分点，求证：；（3）如图3，在中，D，E在边BC上，且．求证：．【练经典】25. 如图，已知：，，，，则（ ）A. B. C. 或 D. 26. 如图1，AD为△ABC的中线，延长AD至E，使DE＝AD．（1）试证明：△ACD≌△EBD；（2）用上述方法解答下列问题：如图2，AD为△ABC的中线，BMI交AD于C，交AC于M，若AM＝GM，求证：BG＝AC．27. 如图，若 和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接．（1）求证：；（2）若，，求的长．28. 如图，，，，，．（1）求的度数；（2）以E为圆心，以长为半径作弧；以F为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点G，试探索的形状？是锐角三形，直角三角形还是钝角三角形？请说明理由．29. 【观察发现】如图①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小明的解法如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE．在△ABD与△ECD中∴△ABD≅△ECD（SAS）∴AB＝　 　．又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5，∴　 　＜AE＜　 　．又∵AE＝2AD．∴　 　＜AD＜　 　．【探索应用】如图②，ABCD，AB＝25，CD＝8，点E为BC的中点，∠DFE＝∠BAE，求DF的长为 　 　．（直接写答案）【应用拓展】如图③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，连接BE，P为BE的中点，求证：AP⊥DP．角平分线的判定和性质【例题】30. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）A. 7.5 B. 8 C. 15 D. 无法确定31. 如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点P．其中一把直尺边缘恰好和射线OA重合，而另一把直尺的下边缘与射线OB重合，上边缘与射线OA于点M，联结OP．若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为（ ）A. 62° B. 56° C. 52° D. 46°32. 如图，在中，，平分，于E，有下列结论：①；②；③；④平分；其中正确的是（ ）个．A. 1 B. 2 C. 3 D. 433. 如图，是的角平分线，于点，，和的面积分别为26和16，则的面积为______．34. 如图，在四边形中，，，为的中点，连接、，且平分，延长交的延长线于点． （1）求证：；（2）求证：是的平分线；【练经典】35. 如图，在中，，的平分线交于点，于，如果，，，且，那么的长度是（　　）A. 2 B. 3 C. 4 D. 536. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD=5，P为AB上一动点，则PD的最小值为( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 537. 如图，点P为定角平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是（ ） A. 的值不变 B. C. 的长不变 D. 四边形的面积不变38. 如图，的三边长分别是20、30、40，其三条角平分线将分成三个三角形，则等于__________． 39. 如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点F为上一点，连接，． （1）求证：平分；（2）连接交于点G，若，求证：；（3）在（2）的条件下，当，时，求线段的长．新考法【新定义小练】40. 规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，，回答下列问题：（1）求证：和是兄弟三角形．（2）取的中点P，连接，请证明．41. 定义：有一组对角互补的四边形叫做对补四边形． （1）已知四边形是对补四边形．①若，则______°．②如图①，、的平分线分别与相交于点，且．求证：；（2）如图②，在四边形中，对角线交于点，且平分，，平分，与交于点，且于点，则四边形是对补四边形吗？请说明理由；（3）已知四边形是对补四边形，其三个顶点如图③所示，连接．若平分，平分，且直线，交于点（与点不重合），请直接写出与之间数量关系．【阅读材料类小练】42. 阅读与思考下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题．例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积． 该问题的解答过程如下：解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点， 平分，．，．在和中，，（依据1）（依据2），，，．……任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________；任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长． 43. 【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使请根据小明的方法思考： （1）求得的取值范围是___________；【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题如图，已知，，，为的中点． （2）如图1，若，，共线，求证：平分 ；（3）如图2，若，，不共线，求证：；（4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）．图形变换名称图示平移型全等翻折型全等旋转型全等 模型名称图示一线三等角模型手拉手模型半角模型辅助线的名称图示连结法倍长中线法截长补短法图形性质∵∠AOC＝∠BOC，CD⊥AO，CE⊥BO∴CD＝CE判定∵CD⊥AO，CE⊥BO，CD＝CE∴∠AOC＝∠BOC