中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题13新定义材料阅读类创新题(江苏真题15道模拟30道)(原卷版+解析)

这是一份中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题13新定义材料阅读类创新题(江苏真题15道模拟30道)(原卷版+解析)，共162页。
【真题再现】直面中考真题，实战培优提升
一、解答题
1．（2022·江苏南通·统考中考真题）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于n(n≥0)的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如，点13,13是函数y=x图像的“12阶方点”；点(2,1)是函数y=2x图像的“2阶方点”．
(1)在①−2,−12；②(−1,−1)；③(1,1)三点中，是反比例函数y=1x图像的“1阶方点”的有___________（填序号）；
(2)若y关于x的一次函数y=ax−3a+1图像的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
(3)若y关于x的二次函数y=−(x−n)2−2n+1图像的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
2．（2021·江苏南通·统考中考真题）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(1,1)是函数y=12x+12的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数y=x+2,y=x2−x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数y=3x(x>0),y=−x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；
（3）若函数y=x2−2(x≥m)的图象记为W1，将其沿直线x=m翻折后的图象记为W2．当W1,W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
3．（2021·江苏盐城·统考中考真题）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的角度α，能得到一个新的点P′．经过进一步探究，小明发现，当上述点P在某函数图像上运动时，点P′也随之运动，并且点P′的运动轨迹能形成一个新的图形．
试根据下列各题中所给的定点A的坐标和角度α的大小来解决相关问题．
【初步感知】
如图1，设A(1,1)，α=90°，点P是一次函数y=kx+b图像上的动点，已知该一次函数的图像经过点P1(−1,1)．
（1）点P1旋转后，得到的点P′1的坐标为________；
（2）若点P′的运动轨迹经过点P′2(2,1)，求原一次函数的表达式．
【深入感悟】
（3）如图2，设A(0,0)，α=45°，点P反比例函数y=−1x(x30°；
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P在直线CD的左侧，且tan∠DPC=43．
①线段PB长的最小值为_______；
②若S△PCD=23S△PAD，则线段PD长为________．
9．（2021·江苏连云港·统考中考真题）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
（1）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE=1，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图1，求CF的长；
（2）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；
（3）△ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；
（4）正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F、G都在直线AE上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______．
10．（2020·江苏盐城·统考中考真题）木门常常需要雕刻美丽的图案．
（1）图①为某矩形木门示意图，其中AB长为200厘米，AD长为100厘米，阴影部分是边长为30厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点P处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边，所刻图案如虚线所示，求图案的周长；
（2）如图②，对于1中的木门，当模具换成边长为303厘米的等边三角形时，刻刀的位置仍在模具的中心点P处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴本门的一边，使模具进行滑动雕刻．但当模具的一个顶点与木门的一个顶点重合时，需将模具绕着重合点进行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合．再滑动模具进行雕刻，如此雕刻一周，请在图②中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长．
11．（2020·江苏常州·中考真题）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把PQ⋅PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．

（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为(0,4)，半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．
①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点_________（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为_________；
②若直线n的函数表达式为y=3x+4，求⊙O关于直线n的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M(1,4)，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，2为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N(−1,0)是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征数”是45，求直线l的函数表达式．
12．（2020·江苏南京·统考中考真题）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别发铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
（1）如图②，作出点A关于l的对称点A′，线A′B与直线l的交点C的位置即为所求， 即在点C处建气站， 所得路线ACB是最短的，为了让明点C的位置即为所求，不妨在l直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′， 证明AC+CB0），则BC= 时，AC+BC最大．
推理证明
（5）对（4）中的猜想进行证明．
问题1．在图①中完善2的描点过程，并依次连线；
问题2．补全观察思考中的两个猜想：3 _______ 4 _______
问题3．证明上述5中的猜想：
问题4．图②中折线B−E−F−G−A是一个感光元件的截面设计草图，其中点A,B间的距离是4厘米，AG=BE=1厘米，∠E=∠F=∠G=90∘,平行光线从AB区域射入，∠BNE=60∘,线段FM、FN为感光区域，当EF的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．
14．（2019·江苏苏州·统考中考真题）已知矩形ABCD中，AB=5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP=25cm.如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着A→B→C的方向匀速运动(不包含点C).设动点M的运动时间为t(s)，ΔAPM的面积为S(cm²)，S与t的函数关系如图②所示：
(1)直接写出动点M的运动速度为 cm/s，BC的长度为 cm;
(2)如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着D→C→B的方向匀速运动，设动点N的运动速度为vcm/s.已知两动点M、N经过时间xs在线段BC上相遇(不包含点C)，动点M、N相遇后立即停止运动，记此时ΔAPM与ΔDPN的面积为S1cm2,S2cm2.
①求动点N运动速度vcm/s的取值范围;
②试探究S1⋅S2是否存在最大值.若存在，求出S1⋅S2的最大值并确定运动速度时间x的值；若不存在，请说明理由.

15．（2019·江苏南京·统考中考真题）【概念认知】：
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，用以下方式定义两点间距离：d(A，B)＝x1−x2＋y1−y2．
【数学理解】：
（1）①已知点A(﹣2，1)，则d(O，A)＝ ；②函数y=−2x+4(0≤x≤2)的图像如图①所示，B是图像上一点，d(O，B)＝3，则点B的坐标是 ．
（2）函数y=4x(x＞0)的图像如图②所示，求证：该函数的图像上不存在点C，使d(O，C)＝3．
（3）函数y=x2−5x+7(x≥0)的图像如图③所示，D是图像上一点，求d(O，D)的最小值及对应的点D的坐标．
【问题解决】：
（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）
【专项突破】深挖考点考向，揭示内涵实质
一．解答题（共30小题）
1．（2022•滨海县模拟）如图1，直线l：y＝kx+b（k＜0，b＞0）与x、y轴分别相交于A、B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A、B、D的抛物线W叫做直线l的关联抛物线，而直线l叫做抛物线W的关联直线．
（1）已知直线l1：y＝﹣3x+3，求直线l1的关联抛物线W1的表达式；
（2）若抛物线，求它的关联直线l2的表达式；
（3）如图2，若直线l3：y＝kx+4（k＜0），G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若，求直线l3的关联抛物线W3的表达式；
（4）在（3）的条件下，将直线CD绕着C点旋转得到新的直线l4：y＝mx+n，若点P（x1，y1）与点Q（x2，y2）分别是抛物线W3与直线l4上的点，当0≤x≤2时，|y1﹣y2|≤4，请直接写出m的取值范围．
2．（2022•淮安二模）我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数y＝x2的图象上，存在一点P（﹣1，1），则P为二次函数y＝x2图象上的“互反点”．
（1）分别判断y＝﹣x+3、y＝x2+x的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由．
（2）如图①，设函数y＝（x＜0），y＝x+b的图象上的“互反点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为5时，求b的值；
（3）如图②，Q（m，0）为x轴上的动点，过Q作直线l⊥x轴，若函数y＝﹣x2+2（x≥m）的图象记为W1，将W1沿直线l翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出m的取值范围．
3．（2022•姑苏区校级模拟）平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．
如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C的“最佳三点矩形”．
如图2，已知M（4，1），N（﹣2，3），点P（m，n）．
（1）①若m＝2，n＝4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为 ，面积为 ；
②若m＝2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；
（2）若点P在直线y＝﹣2x+5上．
①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；
②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；
（3）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2+bx+c上，当且仅当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为12时，﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．
4．（2022•江都区一模）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2．
（1）函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤5）中是有上界函数的为 （只填序号即可），其上确界为 ；
（2）若反比例函数y＝（a≤x≤b，a＞0）的上确界是b+1，且该函数的最小值为2，求a、b的值；
（3）如果函数y＝﹣x2+2ax+2（﹣1≤x≤3）是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值．
5．（2022•如东县一模）定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“伴随函数”．
（1）函数y＝x+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ，函数y＝（x﹣2）2+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ；
（2）已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点P（m，3）互为“伴随函数”．若当m＜x＜7时，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围；
（3）已知点A（0，1），点B（4，1），点C（2，0），二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．
6．（2022•如皋市一模）定义：在平面直角坐标系中，点M（x1，y1），N（x2，y2），若x1﹣x2＝y1﹣y2，则称点M，N互为正等距点，|y1﹣y2|叫做点M，N的正等距．特别地，一个点与它本身互为正等距点，且正等距为0．例如，点（﹣2，3），（1，6）互为正等距点，两点的正等距为3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，1）．
（1）判断反比例函数y＝（x＜0）的图象上是否存在点A的正等距点？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由；
（2）若与点A的正等距等于4的点恰好落在直线y＝kx+2上，求k的值；
（3）若抛物线y＝﹣（x﹣a）（x﹣a﹣6）上存在点A的正等距点B，且点A，B的正等距不超过1，请直接写出a的取值范围．
7．（2022•常州模拟）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2．
（1）函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤2）中是有上界函数的为 （只填序号即可），其上确界为 ；
（2）如果函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的上确界是b，且这个函数的最小值不超过2a+1，求a的取值范围；
（3）如果函数y＝x2﹣2ax+2（1≤x≤5）是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值．
8．（2021•梁溪区校级二模）在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，规定：（1）符号[a，b，c]称为该抛物线的“抛物线系数”； （2）如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
完成下列问题：
（1）若一条抛物线的系数是[﹣1，0，m+1]，则此抛物线的函数表达式为 （含参数m），当m满足 时，此抛物线没有“抛物线三角形”；
（2）若抛物线y＝x2+bx的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求出该抛物线的“抛物线系数”；
（3）若一条抛物线的系数是[a，﹣4a，c]（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴负半轴交于点C，顶点为D，已知S△ABD：S四边形ABCD＝1：4，且tan∠ACB＝．求该抛物线的函数关系式．
9．（2021•盐都区二模）将抛物线y＝ax2的图象（如图1）绕原点顺时针旋转90度后可得新的抛物线图象（如图2），记为C：y2＝x．
【概念与理解】
将抛物线y1＝4x2和y2＝x2按上述方法操作后可得新的抛物线图象，记为：C1： ；C2： ．
【猜想与证明】
在平面直角坐标系中，点M（x，0）在x轴正半轴上，过点M作平行于y轴的直线，分别交抛物线C1于点A、B，交抛物线C2于点C、D，如图3所示．
（1）填空：当x＝1时，＝ ；当x＝2时，＝ ；
（2）猜想：对任意x（x＞0）上述结论是否仍然成立？若成立，请证明你的猜想；若不成立，请说明理由．
【探究与应用】
（3）利用上面的结论，可得△AOB与△COD面积比为 ；
（4）若△AOB和△COD中有一个是直角三角形时，求△COD与△AOB面积之差；
【联想与拓展】
（5）若抛物线C3：y2＝mx、C4：y2＝nx（0＜m＜n），M（k，0）在x轴正半轴上，如图所示，过点M作平行于y轴的直线，分别交抛物线C3于点A、B，交抛物线C4于点C、D．过点A作x轴的平行线交抛物线C4于点E，过点D作x轴的平行线交抛物线C3于点F．对于x轴上任取一点P，均有△PAE与△PDF面积的比值1：3，请直接写出m和n之间满足的等量关系是 ．
10．（2019•广陵区校级三模）【探究】如图1，点N（m，n）是抛物线上的任意一点，l是过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，过点N作直线NH⊥l，垂足为H．
①计算：m＝0时，NH＝ ；m＝4时，NO＝ ．
②猜想：m取任意值时，NO NH（填“＞”、“＝”或“＜”）．
【定义】我们定义：平面内到一个定点F和一条直线l（点F不在直线l上）距离相等的点的集合叫做抛物线，其中点F叫做抛物线的“焦点”，直线l叫做抛物线的“准线”．如图1中的点O即为抛物线y1的“焦点”，直线l：y＝﹣2即为抛物线y1的“准线”．可以发现“焦点”F在抛物线的对称轴上．
【应用】（1）如图2，“焦点”为F（﹣4，﹣1）、“准线”为l的抛物线与y轴交于点N（0，2），点M为直线FN与抛物线的另一交点．MQ⊥l于点Q，直线l交y轴于点H．
①直接写出抛物线y2的“准线”l： ；
②计算求值：＝ ；
（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，半径为1的⊙O与x轴分别交于A、B两点（A在B的左侧），直线与⊙O只有一个公共点F，求以F为“焦点”、x轴为“准线”的抛物线的表达式．
11．（2022•武进区二模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图I，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形；
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上；
（3）如图3，已知四边形ABCD是以AB为邻余线的邻余四边形，AB＝15，AD＝6，BC＝3，∠ADC＝135°，求CD的长度．
12．（2022•工业园区模拟）【理解概念】
如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图①，矩形ABDE即为△ABC的“矩形框”．
（1）三角形面积等于它的“矩形框”面积的 ；
（2）钝角三角形的“矩形框”有 个；
【巩固新知】
（3）如图①，△ABC的“矩形框”ABDE的边AB＝6cm，AE＝2cm，则△ABC周长的最小值为 cm；
（4）如图②，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，求△ABC的“矩形框”的周长；
【解决问题】
（5）如图③，锐角三角形木板ABC的边AB＝14cm，AC＝15cm，BC＝13cm，求出该木板的“矩形框”周长的最小值．
13．（2022•姑苏区一模）定义：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．
（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，则∠B+∠C＝ °；
（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO，在OA上取点E，使得DE＝OE，连接DE并延长交AC于点F，∠AED＝3∠EAF．求证：四边形BCFD是半对角四边形；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，OH＝2，DH＝6．
①连接OC，若将扇形OBC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 ；
②求△ABC的面积．
14．（2021•新吴区二模）定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图a所示．
操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH．
操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF，BE上，折痕为CD．则四边形ABCD为矩形．
（1）证明：四边形ABCD为矩形；
（2）点M是边AB上一动点．
①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN．求tan∠OMN的值；
②若AM＝AD，点N在边BC上，当△DMN的周长最小时，求的值；
③连接CM，作BR⊥CM，垂足为R．若AB＝2，则DR的最小值＝ ．
15．（2022•通州区一模）平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），给出如下定义：若x，y满足|xy|＝2|x|+2|y|，且xy≠0，则称点P为平衡点．例如，点是平衡点．
（1）P1（2，2）和P2（，﹣5）两点中，点 是平衡点；
（2）若平衡点P在一次函数的图象上，求点P的坐标；
（3）如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OC＝6．反比例函数的图象交边BC于点D，交边AB于点E若D，E两点均为平衡点．求∠ODE的正切值．
16．（2022•淮安区模拟）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图1，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：
（1）can30°＝ ，若canB＝1，则∠B＝ °．
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝48，求△ABC的周长．
17．（2022•广陵区一模）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°的值为 ．
A． B．1 C．D．2
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 ．
（3）已知sinA＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．
18．（2022•盐城一模）对于平面内的两点K、L，作出如下定义：若点Q是点L绕点K旋转所得到的点，则称点Q是点L关于点K的旋转点；若旋转角小于90°，则称点Q是点L关于点K的锐角旋转点．如图1，点Q是点L关于点K的锐角旋转点．
（1）已知点A（4，0），在点Q1（0，4），Q2（2，），Q3（﹣2，），Q4（，﹣2）中，是点A关于点O的锐角旋转点的是 ．
（2）已知点B（5，0），点C在直线y＝2x+b上，若点C是点B关于点O的锐角旋转点，求实数b的取值范围．
（3）点D是x轴上的动点，D（t，0），E（t﹣3，0），点F（m，n）是以D为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足n≥0．若直线y＝2x+6上存在点F关于点E的锐角旋转点，请直接写出t的取值范围．
19．（2022•钟楼区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A（0，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1），D（1，0）．对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P，Q两点间
的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d（M）．
已知点E（3，0）．
①直接写出d（点E）的值；
②过点E画直线y＝kx﹣3k与y轴交于点F，当d（线段EF）取最小值时，求k的取值范围；
③设T是直线y＝﹣x+3上的一点，以T为圆心，长为半径作⊙T．若d（⊙T）满足d（⊙T）＞+，直接写出圆心T的横坐标x的取值范围．
20．（2022•常州一模）对于平面直角坐标系xOy中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P、Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M、N间的“图距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．
（1）d（点O，△ABC）；
（2）线段L是直线y＝x（﹣2≤x≤2）上的一部分，若d（L，△ABC）＝1，且L的长度最长时，求线段L两个端点的横坐标；
（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）＝1，直接写出t的取值范围．
21．（2022•秦淮区二模）【概念认识】
与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆．
【初步理解】
（1）如图①～③，四边形ABCD是矩形，⊙O1和⊙O2都与边AD相切，⊙O2与边AB相切，⊙O1和⊙O3都经过点B，⊙O3经过点D，3个圆都经过点C．在这3个圆中，是矩形ABCD的第Ⅰ类圆的是 ，是矩形ABCD的第Ⅱ类圆的是 ．
【计算求解】
（2）已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，直接写出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长．
【深入研究】
（3）如图④，已知矩形ABCD，用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）
①作它的1个第Ⅰ类圆；
②作它的1个第Ⅱ类圆．
22．（2022•常熟市模拟）定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在直线相切的圆称为这个三角形的切圆，相切的边称为这个圆的切边．
（1）如图1，△ABC中，AB＝CB，∠A＝30°，点O在AC边上，以OC为半径的⊙O恰好经过点B，求证：⊙O是△ABC的切圆．
（2）如图2，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的切圆，且另外两条边都是⊙O的切边，求⊙O的半径．
（3）如图3，△ABC中，以AB为直径的⊙O恰好是△ABC的切圆，AC是⊙O的切边，⊙O与BC交于点F，取弧BF的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于点H，若CF＝8，BF＝10，求AC和EH的长．
23．（2021•工业园区校级二模）如果三角形的两个内角a与β叫满足2a+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝ ．
（2）如图（1），AB是半圆的直径，AB＝10，BC＝6，C是半圆上的点，D是上的点，BD交AC于点E．
①若D是的中点．则图中共有 对“准互余三角形”；
②当△DEC是“准互余三角形”时，求CE的长；
③如图（2）所示，若F是上的点（不与B、C重合），G为射线AF上一点，且满足∠CBG＝2∠CAB．当△ABG是“准互余三角形”时，求AG的长．
24．（2021•常州一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是，A，B为⊙O外两点，AB＝2．给出如下定义：平移线段AB，使平移后的线段A′B′成为⊙O的弦（点A′，B′分别为点A，B的对应点），线段AA′长度的最小值成为线段AB到⊙O的“优距离”．
（1）如图1，⊙O中的弦P1P2、P3P4是由线段AB平移而得，这两条弦的位置关系是 ；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点 的线段长度等于线段AB到⊙O的“优距离”；
（2）若点A（0，7），B（2，5），线段AA′的长度是线段AB到⊙O的“优距离”，则点A′的坐标为 ；
（3）如图2，若A，B是直线y＝﹣x+6上两个动点，记线段AB到⊙O的“优距离”为d，则d的最小值是 ；请你在图2中画出d取得最小值时的示意图，并标记相应的字母．
25．（2021•建邺区二模）【概念学习】
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，若⊙O平移d个单位后，使某图形上所有点在⊙O内或⊙O上，则称d的最小值为⊙O对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图①，A（3，0），B（4，0），则⊙O对线段AB的“最近覆盖距离”为3．
【概念理解】
（1）⊙O对点（3，4）的“最近覆盖距离”为 ．
（2）如图②，点P是函数y＝2x+4图象上一点，且⊙O对点P的“最近覆盖距离”为3，则点P的坐标为 ．
【拓展应用】
（3）如图③，若一次函数y＝kx+4的图象上存在点C，使⊙O对点C的“最近覆盖距离”为1，求k的取值范围．
（4）D（3，m）、E（4，m+1），且﹣4＜m＜2，将⊙O对线段DE的“最近覆盖距离”记为d，则d的取值范围是 ．
26．（2020•金坛区二模）对于⊙C与⊙C上一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q，且PA＝2QA，则称点P为点A关于⊙C的“倍距点”．已知平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（﹣，0）．
（1）如图1，点O为坐标原点，⊙O的半径是，点P是点A关于⊙O的“倍距点”．
①若点P在x轴正半轴上，直接写出点P的坐标是 ；
②若点P在第一象限，且∠PAO＝30°，求点P的坐标；
（2）设点T（t，0），以点T为圆心，TA长为半径作⊙T，一次函数y＝x+4的图象分别与x轴、y轴交于D、E，若一次函数y＝x+4的图象上存在唯一一点P，使点P是点A关于⊙T的“倍距点”，求t的值．
27．（2021•高邮市校级模拟）A，B是⊙C上的两个点，点P在⊙C的内部．若∠APB为直角，则称∠APB为AB关于⊙C的内直角，特别地，当圆心C在∠APB边（含顶点）上时，称∠APB为AB关于⊙C的最佳内直角．如图1，∠AMB是AB关于⊙C的内直角，∠ANB是AB关于⊙C的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy中．
（1）如图2，⊙O的半径为5，A（0，﹣5），B（4，3）是⊙O上两点．
①已知P1（1，0），P2（0，3），P3（﹣2，1），在∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B中，是AB关于⊙O的内直角的是 ；
②若在直线y＝2x+b上存在一点P，使得∠APB是AB关于⊙O的内直角，求b的取值范围．
（2）点E是以T（t，0）为圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T与x轴交于点D（点D在点T的右边）．现有点M（1，0），N（0，n），对于线段MN上每一点H，都存在点T，使∠DHE是DE关于⊙T的最佳内直角，请直接写出n的最大值，以及n取得最大值时t的取值范围．
28．（2021秋•润州区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′＝2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．
（1）当⊙O的半径为1时，
①分别判断点M（3，1），N（，0），T（﹣1，）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，直接求其坐标；
②将⊙O沿x轴水平向右平移1个单位为⊙O′，点P在直线y＝﹣x+1上，若点P关于⊙O′的反称点P′存在，且点P′不在坐标轴上，则点P的横坐标的取值范围 ；
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y＝﹣x+12与x轴，y轴分别交于点A、B，点E与点D分别在点A与点B的右侧2个单位，线段AE、线段BD都是水平的，若四边形ABDE四边上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．
29．（2022秋•秦淮区校级月考）【数学概念】
我们把存在内切圆与外接圆的四边形称为双圆四边形．例如，如图①，四边形ABCD内接于⊙M，且每条边均与⊙P相切，切点分别为E，F，G，H，因此该四边形是双圆四边形．
【性质初探】
（1）双圆四边形的对角的数量关系是 ，依据是 ．
（2）直接写出双圆四边形的边的性质．（用文字表述）
（3）在图①中，连接GE，HF，求证GE⊥HF．
【揭示关系】
（4）根据双圆四边形与四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，在图②中画出双圆四边形的大致区域，并用阴影表示．
【特例研究】
（5）已知P，M分别是双圆四边形ABCD的内切圆和外接圆的圆心，若AB＝1，∠BCD＝60°，∠B＝90°，则PM的长为 ．
30．（2021秋•广陵区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．
（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点”．显然，线段AB的“等角点”有无数个，且A、B、P三点共圆．
①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，则点C的坐标是 ，⊙C的半径是 ；
②y轴正半轴上是否有线段AB的“等角点”？如果有，求出“等角点”的坐标；如果没有，请说明理由；
（2）若点P在y轴正半轴上运动，则当∠APB的度数最大时，点P的坐标为 ．
已知线段BC=2，使用作图工具作∠BAC=30°，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
AC
2.8
2.7
2.6
2.3
2
1.5
0.4
BC
0.4
0.8
1.2
1.6
2
2.4
2.8
AC+BC
3.2
3.5
3.8
3.9
4
3.9
3.2
2023年中考数学大题高分秘籍（江苏专用）
专题13新定义材料阅读类创新题（江苏真题15道模拟30道）
【真题再现】直面中考真题，实战培优提升
一、解答题
1．（2022·江苏南通·统考中考真题）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于n(n≥0)的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如，点13,13是函数y=x图像的“12阶方点”；点(2,1)是函数y=2x图像的“2阶方点”．
(1)在①−2,−12；②(−1,−1)；③(1,1)三点中，是反比例函数y=1x图像的“1阶方点”的有___________（填序号）；
(2)若y关于x的一次函数y=ax−3a+1图像的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
(3)若y关于x的二次函数y=−(x−n)2−2n+1图像的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
【答案】(1)②③
(2)3或−1；
(3)14≤n≤1
【分析】（1）根据“n阶方点”的定义逐个判断即可；
（2）如图作正方形，然后分a＞0和a＜0两种情况，分别根据“2阶方点”有且只有一个判断出所经过的点的坐标，代入坐标求出a的值，并舍去不合题意的值即可得；
（3）由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线y＝－2x＋1上移动，作出简图，由函数图象可知，当二次函数图象过点（n，－n）和点（－n， n）时为临界情况，求出此时n的值，由图象可得n的取值范围．
【详解】（1）解：∵点−2,−12到x轴的距离为2，大于1，
∴不是反比例函数y=1x图象的“1阶方点”，
∵点(−1,−1)和点(1,1)都在反比例函数y=1x的图象上，且到两坐标轴的距离都不大于1，
∴(−1,−1)和(1,1)是反比例函数y=1x图象的“1阶方点”，
故答案为：②③；
（2）如图作正方形，四个顶点坐标分别为（2，2），（－2，2），（－2，－2），（2，－2），
当a＞0时，若y关于x的一次函数y=ax−3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，
则y=ax−3a+1过点（－2，2）或（2，－2），
把（－2，2）代入y=ax−3a+1得：2=−2a−3a+1，解得：a=−15（舍去）；
把（2，－2）代入y=ax−3a+1得：−2=2a−3a+1，解得：a=3；
当a＜0时，若y关于x的一次函数y=ax−3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，
则y=ax−3a+1过点（2，2）或（－2，－2），
把（2，2）代入y=ax−3a+1得：2=2a−3a+1，解得：a=−1；
把（－2，－2）代入y=ax−3a+1得：−2=−2a−3a+1，解得：a=35（舍去）；
综上，a的值为3或−1；
（3）∵二次函数y=−(x−n)2−2n+1图象的顶点坐标为（n，−2n+1），
∴二次函数y=−(x−n)2−2n+1图象的顶点坐标在直线y＝－2x＋1上移动，
∵y关于x的二次函数y=−(x−n)2−2n+1图象的“n阶方点”一定存在，
∴二次函数y=−(x−n)2−2n+1的图象与以顶点坐标为（n，n），（－n，n），（－n，－n），（n，－n）的正方形有交点，
如图，当y=−(x−n)2−2n+1过点（n，－n）时，
将（n，－n）代入y=−(x−n)2−2n+1得：−n=−(n−n)2−2n+1，
解得：n=1，
当y=−(x−n)2−2n+1过点（－n，n）时，
将（－n，n）代入y=−(x−n)2−2n+1得：n=−(−n−n)2−2n+1，
解得：n=14或n=−1（舍去），
由图可知，若y关于x的二次函数y=−(x−n)2−2n+1图象的“n阶方点”一定存在，n的取值范围为：14≤n≤1．
【点睛】本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特点，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，正确理解“n阶方点”的几何意义，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
2．（2021·江苏南通·统考中考真题）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(1,1)是函数y=12x+12的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数y=x+2,y=x2−x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数y=3x(x>0),y=−x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；
（3）若函数y=x2−2(x≥m)的图象记为W1，将其沿直线x=m翻折后的图象记为W2．当W1,W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）函数y=x+2没有“等值点”； 函数y=x2−x的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）b=43或−23；（3）m0,a>0,
∴y≤22a,
当y取最大值22a时，
2x2−42ax+4a2=0
2x−2a2=0
x1=x2=2a
∴当BC=2a时，y有最大值．
法二：（基本不等式）
设BC=m,AC=n,AC+BC=y
在Rt△ABC中，∵∠C=90°,
∴m2+n2=4a2
∵m−n2≥0,
∴m2+n2≥2mn．
当m=n时，等式成立
∴4a2≥2mn,
mn≤2a2．
∵y=m+n=m2+n2+2mn
=4a2+2mn，
∵mn≤2a2,
∴y≤22a,
∴当BC=AC=2a时，y有最大值．
问题4：
法一：延长AM交EF于点C,
过点A作AH⊥EF于点H,垂足为H,
过点B作BK⊥GF交于点K,垂足为K,
BK交AH于点Q,

由题可知：在△BNE中，∠BNE=60°,∠E=90∘,BE=1
∴tan∠BNE=BENE
即3=1NE
∴NE=33
∵AM//BN,
∴∠C=60°,
又∵∠GFE=90∘,
∴∠CMF=30°,
∴∠AMG=30°,
∵∠G=90°,AG=1,∠AMG=30°，
∴在Rt△AGM中，
tan∠AMG=AGGM，
即33=1GM
∴GM=3,
∵∠G=∠GFH=90°,∠AHF=90°,
∴四边形AGFH为矩形
∴AH=FG,
∵∠GFH=∠E=90∘,∠BHF=90°，
∴四边形BKFE为矩形，
∴BK=FE,
∵FN+FM=EF+FG−EN−GM
=BK+AH−33−3
=BQ+AQ+QH+QK−433
=BQ+AQ+2−433
∴在Rt△ABQ中，AB=4．
由问题3可知，当BQ=AQ=22时，AQ+BQ最大
∴BQ=AQ=22时，FM+FN最大为42+2−433cm
即当EF=22+1时，感光区域长度之和FM+FN最大为42+2−433cm
法二：
延长EB、GA相交于点H,

同法一求得：
GM=3,NE=33
设AH=a,BH=b
∵四边形GFEH为矩形，
∴GF=EH,EF=GH,
∴MF=EH−GM=b+1−3．
FN=EF−NE=a+1−33
∴MF+FN=a+b+2−433
∵a2+b2=16,
由问题3可知，当a=b=22时，a+b最大
∴a=b=22时FM+FN最大为42+2−433cm
即当EF=22+1时，感光区域长度之和FM+FN最大为42+2−433cm．
【点睛】本题考查了一元二次方程，二次函数，不等式，解直角三角形，三角函数，矩形的性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
14．（2019·江苏苏州·统考中考真题）已知矩形ABCD中，AB=5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP=25cm.如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着A→B→C的方向匀速运动(不包含点C).设动点M的运动时间为t(s)，ΔAPM的面积为S(cm²)，S与t的函数关系如图②所示：
(1)直接写出动点M的运动速度为 cm/s，BC的长度为 cm;
(2)如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着D→C→B的方向匀速运动，设动点N的运动速度为vcm/s.已知两动点M、N经过时间xs在线段BC上相遇(不包含点C)，动点M、N相遇后立即停止运动，记此时ΔAPM与ΔDPN的面积为S1cm2,S2cm2.
①求动点N运动速度vcm/s的取值范围;
②试探究S1⋅S2是否存在最大值.若存在，求出S1⋅S2的最大值并确定运动速度时间x的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)2，10；(2)①23cm/s＜v≤6cm/s；②当x=154时，S1⋅S2取最大值2254.
【分析】（1）由题意可知图像中0~2.5s时，M在AB上运动，求出速度，2.5~7.5s时，M在BC上运动，求出BC长度；（2）①分别求出在C点相遇和在B点相遇时的速度，取中间速度，注意C点相遇时的速度不能取等于；②过M点做MH⊥AC，则MH=12CM=15−2x5
得到S1，同时利用S1+S2=S矩形ABCD−SΔPAD−SΔCDM（N）−SΔABM(N)=15，得到S2，再得到S1⋅S2关于x的二次函数，利用二次函数性质求得最大值
【详解】(1)5÷2.5=2cm/s；（7.5-2.5）×2=10cm
(2)①解：在C点相遇得到方程5v=7.5
在B点相遇得到方程15v=2.5
∴5v=7.515v=2.5
解得 v=23v=5
∵在边BC上相遇，且不包含C点
∴23cm/s＜v≤6cm/s
②如下图S1+S2=S矩形ABCD−SΔPAD−SΔCDM（N）−SΔABM(N)
=75−10−5×15−2x2−5×2x−52
=15
过M点做MH⊥AC，则MH=12CM=15−2x5
∴S1=12MH⋅AP=−2x+15
∴S2=2x
S1⋅S2=−2x+15⋅2x
=−4x2+30x
=−4x−1542+2254
因为2.5＜154＜7.5，所以当x=154时，S1⋅S2取最大值2254.
【点睛】本题重点考查动点问题，二次函数的应用，求不规则图形的面积等知识点，第一问关键能够从图像中得到信息，第二问第一小问关键在理清楚运动过程，第二小问关键在能够用x表示出S1和S2
15．（2019·江苏南京·统考中考真题）【概念认知】：
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，用以下方式定义两点间距离：d(A，B)＝x1−x2＋y1−y2．
【数学理解】：
（1）①已知点A(﹣2，1)，则d(O，A)＝ ；②函数y=−2x+4(0≤x≤2)的图像如图①所示，B是图像上一点，d(O，B)＝3，则点B的坐标是 ．
（2）函数y=4x(x＞0)的图像如图②所示，求证：该函数的图像上不存在点C，使d(O，C)＝3．
（3）函数y=x2−5x+7(x≥0)的图像如图③所示，D是图像上一点，求d(O，D)的最小值及对应的点D的坐标．
【问题解决】：
（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）
【答案】（1）【数学理解】：① 3， ② (1，2) ；（2）见解析；（3）dO，D有最小值3，此时点D的坐标是（2，1）；【问题解决】：（4）先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处，见解析.
【分析】（1）①根据定义可求出d（O，A）＝|0＋2|＋|0−1|＝2＋1＝3；②由两点间距离：d（A，B）＝|x1−x2|＋|y1−y2|及点B是函数y＝−2x＋4的图象上的一点，可得出方程组，解方程组即可求出点B的坐标；
（2）由条件知x＞0，根据题意得x+4x=3，整理得x2−3x＋4＝0，由△＜0可证得该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．
（3）根据条件可得|x|＋|x2−5x＋7|，去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值；
（4）以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝−x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处，可由d（O，P）≥d（O，E）证明结论即可．
【详解】解：（1）①由题意得：d（O，A）＝|0＋2|＋|0−1|＝2＋1＝3；
②设B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0−x|＋|0−y|＝3，
∵0≤x≤2，
∴x＋y＝3，
∴x＋y＝3y＝−2x＋4，
解得： x＝1，y＝2，
∴B（1，2），
（2）假设函数y=4xx>0的图像上存在点Cx，y，使dO，C=3.
根据题意，得x−0+4x−0=3.
因为x>0，所以4x>0, x−0+4x−0=x+4x.
所以x+4x=3.
方程两边乘x，得x2+4=3x.
整理，得x2−3x+4=0.
因为a=1，b=−3，c=4，b2−4ac=−32−4×1×4=−70的图像上不存在点C，使dO，C=3.
（3）设Dx，y.
根据题意，得dO，D=x−0+x2−5x+7−0=x+x2−5x+7.
因为x2−5x+7=x−522+34>0，又x⩾0，
所以dO，D=x+x2−5x+7=x+x2−5x+7=x2−4x+7=x−22+3.
所以当x=2时，dO，D有最小值3，此时点D的坐标是2， 1.
（4）如图，以M为原点，MN所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.将函数y=−x的图像沿y轴正方向平移.直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止.设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H.修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处.
理由：设过点E的直线l1与x轴相交于点F.在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线l2∥l1，l2与x轴相交于点G.因为∠EFH=45°，所以EH=HF，dO，E=OH+EH=OF.同理dO，P=OG.因为OG⩾OF，所以dO，P⩾dO，E.因此，上述方案修建的道路最短.
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及的知识点有新定义，解方程（组），二次函数的性质，一次函数与反比例函数等，涉及知识点较多，较为复杂，熟练掌握相关知识是解题关键．
【专项突破】深挖考点考向，揭示内涵实质
1．（2022•滨海县模拟）如图1，直线l：y＝kx+b（k＜0，b＞0）与x、y轴分别相交于A、B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A、B、D的抛物线W叫做直线l的关联抛物线，而直线l叫做抛物线W的关联直线．
（1）已知直线l1：y＝﹣3x+3，求直线l1的关联抛物线W1的表达式；
（2）若抛物线，求它的关联直线l2的表达式；
（3）如图2，若直线l3：y＝kx+4（k＜0），G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若，求直线l3的关联抛物线W3的表达式；
（4）在（3）的条件下，将直线CD绕着C点旋转得到新的直线l4：y＝mx+n，若点P（x1，y1）与点Q（x2，y2）分别是抛物线W3与直线l4上的点，当0≤x≤2时，|y1﹣y2|≤4，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）分别将x＝0、y＝0代入11：y＝﹣3x+3，求出B、A两点坐标，根据旋转的性质可得OD＝OB，由此求出D的坐标，再用待定系数法求W1的表达式；
（2）令y＝0，可求得A、D的坐标，结合旋转的性质求出B的坐标，再利用待定系数法求12的表达式；
（3）连接OG、OH，易得△OGH是等腰直角三角形，由此计算出OG，再由直角三角形斜边上的中线的性质可得AB的长，利用勾股定理求出OA，从而得点A的坐标，再利用待定系数法求W3的表达式；
（4）由（3）得C（0，2），故l4：y＝mx+2，当0≤x≤2时，|y1﹣y2|≤4，只需，|y1﹣y2|max≤4，分析抛物线W3与直线l4的位置关系，确定当0≤x≤2时，|y1﹣y2|≤的最大值在什么位置取得，从而对，|y1﹣y2|≤4进行转化，求出m的范围．
【解答】解：（1）11：y＝﹣3x+3，
∵当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3）；
当y＝0时，即﹣3x+3＝0，解得x＝1，
∴A（1，0），
由旋转的性质可知，OD＝OB＝3，
∴D（﹣3，0）．
设W1的解析式为y＝ax2+bx+c，
则，
解得：，
∴W1：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）W2：y＝﹣x2﹣x+2，
令y＝0，即﹣x2﹣x+2＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝1，
∴D（﹣2，0），A（1，0），
有旋转的性质可知，OB＝OD＝2．
∴B（0，2），
设l2的解析式为y＝k2x+b2，
则，
解得，
∴l2：y＝﹣2x+2；
（3）连接OG、OH，有旋转的性质可知OG＝OH，∠GOH＝90°，
∴△GOH是等腰直角三角形，
又∵MG＝MH，
∴MG＝OM＝，
在Rt△OGM中，OG＝＝，
在Rt△AOB中，AG＝BG，
∴AB＝2OG＝2，
13：y＝kx+4，当x＝0时，y＝4，
∴点B（0，4），即OB＝4．
由旋转的性质可知，OD＝OB＝4，
∴点D（﹣4，0）．
在Rt△AOB中，OA＝＝2，
∴A（2，0），
设W3的解析式为y＝a3x2+b3x+c3，
则，
解得，
∴W3：y＝﹣x2﹣x+4；
（4）由旋转的性质可知，OC＝OA＝2．
∴C（0，2），
∵l4：y＝mx+n经过点C（0，2），
∴n＝2，即l4：y＝mx+2．
根据题意可知，当0≤x≤2时，|y1﹣y2|≤4，
分析W3与l4的位置关系可知，只需当x＝2时，|y1﹣y2|≤4即可，
∴|（﹣22﹣2+4）﹣（2m+2）|≤4，即|2m+2|≤4，
∴﹣4≤2m+2≤4，
解得：﹣3≤m≤1．
∴m的取值范围是：﹣3≤m≤1．
【点评】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，待定系数法求一次函数、二次函数解析式，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，一元一次不等式，旋转的性质，二次函数的性质与应用，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点并灵活运用．
2．（2022•淮安二模）我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数y＝x2的图象上，存在一点P（﹣1，1），则P为二次函数y＝x2图象上的“互反点”．
（1）分别判断y＝﹣x+3、y＝x2+x的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由．
（2）如图①，设函数y＝（x＜0），y＝x+b的图象上的“互反点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为5时，求b的值；
（3）如图②，Q（m，0）为x轴上的动点，过Q作直线l⊥x轴，若函数y＝﹣x2+2（x≥m）的图象记为W1，将W1沿直线l翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）由定义可知，函数与y＝﹣x的交点即为“互反点”；
（2）求出A（﹣，），B（﹣b，b），可得S△ABC＝×|b|×|﹣b|＝5，求出b的值；
（3）函数y＝﹣x2+2关于直线x＝m的对称抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2m）2+2，联立方程组，当Δ＝0时，m＝﹣，因此当m＜﹣时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；函数y＝﹣x2+2与直线x＝m的交点为（m，﹣m2+2），当点（m，﹣m2+2）在直线y＝﹣x上时，解得m＝﹣1或m＝2，结合图象可知：﹣1＜m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”．
【解答】解：（1）y＝﹣x+3中，x+y＝3，
∴y＝﹣x+3的图象上不存在“互反点”；
y＝x2+x中，当y＝﹣x时，﹣x＝x2+x，
解得x＝0或x＝﹣2，
∴（0，0），（﹣2，2）是y＝x2+x的图象上的“互反点”；
（2）y＝（x＜0）中，当y＝﹣x时，﹣x＝，
解得x＝﹣，
∴A（﹣，），
y＝x+b中，当y＝﹣x时，﹣x＝x+b，
解得x＝﹣b，
∴B（﹣b，b），
∴BC＝|b|，
∴S△ABC＝×|b|×|﹣b|＝5，
解得b＝4或b＝﹣2；
（3）函数y＝﹣x2+2关于直线x＝m的对称抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2m）2+2，
由定义可知，“互反点”在直线y＝﹣x上，
联立方程组，
整理得x2﹣（4m+1）x+4m2﹣2＝0，
Δ＝（4m+1）2﹣4（4m2﹣2）＝0，
解得m＝﹣，
当m＜﹣时，y＝﹣（x﹣2m）2+2与y＝﹣x没有交点，此时y＝﹣x与y＝﹣x2+2有两个交点，
∴m＜﹣时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；
当x＝m时，y＝﹣m2+2，
∴函数y＝﹣x2+2与直线x＝m的交点为（m，﹣m2+2），
当点（m，﹣m2+2）在直线y＝﹣x上时，﹣m2+2＝﹣m，
解得m＝﹣1或m＝2
当m＝﹣1时，W1，W2两部分组成的图象上恰有3个“互反点”，
∴m＞﹣1时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；
当m＝2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有1个“互反点”，
∴m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；
∴﹣1＜m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；
综上所述：﹣1＜m＜2或m＜﹣时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，数形结合，分类讨论是解题的关键．
3．（2022•姑苏区校级模拟）平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．
如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C的“最佳三点矩形”．
如图2，已知M（4，1），N（﹣2，3），点P（m，n）．
（1）①若m＝2，n＝4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为 18 ，面积为 18 ；
②若m＝2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；
（2）若点P在直线y＝﹣2x+5上．
①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；
②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；
（3）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2+bx+c上，当且仅当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为12时，﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．
【分析】（1）①利用“最佳三点矩形”的定义求解即可，
②利用“最佳三点矩形”的定义求解即可；
（2）①利用“最佳三点矩形”的定义求得面积的最小值为12，
②由“最佳三点矩形”的定义求得正方形的边长为6，分别将y＝7，y＝﹣3代入y＝﹣2x+5，可得x分别为﹣1，5，点P的坐标为（﹣1，7）或（4，﹣3）；
（3）利用“最佳三点矩形”的定义画出图形，可分别求得解析式．
【解答】解：（1）①如图，画出点M，N，P的“最佳三点矩形”，可知矩形的周长为6+6+3+3＝18，
面积为3×6＝18；
故答案为：18，18．
②∵M（4，1），N（﹣2，3），
∴|xM﹣xN|＝6，|yM﹣yN|＝2．
又∵m＝2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24．
∴此矩形的邻边长分别为6，4．
∴n＝﹣1或5．
（2）如图，
①由图象可得，点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值为12；
分别将y＝3，y＝1代入y＝﹣2x+5，可得x分别为1，2；
结合图象可知：1≤m≤2；
②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，边长为6，
分别将y＝7，y＝﹣3代入y＝﹣2x+5，可得x分别为﹣1，4；
∴点P的坐标为（﹣1，7）或（4，﹣3）；
（3）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，经过点（﹣1，1），（1，1），（3，3），
∴，
，
∴y＝x2+，
同理抛物线经过点（﹣1，3），（1，3），（3，1），可求得抛物线的解析式为y＝﹣x2+，
∴抛物线的解析式y＝x2+或y＝﹣x2+．
【点评】本题主要考查了一次函数的综合题，涉及点的坐标，正方形及矩形的面积及待定系数法求函数解析式等知识，解题的关键是理解运用好“最佳三点矩形”的定义．
4．（2022•江都区一模）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2．
（1）函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤5）中是有上界函数的为 ② （只填序号即可），其上确界为 7 ；
（2）若反比例函数y＝（a≤x≤b，a＞0）的上确界是b+1，且该函数的最小值为2，求a、b的值；
（3）如果函数y＝﹣x2+2ax+2（﹣1≤x≤3）是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值．
【分析】（1）y＝x2+2x+1＝（x+1）2≥0，则函数是没有上界函数；y＝2x﹣3（x≤5）时y≤7，则函数是有上界函数，上确界为7；
（2）由题意可得≤y≤，则＝b+1，＝2，分别求出a、b即可；
（3）分三种情况讨论：①a≤﹣1时，1﹣2a＝6，解得a＝﹣；②a≥3时，6a﹣7＝6，解得a＝（舍）；③﹣1＜a＜3时，x＝a时，y有最大值a2+2，a2+2＝6，解得a＝2或a＝﹣2（舍）．
【解答】解：（1）∵y＝x2+2x+1＝（x+1）2，
∴y≥0，
∴y＝x2+2x+1没有上界函数；
∵y＝2x﹣3（x≤5），
∴y≤7，
∴y＝2x﹣3（x≤5）有上界函数，上确界为7，
故答案为：②，7；
（2）∵y＝（a≤x≤b，a＞0），
∴当x＝a时，y有最大值，当x＝b时，y有最小值，
∴≤y≤，
∵函数上确界是b+1，
∴＝b+1，
∵函数的最小值为2，
∴＝2，
∴b＝3，
∴a＝；
（3）∵y＝﹣x2+2ax+2＝﹣（x﹣a）2+a2+2，
∴当x＝a时，y有最大值a2+2，
①a≤﹣1时，x＝﹣1，y有最大值1﹣2a，
∵6为上确界，
∴1﹣2a＝6，
∴a＝﹣；
②a≥3时，x＝3时，y有最大值6a﹣7，
∵6为上确界，
∴6a﹣7＝6，
∴a＝（舍）；
③﹣1＜a＜3时，x＝a时，y有最大值a2+2，
∵6为上确界，
∴a2+2＝6，
∴a＝2或a＝﹣2（舍）；
综上所述：a的值为﹣或2．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，将所求问题转化为求二次函数的最大值问题是解题的关键．
5．（2022•如东县一模）定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“伴随函数”．
（1）函数y＝x+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 y＝x﹣1 ，函数y＝（x﹣2）2+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 y＝﹣（x+2）2﹣1 ；
（2）已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点P（m，3）互为“伴随函数”．若当m＜x＜7时，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围；
（3）已知点A（0，1），点B（4，1），点C（2，0），二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）结合新定义利用待定系数法解答即可；
（2）利用数形结合的方法结合图象，利用新定义的规定解得即可；
（3）利用分类讨论的方法分三种情况解答：①当“伴随函数”的顶点在AB上时，求得函数N的顶点坐标，利用对称性求得对称点的坐标，利用待定系数法即可求解；②当两个函数的交点在AB上时，利用两函数与x轴的交点坐标，求函数N的解析式，令y＝1，即可求得a值；③当“伴随函数”经过点B时，将坐标代入函数N的解析式即可确定a的取值范围．
【解答】解：（1）∵两个函数是关于原点O的“伴随函数”，
∴两个函数的点分别关于原点中心对称，
设函数y＝x+1上的任一点为（x，y），则它的对称点为（﹣x，﹣y），
将（﹣x，﹣y）代入函数y＝x+1得：
﹣y＝﹣x+1，
∴y＝x﹣1．
函数y＝x+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为y＝x﹣1；
同理可得，函数y＝（x﹣2）2+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为y＝﹣（x+2）2﹣1，
故答案为：y＝x﹣1；y＝﹣（x+2）2﹣1；
（2）如图，当m＜x＜7时，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，
∵“伴随函数”的开口方向向下，
∴在对称轴的左侧y随自变量x的增大而增大，
∴m＜7，同时“伴随函数”的对称轴应与直线x＝7重合或在直线x＝7的左侧，
∴m≥，
∴m≥4，
综上，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，m的取值范围为4≤m＜7；
（3）a的取值范围为a＝或a＝或a＞．理由：
①当“伴随函数”的顶点在AB上时，如图，
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为直线x＝1，
∵点C（2，0）为对称中心，
∴函数N的对称轴为直线x＝3，
∴函数N的顶点坐标为（3，1），
∵（3，1）关于点C（2，0）对称的点为（1，﹣1），
∴将（1，﹣1）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得：
a﹣2a﹣3a＝﹣1，
∴a＝；
②当两个函数的交点在AB上时，如图，
二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），
∵点C（2，0）为对称中心，
∴函数N与x轴的交点为（5，0）和（1，0），
∴函数N的解析式为y＝﹣ax2+6ax﹣5a，
当y＝1时，
，
解得：a＝；
③当“伴随函数”经过点B时，如图，
∵点B（4，1），
∴1＝﹣a×16+6a×4﹣5a，
解得：a＝．
综上，图形W与线段AB恰有2个公共点，a的取值范围为a＝或a＝或a＞．
【点评】本题主要考查了待定系数法，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，中心对称图形的性质，抛物线上点的坐标的特征，本题是新定义型题目，理解新定义并熟练应用以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．（2022•如皋市一模）定义：在平面直角坐标系中，点M（x1，y1），N（x2，y2），若x1﹣x2＝y1﹣y2，则称点M，N互为正等距点，|y1﹣y2|叫做点M，N的正等距．特别地，一个点与它本身互为正等距点，且正等距为0．例如，点（﹣2，3），（1，6）互为正等距点，两点的正等距为3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，1）．
（1）判断反比例函数y＝（x＜0）的图象上是否存在点A的正等距点？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由；
（2）若与点A的正等距等于4的点恰好落在直线y＝kx+2上，求k的值；
（3）若抛物线y＝﹣（x﹣a）（x﹣a﹣6）上存在点A的正等距点B，且点A，B的正等距不超过1，请直接写出a的取值范围．
【分析】（1）设所求点与点A（2，1）的正等距为m，则其坐标为（2﹣m，1﹣m），代入反比例函数的解析式，求出m即可；
（2）由正等距的定义可得出与A（2，1）的正等距等于4的点为（6，5）或（﹣2，﹣3），分别代入直线解析式即可得出结论；
（3）设所求点与点A（2，1）的正等距为t（0＜t≤1），则其正等距点B的坐标为（2﹣t，1﹣t）或（2+t，1+t），显然点B在直线y＝x﹣1上运动，令﹣（x﹣a）（x﹣a﹣6）＝x﹣1，整理得x2﹣（2a+2）x+a2+6a﹣4＝0，所以Δ＝（2a+2）2﹣4（a2+6a﹣4）≥0，则a≤，当a＝时，交点在2到3之间．再分情况讨论，进行计算即可．
【解答】解：（1）存在，理由如下：
设所求点与点A（2，1）的正等距为m，则其坐标为（2﹣m，1﹣m），
代入反比例函数的解析式y＝（x＜0），
∴（2﹣m）（1﹣m）＝2，
解得m＝3或m＝0（舍），
∴m＝3，
∴符合题意的点A的正等距点为（﹣1，﹣2）；
（2）由题意可知，与A（2，1）的正等距等于4的点为（6，5）或（﹣2，﹣3），
若（6，5）恰好落在直线y＝kx+2上，
∴6k+2＝5，解得k＝；
若（﹣2，﹣3）恰好落在直线y＝kx+2上，
∴﹣2k+2＝﹣3，解得k＝；
综上，k的值为或．
（3）设所求点与点A（2，1）的正等距为t（0≤t≤1），则其正等距点B的坐标为（2﹣t，1﹣t）或（2+t，1+t），
显然点B在直线y＝x﹣1上运动，
令﹣（x﹣a）（x﹣a﹣6）＝x﹣1，
整理得x2﹣（2a+2）x+a2+6a﹣4＝0，
∴Δ＝（2a+2）2﹣4（a2+6a﹣4）≥0，
∴a≤，
当a＝时，交点在2到3之间．
当点B的坐标为（2﹣t，1﹣t）时，点B在直线y＝x﹣1（1≤x≤2）上运动，
则有[﹣（2﹣a）（2﹣a﹣6）﹣1][﹣（1﹣a）（1﹣a﹣6）]≤0，
整理得（a+1）（a+5）（a2+2a﹣4）≤0，
∴﹣5≤a≤﹣1﹣或1≤a≤﹣1+；
同理，若当点B（2+t，1+t）时，点B在直线y＝x﹣1（2≤x≤3）上运动，
则有[﹣（2﹣a）（2﹣a﹣6）﹣1][﹣（3﹣a）（3﹣a﹣6）﹣2]≤0，
整理得（a+1）（a﹣1）（a2+2a﹣4）≤0，
∴﹣1≤a≤﹣1﹣或1≤a≤﹣1+；
当﹣1+≤a≤时，在2≤x≤3上，函数与直线有两个交点，符合题意；
综上，a的取值范围为：﹣5≤a≤﹣1或1≤a≤．
【点评】本题属于新定义类问题，涉及待定系数法求函数表达式，二次函数的性质，分类讨论思想等知识；第（3）问易错点，忽略在2≤x≤3上，存在函数与直线有两个交点，符合题意．
7．（2022•常州模拟）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2．
（1）函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤2）中是有上界函数的为 ② （只填序号即可），其上确界为 1 ；
（2）如果函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的上确界是b，且这个函数的最小值不超过2a+1，求a的取值范围；
（3）如果函数y＝x2﹣2ax+2（1≤x≤5）是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值．
【分析】（1）分别求出两个函数的最大值即可求解；
（2）由题意可知：﹣b+2≤y≤﹣a+2，再由﹣a+2＝b，﹣b+2≤2a+1，b＞a，即可求a的取值范围；
（3）当a≤1时，27﹣10a＝3，可得a＝2.4（舍）；当a≥5时，3﹣2a＝3，可得a＝0（舍）；当1＜a≤3时，27﹣10a＝3，可得a＝2.4；当3＜a＜5时，3﹣2a＝3，可得a＝0．
【解答】解：（1）①y＝x2+2x+1＝（x+1）2≥0，
∴①无上确界；
②y＝2x﹣3（x≤2），
∴y≤1，
∴②有上确界，且上确界为1，
故答案为：②，1；
（2）∵y＝﹣x+2，y随x值的增大而减小，
∴当a≤x≤b时，﹣b+2≤y≤﹣a+2，
∵上确界是b，
∴﹣a+2＝b，
∵函数的最小值不超过2a+1，
∴﹣b+2≤2a+1，
∴a≥﹣1，
∵b＞a，
∴﹣a+2＞a，
∴a＜1，
∴a的取值范围为：﹣1≤a＜1；
（3）y＝x2﹣2ax+2的对称轴为直线x＝a，
当a≤1时，y的最大值为25﹣10a+2＝27﹣10a，
∵3为上确界，
∴27﹣10a＝3，
∴a＝2.4（舍）；
当a≥5时，y的最大值为1﹣2a+2＝3﹣2a，
∵3为上确界，
∴3﹣2a＝3，
∴a＝0（舍）；
当1＜a≤3时，y的最大值为25﹣10a+2＝27﹣10a，
∵3为上确界，
∴27﹣10a＝3，
∴a＝2.4；
当3＜a＜5时，y的最大值为1﹣2a+2＝3﹣2a，
∵3为上确界，
∴3﹣2a＝3，
∴a＝0，
综上所述：a的值为2.4．
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键．
8．（2021•梁溪区校级二模）在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，规定：（1）符号[a，b，c]称为该抛物线的“抛物线系数”； （2）如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
完成下列问题：
（1）若一条抛物线的系数是[﹣1，0，m+1]，则此抛物线的函数表达式为 y＝﹣x2+m+1 （含参数m），当m满足 m≤﹣1 时，此抛物线没有“抛物线三角形”；
（2）若抛物线y＝x2+bx的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求出该抛物线的“抛物线系数”；
（3）若一条抛物线的系数是[a，﹣4a，c]（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴负半轴交于点C，顶点为D，已知S△ABD：S四边形ABCD＝1：4，且tan∠ACB＝．求该抛物线的函数关系式．
【分析】（1）由“抛物线系数”定义直接求解析式即可，再由题意可知y＝﹣x2+m+1与x轴没有两个不同的交点，则Δ＝4（m+1）≤0，求出m的取值范围即可；
（2）求出顶点为D（﹣，﹣），抛物线与x轴的两个交点为A（0，0），B（﹣b，0），则AB＝|b|，AD＝，BD＝，再由勾股定理AB2＝AD2+BD2，可得b2＝+，从而求出b＝2或b＝﹣2，即可求解；
（3）求出D（2，﹣4a+c），C（0，c），再由S△ABD：S四边形ABCD＝1：4，可得＝，解得c＝3a，由此可求A（1，0），B（3，0），过点A作AG⊥BC交于点G，再由tan∠ACB＝，设AG＝x，可得CG＝2x，AC＝x，在Rt△ABG中，BG＝，在Rt△OAC中，AC＝，5x2＝1+9a2，在Rt△BAC中，（2x+）2＝9a2+9，整理得（2x+）2＝8+5x2，解得x2＝2或x2＝，即可求a＝﹣1或a＝﹣，再求函数的解析式即可．
【解答】解：（1）∵抛物线的系数是[﹣1，0，m+1]，
∴y＝﹣x2+m+1，
∵抛物线没有“抛物线三角形”，
∴y＝﹣x2+m+1与x轴没有两个不同的交点，
∴Δ＝4（m+1）≤0，
∴m≤﹣1，
故答案为：y＝﹣x2+m+1，m≤﹣1；
（2）∵y＝x2+bx＝（x+）2﹣，
∴抛物线的顶点为D（﹣，﹣），
∵x2+bx＝0时，x＝0或x＝﹣b，
∴抛物线与x轴的两个交点为A（0，0），B（﹣b，0），
∴AB＝|b|，AD＝，BD＝，
∴AD＝BD，
∵“抛物线三角形”是等腰直角三角形，
∴∠ADB＝90°，
∴AB2＝AD2+BD2，
∴b2＝+，
∴b＝0（舍）或b＝2或b＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x或y＝x2﹣2x，
∴“抛物线系数”为[1，2，0]或[1，﹣2，0]；
（3）∵抛物线的系数是[a，﹣4a，c]，
∴y＝ax2﹣4ax+c（a＜0），
∵y＝ax2﹣4ax+c＝a（x﹣2）2﹣4a+c，
∴D（2，﹣4a+c），
令x＝0，则y＝c，
∴C（0，c），
∵C点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∵S△ABD：S四边形ABCD＝1：4，
∴＝，
∴c＝3a，
∴y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣1）（x﹣3），
∴A（1，0），B（3，0），
过点A作AG⊥BC交于点G，
∵tan∠ACB＝，
∴＝，
设AG＝x，
∴CG＝2x，
∴AC＝x，
在Rt△ABG中，BG＝，
在Rt△OAC中，AC＝，
∴5x2＝1+9a2，
在Rt△BAC中，（2x+）2＝9a2+9，
∴（2x+）2＝8+5x2，
解得x2＝2或x2＝，
∴a＝﹣1或a＝﹣，
∴y＝﹣x2+4x﹣3或y＝﹣x2+x﹣1．
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解新定义，能将所求将二次函数的知识相结合是解题的关键．
9．（2021•盐都区二模）将抛物线y＝ax2的图象（如图1）绕原点顺时针旋转90度后可得新的抛物线图象（如图2），记为C：y2＝x．
【概念与理解】
将抛物线y1＝4x2和y2＝x2按上述方法操作后可得新的抛物线图象，记为：C1： y2＝x ；C2： y2＝x ．
【猜想与证明】
在平面直角坐标系中，点M（x，0）在x轴正半轴上，过点M作平行于y轴的直线，分别交抛物线C1于点A、B，交抛物线C2于点C、D，如图3所示．
（1）填空：当x＝1时，＝ ；当x＝2时，＝ ；
（2）猜想：对任意x（x＞0）上述结论是否仍然成立？若成立，请证明你的猜想；若不成立，请说明理由．
【探究与应用】
（3）利用上面的结论，可得△AOB与△COD面积比为 ；
（4）若△AOB和△COD中有一个是直角三角形时，求△COD与△AOB面积之差；
【联想与拓展】
（5）若抛物线C3：y2＝mx、C4：y2＝nx（0＜m＜n），M（k，0）在x轴正半轴上，如图所示，过点M作平行于y轴的直线，分别交抛物线C3于点A、B，交抛物线C4于点C、D．过点A作x轴的平行线交抛物线C4于点E，过点D作x轴的平行线交抛物线C3于点F．对于x轴上任取一点P，均有△PAE与△PDF面积的比值1：3，请直接写出m和n之间满足的等量关系是 n3＝9m3 ．
【分析】【概念与理解】根据题干中所给定义可直接得出结论；
【猜想与证明】（1）把x＝1代入C1中可分别求出点A和点B的坐标，进而求出AB的长；把x＝1代入C2中可分别求出点C和点D的坐标，进而求出CD的长．
（2）利用（1）中思路可分别表达出AB和CD的长，再作商即可．
【探究与应用】
（3）△AOB和△COD中，高相同，面积比就等于底之比；
（4）需要分两种情况：①△AOB是直角三角形时；②当△COD中有一个是直角三角形时，再分情况讨论即可；
【联想与拓展】
（5）根据【探索与应用】中面积求法表示m和n，再根据△PAE与△PDF面积的比值1：3可得出结论．
【解答】解：【概念与理解】
根据题中的定义可知：C1：y2＝x；C2：y2＝x；
故答案为：y2＝x；y2＝x；
【猜想与证明】
（1）把x＝1代入C1中，得y2＝，
∴y＝±，
∴A（1，），B（1，﹣）．
∴AB＝1；
把x＝1代入C2中，得y2＝1，
∴y＝±1，
∴C（1，1），D（1，﹣1）．
∴CD＝2．
∴＝．
把x＝2代入C1中，得y2＝，
∴y＝±，
∴A（1，），B（1，﹣）．
∴AB＝；
把x＝2代入C2中，得y2＝2，
∴y＝±，
∴C（1，），D（1，﹣）．
∴CD＝2．
∴＝＝．
故答案为：；．
（2）成立，理由如下：
C1：y2＝x，x＞0，
∴y1＝；y2＝﹣．
∴A（x，），B（x，﹣）；
∴AB＝；
C2：y2＝x，x＞0，
∴y1＝；y2＝﹣；
∴A（x，），B（x，﹣）；
∴AB＝2；
＝＝．
【探究与应用】
（3）△AOB的面积＝h•AB；
△COD的面积＝h•CD，
∴S△AOB：S△COD＝h•AB：h•CD＝．
故答案为：．
（4）①△AOB是直角三角形时，
∵AM＝BM＝；
∴OM＝AM，
∴x＝，解得x＝或x＝0（舍去）；
∴OM＝，AB＝，CD＝1，
∴S＝S△COD﹣S△AOB＝××1﹣××＝；
当△COD中有一个是直角三角形时，
∵CM＝DM＝，
∴OM＝AM，则x＝，得x＝1或x＝0（舍去）；
∴OM＝1，AB＝1，CD＝2，
∴S＝S△COD﹣S△AOB＝×1×2﹣×1×1＝．
∴面积差为或；
【联想与拓展】
（5）由题意C3：y2＝mx、C4：y2＝nx（0＜m＜n），M（k，0）在x轴正半轴上，
当x＝k时，y2＝mk，y2＝nk，
解得y＝±或y＝±，
∴A（k，），B（k，﹣），C（k，），D（k，﹣），
∵AE∥x轴，DF∥x轴，
∴E（，），F（，﹣），
∴AE＝k﹣，DF＝﹣k，
∴S△PAE＝••（k﹣），S△PDF＝••（﹣k），
∵△PAE与△PDF面积的比值1：3，
∴[••（k﹣）]：[••（﹣k）]＝1：3，
整理得，n3＝9m3．
故答案为：n3＝9m3．
【点评】本题是在平面直角坐标系下考查新定义，主要考查函数图象上点的坐标特征，题目相对比较简单，关键是正确表达三角形的面积．
10．（2019•广陵区校级三模）【探究】如图1，点N（m，n）是抛物线上的任意一点，l是过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，过点N作直线NH⊥l，垂足为H．
①计算：m＝0时，NH＝ 1 ；m＝4时，NO＝ 5 ．
②猜想：m取任意值时，NO ＝ NH（填“＞”、“＝”或“＜”）．
【定义】我们定义：平面内到一个定点F和一条直线l（点F不在直线l上）距离相等的点的集合叫做抛物线，其中点F叫做抛物线的“焦点”，直线l叫做抛物线的“准线”．如图1中的点O即为抛物线y1的“焦点”，直线l：y＝﹣2即为抛物线y1的“准线”．可以发现“焦点”F在抛物线的对称轴上．
【应用】（1）如图2，“焦点”为F（﹣4，﹣1）、“准线”为l的抛物线与y轴交于点N（0，2），点M为直线FN与抛物线的另一交点．MQ⊥l于点Q，直线l交y轴于点H．
①直接写出抛物线y2的“准线”l： y＝﹣3 ；
②计算求值：＝ 1 ；
（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，半径为1的⊙O与x轴分别交于A、B两点（A在B的左侧），直线与⊙O只有一个公共点F，求以F为“焦点”、x轴为“准线”的抛物线的表达式．
【分析】（1）①根据勾股定理，可得ON的长，根据点到直线的距离，可得可得NH的长；
②根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据勾股定理，可得NO的长，根据点到直线的距离，可得NH的长；
（2）①根据抛物线的“准线”的定义即可得到抛物线y2的“准线”l；
②先求出MQ和NH的长，代入即可求解；
（2）分两种情况：①当“焦点”为，顶点为，C（2，0）时；②当“焦点”为，顶点为，C（﹣2，0）时；进行讨论可得以F为“焦点”、x轴为“准线”的抛物线的表达式．
【解答】解：（1）①当m＝0时，N（0，﹣1），ON＝1，NH＝﹣1﹣（﹣2）＝1；
当m＝4时，y＝3，N（4，3），ON＝＝5，NH＝3﹣（﹣2）＝3+2＝5，
故答案为：1；5；
（2）猜想：NO＝NH，
证明：如图1，NH交x轴与点Q，
∵N在y＝x2﹣1上，
∴设N（m，m2﹣1），NQ＝|m2﹣1|，OQ＝|m|，
∵△ONQ是直角三角形，
∴ON＝＝＝＝m2+1，
NH＝yN﹣（﹣2）＝（m2﹣1）﹣（﹣2）＝m2+1
ON＝NH．
故答案为：＝；
【应用】（1）①抛物线y2的“准线”l：y＝﹣3；
故答案为：y＝﹣3；
②＝+＝1；
故答案为：1；
（2）如图3，设直线与x轴相交于点C．
由题意可知直线CF切⊙O于F，连接OF．
∴∠OFC＝90°
∴∠COF＝60°
又∵OF＝1，
∴OC＝2，
∴C（±2，0），
∴“焦点”、．
∴抛物线y3的顶点为．
①当“焦点”为，顶点为，C（2，0）时，
则直线CF1：．
过点A作AM⊥x轴，交直线CF1于点M．
∴MA＝MF1，
∴在抛物线y3上．
设抛物线，将M点坐标代入可求得：，
∴；
②当“焦点”为，顶点为，C（﹣2，0）时，
由中心对称性可得：y3＝（x+）2+＝x2+x+．
综上所述：抛物线或y3＝x2+x+．
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用了勾股定理，点到直线的距离，线段中点的性质，线段的和差，抛物线的“焦点”，抛物线的“准线”的定义，分类思想的应用，利用的知识点较多，题目稍有难度．
11．（2022•武进区二模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图I，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形；
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上；
（3）如图3，已知四边形ABCD是以AB为邻余线的邻余四边形，AB＝15，AD＝6，BC＝3，∠ADC＝135°，求CD的长度．
【分析】（1）根据邻余四边形的定义证明结论即可；
（2）连接AB，在∠A+∠B＝90°的基础上选择合适的E点和F点连接作图即可；
（3）邻余四边形的定义可得∠H＝90°，由勾股定理可求解．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∴∠FAB与∠EBA互余，
∴四边形ABEF是邻余四边形；
（2）解：如图所示（答案不唯一），
（3）解：如图3，延长AD，CB交于点H，
∵四边形ABCD是以AB为邻余线的邻余四边形，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠ADC＝135°，
∴∠HDC＝45°，
∴∠HDC＝∠HCD＝45°，
∴CH＝DH，
∵AB2＝AH2+BH2，
∴225＝（6+DH）2+（3+DH）2，
∴DH＝6（负值舍去），
∴CD＝6．
【点评】本题是四边形综合题，考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，理解新定义并运用是解题的关键．
12．（2022•工业园区模拟）【理解概念】
如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图①，矩形ABDE即为△ABC的“矩形框”．
（1）三角形面积等于它的“矩形框”面积的 ；
（2）钝角三角形的“矩形框”有 1 个；
【巩固新知】
（3）如图①，△ABC的“矩形框”ABDE的边AB＝6cm，AE＝2cm，则△ABC周长的最小值为 （6+2） cm；
（4）如图②，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，求△ABC的“矩形框”的周长；
【解决问题】
（5）如图③，锐角三角形木板ABC的边AB＝14cm，AC＝15cm，BC＝13cm，求出该木板的“矩形框”周长的最小值．
【分析】（1）利用同底等高的面积关系求解即可；
（2）根据钝角三角形垂线的特点进行判断即可；
（3）作A点关于DE的对称点F，连接BF，则△ABC周长≥AC+BF，求出BF+AC即可求解；
（4）以三角形三边分别为矩形的一边作“矩形框”，分别求出周长即可；
（5）以三角形三边分别为矩形的一边作“矩形框”，分别求出周长，取最小值即可．
【解答】解：（1）∵S△ABC＝×AB×AE，S矩形ABDE＝AB×AE，
∴S△ABC＝S矩形ABDE，
故答案为：；
（2）由定义可知，钝角三角形以钝角所对的边为矩形一边，能够构造出一个“矩形框”，
故答案为：1；
（3）如图①，作A点关于DE的对称点F，连接BF，
∴CF＝AC，
∴AC+BC≥BF，
∴△ABC周长＝AB+AC+BC≥AC+BF，
∵AB＝6cm，AE＝2cm，
在Rt△ABF中，BF＝2，
∴△ABC周长的最小值（6+2）cm，
故答案为：（6+2）；
（4）如图②﹣1，以AB边为矩形一边时，作“矩形框”ABDE，
∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，
∴AB＝5cm，
∵S△ABC＝×3×4＝×5×AE，
∴AE＝，
∴矩形ABDE的周长＝2×（5+）＝（cm）；
如图②﹣2，以BC边为矩形一边时，作“矩形框”BCAF，
∴矩形BCAF的周长＝2×（3+4）＝14（cm）；
同理，以AB为矩形一边时，“矩形框”的周长为14cm；
综上所述：△ABC的“矩形框”的周长为cm或14cm；
（5）如图③﹣1，以AB为一边作“矩形框”ABDE，过点C作CG⊥AB交于G，
∴CG2＝AC2﹣AG2＝BC2﹣BG2，AG+BG＝AB，
又∵AB＝14cm，AC＝15cm，BC＝13cm，
∴AG＝9cm，BG＝5cm，
∴CG＝12cm，
∴“矩形框”ABDE的周长＝2×（14+12）＝52cm；
如图③﹣2，以BC为一边作“矩形框”BCNM，过点A作AH⊥CB交于H，
∵S△ABC＝×CG×AB＝×12×14＝×AH×BC，
∴AH＝cm，
∴“矩形框”BCNM的周长＝2×（13+）＝cm；
如图③﹣3，以AC为矩形一边，作“矩形框”ACTS，过点B作BK⊥AC交于点K，
∵S△ABC＝×CG×AB＝×12×14＝×BK×AC，
∴BK＝cm，
∴“矩形框”ACTS的周长＝2×（15+）＝cm；
∵＜52＜，
∴该木板的“矩形框”周长的最小值为cm．
【点评】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，直角三角形的性质，理解定义，能够分类构造“矩形框”是解题的关键．
13．（2022•姑苏区一模）定义：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．
（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，则∠B+∠C＝ 120 °；
（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO，在OA上取点E，使得DE＝OE，连接DE并延长交AC于点F，∠AED＝3∠EAF．求证：四边形BCFD是半对角四边形；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，OH＝2，DH＝6．
①连接OC，若将扇形OBC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 ；
②求△ABC的面积．
【分析】（1）利用半对角四边形的定义和四边形的内角和定理解答即可；
（2）连接OC，利用半对角四边形的定义分别计算∠ACB＝∠BDF和∠ABC＝∠DFC即可；
（3）①连接OC，通过计算的长度，利用圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，列出等式即可求解；
②过点O作OM⊥BC于点M，利用直角三角形的边角关系求得线段BC，HG的长，证明△BDG∽△BCA，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，通过计算△BDG的面积求得结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是半对角四边形，
∴∠B＝∠D，∠C＝∠A．
∴∠D＝2∠B，∠A＝2∠C．
∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
∴3∠B+3∠C＝360°，
∴∠B+∠C＝120°，
故答案为：120；
（2）证明：连接OC，如图，
在△BDE和△BOE中，
，
∴△BDE≌△BOE（SSS）．
∴∠BDF＝∠BOE．
∵∠ACB＝∠BOE，
∴∠ACB＝∠BDF．
设∠EAF＝α，则∠AED＝3α．
∵∠AED＝∠EAF+∠AFE，
∴∠AFE＝∠AED﹣∠EAF＝2α，
∴∠DFC＝180°﹣∠AFD＝180°﹣2α．
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠EAF＝α，
∴∠AOC＝180°﹣∠EAF﹣∠OCA＝180°﹣2α，
∴∠AOC＝∠DFC．
∵∠ABC＝∠AOC，
∴∠ABC＝∠DFC，
∴四边形BCFD是半对角四边形；
（3）解：①连接OC，如图，
四边形BCFD是半对角四边形，且∠ABC＝∠DFC，∠ACB＝∠BDF，
由（1）的方法可求得：∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°．
设⊙O的半径为r，则BD＝BO＝r，BH＝r﹣2，
在Rt△BDH中，
∵BD2＝BH2+DH2，
r2＝62+（r﹣2）2．
解得：r＝10．
∴BD＝BO＝10，BH＝BO﹣OH＝8．
∴扇形OBC的弧长＝＝，
设该圆锥的底面半径为x，
∴2πx＝，
∴x＝．
故答案为：；
②过点O作OM⊥BC于点M，
∵OB＝OC，∠BOC＝120°，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°．
∵OM⊥BC，
∴BM＝CM＝．
∵BM＝OB•cs30°＝5，
∴BC＝10．
在Rt△BGH中，
HG＝BH•tan30°＝8×＝．
∴DG＝DH+HG＝6+．
∵BH⊥DG，∠HBG＝30°，
∴∠BGD＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BGD＝∠BAC．
∵∠DBG＝∠CBA，
∴△BDG∽△BCA．
∴＝，
∴S△ABC＝3S△DBG＝3××DG•BH＝3××8×（6+）＝72+32．
【点评】本题主要考查了四边形的内角和定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理及其推论，勾股定理，解直角三角形，特殊角的三角函数值，圆锥的侧面展开图，扇形的弧长，相似三角形的判定与性质，垂径定理，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键．
14．（2021•新吴区二模）定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图a所示．
操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH．
操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF，BE上，折痕为CD．则四边形ABCD为矩形．
（1）证明：四边形ABCD为矩形；
（2）点M是边AB上一动点．
①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN．求tan∠OMN的值；
②若AM＝AD，点N在边BC上，当△DMN的周长最小时，求的值；
③连接CM，作BR⊥CM，垂足为R．若AB＝2，则DR的最小值＝ 2 ．
【分析】（1）先判断出∠DAG＝45°，进而判断出四边形ABCD是矩形，再求出AB：AD的值，即可得出结论；
（2）①如图b，先判断出四边形BQOP是矩形，进而得出，，再判断出Rt△QON∽Rt△POM，进而判断出＝．，即可得出结论；
②作M关于直线BC对称的点P，则△DMN的周长最小，判断出，得出AB＝CD＝a．进而得出BP＝BM＝AB﹣AM＝（﹣1）a．即可得出结论；
③先求出BC＝AD＝2，再判断出点R是BC为直径的圆上，即可得出结论．
【解答】证明：（1）设正方形ABEF的边长为a，
∵AE是正方形ABEF的对角线，
∴∠DAG＝45°，
由折叠性质可知AG＝AB＝a，∠FDC＝∠ADC＝90°，
则四边形ABCD为矩形，
∴△ADG是等腰直角三角形．
∴AD＝DG＝，
∴AB：AD＝a：＝：1．
∴四边形ABCD为矩形；
（2）①解：如图b，作OP⊥AB，OQ⊥BC，垂足分别为P，Q．
∵四边形ABCD是矩形，∠B＝90°，
∴四边形BQOP是矩形．
∴∠POQ＝90°，OP∥BC，OQ∥AB．
∴，．
∵O为AC中点，
∴OP＝BC，OQ＝AB．
∵∠MON＝90°，
∴∠QON＝∠POM．
∴Rt△QON∽Rt△POM．
∴＝．
∴tan∠OMN＝．
②解：如图c，作M关于直线BC对称的点P，连接DP交BC于点N，连接MN．
则△DMN的周长最小，
∵DC∥AP，
∴，
设AM＝AD＝a，则AB＝CD＝a．
∴BP＝BM＝AB﹣AM＝（﹣1）a．
∴＝＝2+，
③如备用图，
∵四边形ABCD为矩形，AB＝2，
∴BC＝AD＝2，
∵BR⊥CM，
∴点R在以BC为直径的圆上，记BC的中点为I，
∴CI＝BC＝1，
∴DR最小＝﹣1＝2
故答案为：2
【点评】此题相似形综合题，主要考查了新定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质和判定，利用对称性和垂线段最短确定出最小值是解本题的关键．
15．（2022•通州区一模）平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），给出如下定义：若x，y满足|xy|＝2|x|+2|y|，且xy≠0，则称点P为平衡点．例如，点是平衡点．
（1）P1（2，2）和P2（，﹣5）两点中，点 P2 是平衡点；
（2）若平衡点P在一次函数的图象上，求点P的坐标；
（3）如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OC＝6．反比例函数的图象交边BC于点D，交边AB于点E若D，E两点均为平衡点．求∠ODE的正切值．
【分析】（1）根据平衡点的定义判断即可．
（2）设P（a，﹣a+2）（a＜0），根据平衡点定义列等式，解方程即可求出a，即可得点P坐标．
（3）由OC＝6，可得D（，6），结合平衡点的定义，可得|k|＝2||+2×6，求得k＝18，即可得反比例函数解析式，令点E的坐标为（a，），a＞0，由点E为平衡点，可得18＝2a+，进而可得点D的坐标为（6，3）．过点E作EM⊥OD于点M，连接OE．结合＝S矩形ABCO﹣S△COD﹣S△BDE﹣S△AOE，可得出EM和DM，即可得出答案．
【解答】解：（1）对于P1（2，2），
∵|2×2|＝4，2×|2|+2×|2|＝8，4≠8，
∴P1不是平衡点．
对于P2（，﹣5），
∵，2×+2×|﹣5|＝，
∴P2是平衡点．
故答案为：P2．
（2）设P（a，﹣a+2）（a＜0），
则|a（﹣a+2）|＝2|a|+2|﹣a+2|，
整理得﹣a（﹣a+2）＝﹣2a+2（﹣a+2），
即+a﹣4＝0，
解得a＝﹣4或a＝2（舍去），
∴点P的坐标为（﹣4，4）．
（3）∵OC＝6，
∴点D的纵坐标为6，
将点y＝6代入反比例函数中，
得x＝，
则D（，6），
∵D为平衡点，
∴|k|＝2||+2×6，
由题意知k＞0，
∴k＝+12，
解得k＝18，
则反比例函数的解析式为（x＞0），
令点E的坐标为（a，），a＞0，
∵点E为平衡点，
∴18＝2a+，
解得a＝3或a＝6，
∴点E的坐标为（6，3）．
过点E作EM⊥OD于点M，连接OE．
∵OC＝OA＝6，BD＝BE＝AE＝3，
∴OD＝3，DE＝3，
∵＝S矩形ABCO﹣S△COD﹣S△BDE﹣S△AOE，
即＝36﹣9﹣﹣9，
解得EM＝．
∴DM＝＝，
∴tan∠ODE＝＝3．
故∠ODE的正切值为3．
【点评】本题考查新定义问题、反比例函数与一次函数交点问题，能正确理解新定义的内容是解答本题的关键．
16．（2022•淮安区模拟）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图1，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：
（1）can30°＝ ，若canB＝1，则∠B＝ 60 °．
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝48，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据定义，要求can30°的值，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据∠B＝30°，可得：BD＝AB，再利用等腰三角形的三线合一性质，求出BC即可解答，
根据定义，canB＝1，可得底边与腰相等，所以这个等腰三角形是等边三角形，从而得∠B＝60°；
（2）根据定义，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过点A作AD⊥BC，垂足为D，canB＝，所以设BC＝8x，AB＝5x，然后利用勾股定理表示出三角形的高，再利用S△ABC＝48，列出关于x的方程即可解答．
【解答】解：（1）如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD，
∵∠B＝30°，
∴BD＝ABcs30°＝AB，
∴BC＝2BD＝AB，
∴can30°＝＝＝，
若canB＝1，
∴canB＝＝1，
∴BC＝AB，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
故答案为：，60；
（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∵canB＝，
∴＝，
∴设BC＝8x，AB＝5x，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝4x，
∴AD＝＝3x，
∵S△ABC＝48，
∴BC•AD＝48，
∴•8x•3x＝48，
∴x2＝4，
∴x＝±2（负值舍去），
∴x＝2，
∴AB＝AC＝10，BC＝16，
∴△ABC的周长为36，
答：△ABC的周长为36．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质是解题的关键．
17．（2022•广陵区一模）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°的值为 B ．
A． B．1 C．D．2
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 0＜sadA＜2 ．
（3）已知sinA＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；
（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；
（3）作出直角△ABC，构造等腰三角形ACD，根据正对的定义解答．
【解答】解：（1）根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
则三角形为等边三角形，
则sad60°＝＝1．
故选B．
（2）当∠A接近0°时，sadA接近0，
当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．
于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．
故答案为0＜sadA＜2．
（3）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝．
在AB上取点D，使AD＝AC，
作DH⊥AC，H为垂足，令BC＝3k，AB＝5k，
则AD＝AC＝＝4k，
又∵在△ADH中，∠AHD＝90°，sinA＝．
∴DH＝ADsinA＝k，AH＝＝k．
则在△CDH中，CH＝AC﹣AH＝k，CD＝＝k．
于是在△ACD中，AD＝AC＝4k，CD＝k．
由正对的定义可得：sadA＝＝．
【点评】此题是一道新定义的题目，考查了正对这一新内容，要熟悉三角函数的定义，可进行类比解答．
18．（2022•盐城一模）对于平面内的两点K、L，作出如下定义：若点Q是点L绕点K旋转所得到的点，则称点Q是点L关于点K的旋转点；若旋转角小于90°，则称点Q是点L关于点K的锐角旋转点．如图1，点Q是点L关于点K的锐角旋转点．
（1）已知点A（4，0），在点Q1（0，4），Q2（2，），Q3（﹣2，），Q4（，﹣2）中，是点A关于点O的锐角旋转点的是 Q2，Q4 ．
（2）已知点B（5，0），点C在直线y＝2x+b上，若点C是点B关于点O的锐角旋转点，求实数b的取值范围．
（3）点D是x轴上的动点，D（t，0），E（t﹣3，0），点F（m，n）是以D为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足n≥0．若直线y＝2x+6上存在点F关于点E的锐角旋转点，请直接写出t的取值范围．
【分析】（1）如图中，满足条件的点在半圆上（不包括点A以及y轴上的点），点Q2，Q4满足条件．
（2）如图中，以O为圆心，3为半径作半圆，交y轴于P（0，3），P′（0，﹣3）当直线y＝2x+b与半圆有交点（不包括P，B）时，满足条件．
（3）根据题意，点F关于点E的锐角旋转点在半圆E上，设点P在半圆S上，点Q在半圆T上（将半圆D绕点E旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分，求出图3（2），图3（3）中，t的值，可得结论．
【解答】解：（1）如图，∵A（4，0），Q1（0，4），
∴OA＝OQ1＝4，∠AOQ1＝90°，
∴点Q1不是点A关于点O的锐角旋转点；
∵Q2（2，），作Q2F⊥x轴于点F，
∴OQ2＝＝＝4＝OA，
∵tan∠Q2OF＝＝，
∴∠Q2OF＝60°，
∴点Q2是点A关于点O的锐角旋转点；
∵Q3（﹣2，），作Q3G⊥x轴于点G，
则tan∠Q3OG＝＝＝，
∴∠Q3OG＝60°，
∴OQ3＝＝＝4＝OA，
∵∠AOQ3＝180°﹣60°＝120°，
∴Q3不是点A关于点O的锐角旋转点；
∵Q4（，﹣2），作Q4H⊥x轴于点H，
则tan∠Q4OH＝＝＝1，
∴∠Q4OH＝45°，
∵OQ4＝＝＝4＝OA，
∴Q4是点A关于点O的锐角旋转点；
综上所述，在点Q1，Q2，Q3，Q4中，是点A关于点O的锐角旋转点的是Q2，Q4，
故答案为：Q2，Q4．
（2）在y轴上取点P（0，5），当直线y＝2x+b经过点P时，可得b＝5，
当直线y＝2x+b经过点B时，则2×5+b＝0，
解得：b＝﹣10，
∴当﹣10＜b＜5时，OB绕点O逆时针旋转锐角时，点C一定可以落在某条直线y＝2x+b上，
过点O作OG⊥直线y＝2x+b，垂足G在第四象限时，如图，
则OT＝﹣b，OS＝﹣b，
∴ST＝＝＝﹣b，
当OG＝5时，b取得最小值，
∵5×（﹣b）＝﹣b×（﹣b），
∴b＝﹣5，
∴﹣5≤b＜5．
（3）根据题意，点F关于点E的锐角旋转点在半圆E上，设点P在半圆S上，点Q在半圆T上（将半圆D绕点E旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分，
如图3（2）中，阴影部分与直线y＝2x+6相切于点G，tan∠EMG＝2，SG＝3，过点G作GI⊥x轴于点I，过点S作SJ⊥GI于点J，
∴∠SGJ＝∠EMG，
∴tan∠SGJ＝tan∠EMG＝2，
∴GJ＝，SJ＝，
∴GI＝GJ+JI＝3+，
∴MI＝GI＝+，
∴OE＝IE+MI﹣OM＝﹣，即xE＝t﹣3＝﹣，
解得t＝+，
如图3（3）中，阴影部分与HK相切于点G，tan∠OMK＝tan∠EMH＝2，EH＝6，则MH＝3，EM＝3，
∴xE＝t﹣3＝﹣3﹣3，
解得t＝﹣3，
观察图象可知，﹣3≤t＜3++．
【点评】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，点P是点M关于点N的锐角旋转点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于压轴题．
19．（2022•钟楼区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A（0，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1），D（1，0）．对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P，Q两点间
的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d（M）．
已知点E（3，0）．
①直接写出d（点E）的值；
②过点E画直线y＝kx﹣3k与y轴交于点F，当d（线段EF）取最小值时，求k的取值范围；
③设T是直线y＝﹣x+3上的一点，以T为圆心，长为半径作⊙T．若d（⊙T）满足d（⊙T）＞+，直接写出圆心T的横坐标x的取值范围．
【分析】①由定义可知d（点E）＝BE＝4；
②由题意可知d（线段EF）的最小值＝d（点E）＝4，当d（点F）＝4时，F（0，3）或（0，﹣3），分别求出相应的k的值，则可求﹣1≤k≤1；
③由②可知，d（点E）＝d（点F）＝4＜，D点T在第二象限或第四象限，设T（x，﹣x+3），当T点在第二象限时，TC＝时，x＝2﹣；当T点在第四象限时，TB＝时，x＝1+；即可求x＞1+或x＜2﹣时满足题意．
【解答】解：①∵E（3，0），B（﹣1，0），
∴d（点E）＝BE＝4；
②∵d（线段EF）取最小值，
∴d（线段EF）的最小值＝d（点E）＝4，
∴d（点F）≤4，
当d（点F）＝4时，F（0，3）或（0，﹣3），
当F（0，3）时，k＝﹣1，
当F（0，﹣3）时，k＝1，
∴﹣1≤k≤1；
③由②可知，d（点E）＝d（点F）＝4＜，
∴D点T在第二象限或第四象限，
设T（x，﹣x+3），
当T点在第二象限时，TC＝时，x2+（﹣x+3+1）2＝，
解得x＝2﹣或x＝2+（舍）；
当T点在第四象限时，TB＝时，（x+1）2+（﹣x+3）2＝，
解得x＝1+或x＝1﹣（舍）；
∵d（⊙T）＞+，
∴x＞1+或x＜2﹣．
【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握一次函数的图象及性质，圆的性质，正方形的性质，弄清定义，数形结合解题是关键．
20．（2022•常州一模）对于平面直角坐标系xOy中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P、Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M、N间的“图距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．
（1）d（点O，△ABC）；
（2）线段L是直线y＝x（﹣2≤x≤2）上的一部分，若d（L，△ABC）＝1，且L的长度最长时，求线段L两个端点的横坐标；
（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）＝1，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）画出图形，结合定义即可求解；
（2）线段L上点R（﹣1，﹣1）到△ABC的边AB的距离是1，到边BC的距离是1；过点S作SH∥x轴交AC于点H，直线y＝x交线段AC于点G，过G点作GW⊥GH交于W，求出直线AC与直线y＝x的交点G（2，2），在等腰直角三角形△SGH中，求出GW＝，则可求S（2﹣，2﹣），即可求解；
（3）分三种情况讨论：①当⊙T在△ABC的左侧时，T（﹣4，0）；②当⊙T在△ABC内部时，当T点与O点重合时，满足题意；过T点作TM⊥AC交于M，设直线AC与x轴交点为N，则△PMN是等腰直角三角形，求出T（4﹣2，0），可得0≤t≤4﹣2时，若d（⊙T，△ABC）＝1；③当⊙T在△ABC右侧时，过T点作TK⊥AC交于K，同②可求T（4+2，0），则t＝﹣4或0≤t≤4﹣2或t＝4+2时，d（⊙T，△ABC）＝1．
【解答】解：（1）如图1，点O到△ABC的最短距离为2，
∴d（点O，△ABC）＝2；
（2）如图2，∵AB＝8，BC＝8，
∴∠A＝∠C＝45°，
∵y＝x是第一、三象限的角平分线，
∴直线y＝x垂直线段AC，
线段L上点R（﹣1，﹣1）到△ABC的边AB的距离是1，到边BC的距离是1，
设线段L上点S到线段AC的距离为1，
过点S作SH∥x轴交AC于点H，直线y＝x交线段AC于点G，过G点作GW⊥GH交于W，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+4，
联立方程组，
解得
∴G（2，2），
∴△SGH是等腰直角三角形，
∵SG＝1，
∴GW＝，
∴S（2﹣，2﹣），
∴线段SR的长是线段L长的最大值，
此时线段L的两个端点横坐标为﹣1，2﹣；
（3）①当⊙T在△ABC的左侧时，
∵d（⊙T，△ABC）＝1，⊙T的半径为1，
∴T（﹣4，0），
∴t＝﹣4；
②当⊙T在△ABC内部时，
如图3，当T点与O点重合时，d（⊙T，△ABC）＝1，
此时t＝0，
如图4，过T点作TM⊥AC交于M，设直线AC与x轴交点为N，
∵AB＝8，BC＝8，
∴∠A＝∠C＝45°，
∴∠MNP＝45°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∵TM＝2，
∴TN＝2，
∴T（4﹣2，0），
∴t＝4﹣，
∴0≤t≤4﹣2时，若d（⊙T，△ABC）＝1；
③如图5，当⊙T在△ABC右侧时，过T点作TK⊥AC交于K，
由②可知△KTN是等腰直角三角形，
∵TK＝2，
∴TN＝2，
∴T（4+2，0），
∴t＝4+2；
综上所述：t＝﹣4或0≤t≤4﹣2或t＝4+2．
【点评】本题是圆的综合题，熟练掌握圆的性质，直角三角形的性质，一次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
21．（2022•秦淮区二模）【概念认识】
与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆．
【初步理解】
（1）如图①～③，四边形ABCD是矩形，⊙O1和⊙O2都与边AD相切，⊙O2与边AB相切，⊙O1和⊙O3都经过点B，⊙O3经过点D，3个圆都经过点C．在这3个圆中，是矩形ABCD的第Ⅰ类圆的是 ① ，是矩形ABCD的第Ⅱ类圆的是 ② ．
【计算求解】
（2）已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，直接写出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长．
【深入研究】
（3）如图④，已知矩形ABCD，用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）
①作它的1个第Ⅰ类圆；
②作它的1个第Ⅱ类圆．
【分析】（1）由定义直接判断即可；
（2）第Ⅰ类圆分两种情况求：当AD＝6，AB＝4时和AD＝4，BC＝6时；第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆都利用勾股定理和垂径定理求解即可；
（3）第一步：作∠BAD的平分线；第二步：在角平分线上任取点E，过点E作EF⊥AD，垂足为点F；第三步：以点E为圆心，EF为半径作圆E，交AC于点G，连接FG；第四步过点C作CH∥FG，CH交AD于点H；第五步过点H作AD的垂线，交∠BAD的平分线于点O；第六步：以点O为圆心，OH为半径的圆，⊙O即为所求第Ⅱ类圆．
【解答】解：（1）由定义可得，①的矩形有一条边AD与⊙O1相切，点B、C在圆上，
∴①是第Ⅰ类圆；
②的矩形有两条边AD、AB与⊙O2相切，点C在圆上，
∴②是第Ⅱ类圆；
故答案为：①，②；
（2）如图1，设AD＝6，AB＝4，切点为E，过点O作EF⊥BC交BC于F，交AD于E，连接BO，
设BO＝r，则OE＝r，OF＝4﹣r，
由垂径定理可得，BF＝CF＝3，
在Rt△BOF中，r2＝（4﹣r）2+32，
解得r＝；
如图2，设AD＝4，BC＝6，切点为E，过点O作EF⊥BC交BC于F，交AD于E，连接BO，
设BO＝r，则OE＝r，OF＝6﹣r，
由垂径定理可得，BF＝CF＝2，
在Rt△BOF中，r2＝（6﹣r）2+22，
解得r＝；
综上所述：第Ⅰ类圆的半径是或；
如图3，AD＝6，AB＝4，过点O作MN⊥AD交于点M，交BC于点N，连接OC，
设AB边与⊙O的切点为G，连接OG，
∴GO⊥AB，
设OM＝r，则OC＝r，则ON＝4﹣r，
∵OG＝r，
∴BN＝r，
∴NC＝6﹣r，
在Rt△OCN中，r2＝（4﹣r）2+（6﹣r）2，
解得r＝10﹣4，
∴第Ⅱ类圆的半径是10﹣4；
（3）①如图4，
第一步，作线段AD的垂直平分线交AD于点E，
第二步，连接EC，
第三步，作EC的垂直平分线交EF于点O，
第四步，以O为圆心，EO为半径作圆，
∴⊙O即为所求第Ⅰ类圆；
②如图5，
第一步：作∠BAD的平分线；
第二步：在角平分线上任取点E，过点E作EF⊥AD，垂足为点F；
第三步：以点E为圆心，EF为半径作圆E，交AC于点G，连接FG；
第四步：过点C作CH∥FG，CH交AD于点H；
第五步：过点H作AD的垂线，交∠BAD的平分线于点O；
第六步：以点O为圆心，OH为半径的圆，⊙O即为所求第Ⅱ类圆．

【点评】本题考查圆的性质和相关计算，理解定义，熟练掌握垂径定理，线段的垂直平分线性质，勾股定理是解题的关键．
22．（2022•常熟市模拟）定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在直线相切的圆称为这个三角形的切圆，相切的边称为这个圆的切边．
（1）如图1，△ABC中，AB＝CB，∠A＝30°，点O在AC边上，以OC为半径的⊙O恰好经过点B，求证：⊙O是△ABC的切圆．
（2）如图2，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的切圆，且另外两条边都是⊙O的切边，求⊙O的半径．
（3）如图3，△ABC中，以AB为直径的⊙O恰好是△ABC的切圆，AC是⊙O的切边，⊙O与BC交于点F，取弧BF的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于点H，若CF＝8，BF＝10，求AC和EH的长．
【分析】（1）连接OB，说明AB是圆的切线即可利用新定义得出结论；
（2）利用分类讨论的方法分两种情况解答：①当圆心O在BC边上，⊙O与AB，AC边相切于点M，N时，连接OA，OM，ON，利用切线长定理和切线的性质定理，和相似三角形的判定定理与性质求得线段DM，再利用勾股定理即可求出圆的半径；②当圆心O在AC边上，⊙O与AB，BC边相切于点M，N时，连接OM，ON，BO，过点A作AH⊥BC于点H，利用切线的性质定理和三角形的面积公式，设OM＝ON＝r，列出方程即可求解；
（3）连接AF，利用直径所对的圆周角为直角和切线的性质定理证明得到△ACF∽△BAF，利用相似三角形的性质求的AF，利用勾股定理求得AC；利用角平分线的性质求得EF，BE，再利用平行线分线段成比例定理即可求得EH．
【解答】（1）证明：连接OB，如图，
∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠A＝∠C＝30°．
∴∠CAB＝180°﹣∠A﹣∠C＝120°．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C＝30°．
∴∠OBA＝∠CBA﹣∠OBC＝90°．
即OB⊥BA．
∵OB是圆的半径，
∴AB与⊙O相切．
∵圆心O在AC边上，
∴⊙O是△ABC的切圆；
（2）解：①当圆心O在BC边上，⊙O与AB，AC边相切于点M，N时，
连接OA，OM，ON，如图，
∵AB，AC是⊙O的切线，
∴OM⊥AB，ON⊥AC，AO平分∠BAC．
∵AB＝AC，
∴AO⊥BC，OB＝OC＝BC＝3．
∵AO⊥BO，OM⊥AB，
∴△BOM∽△BAO．
∴．
∴．
∴BM＝．
∴OM＝＝；
②当圆心O在AC边上，⊙O与AB，BC边相切于点M，N时，
连接OM，ON，BO，过点A作AH⊥BC于点H，如图，
设OM＝ON＝r，
∵AB，BC是⊙O的切线，
∴OM⊥AB，ON⊥BC．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝BC＝3，
∴AH＝＝4．
∴×BC•AH＝×6×4＝12．
∵S△ABC＝S△ABO+S△CBO，
∴×AB•r+×BC•r＝12．
∴＝12．
∴r＝．
综上，⊙O的半径为或；
（3）解：连接AF，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴AF⊥BC．
∵⊙O是△ABC的切圆，AC是⊙O的切边，
∴AB⊥AC．
∴△ACF∽△BAF．
∴．
∴．
∴AF＝4．
∴AC＝＝12，
AB＝＝6．
∵D是弧BF的中点，
∴∠FAD＝∠BAD．
∴＝．
设FE＝2k，则BE＝3k，
∵BF＝FE+BE＝10，
∴2k+3k＝10．
∴k＝2．
∴EF＝4，BE＝6．
∵EH⊥AB，AC⊥AB，
∴EH∥AC．
∴．
∴．
∴EH＝4．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，圆的切线的判定与性质，切线长定理，勾股定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，圆周角定理及其推论，角平分线的性质，连接过切点的半径是常添加的辅助线，本题是新定义型题目，连接并熟练应用新定义是解题的关键．
23．（2021•工业园区校级二模）如果三角形的两个内角a与β叫满足2a+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝ 15° ．
（2）如图（1），AB是半圆的直径，AB＝10，BC＝6，C是半圆上的点，D是上的点，BD交AC于点E．
①若D是的中点．则图中共有 3 对“准互余三角形”；
②当△DEC是“准互余三角形”时，求CE的长；
③如图（2）所示，若F是上的点（不与B、C重合），G为射线AF上一点，且满足∠CBG＝2∠CAB．当△ABG是“准互余三角形”时，求AG的长．
【分析】（1）根据准互余的定义，易知∠B＝15°；
（2）①根据同弧所对的圆周角相等，推导出∠ABC＝2∠ABD，再由∠ACB＝90°，可得∠CAB+∠CBA＝∠CAB+2∠ABD＝90°，从而得到△ABE是“准互余三角形”；再由△DCE∽△ABE可得△DCE是“准互余三角形”；
②设∠EDC+2∠ECD＝90°，证明△BCE∽△ACB，即可求CE＝；
③将△ABC沿AB翻折得到△ABC′，可证明C′、B、G三点共线，再证明△AC′B∽△GC′A，即可求AG＝．
【解答】解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”．∠C＞90°，∠A＝60°，
∴60°+2∠B＝90°，
∴∠B＝15°；
故答案为：15°；
（2）①∵D是的中点，
∴＝，
∴∠CBD＝∠ABD＝∠CAD＝∠ACD，
∴∠ABC＝2∠ABD，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝∠CAB+2∠ABD＝90°，
∴△ABE是“准互余三角形”；
∵△ABE∽△DCE，
∴△DCE是“准互余三角形”；
∵∠DCA＝∠ABD＝∠DBC，∠CDE＝∠CDB，
∴△DCE∽△DBC，
∴△DBC是“准互余三角形”；
故答案为：3；
②如图1中，过点E作EM⊥AB于点M，则△BEC≌△BEM，
∴EC＝EM，BC＝BM＝6，
∵AB＝10，
∴AM＝4，
设EC＝EM＝x，则有（8﹣x）2＝x2+42，
∴x＝3，
∴EC＝3，
∵△DEC是“准互余三角形”，
∴满足条件，EC＝3．
如图（2）中，∵△DEC是“准互余三角形”，
设∠EDC+2∠ECD＝90°，
∵＝，
∴∠ABD＝∠ACD，
∵＝，
∴∠BDC＝∠CAB，
∵△ABC是“准互余三角形”，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴△BCE∽△ACB，
∴＝，
∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，
∴CE＝．
综上所述，满足条件的EC的值为3或．
综上所述：CE的长为3或；
③将△ABC沿AB翻折得到△ABC′，
∴∠CAB＝∠BAC'，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AC'B＝90°，
∴∠ABC'＝90°﹣∠BAC，
∵∠CBG＝2∠CAB，
∴∠C'BG＝2（90°﹣∠CAB）+2∠CAB＝180°，
∴C′、B、G三点共线，
∵△ABG是“准互余三角形”，
∴∠BAG+2∠AGB＝90°，
∴∠BGF＝45°﹣∠GAB，
∵∠CBG＝2∠CAF+2∠GAB，
∴45°﹣∠GAB+2∠CAF+2∠GAB＝90°+∠CAF，
∴45°﹣∠GAB＝∠CAF+∠GAB＝∠CAB＝∠C'AB，
∴△AC′B∽△GC′A，
∴＝，即＝，
∴AG＝．
【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆周角定理，三角形相似的判定及性质，理解新定义是解题的关键．
24．（2021•常州一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是，A，B为⊙O外两点，AB＝2．给出如下定义：平移线段AB，使平移后的线段A′B′成为⊙O的弦（点A′，B′分别为点A，B的对应点），线段AA′长度的最小值成为线段AB到⊙O的“优距离”．
（1）如图1，⊙O中的弦P1P2、P3P4是由线段AB平移而得，这两条弦的位置关系是 平行 ；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点 P2 的线段长度等于线段AB到⊙O的“优距离”；
（2）若点A（0，7），B（2，5），线段AA′的长度是线段AB到⊙O的“优距离”，则点A′的坐标为 （1，3） ；
（3）如图2，若A，B是直线y＝﹣x+6上两个动点，记线段AB到⊙O的“优距离”为d，则d的最小值是 ；请你在图2中画出d取得最小值时的示意图，并标记相应的字母．
【分析】（1）根据平移的性质，可以得到AB∥P1P2∥P3P4，由图可以得到AP2的长度等于线段AB到⊙O的“优距离”；
（2）根据定义和（1）提示，可以知道，平移AB，使对应点落在圆上，即在圆上满足AB∥A′B′，AB＝A′B′，这样的A′B′只有两条，别切位于圆心两侧，根据题意画出草图，可以得到如图1的位置，线段AA′是线段AB到⊙O的优距离，利用A和B坐标，求出直线AB解析式，从而得到直线A′B′的比例系数k＝﹣1，同时可以得到△AOM为等腰直角三角形，因为A′B′＝2，过O作OH⊥A′B′，利用垂径定理和勾股定理，求出OH＝2，利用∠AMO＝45，得到△OTM为等腰直角三角形，过H作HE⊥x轴于E点，从而可以求得H（2，2），得到直线A′B′解析式为y＝﹣x+4，设A′（a，﹣a+4），过A′作A′F⊥x轴于F，在Rt△A′OF中，利用勾股定理，列出方程即可求解；
（3）由（2）可知，AB经过平移，对应点落在圆上，AB∥A′B′，AB＝A′B′，符合条件的A′B′只有两条，并且位于O点两侧，如图2，根据垂线段最短，当AA′⊥AB时，d最小，过O作OH⊥A′B′，分别交A′B′于H，交AB于T，用（2）中方法求解OH和OT，得到HT的长度，即可解决．
【解答】解：（1）∵AB平移得到P1P2，
∴AB∥P1P2，
同理，AB∥P3P4，
∴P1P2∥P3P4，
由图可得，连接点A与点P2的线段长度等于线段AB到⊙O的“优距离”，
故答案为：平行，P2，；
（2）如图1，过B作BG⊥y轴于G，则G（0，5），
∴AG＝BG＝2，∠GAB＝∠GBA＝45°，
∴AB＝，
设直线AB为y＝kx+7，代入点B，得k＝﹣1，
∴直线AB为y＝﹣x+7，
设直线AB交x轴于M，
∵BG⊥y轴，
∴BG∥x轴，
∴∠AMO＝∠GBA＝45°，
由（1）可得，平移AB，使对应点落在⊙上，此时AB∥A′B′，且AB＝A′B′，
这样的对应线段有两条，分别位于圆心O点两侧，
所以当A′在如图位置时，线段AA′的长度是AB到⊙O的“优距离”，
过O作OH⊥A′B′，分别交A′B′于H，交AM于T
∵A′B′∥AM，
∴∠OHB′＝∠OTM＝90°，
∴∠TOM＝90°﹣∠AMO＝45°，
连接A′O，
∵OH⊥A′B′，
∴A′H＝B′H＝，
在Rt△A′OH中，，
过H作HE⊥x轴于E，
∵sin∠TOM＝sin45°＝，
∴HE＝OE＝2，
∴H（2，2），
∵AB∥A′B′，
∴设直线A′B′为y＝﹣x+m，代入点H，得m＝4，
∴直线A′B′为y＝﹣x+4，
设A′（a，﹣a+4），过A′作A′F⊥x轴于F，
在Rt△A′OF中，A′O2＝OF2+A′F2，
∴a2+（﹣a+4）2＝10，
∴a＝1或3，
∵，
∴a＝1，
∴A′（1，3），
故答案为：（1，3）；
（3）由（2）可知，AB经过平移，对应点落在圆上，AB∥A′B′，AB＝A′B′，
符合条件的A′B′只有两条，并且位于O点两侧，
如图2，根据垂线段最短，当AA′⊥AB时，d最小，
∵AB∥A′B′，AB＝A′B′，
∴四边形AA′B′B为平行四边形，
∵AA′⊥AB，
∴▱AA′B′B为矩形，
∴A′B′＝AB＝，
令x＝0，则y＝﹣x+6＝6，
∴N（0，6），
同理，M（6，0），
∴OM＝ON＝6，
∴△MON为等腰直角三角形，
过O作OH⊥A′B′，分别交A′B′于H，交AB于T，连接OA′，
∴A′H＝B′H＝，
在Rt△A′OH中，OH＝，
∵AB∥A′B′，
∴∠OTM＝∠OHB′＝90°，
∴OT⊥MN，
又△MON是等腰直角三角形，
∴OT＝，
∴，
∵A′A⊥AB，OT⊥AB，
∴AA′∥OT，
又AB∥A′B′，
∴四边形A′ATH为平行四边形，
∴d＝AA′＝HT＝，
即d的最小值为．
【点评】本题是以圆为背景的新定义题目，能在题目中提炼出定义的内容，是本题的突破口，借助特殊三角形和勾股定理，垂径定理，求解相关的线段和角度，是解决此类问题的基本功．
25．（2021•建邺区二模）【概念学习】
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，若⊙O平移d个单位后，使某图形上所有点在⊙O内或⊙O上，则称d的最小值为⊙O对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图①，A（3，0），B（4，0），则⊙O对线段AB的“最近覆盖距离”为3．
【概念理解】
（1）⊙O对点（3，4）的“最近覆盖距离”为 4 ．
（2）如图②，点P是函数y＝2x+4图象上一点，且⊙O对点P的“最近覆盖距离”为3，则点P的坐标为 （0，4）或（﹣，﹣） ．
【拓展应用】
（3）如图③，若一次函数y＝kx+4的图象上存在点C，使⊙O对点C的“最近覆盖距离”为1，求k的取值范围．
（4）D（3，m）、E（4，m+1），且﹣4＜m＜2，将⊙O对线段DE的“最近覆盖距离”记为d，则d的取值范围是 3≤d＜3 ．
【分析】（1）由题意即可求解；
（2）由题意可知，P到圆的最小距离为3，即P到圆心的距离为4，设P（x，2x+4），则OP2＝x2+（2x+4）2＝16，即可求解；
（3）考虑临界状态，当OC＝2时，函数图象上存在点C，使⊙O对点C的“最近覆盖距离”为1，利用三角形相似求出；同理，另一个临界状态为，即可求解；
（4）由题意可知，DE是一条倾斜角度为45°，长度为的线段，可在圆上找到两条与之平行且等长的弦AB，FG，如果D落在弧AF上，或者E落在弧BG上，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得，⊙O对点（3，4）的“最近覆盖距离”为4，
故答案为：4；
（2）由题意可知，P到圆的最小距离为3，
即P到圆心的距离为4，
设P（x，2x+4），
则OP2＝x2+（2x+4）2＝16，
解得，
故点P的坐标为（0，4）或（﹣，﹣），
故答案为：（0，4）或（﹣，﹣）；
（3）如图，考虑临界状态，
当OC＝2时，函数图象上存在点C，使⊙O对点C的“最近覆盖距离”为1，
∵∠OCD＝∠EOD，∠ODC＝∠EDO，
∴△OCD∽△EOD，
∴，
则，
设OE＝x，则DE＝2x，
由勾股定理可得：x2+16＝（2x）2，
解得（舍），
∴，
此时．
同理，另一个临界状态为，
经分析可知，函数相比临界状态更靠近y轴，则存在点C，
∴或；
（4）由题意可知，DE是一条倾斜角度为45°，长度为的线段，
可在圆上找到两条与之平行且等长的弦AB，FG，
如果D落在弧AF上，或者E落在弧BG上，则成立，
当﹣1≤m＜2时，E到弧BG的最小距离为EO﹣1，
此时3≤d＜4，
当﹣4＜m＜﹣1时，E到弧BG的最小距离为EB，
此时，
综上，，
故答案为：．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了一次函数的性质、圆的基本知识、三角形相似、新定义等，数形结合是本题解题的关键．
26．（2020•金坛区二模）对于⊙C与⊙C上一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q，且PA＝2QA，则称点P为点A关于⊙C的“倍距点”．已知平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（﹣，0）．
（1）如图1，点O为坐标原点，⊙O的半径是，点P是点A关于⊙O的“倍距点”．
①若点P在x轴正半轴上，直接写出点P的坐标是 （3，0） ；
②若点P在第一象限，且∠PAO＝30°，求点P的坐标；
（2）设点T（t，0），以点T为圆心，TA长为半径作⊙T，一次函数y＝x+4的图象分别与x轴、y轴交于D、E，若一次函数y＝x+4的图象上存在唯一一点P，使点P是点A关于⊙T的“倍距点”，求t的值．
【分析】（1）①P在x轴正半轴时，如图1，设点Q为⊙O与x轴正半轴的交点，根据“倍距点”的定义，可求得AQ＝2，PA＝4，即可求出答案；
②若∠PAO＝30°时，如图2，作QM⊥x轴于M，PN⊥x轴于N，连接OQ，先证得△AQM∽△APN，再根据“倍距点”的定义和三角函数即可求得答案；
（2）先求得D（﹣4，0），E（0，4），进而得出∠EDO＝30°，取AD的中点G（，0），过点G作GH∥DE交y轴于点H，则直线GH的解析式为y＝x+，当⊙T与直线GH相切时，一次函数y＝x+4的图象上存在唯一一点P，使点P是点A关于⊙T的“倍距点”，设切点为L1或L2，连接T1L1，T2L2，根据AT1＝L1T1＝GT1，L2T2＝GT2，AT2＝L2T2，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）①P在x轴正半轴时，如图1，设点Q为⊙O与x轴正半轴的交点，
∵点O为坐标原点，⊙O的半径是，点P是点A关于⊙O的“倍距点”，
∴AQ＝2，PA＝2QA＝4，
∴点P离开原点O的距离＝4＝3，
∴点P的坐标是（3，0），
故答案为：（3，0）；
②若∠PAO＝30°时，如图2，作QM⊥x轴于M，PN⊥x轴于N，连接OQ，
∴∠QMA＝∠PNA＝90°，
∵∠PAO＝∠PAO，
∴△AQM∽△APN，
∴，
∵点O为坐标原点，⊙O的半径是，点P是点A关于⊙O的“倍距点”，PA＝2QA，
∴OA＝OQ＝，，
∴∠AQO＝∠PAO＝30°，
∴∠QOM＝60°，
∴∠OQM＝30°，
在Rt△OQM中，OQ＝，∠OQM＝30°，
∴QM＝OQ•cs∠OQM＝•cs30°＝，OM＝OQ•sin∠OQM＝•sin30°＝，
∴AM＝OA+OM＝，
∴由比例式得：AN＝3，PN＝3，
∴ON＝AN﹣AO＝3﹣＝2，
∴P（2，3）；
（2）存在符合条件的点P．如图3，
∵一次函数y＝x+4的图象分别与x轴、y轴交于D、E，
∴令y＝0，则x+4＝0，令x＝0，则y＝4，
解得x＝﹣4，
∴D（﹣4，0），E（0，4），
∴OD＝4，OE＝4，
∵y轴⊥x轴，
∴∠EOD＝90°，
∴tan∠EDO＝＝＝，
∴∠EDO＝30°，
取AD的中点G（，0），过点G作GH∥DE交y轴于点H，
则直线GH的解析式为y＝x+，
当⊙T与直线GH相切时，一次函数y＝x+4的图象上存在唯一一点P，使点P是点A关于⊙T的“倍距点”，
设切点为L1或L2，连接T1L1，T2L2，
则∠GL1T1＝∠GL2T2＝90°，
∵GH∥DE，
∴∠OGH＝∠EDO＝30°，
∴AT1＝L1T1＝GT1，L2T2＝GT2，AT2＝L2T2，
∵AT1＝﹣﹣t，AT2＝t+，GT1＝t+，GT2＝t+，
∴﹣﹣t＝×（t+）或t+＝×（t+），
解得：t＝﹣或．
【点评】本题是圆与一次函数综合题，考查了圆的性质，切线的性质，待定系数法，一次函数图象，特殊角三角函数值，相似三角形的判定和性质，新定义等，解题关键是对新定义“倍距点”的理解和运用．
27．（2021•高邮市校级模拟）A，B是⊙C上的两个点，点P在⊙C的内部．若∠APB为直角，则称∠APB为AB关于⊙C的内直角，特别地，当圆心C在∠APB边（含顶点）上时，称∠APB为AB关于⊙C的最佳内直角．如图1，∠AMB是AB关于⊙C的内直角，∠ANB是AB关于⊙C的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy中．
（1）如图2，⊙O的半径为5，A（0，﹣5），B（4，3）是⊙O上两点．
①已知P1（1，0），P2（0，3），P3（﹣2，1），在∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B中，是AB关于⊙O的内直角的是 ∠AP2B，∠AP3B ；
②若在直线y＝2x+b上存在一点P，使得∠APB是AB关于⊙O的内直角，求b的取值范围．
（2）点E是以T（t，0）为圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T与x轴交于点D（点D在点T的右边）．现有点M（1，0），N（0，n），对于线段MN上每一点H，都存在点T，使∠DHE是DE关于⊙T的最佳内直角，请直接写出n的最大值，以及n取得最大值时t的取值范围．
【分析】（1）判断点P1，P2，P3是否在以AB为直径的圆弧上即可得出答案；
（2）求得直线AB的解析式，当直线y＝2x+b与弧AB相切时为临界情况，证明△OAH∽△BAD，可求出此时b＝5，则答案可求出；
（3）可知线段MN上任意一点（不包含点M）都必须在以TD为直径的圆上，该圆的半径为2，则当点N在该圆的最高点时，n有最大值2，再分点H不与点M重合，点M与点H重合两种情况求出临界位置时的t值即可得解．
【解答】解：（1）如图1，
∵P1（1，0），A（0，﹣5），B（4，3），
∴AB＝＝4，P1A＝＝，P1B＝＝3，
∴P1不在以AB为直径的圆弧上，
故∠AP1B不是AB关于⊙O的内直角，
∵P2（0，3），A（0，﹣5），B（4，3），
∴P2A＝8，AB＝4，P2B＝4，
∴P2A2+P2B2＝AB2，
∴∠AP2B＝90°，
∴∠AP2B是AB关于⊙O的内直角，
同理可得，P3B2+P3A2＝AB2，
∴∠AP3B是AB关于⊙O的内直角，
故答案为：∠AP2B，∠AP3B；
（2）∵∠APB是AB关于⊙O的内直角，
∴∠APB＝90°，且点P在⊙O的内部，
∴满足条件的点P形成的图形为如图2中的半圆H（点A，B均不能取到），
过点B作BD⊥y轴于点D，
∵A（0，﹣5），B（4，3），
∴BD＝4，AD＝8，
并可求出直线AB的解析式为y＝2x﹣5，
∴当直线y＝2x+b过直径AB时，b＝﹣5，
连接OB，作直线OH交半圆于点E，过点E作直线EF∥AB，交y轴于点F，
∵OA＝OB，AH＝BH，
∴EH⊥AB，
∴EH⊥EF，
∴EF是半圆H的切线．
∵∠OAH＝∠OAH，∠OHB＝∠BDA＝90°，
∴△OAH∽△BAD，
∴，
∴OH＝AH＝EH，
∴OH＝EO，
∵∠EOF＝∠AOH，∠FEO＝∠AHO＝90°，
∴△EOF≌△HOA（ASA），
∴OF＝OA＝5，
∵EF∥AB，直线AB的解析式为y＝2x﹣5，
∴直线EF的解析式为y＝2x+5，此时b＝5，
∴b的取值范围是﹣5＜b≤5．
（3）∵对于线段MN上每一个点H，都存在点T，使∠DHE是DE关于⊙T的最佳内直角，
∴点T一定在∠DHE的边上，
∵TD＝4，∠DHT＝90°，线段MN上任意一点（不包含点M）都必须在以TD为直径的圆上，该圆的半径为2，
∴当点N在该圆的最高点时，n有最大值，
即n的最大值为2．
分两种情况：
①若点H不与点M重合，那么点T必须在边HE上，此时∠DHT＝90°，
∴点H在以DT为直径的圆上，
如图3，当⊙G与MN相切时，GH⊥MN，
∵OM＝1，ON＝2，
∴MN＝＝，
∵∠GMH＝∠OMN，∠GHM＝∠NOM，ON＝GH＝2，
∴△GHM≌△NOM（ASA），
∴MN＝GM＝，
∴OG＝﹣1，
∴OT＝+1，
当T与M重合时，t＝1，
∴此时t的取值范围是﹣﹣1≤t＜1，
②若点H与点M重合时，临界位置有两个，一个是当点T与M重合时，t＝1，另一个是当TM＝4时，t＝5，
∴此时t的取值范围是1≤t＜5，
综合以上可得，t的取值范围是﹣﹣1≤t＜5．
【点评】本题是圆的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用数形结合的思想，正确理解最佳内直角的意义是解本题的关键．
28．（2021秋•润州区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′＝2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．
（1）当⊙O的半径为1时，
①分别判断点M（3，1），N（，0），T（﹣1，）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，直接求其坐标；
②将⊙O沿x轴水平向右平移1个单位为⊙O′，点P在直线y＝﹣x+1上，若点P关于⊙O′的反称点P′存在，且点P′不在坐标轴上，则点P的横坐标的取值范围 1﹣≤x≤1+且x≠2﹣ ；
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y＝﹣x+12与x轴，y轴分别交于点A、B，点E与点D分别在点A与点B的右侧2个单位，线段AE、线段BD都是水平的，若四边形ABDE四边上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．
【分析】（1）①根据反称点的定义直接求解即可；
②P点在以O'（1，0）为圆心，2为半径的圆及圆内部，并且P点在直线y＝﹣x+1上，当O'P＝2时，过P点作PG⊥x轴交于点G，可得O'P＝2，PG＝，此时P点坐标为（1﹣，0），当P'点在D点处时，O'P'＝，此时O'P＝2﹣，P'（2﹣，0），又由（1﹣，0）关于O'对称的点为（1+，0），可得P点的横坐标的取值范围1﹣≤x≤1+且x≠2﹣；
（2）P点在以C为圆心，2为半径的圆及圆内部，并且P点在四边形BAED的边上，当CP⊥AB时，PC＝2，此时P'与C点重合，C（12﹣2，0）；当P点与E点重合时，PE＝2，此时P'与C点重合，C（16，0），即可求圆心C的横坐标的取值范围为．
【解答】解：（1）①∵M（3，1），
∴OM＝＞2，
∴M点不存在反称点；
∵N（，0），
∴ON＝，
当N'（，0）时，ON+ON'＝2，
∴N点存在反称点N'（，0）；
∵T（﹣1，），
∴OT＝2，
∴T'（0，0）是T点的反称点，
∴T点存在反称点T'（0，0）；
②P点在以O'（1，0）为圆心，2为半径的圆及圆内部，并且P点在直线y＝﹣x+1上，
当O'P＝2时，过P点作PG⊥x轴交于点G，
∴O'P＝2，
直线y＝﹣x+1与x轴的交点为O'（1，0），与y轴的交点D（0，1），
∴OD＝OO'＝1，
∴∠PO'D＝45°，
∴PG＝，
∴此时P点坐标为（1﹣，0），
当P'点在D点处时，O'P'＝，
此时O'P＝2﹣，
∴P'（2﹣，0），
（1﹣，0）关于O'对称的点为（1+，0），
∴P点的横坐标的取值范围1﹣≤x≤1+且x≠2﹣，
故答案为：1﹣≤x≤1+且x≠2﹣；
（2）P点在以C为圆心，2为半径的圆及圆内部，并且P点在四边形BAED的边上，当CP⊥AB时，PC＝2，此时P'与C点重合，
令x＝0，则y＝12，
∴B（0，12），
令y＝0，则x＝12，
∴A（12，0），
∴OA＝BO＝12，
∴∠BAO＝45°，
∴AC＝2，
∴OC＝12﹣2，
∴C（12﹣2，0）；
∵AE＝2，
∴E（14，0），
∴当P点与E点重合时，PE＝2，此时P'与C点重合，
∴C（16，0）；
∴圆心C的横坐标的取值范围为．
【点评】本题考查圆的综合应用，弄清定义，将所求对称点问题转化为直线与圆的位置关系，数形结合是解题的关键．
29．（2022秋•秦淮区校级月考）【数学概念】
我们把存在内切圆与外接圆的四边形称为双圆四边形．例如，如图①，四边形ABCD内接于⊙M，且每条边均与⊙P相切，切点分别为E，F，G，H，因此该四边形是双圆四边形．
【性质初探】
（1）双圆四边形的对角的数量关系是 互补 ，依据是 圆的内接四边形的对角互补 ．
（2）直接写出双圆四边形的边的性质．（用文字表述）
（3）在图①中，连接GE，HF，求证GE⊥HF．
【揭示关系】
（4）根据双圆四边形与四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，在图②中画出双圆四边形的大致区域，并用阴影表示．
【特例研究】
（5）已知P，M分别是双圆四边形ABCD的内切圆和外接圆的圆心，若AB＝1，∠BCD＝60°，∠B＝90°，则PM的长为 2﹣ ．
【分析】（1）利用双圆四边形的定义与圆的内接四边形的性质解答即可；
（2）利用圆的切线长定理解答即可；
（3）连接PH，PG，PE，PF，HE，设HF，EG交于点N，利用圆的切线的性质定理，四边形的内角和定理，圆的内接四边形的性质定理，圆周角定理和三角形的内角和定理以及垂直的定义解答即可；
（4）利用双圆四边形的定义和特殊四边形的性质解答即可；
（5）连接AC，ME，MF，利用（1）中的结论，切线长定理和对称性可知：A，M，P，C在一条直线上，利用浙江绍兴的边角关系定理求得线段AC，BC的值；利用正方形的判定定理与性质定理可得：BE＝BF＝ME＝MF，设BE＝BF＝ME＝MF＝x，则CF＝﹣x，利用相似三角形的判定与性质列出比例式求得x值，再利用直角三角形的边角关系定理求出AM，则PM＝PA﹣AM．
【解答】（1）解：双圆四边形的对角的数量关系是：对角互补，
理由：圆的内接四边形的对角互补，
故答案为：互补；圆内接四边形对角互补；
（2）解：双圆四边形的边的性质：双圆四边形的对边之和相等；
（3）证明：连接PH，PG，PE，PF，HE，设HF，EG交于点N，如图，
∵AD为⊙P的切线，
∴PH⊥AD，
同理：PG⊥CD，PF⊥BC，PE⊥AB，
∴∠DHP＝∠DGP＝∠PEB＝∠PFB＝90°．
∵∠PHD+∠D+∠PGD+∠HPG＝360°，
∴∠HPG+∠D＝180°．
同理：∠EPF+∠B＝180°．
∴∠HPG+∠D+∠EPF+∠B＝180°+180°＝360°，
∵∠D+∠B＝180°，
∴∠HPG+∠EPF＝180°．
∵∠HEG＝∠HPG，∠EHF＝∠EPF，
∴∠EHF+∠HEF＝（∠HPG+∠EPF）＝90°，
∴∠HNE＝180°﹣（∠EHF+∠HEF）＝90°，
∴GE⊥HF；
（4）解：双圆四边形的大致区域，用阴影表示如下：
（5）解：连接AC，ME，MF，如图，
∵四边形ABCD是双圆四边形，
∴∠D+∠B＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠D＝90°，
∴AC为⊙P的直径．
∵CG，CF为⊙M的切线，
∴CM平分∠BCD，
同理：AM为∠DAB的平分线，
利用对称性可知：A，M，P，C在一条直线上，
∵∠BCD＝60°，
∴∠ACB＝∠BCD＝30°，
在Rt△ABC中，
AC＝2AB＝2，
∴BC＝＝．
∴AP＝AC＝1．
∵BA，BF为⊙M的切线，
∴ME⊥AB，MF⊥BC，
∵∠B＝90°，
∴四边形MEBF为矩形，
∵ME＝MF，
∴四边形MEBF为正方形，
∴BE＝BF＝ME＝MF．
设BE＝BF＝ME＝MF＝x，则CF＝﹣x，
∵MF∥AB，
∴，
∴，
∴x＝．
∴ME＝．
∵ME∥BC，
∴∠AME＝∠BCA＝30°，
∴在Rt△AME中，
∵cs∠AME＝，
∴AM＝＝﹣1．
∴PM＝PA﹣AM＝1﹣（1）＝2﹣．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆的内接四边形的性质，圆的切线的性质，切线长定理，圆周角定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键．
30．（2021秋•广陵区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．
（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点”．显然，线段AB的“等角点”有无数个，且A、B、P三点共圆．
①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，则点C的坐标是 （4，3）或（4，﹣3） ，⊙C的半径是 3 ；
②y轴正半轴上是否有线段AB的“等角点”？如果有，求出“等角点”的坐标；如果没有，请说明理由；
（2）若点P在y轴正半轴上运动，则当∠APB的度数最大时，点P的坐标为 （0，） ．
【分析】（1）①设AB的中点为G，则G（4，0），过点G作AB的垂线，并且以G点为圆心，GA为半径作圆，圆与垂线的交点为C点，以C为圆心，CA为半径作圆，点P在该圆上，则∠APB＝45°，由此求出C（4，3），AC＝3，再由C点关于x轴的对称点为（4，﹣3），可得满足条件的点C有两个，分别是（4，3），（4，﹣3），圆的半径即为AC的长；
②设y轴坐标轴上的“等角点”P的坐标为（0，t），由①知，CP＝3，再由3＝，即可求P（0，3+）或（0，3﹣）；
（2）经过A、B、P三点的圆的圆心一定在第一象限，设圆心为E，过E作EP⊥x轴交于P，过E作EG⊥x轴交于G，在y轴上任意取一点M，连接AM、BM，MB与圆E的交点为N，连接AN，根据三角形的外角性质可知∠APB＞∠AMB，则当y轴与圆E相切时，∠APB的度数最大，求出OP的长即可确定P点坐标．
【解答】解：（1）①∵A（1，0），B（7，0），
设AB的中点为G，则G（4，0），
过点G作AB的垂线，并且以G点为圆心，GA为半径作圆，圆与垂线的交点为C点，
∴∠ACB＝90°，
以C为圆心，CA为半径作圆，点P在该圆上，
∴∠APB＝45°，
∵AG＝3，
∴CG＝3，
∴C（4，3），
∴AC＝3，
∵C点关于x轴的对称点为（4，﹣3），
∴满足条件的点C有两个，分别是（4，3），（4，﹣3），
故答案为：（4，3）或（4，﹣3），3；
②y轴正半轴上有线段AB的“等角点”，理由如下：
设y轴坐标轴上的“等角点”P的坐标为（0，t），
由①知，CP＝3，
∴3＝，
解得t＝3+或t＝3﹣，
∴P（0，3+）或（0，3﹣）；
（2）∵点P在y轴正半轴上运动，
∴经过A、B、P三点的圆的圆心一定在第一象限，
设圆心为E，
过E作EP⊥x轴交于P，过E作EG⊥x轴交于G，
∴四边形POGE为矩形，
∴PE＝OG，OP＝EG，
在y轴上任意取一点M，连接AM、BM，MB与圆E的交点为N，连接AN，
∴∠APB＝∠ANB，
∵∠ANB＞∠AMB，
∴∠APB＞∠AMB，
∴当y轴与圆E相切时，∠APB的度数最大，
∵A（1，0），B（7，0），
∴G（4，0），
∴OG＝PE＝4，AG＝3，
∴AE＝4，
∴EG＝，
∴OP＝，
∴P（0，），
故答案为：（0，）．
【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆周角与圆心角的关系，三角形外接圆的性质，弄清定义，将所求问题转化为三角形的外接圆知识是解题的关键．
已知线段BC=2，使用作图工具作∠BAC=30°，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
AC
2.8
2.7
2.6
2.3
2
1.5
0.4
BC
0.4
0.8
1.2
1.6
2
2.4
2.8
AC+BC
3.2
3.5
3.8
3.9
4
3.9
3.2