人教版数学八上同步单元讲练测第13单元02基础练（2份，原卷版+解析版）

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第十三单元 轴对称一、选择题1. 以下是“有机食品”、“安全饮品”、“循环再生”、“绿色食品”的四个标志，其中是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形；选项D能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；故选：D．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2. 如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条高所在直线的交点C. 三角形三个内角的角平分线的交点 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点【答案】D【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质即可求解．【详解】解：依题意，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点,故选：D．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．3. 若a、b是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则这个三角形的周长是（　　）A. 9 B. 12 C. 9或12 D. 15或6【答案】B【解析】【分析】先根据非负数的性质求出，再分两种情况求解即可．【详解】解：根据题意，，解得，（1）若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、5，，不能组成三角形；（2）若2是底边长，则三角形的三边长为：2、5、5，能组成三角形，周长为．故选：B．【点睛】此题考查了等腰三角形、构成三角形的条件、非负数的性质等知识，分类讨论是解题的关键．4. 如图，直线，等边的顶点在直线上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据等边三角形性质求出，根据平行线的性质求出的度数．【详解】解：是等边三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质的应用，掌握两直线平行，同位角相等是解此题的关键．5. 如图为一张锐角三角形纸片，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有（ ）A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③【答案】A【解析】【分析】根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答．【详解】解：①边上的中线：如图1，使点、重合，中点为点，连接，此时即为边上的中线；②的平分线：如图2，沿直线折叠，使与重叠，此时即为边上的角平分线；③边上的高：如图3，沿直线折叠，使与重合，此时即为边上的高．综上所述，所有能够通过折纸折出的有①②③．故选：A．【点睛】本题考查的是轴对称的性质，涉及到图形的翻折变换，三角形的角平分线、中线以及高线，掌握三角形的角平分线、中线以及高线的几何意义是解题的关键．6. 如图是一个长方形纸片，将纸片沿，折叠，点对应点，点对应点，并且点在线段上，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据成轴对称的两个图形全等，可得到，，进而可求得答案．【详解】根据成轴对称的两个图形全等可知，．∵，∴．∴．∴．故选：B．【点睛】本题主要考查成轴对称的两个图形的性质，即成轴对称的两个图形全等，牢记成轴对称的两个图形的性质是解题的关键．7. 如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据轴对称的性质及两点之间线段最短即可得出结论．【详解】解：作点M关于直线l的对称点，连接交直线l于点Q，则，由两点之间线段最短可知，此时管道长度最短．故选：B． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解题的关键．8. 小明在镜中看到对面电子时钟的示数如图所示,这现在的实际时间为（　　） A. 12:01 B. 10: 21 C. 15:10 D. 10:51【答案】D【解析】【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．【详解】根据镜面对称的性质，对称轴为竖直方向的直线，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为．故选：D．【点睛】本题考查了镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反．9. 如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形，若，D是的中点，，则的长为（ ） A. 10 B. 12 C. 15 D. 【答案】C【解析】【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答．【详解】解：，是的中点，，，，，故选：C．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．10. 如图，在中，是上一点，，垂直平分，于点，的周长为，，则的长为（　　） A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6【答案】C【解析】【分析】根据三线合一的性质，得出，再根据垂直平分线的性质，得出，再根据等量代换，得出，进而得出，即可得出答案．【详解】解：周长，，，，，，∴，又∵垂直平分，∴，∴，∴，，．故选：C．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．二、填空题11. 如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的_______． 【答案】号袋【解析】【分析】根据每次的入射角总是等于反射角画出球运动的路线，即可得出答案．【详解】解：如图，球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中号袋． 故答案为：号袋．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是根据题意画出球运动的路线．12. 点关于轴对称点的坐标是_______，关于轴对称点的坐标是_______．【答案】 ①. ②. 【解析】【分析】根据关于x轴对称点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称点，横坐标互为相反数，纵坐标相同，即可解答．【详解】解：点关于于轴对称点的坐标是，关于y轴对称点的坐标是．故答案为：，．【点睛】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于x轴对称点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称点，横坐标互为相反数，纵坐标相同．13. 在中，，，垂足为，，则的度数为_____．【答案】或【解析】【分析】分两种情况，画出图形：当为锐角三角形时，根据三角形内角和定理，得出，当为钝角三角形时，根据三角形内角和定理和三角形的外角的性质，得出．【详解】分两种情况：当为锐角三角形时，如图， ∵，∴，∵∴，∵，∴，当为钝角三角形时，如图， ∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，综上所述：的度数为：或，故答案为：或．【点睛】此题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，对进行两种情况求解是解题的关键．14. 如图，等边 边长为 ， 在 上， 在 延长线，，过点 作 点 ，过点 作，交 边于点 ，连接 交 于点 ，则 的长为____． 【答案】5【解析】【分析】先证是等边三角形，由此可得，，再证，则可得，由此可得，即可求解.【详解】是等边三角形，.，，，是等边三角形，.，，，.，.又，，，.故答案为：5【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质.熟练掌握以上知识是解题的关键.15. 如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于，，作直线，为的中点，为直线上任意一点，若，面积为，则长度的最小值为______． 【答案】6【解析】【分析】如图，连接，，则，利用三角形的面积公式求出，再根据垂线段最短，线段的垂直平分线的性质判断即可．【详解】解：如图，连接，，∵，为的中点，∴ ∵，∴，∵垂直平分线段，∴，∴，∴的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查线段的垂直平分线的作法及性质，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题．三、解答题16. 下列图形是轴对称图形吗？如果是，画出它们的对称轴．【答案】第3个图形不是轴对称图形，其余都是．画出对称轴见解析．【解析】【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可；是轴对称图形的画出对称轴即可．【详解】解：根据轴对称图形意义可知：第3个图形不是轴对称图形，其余都是；如图：【点睛】本题考查了轴对称图形的意义，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合．17. 如图，与相交于点O，，，，连接，求证；垂直平分． 【答案】见解析【解析】【分析】先证明得到，再由即可证明垂直平分．【详解】证明：在和中，，，又，垂直平分．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，证明得到是解题的关键．18. 已知：如图中，，，交于点，且．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】欲证，可证，只要证明即可；由已知可得，，是公共边，即可证得．【详解】证明：，，和都是直角三角形，在与中，，，，．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等是证明线段或角相等的重要方式，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．19. 如图，在中，将沿直线折叠，使点与点重合，连接． （1）若，，求的度数；（2）若，，求的周长．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先由三角形的内角和定理求得，再根据折叠的性质，得到，从而即可求解．（2）根据折叠的性质，得到，进而计算周长即可．【小问1详解】解：∵，，，∴．由折叠可知，．∵，∴．【小问2详解】解：由折叠可知，．∴的周长．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握性质和三角形的内角和定理是解题的关键．20. 如图，已知：直线，直线分别交、于点、． （1）实践与操作：作线段的垂直平分线，分别交、于点、，交点．（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）（2）猜想与证明：试猜想线段和的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见解析 （2），理由见解析【解析】【分析】（1）利用尺规作图-线段垂直平分线的作法，进行作图即可；（2）根据平行线的性质可得，，再由垂直平分线的性质得，即可证明，进而得到结论．【小问1详解】解：直线CD为所求． 【小问2详解】解：，理由如下：，，，垂直平分，，在和中， ，．【点睛】本题考查了基本作图-作垂直平分线，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．21. 如图，在中，，垂足为D，，垂足为E，，与相交于点F． （1）请说明的理由．（2）如果，说明的理由．【答案】（1）见解析； （2）见解析．【解析】【分析】（1）由同角的余角相等得证，根据求证；（2）由全等得，进一步根据中垂线的性质定理判定．【小问1详解】证明：∵，，∴，又，，∴；【小问2详解】∵，∴，∵，∴，∴，又，∴垂直平分，∴．【点睛】本题考查全等三角形判定和性质，中垂线的性质，熟练运用全等判定线段相等是解题的关键．22. 画图探究：（1）如图1，点和点位于直线两侧，是直线上一点，点使的值最小．请你通过画图，在图1中找出点；（2）如图2，点和点位于直线同侧，是直线上一点，点使的值最小．请你通过画图，在图2中找出点；实践应用：（3）如图3，在四边形中，，，点在边上，点在边上，点、点使的周长的值最小．请你通过画图，在图3中找出点和点并求的度数．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析，【解析】【分析】（1）根据两点之间线段最短，连接，与直线相交点即是点；（2）作点关于直线的对称点，则，连接与直线相交点即是点；（3）分别作出点关于，的对称点，，连接分别交、于点、，根据垂直平分线的定义即可求解．【详解】解：（1）根据两点之间线段最短，连接与直线相交点，此时最小；（2）作点关于直线的对称点，则，连接与直线相交点即是点，此时最小，即最小；（3）如图3，分别作出点关于，的对称点，，连接分别交、于点、，此时周长最小；∵，，∴，∴，∴．∴．【点睛】此题考查了两点之间线段最短，轴对称的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．23. 如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别是，，． （1）画出关于轴对称的；（2）直接写出，，三点的坐标；（3）请在轴上画点，使得最短（保留作图痕迹，不写画法）．【答案】（1）见解析 （2）； （3）见解析【解析】【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称的位置，然后顺次连接即可；（2）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；（3）根据网格结构找出点B关于x轴的对称点，连接与x轴的交点即为点P．【小问1详解】解：如图所示，即为所求， 【小问2详解】解：由图知；【小问3详解】解：如图所示，点P即为所求．【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，轴对称-最短路径问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．24. 如图1，等边与等边的顶点B，C，P三点在一条直线上，连接交于点，连结． （1）求证：；（2）求证：平分；【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可证即可求解；（2）过点作交于点，过点作交于点，根据角平分线上的点到角两边距离相等证明即可．【小问1详解】证明：∵等边与等边的顶点B，C，P三点在一条直线上，∴ ，∴ ∴，，∴，∵等边，等边，∴，，在与中，∵，∴ ∴．【小问2详解】证明：如图1，过点作交于点，过点作交于点， ∵由（1）得，∴，又∵，，∴，∴，∴，∵，，∴平分．【点睛】本题考查几何证明，涉及到全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等，熟记概念是关键．25. 如图，在中，，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒． （1）当点在上运动时，线段的长为_______用含的代数式表示；（2）当是以为腰的等腰三角形时，的值为________；（3）当点运动过点时，求线段的表达式用含的代数式表示；（4）当点与顶点连接的线段将的周长分为相等的两部分时，直接写出的值．【答案】（1） （2）4 （3）的长度为或 （4）的值为或或【解析】【分析】（1）观察图形用来求解；（2）由等腰三角形的性质可知，表示出，即可列式求解；（3）分两种情况：当点在上时，当点在上时，分别求解即可；（4）先求出周长的一半，再利用当点在上时，，此时；当点在上时，，此时；当点在上时，，此时，分别求解即可．【小问1详解】解：∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒，，．故答案为：．【小问2详解】解：是以为腰的等腰三角形时， ，，（秒），故答案为：秒．【小问3详解】解：当点上时，，；当点在上时，．综上所述，的长度为或．【小问4详解】解：，，，，的周长为，点与顶点连接的线段将的周长分为相等的两部分时，每一部分的周长为，当点在上时，，此时， ，（秒），当点在上时，，此时， ，（秒），当点在上时，，此时， ，秒），综上所述，的值为或或．【点睛】本题主要考查了动点问题，等腰三角形的性质，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．一、选择题（2023·湖南·统考中考真题）26. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形）对四个选项进行分析．【详解】解：根据轴对称图形的定义可知：A、B、C都不是轴对称图形，只有D是轴对称图形．故选：D．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，难度不大，掌握定义是解答的关键．（2023·山东临沂·统考中考真题）27. 某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据关于轴对称的点的特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：点B的坐标为；故选A．【点睛】本题考查坐标与轴对称．熟练掌握关于轴对称的点的特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，是解题的关键．（2023·贵州·统考中考真题）28. 如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接并延长交于点G．则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】A【解析】【分析】先根据作图过程判断平分，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，进而可得，由此可解．【详解】解：由作图过程可知平分，，，，，，，故选A．【点睛】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是根据作图过程判断出平分．（2023·甘肃武威·统考中考真题）29. 如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由等边三角形的性质求解，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得答案．【详解】解：∵是等边的边上的高，∴，∵，∴，故选C【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记等边三角形与等腰三角形的性质是解本题的关键．（2022·山东淄博·统考中考真题）30. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】C【解析】【分析】连接AD，由作图知：DE是线段AC的垂直平分线，得到AD=CD=3，∠DAC=∠C=30°，求得∠BAD=90°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．【详解】解：连接AD，由作图知：DE是线段AC的垂直平分线，∴AD=CD=3，∴∠DAC=∠C，∵AB=AC，∠A=120°，∴∠B=∠C=30°，则∠DAC=∠C=30°，∴∠BAD=120°-∠DAC=90°，∴BD=2AD=6，故选：C．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质．二、填空题（2023·新疆·统考中考真题）31. 如图，在中，若，，，则______． 【答案】【解析】分析】根据等边对等角得出，再有三角形内角和定理及等量代换求解即可．【详解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，即，解得：，故答案为：．【点睛】题目主要考查等边对等角及三角形内角和定理，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键．（2023·吉林·统考中考真题）32. 如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为__________． 【答案】【解析】【分析】根据折叠的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出，即可求解．【详解】解：∵将沿折叠，点对应点为点．点刚好落在边上，在中，，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．（2023·浙江·统考中考真题）33. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是__________． 【答案】4【解析】【分析】由可得，由是的垂直平分线可得，从而可得．【详解】解：∵，∴，∵是的垂直平分线，∴，∴．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等角对等边等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）34. 点Q的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值，其中a，b满足二元一次方程组，则点Q关于y轴对称点的坐标为___________．【答案】【解析】【分析】先分别解一元一次方程和二元一次方程组，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．【详解】解：，移项合并同类项得，，系数化为1得，，∴点Q的横坐标为5，∵，由得，，解得：，把代入①得，，解得：，∴，∴点Q的纵坐标为，∴点Q的坐标为，∴点Q关于y轴对称点的坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q的坐标是解题的关键．（2023·四川·统考中考真题）35. 如图，，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若，则的度数为 _____． 【答案】##56度【解析】【分析】先判断为线段的垂直平分线，即可得，，再由，可得，即有，利用三角形内角和定理可求的度数．【详解】解：由作图可知为线段的垂直平分线，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了垂直平分线的作图、垂直平分线的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理等知识，判断为线段的垂直平分线是解答本题的关键．三、解答题（2023·湖北荆州·统考中考真题）36. 如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于，连接．求证：． 【答案】见解析【解析】【分析】利用三线合一和等腰三角形的性质，证出，再利用等边对等角即可．【详解】证明：为等边的中线， ，，，【点睛】本题考查了等边三角形，等腰三角形的性质和判定，理解记忆相关定理是解题的关键．（2023·山东枣庄·统考中考真题）37. （1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________． （2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征． 【答案】（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；（2）见解析【解析】【分析】（1）应从对称方面，阴影部分的面积等方面入手思考；（2）应画出既是轴对称图形，且面积为4的图形．【详解】解：（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；故答案为：观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；（2）如图： 【点睛】此题主要考查了利用轴对称图形设计图案，关键是掌握利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．（2023·湖北武汉·统考中考真题）38. 如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接． （1）求证：；（2）若平分，直接写出的形状．【答案】（1）见解析 （2）等边三角形【解析】【分析】（1）由平行线的性质得到，已知则，可判定即可得到；（2）由，得到，由平分，得到，进一步可得，即可证明是等边三角形．【小问1详解】证明：，∴，，．【小问2详解】∵，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴是等边三角形【点睛】此题考查了平行线的判定和性质、等边三角形的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．（2023·江苏苏州·统考中考真题）39. 如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接． （1）求证：；（2）若，求的度数．【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出，由作图可得，即可证明；（2）根据角平分线的定义得出，由作图得出，则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，进而即可求解．【小问1详解】证明：∵为的角平分线，∴，由作图可得，在和中，，∴；【小问2详解】∵，为的角平分线，∴由作图可得，∴，∵，为的角平分线，∴，∴【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）40. 已知：如图，点M在的边上．求作：射线，使．且点N在的平分线上．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点C，D．②分别以点C，D为圆心．大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P．③画射线．④以点M为圆心，长为半径画弧，交射线于点N．⑤画射线．射线即为所求． （1）用尺规作图，依作法补全图形(保留作图痕迹)；（2）根据以上作图过程，完成下面的证明．证明：∵平分．∴ ① ，∵，∴ ② ，( ③ )．(括号内填写推理依据)∴．∴．( ④ )．(填写推理依据)【答案】（1）见解析 （2）①，②，③等边对等角；④内错角相等，两直线平行【解析】【分析】（1）根据题意用尺规作图，依作法补全图形即可；（2）由平分推导，由推导，从而推出，继而利用“内错角相等，两直线平行”判定．【小问1详解】根据意义作图如下：射线即为所求作的射线． 【小问2详解】证明：∵平分．∴，∵，∴，(等边对等角)．(括号内填写推理依据)∴．∴．(内错角相等，两直线平行)．(填写推理依据)故答案为：①，②，③等边对等角；④内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查作尺规作图—作角平分线和相等线段，等边对等角，平行线的判定等知识，根据题意正确画出图形是解题的关键．