人教版八年级数学上册同步精品试卷 第12章 全等三角形单元检测（一）

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第15课 全等三角形单元检测（一）
一、单选题
1．如图：若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为（ ）

A．2 B．3 C．5 D．2.5
【答案】B
【解析】
试题分析：全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等．
∵△ABE≌△ACF
∴AC=AB=5
∴EC=AC-AE=5-2=3，
故选B.
考点：本题考查的是全等三角形的性质
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握全等三角形的性质，即可完成．
2．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（　 　）

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】D
【分析】
由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，得到三角形全等，由全等得到角相等，是用的全等的性质，全等三角形的对应角相等．
【详解】
解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，则△COD≌△C'O'D'，即∠A'O'B'=∠AOB（全等三角形的对应角相等）．
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．
3．如图,在△ABC和△DEF中,∠B＝∠DEF,AB＝DE,添加下列一个条件后,仍然不能证明△ABC≌△DEF,这个条件是：

A．∠ACB＝∠F B．∠A＝∠D C．BE=CF D．AC=DF
【答案】D
【解析】
试题解析：∵∠B=∠DEF，AB=DE，
∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；
∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；
∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；
故选D．
4．下列结论是正确的是( )
A．全等三角形的对应角相等 B．对应角相等的两个三角形全等
C．有两条边和一角对应相等的两个三角形全等 D．相等的两个角是对顶角
【答案】A
【分析】
根据全等三角形的判定和性质以及对顶角的性质判定即可.
【详解】
、全等三角形的性质是全等三角形的对应角相等，正确；
、对应角相等的两个三角形相似，不一定全等，故错误；
、当两个三角形中两条边及一角对应相等时，其中如果这组角是两边的夹角时两三角形全等，如果不是这两边的夹角的时候不一定全等，故错误；
、相等的角不一定是对顶角，故错误.
故选：.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质和判定以及对顶角的性质.注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等.
5．如图，点C、D分别在∠AOB的边OA、OB上，若在线段CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是
A．线段CD的中点　 B．OA与OB的中垂线的交点　
C．OA与CD的中垂线的交点　 D．CD与∠AOB的平分线的交点

【答案】D
【解析】解：根据“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”得P点是CD与∠AOB的平分线的交点，故选D。
6．在△ABC和△DEF中，给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF；
②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；
③∠B=∠E，BC=EF，AC=DF；
④∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
【答案】B
【解析】
试题分析：要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断.
解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF.
第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF.
第③组满足ASS，不能证明△ABC≌△DEF.
第④组只是AAA，不能证明△ABC≌△DEF.
所以有2组能证明△ABC≌△DEF.
故选B.
考点：全等三角形的判定.
7．如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是 （ ）
A．相等 B．不相等 C．互余或相等 D．互补或相等
【答案】D
【分析】
作出图形，然后利用“HL”证明Rt△ABG和Rt△DEH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠DEH，再分∠E是锐角和钝角两种情况讨论求解．
【详解】
如图，△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，AG、DH分别是△ABC和△DEF的高，且AG=DH，

在Rt△ABG和Rt△DEH中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△DEH（HL），
∴∠B=∠DEH，
∴若∠E是锐角，则∠B=∠DEF，
若∠E是钝角，则∠B+∠DEF=∠DEH+∠DEF=180°，
故这两个三角形的第三边所对的角的关系是：互补或相等．
故选D.
8．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（　　）

A．75° B．80° C．85° D．90°
【答案】A
【解析】
分析：依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°．
详解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=25°，
∴∠DAE=30°﹣25°=5°，
∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，
∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，
故选A．
点睛：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．


二、填空题
9．已知，若△ABC的面积为10 ，则的面积为________ ，若的周长为16，则△ABC的周长为________．
【答案】10 16
【分析】
根据全等三角形的面积相等，全等三角形的周长相等解答．
【详解】
∵△ABC≌△A′B′C′，△ABC的面积为10，
∴△A′B′C′的面积为10；
∵△ABC≌△A′B′C′，△A′B′C′的周长为16cm，
∴△ABC的周长为16cm.
故答案为10，16.
【点睛】
此题考查全等三角形的性质，解题关键在于掌握其性质定理.
10．在△ABC和△ADC中，有下列三个论断：①AB=AD；②∠BAC=∠DAC；③BC=DC．将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个正确的因果关系，则条件是__________，结论为__________．
【答案】①AB=AD；②∠BAC=∠DAC，③BC=DC 或①AB=AD；③BC=DC，②∠BAC=∠DAC ．
【详解】
考点：全等三角形的判定与性质．
分析：根据全等三角形的判定方法SAS，可知当①②为条件且AC为公共边时结论③成立；根据全等三角形的判定方法SSS，可知当①③为条件且AC为公共边时结论②立；
解：方案一∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，AC为公共边，
∴△ABC≌△ADC，
∴BC=DC；
方案二：∵AB=AD，BC=DC，AC为公共边，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC．
故答案为条件：①AB=AD；②∠BAC=∠DAC或①AB=AD；③BC=DC；结论为：③BC=DC或∠BAC=∠DAC．
11．已知，如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，CD=2cm，则点D到AB的距离为__cm．

【答案】2．
【分析】
过点作于点，根据角平分线的性质定理得出，代入求出即可．
【详解】
解：如图，过点作于点，则即为所求，

，平分，
（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
，
．
故答案是：2．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
12．下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的是_____.
【答案】①③
【解析】
【分析】
熟练综合运用判定定理判断，做题时要结合已知与全等的判定方法逐个验证．
【详解】
因为两个三角形的两个角对应相等，根据内角和定理，可知另一对对应角也相等，那么总能利用ASA来判定两个三角形全等，故选项①正确；
两个全等的直角三角形都和一个等边三角形不全等，但是这两个全等的直角三角形可以全等，故选项②错误；
判定两个三角形全等时，必须有边的参与，否则不会全等，故选项③正确.
故选：①③
【点睛】
此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.
13．如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠CBA交AC于点D．若AB=a，CD=b，则△ADB的面积为______________ ．

【答案】
【详解】
过点D作AB的垂线DE,因为 BD平分∠CBA所以DE="CD," △ADB的面积=ABDE=ab
14．如图，AC⊥AB，AC⊥CD，要使得△ABC≌△CDA．
（1）若以“SAS”为依据，需添加条件____________；
（2）若以“HL”为依据，需添加条件_____________．

【答案】AB=CD AD=BC
【解析】
(1)若以“SAS”为依据，需添加条件：AB=CD；
∵AC⊥AB，AC⊥CD，
∴∠BAC=90°，∠DCA=90°，
∴∠BAC=∠DCA，
在△ABC和△CDA中，，
∴△ABC≌△CDA(SAS)；
(2)若以“HL”为依据，需添加条件：AD=BC；
在Rt△ABC和Rt△CDA中，
∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL).
故答案为：（1）AB=CD；AD=BC.
15．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为 ．


【答案】4
【解析】
试题分析：由∠ABC=45°，AD是高，得出BD=AD后，证△ADC≌△BDH后求解．BH=AC=4．
考点：全等三角形的判定与性质．
16．已知如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AD平分∠BAC，DE⊥AC于E．若AC=10，可求得△DEC的周长为________．

【答案】10
【分析】
根据角平分线的性质可得DB=DE，然后根据HL可证明Rt△ABD≌Rt△AED，进而可得AB=AE，再根据线段的和差关系即可得出△DEC的周长=AC，从而可得答案．
【详解】
解：∵AD平分∠BAC，∠B=90°，DE⊥AC于E，
∴DB=DE，
在Rt△ABD和Rt△AED中，
∵AD=AD，DB=DE，
∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），
∴AB=AE，
∵AB=BC，
∴BC=AE，
∴△DEC的周长=DE+DC+EC=DB+DC+EC=BC+EC=AE+EC=AC=10．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、直角三角形全等的判定和性质以及三角形的周长计算等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．

三、解答题
17．已知：如图，CB=DE，∠B=∠E，∠BAE=∠CAD．

求证：∠ACD=∠ADC．
【答案】．证明：
∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAE∠CAE =∠CAD∠CAE，
即∠BAC=∠EAD． --------------------------1分
在△ABC和△AED中，
∠BAC=∠EAD，
∠B=∠E，
BC=ED，
∴△ABC≌△AED． ------------------------------4分
∴AC=AD． ----------------------------------------5分
∴∠ACD=∠ADC．
【解析】略
18．已知：△ABC中，AC⊥BC，CE⊥AB于E，AF平分∠CAB交CE于F，过F作FD∥BC交AB于D．
求证： AC＝AD

【答案】详见解析
【分析】
由平行的性质和直角三角形的性质可证明∠2＝∠3=∠1，结合角平分线的定义可证明△CAF与△DAF，可证得AC=AD．
【详解】
证明：∵AC⊥BC，CE⊥AB
∴∠CAB＋∠1＝∠CAB＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠3
又∵FD∥BC
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2
在△CAF与△DAF中

∴△CAF≌△DAF（AAS）
∴AC＝AD.
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
19．已知：如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且∠ABD+∠ACD＝180°．
求证：BD＝CD．

【答案】见解析．
【分析】
先利用角平分线性质得：DE=DF，然后利用互补的性质得到∠EBD=∠ACD，在由“AAS”可证△BED≌△CFD，可得BD=CD．
【详解】
∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90° ，
∵∠ABD+∠ACD=180°，且∠ABD+∠EBD=180° ，
∴∠EBD=∠ACD ，
在△BED和△CFD中

∴△BED≌△CFD(AAS) ，
∴BD=CD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
20.如图①，△ABC是等边三角形，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，则线段FE与FD之间的数量关系是 　
自主学习
事实上，在解决几何线段相等问题中，当条件中遇到角平分线时，经常采用下面构造全等三角形的解决思路
如：在图②中，若C是∠MON的平分线OP上一点，点A在OM上，此时，在ON上截取OB=OA，连接BC，根据三角形全等判定（SAS），容易构造出全等三角形△OBC和△OAC，从而得到线段CA与CB相等
学以致用
参考上述学到的知识，解答下列问题：
如图③，△ABC不是等边三角形，但∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．求证：FE=FD．

【解析】
解：感受理解
EF=FD．理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠BCA，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠DAC=∠ECA，∠BAD=∠BCE，
∴FA=FC．
∴在△EFA和△DFC中，
，
∴△EFA≌△DFC，
∴EF=FD；
学以致用：
证明：如图1，在AC上截取AG=AE，连接FG．

∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AFE=∠AFG，FE=FG，
∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠ACB=180°﹣60°=120°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠2=∠BAC，∠3=∠ACB，
∴∠2+∠3=（∠BAC+∠ACB）=×120°=60°，
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°．
∴∠CFG=180°﹣∠AFG﹣∠CFD=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠CFG=∠CFD，
∵CE是∠BCA的平分线，
∴∠3=∠4，
在△CFG和△CFD中，
，
∴△CFG≌△CFD（ASA），
∴FG=FD，
∴FE=FD．