(人教A版选择性必修一册)高中数学精品讲义第2章第03讲2.2.1直线的点斜式方程和斜截式方程(学生版+解析)

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第03讲 2.2.1直线的点斜式方程和斜截式方程 知识点01：直线的点斜式方程1.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以.2.当直线与轴平行或重合时,方程可简写为.特别地,轴的方程是;当直线与轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成.特别地,轴的方程是.【即学即练1】（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知直线l的斜率为，且过点，则直线l在y轴上的截距是 .知识点02：直线的斜截式方程1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它在轴上的截距和在轴上的截距都为0.3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在轴上的截距,如直线的斜率,在轴上的截距为.【即学即练2】（23-24高二上·浙江台州·期末）直线的斜率等于（    ）A． B．1 C．2 D．题型01直线的点斜式方程 【典例1】（23-24高二上·四川达州·期末）经过点且倾斜角为的直线方程是（    ）A． B． C． D．【典例2】（2024高二下·上海·专题练习）已知两点、，则直线的斜截式方程是 ．【典例3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知，，则过的中点且倾斜角为，直线的点斜式方程是 ．【变式1】（2024高二上·广东）经过点，倾斜角是的直线方程是（    ）A． B．C． D．【变式2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）经过点，斜率为3的直线方程为 ．【变式3】（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知斜率为2的直线经过点，则直线的方程为 .题型02直线的斜截式方程 【典例1】（23-24高二上·福建龙岩·阶段练习）已知直线，若直线的倾斜角，求实数的取值范围 【典例2】（2024高二·江苏·专题练习）已知A（4，6），B（﹣3，﹣1），C（4，﹣5）三点.（1）求经过点A且与直线BC平行的直线l的点斜式方程；（2）求经过点A且与直线BC垂直的直线m的斜截式方程.【变式1】（23-24高二·全国·课后作业）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是 .题型03直线的图象 【典例1】（23-24高二上·广东惠州·期末）已知直线的方程是，的方程是（，），则下列图形中，正确的是（   ）A．   B．  C．   D．  【典例2】（多选）（23-24高二上·甘肃白银·期中）同一坐标系中，直线与大致位置正确的是（    ）A． B．C． D．【典例3】（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）直线：与直线：在同一平面直角坐标系内的图象只可能是 （填写正确的序号）．【变式1】（23-24高二下·河南平顶山·阶段练习）直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（    ）A．0 B．C．1 D．±1【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）与直线垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为 ；它与y轴的交点为 .【典例3】（23-24高二上·湖北十堰·期中）已知中，点，点，点．(1)求边上的高所在直线的方程；(2)求角平分线所在直线的方程．    【典例4】（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）已知两点，.(1)求线段的垂直平分线；(2)直线过点且与线段有交点，求直线的倾斜角的取值范围.【变式1】（多选）（23-24高二上·陕西西安·期末）若直线，则（    ）A． B．C． D．【变式2】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知过点和点的直线为，：，：，若，，则的值为 .【变式3】（23-24高二上·北京丰台·期中）在中，，，.(1)求边所在直线的方程；(2)求边上的中线所在直线的方程.【变式4】（23-24高二上·江西九江·阶段练习）已知的三个顶点分别为，，，求边上的中线所在直线的方程．A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（23-24高二上·全国·课后作业）过点且与直线垂直的直线方程为（    ）A． B．C． D．2．（23-24高二上·河南郑州·期末）过点，且倾斜角为的直线方程为（    ）A． B． C． D．3．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）直线的倾斜角为（    ）A． B． C． D．4．（23-24高二上·辽宁大连·期末）已知直线l的倾斜角为，且过点，则它在y轴上的截距为（    ）A．2 B． C．4 D．5．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）直线l的方向向量，且过点，则直线l的方程为（    ）A． B． C． D．6．（23-24高三上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(5，2),，则AB边上的高CD所在的直线方程为（    ）到道路的垂直距离为4米，到道路的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为多少米．14．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l的方程是.(1)求直线l的斜率和倾斜角；(2)求过点且与直线l平行的直线的方程.B能力提升 1．（2024高二·全国）已知两点，，动点在线段AB上运动，则xy的最大值为（    ）A． B． C．3 D．42．（23-24高二·全国·单元测试）已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，则直线的方程是（    ）A． B．C． D．3．（23-24高二上·山西·开学考试）已知直线经过点，且，两点到直线的距离相等，则直线的方程为 .  4．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知直线经过点.(1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的点斜式方程；(2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为、B，当的面积最小时，求的斜截式方程.课程标准学习目标①掌握确定直线的几何要素。②掌握直线的点斜式与斜截式方程的确定。③解决与直线的点斜式、斜截式有关的问题.。通过本节课的学习，要求按题给的条件利用点斜式、斜截式方程的要求求解直线的方程，并能解决与之有关的直线方程的问题.已知条件（使用前提）直线过点和斜率（已知一点+斜率）图示点斜式方程形式适用条件斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程）已知条件（使用前提）直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距）图示点斜式方程形式适用条件斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程）第03讲 2.2.1直线的点斜式方程和斜截式方程 知识点01：直线的点斜式方程1.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以.2.当直线与轴平行或重合时,方程可简写为.特别地,轴的方程是;当直线与轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成.特别地,轴的方程是.【即学即练1】（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知直线l的斜率为，且过点，则直线l在y轴上的截距是 .【答案】【分析】利用点斜式求直线方程，再转化为斜截式方程，即可得出直线在轴上的截距．【详解】由点斜式方程得，转化为斜截式方程可得，所以该直线在轴上的截距为.故答案为：.知识点02：直线的斜截式方程1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它在轴上的截距和在轴上的截距都为0.3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在轴上的截距,如直线的斜率,在轴上的截距为.【即学即练2】（23-24高二上·浙江台州·期末）直线的斜率等于（    ）A． B．1 C．2 D．【答案】C【分析】由斜截式判定直线斜率即可.【详解】由直线的斜截式可知的斜率为.故选：C题型01直线的点斜式方程 【典例1】（23-24高二上·四川达州·期末）经过点且倾斜角为的直线方程是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出直线斜率，利用点斜式求出直线方程，得到答案.【详解】直线斜率，故直线方程为，即.故选：A【典例2】（2024高二下·上海·专题练习）已知两点、，则直线的斜截式方程是 ．【答案】【分析】直接利用两点的坐标求出直线的方程，进一步转换为斜截式．【详解】已知两点、，故直线的斜率，则方程为：，整理得，转化为直线的斜截式为．故答案为：．【典例3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知，，则过的中点且倾斜角为，直线的点斜式方程是 ．【答案】【分析】求出中点坐标和斜率后，根据点斜式可得结果.【详解】设的中点为，则，又斜率，所以直线的点斜式方程为．故答案为：【变式1】（2024高二上·广东）经过点，倾斜角是的直线方程是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用直线的点斜式即可得解.【详解】因为直线的倾斜角为，所以其斜率为，又经过点，则所求直线为.故选：B.【变式2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）经过点，斜率为3的直线方程为 ．【答案】【分析】直接由直线方程点斜式的定义即可得解.【详解】由题意经过点，斜率为3的直线方程为，整理得.故答案为：.【变式3】（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知斜率为2的直线经过点，则直线的方程为 .【答案】【分析】根据直线点斜式方程，直线斜率为且过点时，直线方程为，代入题中已知即可得出答案.【详解】已知直线斜率为2且经过点，由直线点斜式方程得直线的方程为：，即.故答案为：.题型02直线的斜截式方程 【典例1】（23-24高二上·福建龙岩·阶段练习）已知直线，若直线的倾斜角，求实数的取值范围 【答案】【分析】根据直线斜率与倾斜角的之间的关系，结合正切函数的性质进行求解即可.【详解】由直线的方程可知该直线的斜率为，所以有，因为，所以，因此实数的取值范围为，故答案为：【典例2】（2024高二·江苏·专题练习）已知A（4，6），B（﹣3，﹣1），C（4，﹣5）三点.（1）求经过点A且与直线BC平行的直线l的点斜式方程；（2）求经过点A且与直线BC垂直的直线m的斜截式方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题可求直线BC的斜率，再写出直线的点斜式方程；（2）先求出所求直线的斜率为，再写出直线的斜截式方程.【详解】（1）由题得直线BC的斜率为，所以经过点A且与直线BC平行的直线l的点斜式方程为：；（2）由题得直线BC的斜率为，所以所求直线的斜率为.所以直线的方程为，即，所以经过点A且与直线BC垂直的直线m的斜截式方程.【变式1】（23-24高二·全国·课后作业）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是 .【答案】或【分析】求得斜率，根据题意，求得直线在y轴上的截距是或，即可求得直线的方程.【详解】因为直线的倾斜角是，所以斜率，又因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距是或，所以所求直线的斜截式方程是或.故答案为：或.题型03直线的图象 【典例1】（23-24高二上·广东惠州·期末）已知直线的方程是，的方程是（，），则下列图形中，正确的是（   ）A．   B．  C．   D．  【答案】A【分析】由图象判断参数范围，根据参数范围是否矛盾即可得答案.【详解】对于A，由的图象知，，由的图象知，，故A正确；对于B，由的图象知，，由的图象知，，矛盾，故B错误；对于C，由的图象知，，由的图象知，，矛盾，故C错误；对于D，由的图象知，，由的图象知，，矛盾，故D错误．故选：A【典例2】（多选）（23-24高二上·甘肃白银·期中）同一坐标系中，直线与大致位置正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】结合各选项分析直线的斜率与在轴上的截距，从而得以判断.【详解】因为，，对于A，由图可得直线的斜率，在轴上的截距；而的斜率，矛盾，故A错误；对于B，由图可得直线的斜率，在轴上的截距；而的斜率，在轴上的截距，即，符合题意，故B正确；对于C，由图可得直线的斜率，在轴上的截距；而的斜率，在轴上的截距，即，符合题意，故C正确．对于D，由图可得直线的斜率，在轴上的截距；而的斜率，矛盾，故D错误.故选：BC.【典例3】（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）直线：与直线：在同一平面直角坐标系内的图象只可能是 （填写正确的序号）．【答案】④【分析】根据直线方程斜截式与图像的关系进行判断即可.【详解】对于①，由得，，而由得，，矛盾，故①错误；对于②，由得，，而由得，，矛盾，故②错误；对于③，由得，，而由得，，矛盾，故③错误；对于④，由得，，由得，，故④正确．故答案为：④.【变式1】（23-24高二下·河南平顶山·阶段练习）直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据直线的斜率和纵截距的正负进行判断．【详解】对B，斜率为正，在轴上的截距也为正，故不可能有斜率为负的情况.故B错.当时， 和斜率均为正，且截距均为正.仅D选项满足.故选：D【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】分别讨论时直线y＝ax与y＝x＋a的倾斜角和在轴上的截距，从而可判断出选项.【详解】①当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角，且在y轴上的截距为，a>0，所以选项A，B都不成立；②当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A，B，C，D都不符合；③当a