苏科版（2024）九年级下册5.4 二次函数与一元二次方程达标测试

这是一份苏科版（2024）九年级下册5.4 二次函数与一元二次方程达标测试，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．从这八个数中，随机抽一个数，记为．若数使得二次函数的图象与轴有交点，且使得关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的的值之和是（ ）
A．B．C．0D．2
2．已知直线过一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．1个或2个
3．已知二次函数的图象与轴有两个交点，若其中一个交点的横坐标为，则另一个交点的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．下列说法中，正确的个数有（ ）
①抛物线，，的图象开口最大的是；②长度相等的两条弧是等弧；③直径是弦且是同一个圆中最长的弦；④抛物线与x轴有2个交点；⑤将抛物线线向右平移2个单位再向上平移1个单位所得抛物线相应的函数表达式是．
A．1B．2C．4D．5
5．根据表中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断一元二次方程的一个根的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知抛物线与x轴只有一个交点，且过点 则n的值为（ ）
A．﹣32B．﹣18C．﹣16D．﹣12
7．已知二次函数 图象上部分点的坐标 的对应值如表所示：则方程 的根是（ ）
A．0或4 B． 或 C． 或 D．无实根
8．如图，二次函数图象与轴交于，对称轴为直线，与轴的交点在和之间（不包括这两个点），下列结论：①当时，；②；③当时，；④；其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①④
9．二次函数的图像如图所示，其对称轴为直线，与轴的交点为、，其中，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．（为实数）
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点为该抛物线对称轴上一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．2
11．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于x的一元二次方程的一个根．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．一次函数与二次函数的图象交点（ ）
A．只有一个B．恰好有两个
C．可以有一个，也可以有两个D．无交点
二、填空题
13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为，，则此二次函数图象的对称轴为 ．
14．如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，图象经过，下列结论：①，②，③，④，其中正确的是 ．
15．已知函数的图象如图所示，若直线与该图象恰有三个不同的交点，则的取值范围为 ．
16．抛物线的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则时，x的取值范围 ．
17．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于点A，点是该函数图象上任意一点，且不与点A重合，直线经过A，B两点．若时，总有，则m的取值范围为 ．
三、解答题
18．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点.
(1)求A,B 两点的坐标；
(2)求的面积；
(3)对称轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.
19．已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点，．
(1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
(2)根据函数图象，直接写出不等式的解集；
(3)当时，抛物线与直线只有一个交点，求的取值范围；
(4)把二次函数的图象左右平移得到抛物线：，直接写出当抛物线与线段只有一个交点时的取值范围．
20．如图是气象台某天发布的某地区气象信息，预报了次日0时至8时气温随着时间变化情况，其中0时至5时的图象满足一次函数关系式，5时至8时的图象满足函数关系式．请根据图中信息，解答下列问题：

(1)填空：次日0时到8时的最低气温是______；
(2)求一次函数的解析式；
(3)某种植物在气温以下持续时间超过4小时，即遭到霜冻灾害，需采取预防措施．请判断次日是否需要采取防霜措施，并说明理由．
21．小明对二次函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请帮他补充完整．
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中， ______， ______．
(2)根据表中数据，请画出该函数的图象；
(3)探究与应用：
①若关于x的方程有四个实数根，则t的取值范围是______；
②结合图象，直接写出关于x的不等式解集．
22．已知二次函数．
(1)用配方法将二次函数的表达式化为的形式，并写出顶点坐标；
(2)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)结合图象直接回答：当时，则y的取值范围是____________．
23．已知二次函数．
（1）若函数图象经过点，，求的值；
（2）当，时，求证：函数图象与x轴有两个交点．
24．已知二次函数 ．
(1)求证：该函数的图像与x轴总有两个公共点；
(2)若该函数图像与x轴的两个交点坐标分别为且 ，求证
(3)若，，都在该二次函数的图像上，且结合函数的图像，直接写出k的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】由二次函数的图象与轴有交点可得一元二次方程有实数解，确定的范围，由分式方程有整数解，确定的值即可判断．
【详解】解：由题意得：方程有实数解，
，且
解得且，
满足条件的的值为
方程，
解得，
有整数解，
，0，2，
综上所述，满足条件的的值为，0，2，
符合条件的的值的和是，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质，根的判别式，分式方程的解等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2．C
【分析】先由直线过一、二、三象限，求出，通过判断方程实数解的个数可判断直线与抛物线交点的个数．
【详解】解：∵直线过一、二、三象限，
∴．
由题意得：，
即，
∵△，
∴此方程有两个不相等的实数解．
∴直线与抛物线的交点个数为2个．
故选：C．
【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质及利用一元二次方程根的判别式求解是解题的关键．
3．D
【分析】函数的对称轴为：x=-，一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（3，0），即可求解．
【详解】解：∵二次函数y=x2-4x+m中a=1，b=-4，
∴函数的对称轴为：x=-，
∵一个交点的坐标为（1，0）与另一个交点的坐标关于对称轴对称，
∴另一个交点的坐标为（3，0），即另一个交点的横坐标为3．
故选：D．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
4．B
【分析】根据抛物线的性质，圆的基本概念和性质，抛物线与轴的交点个数和抛物线的平移法则，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵抛物线的开口大小由决定，越大，开口越小，
∴抛物线，，的图象开口最大的是，故①错误；
同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧；故②错误；
直径是弦且是同一个圆中最长的弦；故③正确；
抛物线，当时，，解得：，
∴抛物线与x轴有2个交点，故③正确；
将抛物线线向右平移2个单位再向上平移1个单位所得抛物线相应的函数表达式是，故⑤错误；
综上：正确的个数为2个；
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，图象的平移，圆的基本概念辨析，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
5．C
【分析】根据一元二次方程的根即为函数与轴交点的横坐标解答即可．
【详解】解：∵当时，，当时，，
∴一元二次方程的一个根的取值范围是，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与二次函数的关系，熟知一元二次方程的根即为函数与轴交点的横坐标是解答本题的关键．
6．A
【分析】根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是直线，故设抛物线解析式为，直接将代入，通过解方程来求n的值．
【详解】解：∵抛物线过点
∴对称轴是直线，
又∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴设抛物线解析式为，
把代入，
得 ，即．
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题的技巧性在于找到抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标设抛物线的解析式．
7．B
【分析】利用抛物线经过点（0，0.37）得到c=0.37，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线经过点（，-1），由于方程ax2+bx+1.37=0变形为ax2+bx+0.37=-1，则方程ax2+bx+1.37=0的根理解为函数值为-1所对应的自变量的值，所以方程ax2+bx+1.37=0的根为x1=，x2=4-．
【详解】解：由抛物线经过点（0，0.37）得到c=0.37，
因为抛物线经过点（0，0.37）、（4，0.37），
所以抛物线的对称轴为直线x=2，
而抛物线经过点（，-1），
所以抛物线经过点（4-，-1），
二次函数解析式为y=ax2+bx+0.37，
方程ax2+bx+1.37=0变形为ax2+bx+0.37=-1，
所以方程ax2+bx+0.37=-1的根理解为函数值为-1所对应的自变量的值，
所以方程ax2+bx+1.37=0的根为x1=，x2=4-．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
8．A
【分析】①先由抛物线的对称性求得抛物线与轴另一个交点的坐标为，从而可知当当时，；②设抛物线的解析式为，则，令得：．由抛物线与轴的交点在和之间（不包括这两个点），可知；③由二次函数的最大值是，从而可知；④由，，从而求得．
【详解】解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与轴另一个交点的坐标为，当时，，故①正确；
②设抛物线的解析式为，则，令得，
抛物线与轴的交点在和之间（不包括这两个点），
，解得，故②正确；
③当时，函数有最大值，即，
，故③错误；
④，，
，故④错误，
综上所述，①②正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点．
9．C
【分析】根据抛物线开口向上，则，结合，即可判断选项A；根据抛物线与轴交点的个数即可判断选项B；根据“对称轴为直线，”可判断选项C； 当时，为最小值，据此可判断选项D．
【详解】解：A．∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，结论错误，故此选项不符合题意；
B．∵抛物线与轴有两个交点，
∴，结论错误，故此选项不符合题意；
C．∵对称轴为直线，，
∴，结论正确，故此选项符合题意；
D．当时，为最小值，
∴，
∴，结论错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系：二次函数的图像为抛物线，当时，抛物线开口向上，函数值有最小值；对称轴为直线；抛物线与轴的交点坐标为；当时，抛物线与轴有两个交点；当，抛物线与轴有一个交点；当时，抛物线与轴没有交点．掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
10．C
【分析】连接、，，作于，于，解方程得到得，，利用配方法得到，，则，从而可判断为等边三角形，接着利用得到，利用抛物线的对称性得到，所以，根据两点之间线段最短得到当、、共线时，的值最小，最小值为的长，然后计算出的长即可．
【详解】解：如图，连接、，，作于，于，
当时，，
解得，，
则，，
∵，
∴，，
，
∵顶点A在抛物线的对称轴上，
∴，
，
为等边三角形，
，
，
，
垂直平分，
，
，
当、、共线时，的值最小，最小值为的长，
∵为等边三角形，于，
∴，
∴，
的最小值为3．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质以及最短路径的解决方法，将转化为，根据当、、共线时，的值最小，最小值为的长是解决本题的关键．
11．B
【分析】本题考查了抛物线与x轴交点及与二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的开口方向，与y轴的交点，对称轴可知，，由此即可判断①②；再根据，，得到，即可推出，即可判断③；根据对称性求出，即可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴，
∴，所以①正确；
∵点A到直线的距离大于1，
∴点B到直线的距离大于1，
即点B在的右侧，
∴当时，，
即，
∴，所以②错误；
∵，，
∴，
∴，即，所以③错误；
∵点A与点B关于直线对称，
∴，
∴是关于x的一元二次方程的一个根，所以④正确．
故选：B．
12．B
【分析】联立解析式得一元二次方程，利用判根公式判断方程的根，方程根的个数即为图象的交点个数．
【详解】解：联立一次函数和二次函数的解析式可得：
整理得：
有两个不相等的实数根
与的图象交点有两个
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，图象的交点与方程根的关系．解题的关键在于正确求解．
13．
【分析】根据ax2+bx+c＝0的求根公式中a、b、c的位置与数值得出，c=5,然后利用对称轴公式求解即可．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为，，
∴，c=5,
∴该二次函数图象的对称轴为：直线．
故答案为．
【点睛】本题考查二次函数与x轴交点，掌握（1）二次函数与轴的两个交点的横坐标是一元二次方程的解，而一元二次方程的解为：；（2）二次函数的对称轴为直线：．
14．①②/②①
【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①；对称性，特殊点，判断②；对称轴判断③；与轴的交点个数判断④．
【详解】解：∵二次函数图象开口向上，
∴，
∵二次函数图象与y轴交于负半轴，
∴，
∵二次函数图象的对称轴是直线，
∴，
∴，，
∴，
∴①正确，③错误，
∵二次函数图象经过，对称轴为，
∴二次函数图象与x轴另一个交点为，
∴，②正确；
∵二次函数与x轴有两个交点，
∴，④错误，
综上①②正确，
故答案为：①②．
15．
【分析】直线与有一个交点，与有两个交点，则有，时，，即可求解．
【详解】解：直线与该图象恰有三个不同的交点，
则直线与有一个交点，
∴，
∵与有两个交点，
∴，
，
∴，
∴；
故答案为．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；能够根据条件，数形结合的进行分析，可以确定的范围．
16．或
【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（-4，0），对称轴为x=-1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），
由图象可知，当y＞0时，x的取值范围是x＜-4或x＞2．
故答案为：x＜-4或x＞2．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点．
17．
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，直线与抛物线的交点坐标的求法，以及解不等式，根据题意确定出，得出直线的解析式为，再联立抛物线解析式，化简得，最后利用对于时，总有，即可求出答案．
【详解】解：二次函数的图象与y轴交于点A，
，
直线经过点A，
，
，
点是该函数图象上任意一点，且不与点A重合，
，
整理得，
即，，
时，总有，
时，总有，
，
即，
解得，
故答案为：．
18．(1)，
(2)
(3)存在；，，，.
【分析】（1）当时，代入即可求解；
（2）设直线与抛物线的对称轴交于点G，先确定，然后利用待定系数法可得，再将配成顶点式可得，进而得到，，即可求解；
（3）设，可得：，，，分三种情况列出方程求解即可．
【详解】（1）解：，当时，
，
解得：，，
∴，；
（2）解：，当x=0时，，
∴，
设，
，
解得：，
∴，
∵，
∴，
设直线与抛物线的对称轴交于点G，
则，
∴，
∴；
（3）解：，，设，
则：，
，
，
当边为斜边时：
，
，
解得：，，
∴，；
当边为斜边时：
，
，
解得：，
∴；
当边为斜边时：
，
，
解得：，
∴；
综上所述：存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形，，，，．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了三角形的面积、直角三角形的判定和性质，二次函数与坐标轴交点，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用分割法求面积，学会分类讨论的思想思考问题．
19．(1)一次函数的表达式为，图象见解析
(2)或
(3)或
(4)或
【分析】（1）将点坐标代入二次函数中求的值，进而可得点坐标，然后将点坐标代入一次函数解析式中求的值，进而可得一次函数解析式，最后描点连线即可；
（2）根据不等式的解集是一次函数图象在二次函数图象下方所对应的的取值范围求解即可；
（3）求时的二次函数的函数值为，然后结合图象，可知在顶点以及上方，下方时，只有一个交点，确定取值范围即可；
（4）分①当过点时，②当过点时，③当与直线只有一个交点时，三种情况求解的值，然后结合图象确定取值范围即可．
【详解】（1）解：将，，代入得，
，解得，
，，
一次函数的图象过点和点，
，
解得 ，
一次函数的表达式为，
描点作图如下：
（2）解：由（1）中的图象可知，不等式的解集为：或；
（3）解：把代入得 ，
，，
由图象可知，当时，直线与直线只有一个交点，则的取值范围是或；
（4）解：由题意知，分三种情况求解：
①当过点时，即，
解得或，
当时，抛物线与原二次函数重合，与线段有两个交点，，故舍去，
；
②当过点时，即，
解得舍去；
③当与直线只有一个交点时，
令，
整理得：，
则，
解得：，
综上，或．
【点睛】本题考查了一次函数解析式，二次函数与不等式，二次函数图象的平移，二次函数综合等知识．解题的关键在于数形结合．
20．(1)
(2)
(3)需要采取防霜措施，见解析
【分析】（1）根据题意，当时，函数最小值，代入解析式计算即可．
（2）把分别代入中，计算即可；
（3）令，，计算交点坐标的横坐标的差，对照标准判断即可．
本题考查了待定系数法，图象信息识读，图象与x轴交点坐标的计算，熟练掌握待定系数法，交点坐标的计算是解题的关键．
【详解】（1）根据题意，
当时，函数有最小值，代入解析式得，
，
故答案为：．
（2）把分别代入中，
得，
解得，
∴．
（3）令，
解得；
令，
解得（舍去），
故，
∵
∴遭到霜冻灾害，故需要采取防霜措施．
21．(1)，
(2)见解析
(3)①，②且
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握函数与方程及不等式的关系．
（1）通过待定系数法求解．
（2）通过函数解析式及表格内点坐标作图．
（3）①利用的函数图象与直线的图象有四个交点，结合图象求解即可；②用求出直线与函数图象交点，结合图象求解．
【详解】（1）解：，解得，
故答案为：，；
（2）解：如图：
（3）解：①由（1）知，
，
由（2）知的函数图象，
方程有四个实数根，即的函数图象与直线的图象有四个交点，
，
故答案为：；
②当时，令，解得，
当时，令,解得（舍），，
∴直线与函数的图象交点横坐标为，
如图，
可得或时，；当且时，，
不等式解集为：且．
22．(1)，顶点坐标为
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
（1）利用配方法把二次函数解析式配成顶点式；
（2）利用描点法画出二次函数图象；
（3）利用二次函数的图象求解．
【详解】（1）解：，
∴抛物线顶点坐标为；
（2）解：列表：
根据描点法画二次函数图象如下：
；
（3）解：由图象可知：当时，．
故答案是：．
23．（1）；（2）见解析
【分析】(1)分别将A，B的坐标代入二次函数，即可得到m的值，
(2)根据函数的开口方向和函数的最大值，判断顶点在x轴上方，从而判断函数图象与x轴有2个交点．
【详解】（1）解：∵二次函数 y=a(x−1)2+h图象经过点A(0，4)， B(2，m)
将A(0，4)代入y=a(x−1)2+h得，
4=a+h
将 B(2，m) 代入 y=a(x−1)2+h得，
m=a+h
∴m=4
（2）证明：∵
∴图象开口向下
∵当时，
∴顶点在轴上方，
∴函数图象与轴有2个交点.
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟悉二次函数的点的坐标特征，和二次函数的图象性质判断与x轴交点个数．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）先求出，然后利用不等式的性质证明即可；
（2）利用根与系数的关系得出，，结合，求出， ，然后代入，整理即可得证；
（3）分对称轴在y轴左侧和右侧讨论，分别画出草图，结合图象列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
又，
∴，即，
∴该函数的图像与x轴总有两个公共点；
（2）解∵该函数图像与x轴的两个交点坐标分别为
∴，是的两个根，
∴，，
联立方程组，
解得，
把代入，得，
整理得；
（3）解：∵，都在该二次函数的图像上，
∴抛物线的对称轴为，
当，即时，
∵，
∴画出草图，如下：
或
此时B的横坐标小于0，不符合题意，舍去；
当，即时，
∵，
∴画出草图，如下：
∴，解得；
或
∴，解得，
综上，或．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式等知识，明确题意，合理分类讨论，画出函数图象，数形结合列出不等式组是解答第（3）的关键．
…
0

4
…
y
…
0.37
-1
0.37
…
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
0
0
0
…
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
D
B
C
A
B
A
C
C
题号
11
12








答案
B
B








x
0
1
2
3
5
y
5
2
1
2
5