人教版数学八上同步单元讲练测第13单元01讲（2份，原卷版+解析版）

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第十三单元 轴对称考点1 轴对称相关定义和性质1.轴对称图形如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够_________，这个图形就叫做____________，这条直线就是它的________．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成）轴对称．2.轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形_____，那么就说这两个图形_____________________，这条直线叫做________，折叠后重合的点是对应点，叫做_________．3. 图形轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的_____________．类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的_____________． 如下图中，l垂直平分AA′，l垂直平分BB′．考点2 垂直平分线的定义、性质、判定1. 垂直平分线的定义经过线段________并且_________这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．几何语言________________________，则_______________________．2. 线段的垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 相等．几何符号语言：∵______________________∴______________________3. 线段的垂直平分线的判定到线段两个端点 相等的点在这条线段的垂直平分线上．几何符号语言：∵______________________∴______________________4. 三角形三边的垂直平分线三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且该点到三角形三个顶点的 相等考点3等腰三角形的性质及判定1.等腰三角形的性质（1）性质1：等腰三角形的两个底角 （简写成“等边对 ”）．几何符号语言： ∵______________________ ∴______________________（2）性质2：等腰三角形的顶角 、底边上的 、底边上的 相互重合（简写成“三线 ”）．几何符号语言： ∵______________________ ∴______________________2. 等腰三角形判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 的边也相等（简写成“等角对 ”）．几何符号语言：∵______________________∴______________________考点4 等边三角形的性质及判定1. 等边三角形的性质（1）等边三角形的三个内角都 ，并且每一个角都等于 ；（2）等边三角形是轴对称图形，有 条对称轴；（3）等边三角形具有等腰三角形的所有性质；2. 等边三角形的判定（1）三个角都 的三角形是等边三角形；（2）有 个角是60°的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的 三角形是等边三角形．考点5 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的 等于斜边的一半．几何符号语言：∵______________________∴______________________考点6 画轴对称图形1、轴对称变换（1）概念：由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的 、 完全相同．（2）性质①新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的 点．②连接任意一对对应点的线段被对称轴 ．2、画轴对称图形（1）找：在原图形上找特殊点（如线段端点、图形的顶点），在直角坐标系中则需要先计算出特殊点的对称点的坐标．（2）画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点．（3）连：按原图的顺序依次连接各对称点．轴对称图形和轴对称1. 轴对称图形与轴对称的区别2. 轴对称图形与轴对称的联系（1）把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称．（2）性质：【例题】1. 下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 2. 如图，与关于直线l对称，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，中，D点在上，将D点分别以为对称轴，画出对称点E、F，并连接，根据图中标示的角度，的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 85. 如图，在中，，M是边上一点，将沿折叠，点B恰好能与的中点D重合，若，则M点到的距离是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 66. 如图，将一张白纸一角折过去，使角的顶点A落在处，为折痕，再将另一角斜折过去，使边落在内部，折痕为，点D的对应点为，设，，则的大小为____°． 7. 在直角三角形ABC中，，点D，E分别在上，将沿翻折，得到．（1）如图①，若，则______； （2）如图②，的平分线交线段于点G.若，求证． （3）已知，的平分线交直线于点G.当的其中一条边与平行时，直接写出的度数（可用含的式表示）． 【练经典】8. 下列各选项中，两个三角形成轴对称的是（ ）A. B. C. D. 9. 下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（ ）A B. C. D. 10. 如图，，E为上一点，点A和E关于对称，点B和C关于对称，则的度数为（　　） A. B. C. D. 11. 如图，点P是内部一点，点，分别是点P关于，的对称点，且，则的周长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则的度数为（ ）A. B. C. D. 13. 学习了平行线后，某同学通过折纸想出了过点P画直线A的平行线的方法，折纸过程如下：①−④ （1）通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是 ；如图④， ，则与的位置关系为 ，依据是 ．（2）保持（1）中与的位置关系不变，将直线绕点P旋转至如图⑤，当时，则与平行吗？为什么？ 垂直平分线的性质和判定【例题】14. 如图，中边的垂直平分线分别交、于点D、E，，的周长为，则的周长是（　　） A. 10cm B. 12cm C. 15cm D. 17cm15. 如图，已知点O是△ABC的两边AB和AC的垂直平分线OD,OE的交点，且∠A=50°，则的度数为（ ） A. 100° B. 110° C. 120° D. 125°16. 如图，将长方形纸片沿折叠后点B落在点E处，则下列关于线段与的关系描述正确的是（ ） A. B. 和相互垂直平分C. 且 D. 且平分17. 如图，AD与BC相交于点O，．求证：垂直平分． 【练经典】18. ，，三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A. 三条中线的交点处B. 三条边的垂直平分线的交点处C. 三条高线的交点处D. 三条角平分线的交点处19. 如图，在 中，线段 的垂直平分线与 相交于点 ，连接 ，边 的长为，边 的长为，则 的周长为 （ ） A. B. C. D. 20. 如图，在锐角三角形中，直线l为的中垂线，射线为的角平分线，且直线l与射线相交于点P．若，则的度数为（　　） A B. C. D. 21. 如图，为三角形的角平分线，于点E，于点F，连接交于点O． （1）若，，求的度数；（2）写出与的关系，并说明理由；平面直角坐标系中轴对称【例题】22. 若，关于y轴对称，则（ ）A. 2 B. C. 4 D. 23. 点关于轴对称点的坐标是________，关于y轴对称点的坐标是________．24. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．（1）在平面直角坐标系中画出．（2）请画出关于轴对称的，并写出各顶点坐标．（3）已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标．【练经典】25. 点关于于轴对称点的坐标是________，关于y轴对称点的坐标是________．26. 若，关于y轴对称，则________．27. 如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为、、． （1）在网格内作，使它与关于y轴对称，并写出三个顶点的坐标．（2）求出四边形的面积．等腰三角形的性质及判定1.等腰三角形的性质及判定2.等腰三角形常见辅助线在涉及等腰三角形的有关计算和证明中，常用的作辅助线的方法是作顶角的平分线，而后利用等腰三角形三线合一的性质，可以实现线段或角之间的相互转化．3.等腰三角形常见的分类方法在等腰三角形中，常用到分类讨论思想，一般有如下情况：（1）在求角度时，未指明底角和顶角；（2）在求三角形周长时，未指明底边和腰；（3）未给定图形时，有时需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．【例题】28. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个三角形的顶角为（ ）A. B. C. D. 或29. 如图，在中，，，点D是BC的中点，点E在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 30. 如图，在中，，点D，E分别在边，上，连接，交于点F，． （1）说明：；（2）若平分，，，求的面积；（3）判断，，之间的数量关系，并加以说明.【练经典】31. 如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为（　　　） A. B. C. D. 32. 如图，在中，，平分，为边上的高，且，则______．33. 如图，在中，，点为上一点，且交于点． （1）试说明；（2）猜想的度数并证明．等边三角形的性质及判定【例题】34. 如图，与是全等的等边三角形，且A、B、D三点共线，交于点O，．现有如下结论：①；②，③；④；⑤平分，平分；⑥；一定成立的有（ ）个． A. 5个 B. 6个 C. 3个 D. 4个35. 如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，交于点O，连接，若，则的度数为（ ）A. 120° B. 102° C. 150° D. 124°36. 如图，点，分别在等边的边、上，将沿直线翻折，使点落在处，，分别交边于点，，若，则的度数为______． 37. 在中，，点D为线段BC上一个动点（不与B、C重合），以为一边向的左侧作，使，，过点E作的平行线，交直线于点F，连接． （1）如图1，若，判断的形状并说明理由；（2）若，如图2，判断的形状，并说明理由．【练经典】38. 用一块等边三角形的硬纸片（如图1）做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子（边缝忽略不计，如图2），在的每个顶点处各剪掉一个四边形，其中四边形中，的度数为（ ） A. B. C. D. 39. 如图，在中，，，点D为边上一动点，点E在边上，，将沿翻折，点A的对应点为F，连接．当为直角三角形时，的长为_________． 40. 如图，已知在等边 中， 与 相交于点 ，过点A作 ，垂足为点，那么 的度数是___________． 41. 已知是等边三角形，点是的中点，点在射线上，点在射线上．． （1）如图1，若点与点重合，求证：；（2）如图2，若点在线段上，点在线段上，，求的值．含30°直角三角形的性质【例题】42. 如图，点在的平分线上，，垂足为，点在上，若，，则等于（ ）A. B. C. D. 43. 如图， 学校有一块三角形的绿地，，，则绿地的面积是________； 44. 图所示的是某超市入口的双翼闸门，如图，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．【练经典】45. 如图，在中，，，是斜边上的高，若，则边的长为（ ） A. B. C. D. 46. 将两个全等的含角的直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起．若它们的最短边长为3，则以下结论错误的是（ ）A. 是等边三角形 B. C. D. 47. 如图，在四边形中，，，，，，求的长. 有关作图1.过已知直线外的一点作该直线的垂线2.作线段的垂直平分线3.最短路径：（1）将军饮马问题；（2）造桥选址问题【例题】48. 如图所示，在中，，以为圆心，以任意长度为半径作弧，与，分别交于点、，在分别以、为圆心，以大于长度为半径作弧．两弧相交于点，作射线．再分别以、为圆心，以大于长度为半径作弧，两弧分别在线段的上方和下方相交于点、．直线．通过作图发现，射线和直线恰好相交于边上一点，则的度数为　) A. B. C. D. 49. 近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站，张、李两村座落在两相交公路内（如图所示）．医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等，②到张、李两村的距离也相等，请你通过作图确定点的位置．（不写作法，要保留作图痕迹） 50. 如图，ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，动点P在边AB上运动（不与端点重合），点P关于直线AC，BC对称点分别为，．则在点P的运动过程中，线段的长的最小值是____．【练经典】51. 如图所示，已知（），用尺规在线段BC上确定一点P，使得，则符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 52. 如图，在公路与铁路的夹角内部区域，需要建一个货运站点，使货运站点到公路和铁路的距离相等，且到公交站与地铁站的距离也相等，请用尺规作图在图中标出货运站点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 53. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=60°，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_________．新考法【新定义小练】54. 定义：在一个等腰三角形中，如果一个内角等于另一个内角的两倍，则称该三角形为“倍角等腰三角形”.“倍角等腰三角形”的顶角度数是（ ）A. B. 或 C. 或 D. 或55. 定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． （1）如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由．（2）如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°．（3）如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形．【阅读探究类小练】56. 某数学兴趣小组，在学习了角平分线的作法后，又探究出下面两种方案，则正确的方案（ ）A. 方案I可行、II不可行 B. 方案I不可行：II可行C. 方案I，II都可行 D. 方案I，II都不可57. 【初步感知】（1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 类比探究】（2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明： ①与的位置关系为：________；②线段、、之间的数量关系为：________；【拓展应用】（3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接、．请问：是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由． 58. 在七下的学习中，我们研究了双内角平分线的夹角和内外角平分线的夹角问题，昆昆同学在自主探究的过程中又发现了一类新的问题，他的探究过程如下： 【探索研究】：（1）如图1，在中，平分、平分，相交于点M，若，则______；【初步应用】：（2）如图2，在中，平分、平分，相交于点M，若将沿折叠使得点A与点M重合，若，求的度数；【拓展延伸】：（3）在四边形中，，点P在射线上运动（点P不与C，D两点重合），连接， 的角平分线交于点Q，若，，直接写出和，之间的数量关系．【规律类小练】59. 如图中，，在内依次作等边三角形，使一边在上，另一个顶点在边上，依次作出的等边三角形分别是第1个为，第2个为，第3个，…，则第100个等边三角形的边长为__________． △ABC中；∵直线MN，EF，PQ分别垂直平分线段 BC，AB，AC；∴直线MN，EF，PQ相交于点 O，且OA＝OB＝OC．比较项目概念特征图示轴对称图形如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形轴对称图形是一个形状特殊的图形轴对称如果一个平面图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称轴对称是两个图形之间的特殊关系项目对应点对应边对应角性质对应点的连线被对称轴垂直平分，对应点的连线平行或重合相等相等文字表述符号表述图形表述定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线∵直线，垂足为C，AC＝BC，∴直线l是线段AB的垂直平分线．性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等∵直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上；∴PA＝PB判定到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上已知线段AB，∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．∵AC＝BC，直线l经过点C；∴直线l是线段AB的垂直平分线点P的坐标点P关于轴对称点坐标点P关于轴对称点坐标图形角边方案I方案II①分别在射线上截取，（点C，E不重合）；②分别作线段的垂直平分线，交点为P；③作射线即为的平分线． ①分别在射线上截取，（点C，E不重合）；②连接，交点为P；③作射线即为的平分线．