数学选择性必修第一册（配人教A版）》 配套练习第1章质量评估

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第一章综合检测(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)．1．下列向量中，与向量a＝(1，－3，2)平行的是(　　)A．13，1，1B．(－1，－3，2)C．-12，32，-1D．2，-3，-22C　解析：a＝(1，－3，2)＝－2-12，32，-1.2．已知向量a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　)A．－2 　 B．－143C．145　 D．2D　解析：因为a⊥(a－λb)，所以a·(a－λb)＝|a|2－λa·b＝0，所以|a|2＝λa·b，所以14＝λ(2＋2＋3)＝7λ，解得λ＝2.故选D.3．若向量a＝(x，4，5)，b＝(1，－2，2)，且a与b的夹角的余弦值为26，则x＝(　　)A．3 　 B．－3C．－11 　 D．3或－11A　解析：因为a·b＝(x，4，5)·(1，－2，2)＝x－8＋10＝x＋2，且a与b的夹角的余弦值为26，所以26＝x+2x2+42+521+4+4，解得x＝3或－11(舍去)．故选A.4．如图，已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，O是正方形A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离是(　　)A．12　 B．24C．22　 D．32B　解析：如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则O12，12，1，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)．连接A1D，因为AB⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，所以AB⊥A1D.又AD1⊥A1D，AB∩AD1＝A.所以A1D⊥平面ABC1D1.故平面ABC1D1的一个法向量为DA1＝(1，0，1)．所以点O到平面ABC1D1的距离为d＝OD1·DA1DA1＝122＝24.故选B.5．已知向量AM＝0，1，12，AN＝-1，12，1，则平面AMN的一个法向量是(　　)A．(－3，－2，4)B．(3，2，－4)C．(－3，－2，－4) D．(－3，2，－4)D　解析：设平面AMN的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AM＝0，n·AN＝0，即y＝-z2，x＝34z.令z＝4，则可取n＝(3，－2，4)．由(－3，2，－4)＝－(3，－2，4)，可知选项D符合．6．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　)A．90° 　 B．60°C．45° 　 D．30°B　解析：建系如图，设AB＝1，则B(1，0，0)，A1(0，0，1)，C1(0，1，1)，A(0，0，0)．所以BA1＝(－1，0，1)，AC1＝(0，1，1)．所以cos〈BA1，AC1〉＝BA1·AC1BA1AC1＝12×2＝12.所以〈BA1，AC1〉＝60°，即异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.7．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形．若∠A1AB＝∠A1AD＝60°，且A1A＝3，则A1C的长为(　　)A．5　 B．22C．14　 D．17A　解析：设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，由已知得|a|＝3，|b|＝|c|＝2，a·b＝a·c＝3×2×cos60°＝3，b·c＝0.又因为A1C＝A1A+A1B1+A1D1＝－a＋b＋c，所以A1C2＝(－a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2－2a·b－2a·c＋2b·c＝32＋22＋22－2×3－2×3＋2×0＝5.所以A1C＝5，即A1C的长为5.8．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，且PA＝AC＝BC，则直线PB与平面PAC所成角的正切值为(　　)A．22　 B．12C．33　 D．－22A　解析：由题意，在△ABC中，∠ACB＝90°，且PA＝AC＝BC，所以△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，∠CAB＝∠CBA＝45°.设AC＝BC＝a，则AB＝AC2+BC2＝2a.因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC，所以△PAC是等腰直角三角形．建立空间直角坐标系如图所示，则A(0，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，P(0，0，a)，所以PB＝(a，a，－a)，平面PAC的一个法向量为n＝(1，0，0)．设直线PB与平面PAC所成角为θ，所以sin θ＝cos〈n，PB〉＝PB·nPB·n＝a+0+0a2+a2+-a2×12+0+0＝33，所以cos θ＝1-sin2θ＝1-332＝63，tan θ＝sinθcosθ＝3363＝22.二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)．9．以下命题中，正确的是(　　)A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件B．若a∥b(b≠0)，则存在唯一的实数λ，使a＝λbC．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP＝2OA-2OB-OC，则P，A，B，C四点共面D．若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}为空间的另一个基底BD　解析：A选项，当a和b同向时，|a|－|b|≠|a＋b|，不正确；B选项正确；C选项，因为2－2－1≠1，故四点不共面，不正确；D选项，a，b，c不共面，故a＋b，b＋c，c＋a不共面，可以构成空间的一个基底，正确．10．已知直线l过点P(1，0，－1)，且直线l的一个方向向量a＝(2，1，1)，若直线l与点M(1，2，3)在平面α内，则下列向量可以作为平面α的法向量的是(　　)A．(1，－4，2)B．14，-1，12C．-14，1，-12D．(0，－1，1)ABC　解析：PM＝(0，2，4)，直线l的一个方向向量为a，若n是平面α的法向量，则必须满足n·a＝0，n·PM＝0.把各选项代入验证，只有选项D中的向量不是平面α的法向量．11．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点．若平行六面体的各棱长均相等，则(　　)A．A1M∥D1PB．A1M∥B1QC．A1M∥平面DCC1D1D．A1M∥平面D1PQB1ACD　解析：A1M＝A1A+AM＝A1A+12AB，D1P＝D1D+DP＝A1A+12AB，所以A1M∥D1P，所以A1M∥D1P.由线面平行的判定定理可知，A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1.12．在正四面体D-ABC中，点E在棱AB上，满足AE＝2EB，点F为线段AC上的动点．设直线DE与平面DBF所成的角为α，则关于点F，下列说法不正确的是(　　)A．存在某个位置，使得DE⊥BFB．存在某个位置，使得∠FDB＝π4C．存在某个位置，使得平面DEF⊥平面DACD．存在某个位置，使得α＝π6ABD　解析：如图，设正四面体D-ABC的底面中心为O，连接DO，则DO⊥平面ABC，以O为原点，以OB，OD所在直线分别为x轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系．设正四面体的棱长为2，则A-33，-1，0，C-33，1，0，B233，0，0，E33，-13，0，D0，0，263.设F-33，λ，0(－1≤λ≤1)，若存在某个位置，使得DE⊥BF，则DE·BF＝33，-13，-263·-3，λ，0＝0，解得λ＝－3，不合题意，故A错误；若存在某个位置，使得∠FDB＝π4，即cos〈DF，DB〉＝DF·DBDFDB＝22，所以-33，λ，-263·233，0，-263λ2+3×2＝22，此方程无解，故B错误；DA＝-33，-1，-263，DC＝-33，1，-263，设平面DAC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则m·DA＝-33x1-y1-263z1＝0，m·DC＝-33x1+y1-263z1＝0，取z1＝－1，得m＝22，0，-1.设平面DEF的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则n·DE＝33x2-13y2-263z2＝0，n·DF＝-33x2+λy2-263z2＝0，取z2＝1，得n＝62λ+223λ-1，463λ-1，1.若存在某个位置，使得平面DEF⊥平面DAC，则22×62λ+223λ-1－1＝0，解得λ＝－37∈[－1，1]，故C正确．设平面DBF的法向量为v＝(x3，y3，z3)，则v·DB＝233x3-263z3＝0，v·DF＝-33x3+λy3-263z3＝0，取x3＝2，得v＝2，6λ，1.若存在某个位置，使得α＝π6，则sin α=sin π6＝12＝cos〈v，DE〉＝v·DEvDE＝63-63λ-263273×3+6λ2，整理得15λ2－12λ＋36＝0，此方程无解，故D错误．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)．13．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若CA＝a，CB＝b，CC1＝c，则A1B＝________________(用含a，b，c的式子表示)．b－a－c　解析：如图，A1B＝AB-AA1＝CB-CA- AA1＝CB-CA-CC1＝b－a－c.14．已知空间向量a＝(1，n，2)，b＝(－2，1，2)．若2a－b与b垂直，则|a|＝__________．352　解析：因为a＝(1，n，2)，b＝(－2，1，2)，所以2a－b＝(4，2n－1，2)．因为2a－b与b垂直，所以(2a－b)·b＝0，所以－8＋2n－1＋4＝0，解得n＝52，所以a＝1，52，2，所以a＝1+254+4＝352.15．在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠PBC＝60°，则点C到平面PAB的距离是________．4427　解析：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，则C(0，4，0)，P0，4，46，A(0，0，0)，B(4，0，0)，AC＝(0，4，0)，AB＝(4，0，0)，AP＝0，4，46.设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AP＝4y+46z＝0，n·AB＝4x＝0，取z＝1，得n＝0，-6，1.所以点C到平面PAB的距离d＝AC·nn＝467＝4427.16．如图(1)，正方形ABCD的边长为4，AB＝AE＝BF＝12EF，AB∥EF.把四边形ABCD沿AB折起，使得AD⊥平面AEFB，得到如图（2）所示的多面体.若G是EF的中点，则AG与平面BCE的位置关系为________，二面角C-AE-F的余弦值为________．　图(1)　　　　　　图(2)垂直　217　解析：连接BG，因为BC∥AD，AD⊥平面AEFB，所以BC⊥平面AEFB.又AG⊂平面AEFB，所以BC⊥AG.因为AB∥EG且AB＝EG，AB＝AE，所以四边形ABGE为菱形，所以AG⊥BE.又BC∩BE＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以AG⊥平面BCE.由题意知AE＝EG＝BG＝AB＝4，设AG∩BE＝O，则OE＝OB＝23，OA＝OG＝2，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则O(0，0，0)，A(－2，0，0)，E0，-23，0，C0，23，4，D(－2，0，4)，所以AC＝2，23，4，AE＝2，-23，0.设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，则AC·n＝0，AE·n＝0，所以2x+23y+4z＝0，2x-23y＝0.令y＝1，则x＝3，z＝-3，即平面ACE的一个法向量为n＝3，1，-3，易知平面AEF的一个法向量为AD＝(0，0，4)．设二面角C-AE-F的大小为θ，由图易知θ∈0，π2，所以cos θ＝n·ADnAD＝437×4＝217.四、解答题(本题共6小题，共70分)．17．(10分)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1靠近C1的四等分点．设MN＝αAB+βAD+γAA1，试求α，β，γ的值．解：因为MN＝MB+BN＝12DB+34BC1＝12AB-AD＋34CC1-CB＝12AB-AD＋34AA1+AD＝12AB-12AD+34AA1+34AD＝12AB+14AD+34AA1，所以α＝12，β＝14，γ＝34.18．(12分)已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)．(1)求|2a＋b|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得OE⊥b (O为原点) ？解：(1)2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，故|2a＋b|＝02+-52+52＝52.(2)假设存在点E，设AE＝tAB.OE＝OA+AE＝OA+ tAB＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)．若OE⊥b，则OE·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝95.因此存在点E，使得OE⊥b，此时点E坐标为-65，-145，25.19．(12分)(2022·浙江)如图，已知四边形ABCD和四边形CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F-DC-B的平面角为60°.设M，N分别为AE，BC的中点．(1)证明：FN⊥AD；(2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．(1)证明：如图，过点E，D分别作直线DC，AB的垂线EG，DH，垂足分别为点G，H.因为四边形ABCD和EFCD都是直角梯形，AB∥DC，CD∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，由平面几何知识易知，DG＝AH＝2，∠EFC＝∠DCF＝∠DCB＝∠ABC＝90°，则四边形EFCG和四边形DCBH是矩形， EG＝DH＝23.因为DC⊥CF，DC⊥CB，且CF∩CB＝C，所以DC⊥平面BCF，∠BCF是二面角F-DC-B的平面角，则∠BCF＝60°，所以△BCF是正三角形，由DC⊂平面ABCD，得平面ABCD⊥平面BCF.因为N是BC的中点，所以FN⊥BC，又DC⊥平面BCF，FN⊂平面BCF，可得FN⊥CD，而BC∩CD＝C，所以FN⊥平面ABCD，而AD⊂平面ABCD，所以FN⊥AD.(2)解：因为FN⊥平面ABCD，过点N作AB的平行线NK，以点N为原点，NK，NB，NF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Nxyz.可知A5，3，0，B0，3，0，D3，-3，0，E(1，0，3)，则M3，32，32，所以BM＝3，-32，32，AD＝-2，-23，0，DE＝-2，3，3.设平面ADE的法向量为n＝(x，y，z)，由n·AD＝0，n·DE＝0，得-2x-23y＝0，-2x+3y+3z＝0，取n＝3，-1，3.设直线BM与平面ADE所成角为θ，所以sin θ＝cos〈n，BM〉＝n·BMn·BM＝33+32+3323+1+3·9+34+94＝537·23＝5714.20．(12分)党的二十大报告中指出：建设现代化产业体系，坚持把发展经济的着力点放在实体经济上，推进新型工业化，加快建设制造强国、质量强国、航天强国、交通强国、网络强国、数字中国．企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的基石．如图所示的一块木料中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，点E，F分别是PC，AD的中点．(1)若要经过点E和棱AB将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？请说明理由并计算截面的周长；(2)若要经过点B，E，F将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？请说明理由．解：(1)因为AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD.又AB⊂平面ABE，设平面ABE∩平面PCD＝l，则AB∥l.设PD的中点为G，连接EG，AG，如图，则EG∥CD.又AB∥CD，所以AB∥EG，即EG为l，所以EG，AG就是应画的线．因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥PA.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD.因为AG⊂平面PAD，所以AB⊥AG，即截面ABEG为直角梯形．又PA＝AB＝2，所以AG＝2，EG＝1，BE＝2-12+22＝3，所以截面的周长为2+3＋3.(2)以点A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(1，1，1)，F(0，1，0)，所以BE＝(－1，1，1)，BF＝(－2，1，0)，PD＝(0，2，－2)．设n＝(x，y，z)是平面BEF的法向量，则有n·BE＝-x+y+z＝0，n·BF＝-2x+y＝0.令x＝1，可得n＝(1，2，－1)是平面BEF的一个法向量．设PD∩平面BEF＝H，PH＝λPD＝λ(0，2，－2)．又P(0，0，2)，所以H(0，2λ，2－2λ)，BH＝(－2，2λ，2－2λ)．因为BH⊂平面BEF，所以BH⊥n.由BH·n＝(－2，2λ，2－2λ)·(1，2，－1)＝0，可得6λ－4＝0，即λ＝23.所以H为PD的靠近点D的三等分点PH＝23PD，连接EH，FH，即EH，FH就是应画的线．21．(12分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值．(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．解：设正方体的棱长为1，如图所示，以AB ，AD ，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．(1)依题意，得B(1，0，0)，E0，1，12，A(0，0，0)，D(0，1，0)，所以BE＝-1，1，12，AD＝(0，1，0)．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为AD⊥平面ABB1A1，所以AD是平面ABB1A1的一个法向量．设直线BE和平面ABB1A1所成的角为θ，则sin θ＝BE·ADBEAD＝132×1＝23.即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为23.(2)依题意，得A1(0，0，1)，BA1＝(－1，0，1)，BE＝-1，1，12.设n＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则由n·BA1＝0，n·BE＝0，得-x+z＝0，-x+y+12z＝0，所以x＝z，y＝12z.取z＝2，得n＝(2，1，2)是平面A1BE的一个法向量．设F是棱C1D1上的点，则F(t，1，1)(0≤t≤1)．又B1(1，0，1)，所以B1F＝(t－1，1，0)，B1F⊄平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE，即B1F·n＝0，所以2(t－1)＋1＝0，解得t＝12，所以F为C1D1的中点．这说明在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.22．(12分)如图，三棱柱ABC-DEF的侧面BEFC是边长为1的正方形，平面BEFC⊥平面ADEB，AB＝4，∠DEB＝60°，G是DE的中点．(1)求证：CE∥平面AGF.(2)求点D到平面AGF的距离．(3)在线段BC上是否存在一点P，使二面角P-GE-B为45°？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由．(1)证明：连接CD交AF于点H，连接HG.根据柱体的性质可知AD∥CF，AD＝CF，所以四边形ADFC是平行四边形．所以H是CD的中点．因为G是DE的中点，所以HG∥CE.因为HG⊂平面AGF，CE⊄平面AGF，所以CE∥平面AGF.(2)解：因为四边形BEFC是正方形，所以BC⊥BE.因为平面BEFC⊥平面ADEB，平面BEFC∩平面ADEB＝BE，所以BC⊥平面ADEB.所以BC⊥BE，BC⊥BG.因为∠DEB＝60°，GE＝2，BE＝1，在△BGE中，由余弦定理得BG＝BE2+GE2-2BE·GE·cos60°＝3，所以BE2＋BG2＝GE2.所以BG⊥BE.以B为原点，建立如图所示空间直角坐标系Bxyz.则G3，0，0，A23，-2，0，F(0，1，1)，D23，-1 ，0，E(0，1，0)．所以AG＝-3，2，0，GF＝-3，1，1，DG＝-3，1，0.设平面AGF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则n1·AG＝-3x1+2y1＝0，n1·GF＝-3x1+y1+z1＝0.令x1＝2，则y1＝z1，所以n1＝2，3，3为平面AGF的一个法向量．设D到平面AGF的距离为d，则d＝DG·n1n1＝310＝3010.(3)解：假设线段BC上存在一点P，使二面角P-GE-B为45°.设P(0，0，h)(0