数学选择性必修第一册（配人教A版）》 配套练习第2章质量评估

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第二章综合检测(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)．1．已知直线l的方程为y＝－x＋1，则直线l的倾斜角为(　　)A．30° 　 B．45°C．60° 　 D．135°D　解析：由题意可知，直线l的斜率为－1，故由tan 135°＝－1，可知直线l的倾斜角为135°.2．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是(　　)A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1D．(x＋1)2＋(y－2)2＝1A　解析：(方法一)因为圆C上的点(x，y)关于原点的对称点为(－x，－y)，由题可知，点(－x，－y)在圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1上，所以圆C的方程为(－x＋2)2＋(－y－1)2＝1，即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.(方法二)已知圆的圆心是(－2，1)，半径是1，所以圆C的圆心是(2，－1)，半径是1.所以圆C的方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.3．过点P(1，3)，且与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是(　　)A．3x＋y－6＝0B．x＋3y－10＝0 C．3x－y＝0D．x－3y＋8＝0A　解析：设所求直线的方程为xa+yb＝1(a>0，b>0)，则有12ab＝6，且1a+3b＝1.由ab＝12，1a+3b＝1，解得a＝2，b＝6. 故所求直线的方程为x2+y6＝1，即为3x＋y－6＝0.4．已知直线x－2y＋m＝0(m>0)与直线x＋ny－3＝0互相平行，且它们间的距离是5，则m＋n＝(　　)A．0 　 B．1C．－1 　 D．2A　解析：由题意，所给两条直线平行，所以n＝－2.由两条平行直线间的距离公式，得d＝m+312+-22＝m+35＝5，解得m＝2或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝0.5．已知圆C：(x－6)2＋(y＋8)2＝4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为(　　)A．(x－3)2＋(y＋4)2＝100B．(x＋3)2＋(y－4)2＝100C．(x－3)2＋(y＋4)2＝25D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25C　解析：由题意可知O(0，0)，C(6，－8)，则圆心坐标为(3，－4)，圆的直径为62+-82＝10，据此可得圆的方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝1022，即(x－3)2＋(y＋4)2＝25.6．直线x＋y－1＝0被圆(x＋1)2＋y2＝3截得的弦的长等于(　　)A．2　 B．2C．22　 D．4B　解析：由题意，得圆心为(－1，0)，半径r＝3，弦心距d＝-1+0-112+12＝2，所以弦长为2r2-d2＝2.7．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)．若其欧拉线的方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标是(　　)A．(－4，0)B．(0，－4) C．(4，0)D．(4，0)或(－4，0)A　解析：当顶点C的坐标是(－4，0)时，三角形的重心坐标为-23，43，在欧拉线上，对于其他选项，三角形的重心都不在欧拉线上．8．已知直线y＝kx＋m(m为常数)与圆x2＋y2＝4交于点M，N，当k变化时，若|MN|的最小值为2，则m＝(　　)A．±1 　 B．±2C．±3　 D．±2C　解析：由题可得圆心为(0，0)，半径为2，所以圆心到直线的距离d＝mk2+1，则弦长|MN|＝24-m2k2+1，当k＝0时，弦长MN取得最小值为24-m2＝2，解得m＝±3.二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)．9．已知直线l：y＝3x＋m与圆C：x2＋(y－3)2＝6相交于A，B两点．若|AB|＝22，则实数m的值可能为(　　)A．－7 　 B．－1C．1 　 D．7BD　解析：由圆的方程可知，圆心坐标为(0，3)，圆的半径r＝6.因为|AB|＝22，所以AB2＝2.由勾股定理可知，圆心到直线的距离为6-2＝2＝3-m1+3，解得m＝－1或m＝7.10．若过点A(3，0)的直线l与圆(x－1)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率可以为(　　)A．－3　 B．－33C．33　 D．3BC　解析：因为点A是圆外一点，所以过点A的直线的斜率一定存在．设直线l的方程为y＝k(x－3)，代入圆的方程中，整理得(k2＋1)x2－(6k2＋2)x＋9k2＝0，Δ＝4(1－3k2)≥0，解得－33≤k≤33.11．已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值可能为(　　)A．－6　 B．－5C．5　 D．6BC　解析：因为直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点，且△AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1.由点到直线的距离公式可得a12+22＝1，所以a＝±5.12．已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y＝0的距离为55，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C的方程为(　　)A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y－1)2＝2D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2AB　解析：设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则点C到x轴、y轴的距离分别为|b|，|a|.由题意可知r2＝2b2，r2＝a2+1，a-2b5＝55，所以a＝-1，b＝-1，r2＝2 或a＝1，b＝1，r2＝2. 故所求圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)．13．已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则a2+b2的最小值为________.3　解析：a2+b2的最小值为原点到直线3x＋4y＝15的距离d＝0+0-1532+42＝3.14．已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.－2　5　解析：由题意可知kAC＝－12，所以直线AC的方程为y＋1＝－12(x＋2)．把(0，m)代入直线AC的方程得m＝－2，此时r＝|AC|＝4+1＝5.15．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则弦AB的垂直平分线的方程是________________．3x－y－9＝0　解析：由题意，知圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则弦AB的垂直平分线就是过两个圆的圆心的直线．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为(2，－3)，圆x2＋y2－6x＝0的圆心坐标为(3，0)，所以所求直线的方程为y+33＝x-23-2，即3x－y－9＝0.16．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________.94　解析：因为曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离为0--42-2＝22-2＝2，所以曲线C1与直线l不能相交，故x2＋a＞x，即x2＋a－x＞0.设C1：y＝x2＋a上一点为(x0，y0)，则点(x0，y0)到直线l的距离d＝x0-y02＝-x0+x02+a2＝x0-122+a-142≥4a-142＝2，所以a＝94.四、解答题(本题共6小题，共70分)．17．(10分)已知直线l经过直线l1：2x－y＋4＝0与l2：x－y＋5＝0的交点，且与直线x－2y－6＝0垂直．(1)求直线l的方程；(2)若点P(a，1)到直线l的距离为5，求实数a的值．解：(1)由2x-y+4＝0，x-y+5＝0 得交点为(1，6)，又直线l垂直于直线x－2y－6＝0，所以直线l的斜率为k＝－2.故直线l的方程为y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0.(2)由于点P(a，1)到直线l的距离等于5，则2a+1-85＝5，解得a＝1或a＝6.18．(12分)党的二十大报告提出要加快建设交通强国．我国的隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”；或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路．但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的洞门．某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽AB=16米，洞门的高CD=4米．(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆弧AB的方程．(2)为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间增设了2米宽的隔墙．某货车装满货物后整体呈长方体状，宽2米，高3.6米，则此货车能否通过该洞门？并说明理由．解：(1)以点D为原点，AB，DC所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则点C(0，4)，B(8，0)，由圆的对称性可知，圆心在y轴上．设圆心坐标为(0，b)，圆的半径为r，则圆弧AB所在圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2.因为点C，B在圆上，所以0+4-b2＝r2，82+0-b2＝r2，解得b＝－6，r＝10.所以圆弧AB所在圆的方程为x2＋(y＋6)2＝100，因此圆弧AB的方程为x2＋(y＋6)2＝100(0≤y≤4)．(2)此货车不能通过该洞门．由题意可知，隔墙在y轴右侧1米，而车宽2米，车高3.6米，所以货车右侧的最高点的坐标为(3，3.6)．因为32＋(3.6＋6)2>100，因此，该货车不能通过该洞门．19．(12分)已知点P(x，y)在圆x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值．解：(1)x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，即该圆以(3，3)为圆心，以2为半径．因为yx＝y-0x-0，所以yx即为过点(0，0)与该圆上一点的直线的斜率．设过(0，0)与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切的直线方程为kx－y＝0(斜率不存在时直线与圆是相离的)，则有2＝3k-3k2+1，解得k＝9±2145.所以yxmax＝9+2145，yxmin＝9-2145.(2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2表示点(x，y)与(－1，0)距离的平方加上2.因为点(x，y)在圆上，点(－1，0)在圆外，所以可以转化为(－1，0)到圆心的距离的问题，所以，所求最大值为3+12+3-02+22＋2＝51，所求最小值为3+12+3-02-22＋2＝11.20．(12分)一条光线经过点P(2，3)射在直线l：x＋y＋1＝0上，经直线l反射后经过点Q(1，1)，求：(1)入射光线所在直线的方程；(2)这条光线从P到Q所经路线的长度．解：(1)设点Q′(x′，y′)为Q关于直线l的对称点，QQ′交l于点M.因为kl＝－1，所以kQQ′＝1，所以QQ′所在直线的方程为y－1＝1×(x－1)，即x－y＝0.由x+y+1＝0，x-y＝0，解得x＝-12，y＝-12，所以交点为M-12，-12，所以1+x'2＝-12，1+y'2＝-12，解得x'＝-2，y'＝-2，所以Q′(－2，－2)．设入射光线与l交于点N，则P，N，Q′三点共线．又P(2，3)，Q′(－2，－2)，故入射光线所在直线的方程为y--23--2＝x--22--2，即5x－4y＋2＝0.(2)|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′|＝2--22+3--22＝41，即这条光线从P到Q所经路线的长度为41.21．(12分)在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C与直线y＝x相切于原点O.(1)求圆C的方程．(2)圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆C的圆心为C(a，b)，则圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝8.因为直线y＝x与圆C相切于原点O，所以点O在圆C上，且OC垂直于直线y＝x，于是有a2+b2＝8，ba＝-1，解得a＝2，b＝-2或a＝-2，b＝2. 由于点C(a，b)在第二象限，故a<0，b>0，所以圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.(2)假设存在点Q符合要求，设Q(x，y)，则有x-42+y2＝16，x+22+y-22＝8，解得x＝45或x＝0(舍去)．所以存在点Q45，125，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长．22．(12分)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．(1)求圆C的方程．(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问：在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C(a，0)a>-52，则4a+105＝2⇒a＝0或a＝－5(舍)．所以圆C：x2＋y2＝4.(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由x2+y2＝4，y＝kx-1，得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，所以x1＋x2＝2k2k2+1，x1x2＝k2-4k2+1.若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN⇒y1x1-t+y2x2-t＝0⇒kx1-1x1-t+kx2-1x2-t＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒2k2-4k2+1-2k2t+1k2+1＋2t＝0⇒t＝4，所以当点N坐标为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立