北师大版八年级数学下册压轴题攻略第一章三角形的证明B卷压轴题考点训练(原卷版+解析)

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第一章 三角形的证明B卷压轴题考点训练1．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，过点作直线与轴交于点，点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点．若为直角三角形，请写出点的坐标______．2．如图，在长方形的对角线上有一动点，连接，过点作交射线于点，，当为等腰三角形时，的度数是______．3．如图，等腰ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将CAD与CBD分别沿直线CA、CB翻折得到CAP与CBQ，给出下列结论：①CD=CP=CQ；②∠PCQ的大小不变；③PCQ面积的最小值为；④当点D在AB的中点时，PDQ是等边三角形，其中所有正确结论的序号是______．4．如图，在四边形中，，，，点为边上一点，连接.，与交于点，且，若，，则的长为_______________.5．如图，在长方形中，，，点在上，连接．当时，的长为___________；在点的运动过程中，的最小值为___________．6．如图，过边长为2的等边的边上一点，作于点，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为______.7．如图，为等腰的高，，，E、F分别为线段、上的动点，且，则的最小值为______．8．如图，等边中，，为上一动点，，，则最小值为________．9．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，与y轴交于点，且a，p满足．(1)求直线的解析式；(2)如图1，直线与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线上，若的面积等于6，请求出点M的坐标；(3)如图2，已知点，若点B为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点Q，使是以为底边，点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．10．（1）如图1，在△ABC中∠A＝60 º，BD、CE均为△ABC的角平分线且相交于点O.①填空：∠BOC＝ 度；②求证：BC＝BE+CD．(写出求证过程)（2）如图2，在△ABC中，AB=AC=m，BC=n， CE平分∠ACB．①若△ABC的面积为S，在线段CE上找一点M，在线段AC上找一点N，使得AM+MN的值最小，则AM+MN的最小值是　　 　　　　．(直接写出答案)；　②若∠A=20°，则△BCE的周长等于　　　　　　．(直接写出答案)．11．在中，，交BA的延长线于点G．特例感知：（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B．通过观察、测量BF与CG的长度，得到．请给予证明．猜想论证：（2）当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作垂足为E．此时请你通过观察、测量DE，DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．联系拓展：（3）当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）12．已知为等边三角形．（1）如图1，点D为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：．（2）如图2，当点D在边的延长线上时，以为边作等边三角形，求证：无论点D的位置如何变化，的内角平分线的交点P始终在的角平分线上．（3）如图3，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E，连接，交于点F．试判断线段，，之间存在何种数量关系，并证明你的结论．13．在锐角△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AD⊥BC于点D．(1)如图1，过点B作BG⊥AC于点G，求证：AC=BF；(2)动点P从点D出发，沿射线DB运动，连接AP，过点A作AQ⊥AP，且满足．①如图2，当点P在线线段BD上时，连接PQ分别交AD、AC于点M、N．请问是否存在某一时刻使得△APM和△AQN成轴对称，若有，求此刻∠APD的大小；若没有，请说明理由．②如图3，连接BQ，交直线AD与点F，当点P在线段BD上时，试猜想BP和DF的数量关系并证明；当点P在DB的延长线上时，若，请直接写出的值．14．如图，在中，是的平分线．(1)在线段上任意取一点，过点作，交于点，交于点，通过这样的作图能得到结论，那么依据是_________．(2)如果，平分交于点，且、相交于点，求证：．(3)如果，在边上截取一点，连接，使，连接．请直接写出的度数．15．（1）如图1，已知，，，求证：；（2）如图2，已知等腰，，，，是三角形外部一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，点正好在线段上，求的长．（3）如图3，已知等腰，，，，是三角形外部一点，连接，将绕点旋转90°恰好得到，请直接写出线段_________．第一章 三角形的证明B卷压轴题考点训练1．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，过点作直线与轴交于点，点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点．若为直角三角形，请写出点的坐标______．【答案】或【详解】解：为直角三角形，分两种情况讨论：①当时，过点作于，如图所示：由对折可得，，，，为等腰直角三角形，，，，即，，；②当时，如图所示：由对折得，，，，，由，可得：，设，则，，，解得，，，综上，或．2．如图，在长方形的对角线上有一动点，连接，过点作交射线于点，，当为等腰三角形时，的度数是______．【答案】或【详解】解：根据题意，若，如图所示：此时与重合，不存在，以此为临界状态，分两种情况讨论：①如图所示：为等腰三角形，，，在长方形中，，，则，，，，是等边三角形，即；②如图所示：为等腰三角形，，，是的一个外角，，即，在长方形中，，，则，，，，在中，利用三角形内角和定理可知：；综上所述，的度数是或，故答案为：或．3．如图，等腰ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将CAD与CBD分别沿直线CA、CB翻折得到CAP与CBQ，给出下列结论：①CD=CP=CQ；②∠PCQ的大小不变；③PCQ面积的最小值为；④当点D在AB的中点时，PDQ是等边三角形，其中所有正确结论的序号是______．【答案】①②④．【详解】①∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，∴CP=CD=CQ，∴①正确；②∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，∴∠ACP=∠ACD，∠BCQ=∠BCD，∴∠ACP+∠BCQ=∠ACD+∠BCD=∠ACB=120°，∴∠PCQ=360°﹣(∠ACP+BCQ+∠ACB)=360°﹣(120°+120°)=120°，∴∠PCQ的大小不变；∴②正确；③如图，过点Q作QE⊥PC交PC延长线于E，∵∠PCQ=120°，∴∠QCE=60°，在Rt△QCE中，tan∠QCE=，∴QE=CQ×tan∠QCE=CQ×tan60°=CQ，∵CP=CD=CQ，∴S△PCQ=CP×QE=CP×CQ=，∴CD最短时，S△PCQ最小，即：CD⊥AB时，CD最短，过点C作CF⊥AB，此时CF就是最短的CD，∵AC=BC=4，∠ACB=120°，∴∠ABC=30°，∴CF=BC=2，即：CD最短为2，∴S△PCQ最小===，∴③错误；④∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，∴AD=AP，∠DAC=∠PAC，∵∠DAC=30°，∴∠APD=60°，∴△APD是等边三角形，∴PD=AD，∠ADP=60°，同理：△BDQ是等边三角形，∴DQ=BD，∠BDQ=60°，∴∠PDQ=60°，∵当点D在AB的中点，∴AD=BD，∴PD=DQ，∴△DPQ是等边三角形，∴④正确，故答案为①②④．4．如图，在四边形中，，，，点为边上一点，连接.，与交于点，且，若，，则的长为_______________.【答案】【详解】解：如图，连接交于点∵，，，∴垂直平分，是等边三角形∴，，∵∴，∴∴∴∵∴是等边三角形∴∴，，∴∴5．如图，在长方形中，，，点在上，连接．当时，的长为___________；在点的运动过程中，的最小值为___________．【答案】     ##     ##【详解】解：∵四边形是矩形，，，∴，，，∴，当时，则，∵，∴，∴；在线段下方作，过点E作于点F，连接，∴，∴，当D、E、F三点共线时，的值最小，此时，∴，∴，，∴，∴的最小值为：，∴的最小值为．故答案为：；．6．如图，过边长为2的等边的边上一点，作于点，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为______.【答案】1【详解】过点P作交于点F，如图，∴，，是等边三角形，∴，∵，∴；∵，∴，∵，∴，在和中，∴，∴；∴，，∵，，∴，∵，故答案为：7．如图，为等腰的高，，，E、F分别为线段、上的动点，且，则的最小值为______．【答案】【详解】如图，过点C作，且，并在的同侧，连接，交于点G，∵为等腰的高，，∴，∴，当F与点G重合时，取得最小值，∴，∴，∴，∴，∴．8．如图，等边中，，为上一动点，，，则最小值为________．【答案】【详解】解：如图，连接，取的中点O，连接，，过点O作于H，∵是等边三角形，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴C、D、P、E四点共圆，∴，∴当的值最小时，的值最小，根据垂线段最短可得，当时，，此时最小，，∵，，  ∴，，∴，∴，∴的值最小为，故答案为．9．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，与y轴交于点，且a，p满足．(1)求直线的解析式；(2)如图1，直线与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线上，若的面积等于6，请求出点M的坐标；(3)如图2，已知点，若点B为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点Q，使是以为底边，点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)直线AP的解析式为(2)(3)Q的坐标为或或，理由见解析【详解】（1）解：∵，解得，∴，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线AP的解析式为；（2）过作交x轴于D，连接，∵，的面积等于6，∴的面积等于6，∴，即，∴，∴，设直线的解析式为，则，∴，∴直线的解析式为，令，得，∴；（3）Q的坐标为或或．理由如下：设，①当点Q在x轴负半轴时，过B作轴于E，如图，∴，∵是以为底边的等腰直角三角形，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴；②当Q在y轴正半轴上时，过C作轴于F，过B作轴于G，如图，∴，，∵是以为底边的等腰直角三角形，∴，∴，又∵，∴，∴，∴即，∴，∴，∴；③当Q在y轴正半轴上时，过点C作轴于F，过B作轴于T，如图，∴，，同②可证，∴，，∴，即，∴，∴，∴；综上，Q的坐标为或或．10．（1）如图1，在△ABC中∠A＝60 º，BD、CE均为△ABC的角平分线且相交于点O.①填空：∠BOC＝ 度；②求证：BC＝BE+CD．(写出求证过程)（2）如图2，在△ABC中，AB=AC=m，BC=n， CE平分∠ACB．①若△ABC的面积为S，在线段CE上找一点M，在线段AC上找一点N，使得AM+MN的值最小，则AM+MN的最小值是　　 　　　　．(直接写出答案)；　②若∠A=20°，则△BCE的周长等于　　　　　　．(直接写出答案)．【答案】（1）①120；②证明见解析；（2）①(或)；②m【详解】试题分析：（1）①根据三角形内角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，则2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，再根据角平分线的定义得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，则2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BOC=90°+∠A，由∠A＝60 º即可得∠BOC的值；②采用截长法在在BC上截取BF＝BE，连接OF，由边角边证得△EBO≌△FBO，再由角边角证得△DCO≌△FCO，即可得证；（2）①当AM⊥BC时，AM+MN的值最小；②在CA上截取CD=CB,以E为圆心EC为半径画弧，与AC交于点F，通过构造全等三角形，利用等腰三角形的判定和性质即可求解.试题解析：（1）①在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，∵BD、CE均为△ABC的角平分线，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∴2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，∴∠BOC=90°+∠A，∵∠A＝60 º，∴∠BOC=90°+×60 º=120°；故答案为120°；②证明：由（1）①∠BOC＝120°，∴∠BOE＝∠COD＝180°－120°＝60°，在BC上截取BF＝BE，连接OF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBO＝∠FBO，又∵BO＝BO(公共边相等)∴△EBO≌△FBO(SAS)∴∠BOF＝∠BOE＝60°，∴∠COF＝∠BOC－∠BOF＝120°－60°＝60°＝∠COD，∵CE平分∠ACB，∴∠DCO＝∠FCO，又∵CO＝CO(公共边相等)∴△DCO≌△FCO(ASA)∴CD＝CF，∴BC＝BF+CF＝BE+CD；（2）①如图：当AM⊥BC时，与BC交于点D，过M作MN⊥AC交AC与点D，∵CE平分∠ACB，∴DM=DN，∴AD=AM+MD=AM+MN,此时，AM+MN的值最小，由S△ABC=BC·AD，BC=n，△ABC的面积为S，得AD=，或∵AB=AC, AD⊥BC, AB=AC=m，BC=n，∴BD=CD=,在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=；故答案为(或)；②如图：在CA上截取CD=CB,以E为圆心EC为半径画弧，与AC交于点F，∵AB=AC=m，∠A=20°，∴∠B=∠C=80°,∵CE平分∠ACB,∴∠BCE=∠DCE=40°,∵CE=CE,∴△BCE≌△DCE,∴∠CDE=∠B=80°,∠DEC=∠BEC=60°,BE=DE,∴∠CDE=40°,∵EC=EF,∴∠EFC=∠ECF=40°,∴∠DEF=∠CDE-∠DFE=40°,∴DE=DF,∠AEF=∠DFE-∠A=40°-20°=20°,∴EF=AF,∴BE=DF,CE=AF,∴△BCE的周长=BC+CE+BE=CD+AF+DF=AC=m.11．在中，，交BA的延长线于点G．特例感知：（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B．通过观察、测量BF与CG的长度，得到．请给予证明．猜想论证：（2）当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作垂足为E．此时请你通过观察、测量DE，DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．联系拓展：（3）当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）【答案】（1）证明见详解；（2）DE+DF=CG，证明见详解；（3）成立．【详解】（1）∵，∴∠ABC=∠ACB，在△BFC和△CGB中， ∴△BFC≌△CGB，∴（2）DE+DF=CG，如图，过点B作BM⊥CF交CF延长线于M，过点D作DH⊥BM于H，∵，∴∠ABC=∠ACB，在△BMC和△CGB中，∴△BMC≌△CGB，∴BM=CG，由题意和辅助线可知，∠M=90°，∠MFD=90°，∠MHD=90°，∴四边形MHDF为矩形，∴MH=DF，DH∥MF，∴∠HDB=∠MCB，∴∠HDB=∠ABC，在△BDH和△DBE中，∴△BDH≌△DBE，∴BH=DE，∵BM=CG，BM=BH+HM，∴DE+DF=CG，（3）成立，如图，过点B作BM⊥CF交CF延长线于M，过点D作DH⊥BM于H，同（2）中的方法∵，∴∠ABC=∠ACB，在△BMC和△CGB中，∴△BMC≌△CGB，∴BM=CG，由题意和辅助线可知，∠M=90°，∠MFD=90°，∠MHD=90°，∴四边形MHDF为矩形，∴MH=DF，DH∥MF，∴∠HDB=∠MCB，∴∠HDB=∠ABC，在△BDH和△DBE中，∴△BDH≌△DBE，∴BH=DE，∵BM=CG，BM=BH+HM，∴DE+DF=CG．12．已知为等边三角形．（1）如图1，点D为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：．（2）如图2，当点D在边的延长线上时，以为边作等边三角形，求证：无论点D的位置如何变化，的内角平分线的交点P始终在的角平分线上．（3）如图3，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E，连接，交于点F．试判断线段，，之间存在何种数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3），证明见解析．【详解】（1）∵和都是等边三角形，∴．∴，即．在和中，，∴．（2）过点P作于点M，交射线BA于点N，∴，∵为内角平分线，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴平分，即无论点D的位置如何变化，的内角平分线的交点P始终在的角平分线上．（3）在上截，连接，∵，∴，在和中，∴，∴，∵为等腰直角三角形，∴∵E为斜边中点，∴，∴∴，∴，∴，∴为等边三角形，∴，∴．13．在锐角△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AD⊥BC于点D．(1)如图1，过点B作BG⊥AC于点G，求证：AC=BF；(2)动点P从点D出发，沿射线DB运动，连接AP，过点A作AQ⊥AP，且满足．①如图2，当点P在线线段BD上时，连接PQ分别交AD、AC于点M、N．请问是否存在某一时刻使得△APM和△AQN成轴对称，若有，求此刻∠APD的大小；若没有，请说明理由．②如图3，连接BQ，交直线AD与点F，当点P在线段BD上时，试猜想BP和DF的数量关系并证明；当点P在DB的延长线上时，若，请直接写出的值．【答案】(1)证明过程见解析．(2)①存在某一时刻使得△APM和△AQN成轴对称，∠APD=30°，理由见解析．②BP=2DF，【详解】（1）证明：∵AD⊥BC∴∠ADB=∠ADC=90°又∵∠B=45°∴△ABD是等腰直角三角形∴AD=BD∵BG⊥AC∴∠BGC=90°又∵∠C=60°∴∠DAC=90°-∠C=90°-60°=30°∠FBD=90°-∠C=90°-60°=30°∴∠DAC=∠FBD在△BDF和△ADC中，∴△BDF≌△ADC∴AC=BF（2）①存在某一时刻使得△APM和△AQN成轴对称∵AQ⊥AP∴∠QAP=90°由(1)的证明知∠DAC=30°，根据对称的性质，得∠PAD=∠QAC===30°∵∠ADP=90°∴∠APD=90°-∠PAD=90°-30°=60°②BP=2DF理由如下:如图4所示,过Q作QE⊥AD，交AD与点E,那么∠AEQ=∠FEQ=90°∴∠AQE+∠QAE=90°又∵∠PAD+∠QAE=90°∴∠AQE=∠PAD在△APD和△QAE中，，∴△APD≌△QAE∴AE=PD；AD=QE，∴DE=BP又∵AD=BD，∴BD=QE在△QEF和△BDF中，，∴△QEF≌△BDF，∴EF=DF，∴BP=2DF当点P在DB的延长线上时，如下图所示，由上述证明过程可知PB=2DF，BD=AD 又已知，∴DF=AD∴PB=2×BD=BD，∴=14．如图，在中，是的平分线．(1)在线段上任意取一点，过点作，交于点，交于点，通过这样的作图能得到结论，那么依据是_________．(2)如果，平分交于点，且、相交于点，求证：．(3)如果，在边上截取一点，连接，使，连接．请直接写出的度数．【答案】(1)三线合一，(2)见解析(3)【详解】（1）解：∵是的平分线，，∴∴∴∵∴（三线合一），故答案为：三线合一；（2）过点作，垂足分别为，连接∵平分，是的平分线，∴平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在与中，，∴，∴；（3）∵是的平分线，∴，设，∵，∵，∴，∴，如图，延长至，过点分别作的垂线，垂直分别为，∵，∴，∴是的角平分线，∵，∴，∴是的角平分线，又，∴，∴，∴是的角平分线，∴，∴，∴，即．15．（1）如图1，已知，，，求证：；（2）如图2，已知等腰，，，，是三角形外部一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，点正好在线段上，求的长．（3）如图3，已知等腰，，，，是三角形外部一点，连接，将绕点旋转90°恰好得到，请直接写出线段_________．【答案】（1）见解析；（2）；（3）或【详解】解：（1）如图，延长到点E，使，连接，∵，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，即，∴是等边三角形，∴，又∵，∴；（2）如图，延长到F，使，连接，∵，∴，∵，∴，在和中， ∴，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，设，则，过D作于G，则，∴，在直角中，，∴，解得：（负值舍去），∴，∴；（3）将顺时针旋转得到，如图，同理可得：是等腰直角三角形，，又，∴；将逆时针旋转得到，如图，在上取，连接，设，交于点O，在和中，，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，又，∴，综上：的长为：或．