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高一数学分层训练AB卷(人教A版2019必修第二册)第六章平面向量及其应用【单元测试A卷】(原卷版+解析)
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第六章平面向量及其应用单元检测A卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知, ,若,则实数的值为( )A. B. C. D.2.已知向量,若,则( )A.1 B. C.2 D.3. “”是“”的( )A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件4.在△ABC中,若三边之比,则等于( )A. B. C.2 D.-25.中,,则等于( )A. B. C. D.6.已知向量,满足,且与的夹角为,则( )A.6 B.8 C.10 D.147.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若,则B等于( )A. B. C. D.8.设非零向量,若,则的取值范围为( )A. B. C. D.选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得09.在中,下列关系中一定成立的是( )A. B.C. D.10.若单位向量满足,则( )A. B.C. D.11.如图,在中,是的三等分点,则( )A.B.若,则在上的投影向量为C.若,则D.若12.在中,内角所对的边分别为,根据下列条件解三角形,其中有两解的是( )A. B.C. D.三.填空题 本题共4小题,每小题5分,共20分13.已知平面向量,则与的夹角为______.14.已知,则在方向上的数量投影为_______.15.若满足的有两个,则实数的取值范围是___________.16.2021年6月,位于聊城开发区的中华路徒骇河大桥建成通车,成为聊城市的又一大地标性建筑.某人想了解大桥的最高点到地面的距离,在地面上的两点测得最高点的仰角分别为(点与在地面上的投影O在同一条直线上),又量得米,根据测量数据可得高度______米.四.解答题:本题共6小题,17题10分,剩下每题12分。共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知向量的夹角为,且.(1)求;(2)当时,求实数m.18.在平面直角坐标系中,已知点,, (1)若三点共线,求实数的值;(2)若,求实数的值.19.已知的内角,,所对的边分别为,,,若,,且.(1)求;(2)求.20.如图,在中,,M,N分别为的中点.(1)若,求.(2)若,求的大小.21.如图,在中,为边上一点,且.(1)设,求实数、的值;(2)若,求的值;(3)设点满足,求证:.22.在中,角、、的对边分别为、、,且.(1)求角的大小;(2)若,的面积,求的周长.第六章平面向量及其应用单元检测A卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知, ,若,则实数的值为( )A. B. C. D.【答案】B【分析】由平面向量平行的坐标表示求解,【详解】由题意得.故选:B2.已知向量,若,则( )A.1 B. C.2 D.【答案】C【分析】因,则=0,后由数量积的坐标运算法则可得答案.【详解】因,则,得.故选:C3. “”是“”的( )A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】A【分析】利用相等向量的概念,结合充分条件、必要条件的定义得到答案.【详解】若成立,由向量相等得到两向量的长度方向都相同,即,反之,若成立,若两向量的方向不同则推不到,所以“”是“”的充分非必要条件,故选:A.4.在△ABC中,若三边之比,则等于( )A. B. C.2 D.-2【答案】B【分析】根据正弦定理将角化边,再结合已知条件,即可求得结果.【详解】根据正弦定理可得.故选:B.5.中,,则等于( )A. B. C. D.【答案】D【分析】把用表示,把用表示,所以用表示,也用表示,然后多项式展开即可.【详解】由,而,又由已知可得,所以.故选:D6.已知向量,满足,且与的夹角为,则( )A.6 B.8 C.10 D.14【答案】B【分析】应用平面向量数量积的运算律展开所求的式子,根据已知向量的模和夹角求值即可.【详解】`由,且与的夹角为,所以.故选:B.7.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若,则B等于( )A. B. C. D.【答案】C【分析】由,设,利用余弦定理求解.【详解】解:在中,,设,由余弦定理得,因为,所以,故选:B8.设非零向量,若,则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【分析】根据向量模的性质和数量积公式,分析余弦的范围,即可得的取值范围.【详解】解:由题意,,,,故选:B.选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得09.在中,下列关系中一定成立的是( )A. B.C. D.【答案】BD【分析】利用正弦定理分析判断即可.【详解】在中,由正弦定理得,所以,所以,因为,所以,所以,所以AC错误,BD正确,故选:BD10.若单位向量满足,则( )A. B.C. D.【答案】BCD【分析】根据向量的数量积运算律以及夹角公式求解即可.【详解】因为,所以,所以,因为为单位向量,两边平方,得,即,所以或,故A错误;所以故B正确;所以,故C正确;,,所以,故D正确.故选:BCD.11.如图,在中,是的三等分点,则( )A.B.若,则在上的投影向量为C.若,则D.若【答案】AD【分析】根据平面向量线性运算的性质,结合投影向量的定义、平面向量数量积的运算性质逐一判断即可.【详解】对于A,,故A正确;对于B,因为,所以,由题意得为的一个三等分点(靠点更近),所以在上的投影向量为,故B不正确;对于C,,,故,又,所以,故,故C错误;对于D,,而,代入得,故选项D正确,故选:AD12.在中,内角所对的边分别为,根据下列条件解三角形,其中有两解的是( )A. B.C. D.【答案】BC【分析】对于A,直接判断即可;对于B,,结合即可判断;对于C,,结合即可判断;对于D,,结合即可判断.【详解】对于A,因为,所以,所以只有一解;故A错误;对于B,因为,所以由正弦定理得,因为,即,所以,所以有两解(,或),故B正确;对于C,因为,所以由正弦定理得,即,因为,所以有两解(,或,),故C正确;对于D,因为,所以由正弦定理得,由于,故,所以只有一解,故D错误;故选:BC三.填空题 本题共4小题,每小题5分,共20分13.已知平面向量,则与的夹角为______.【答案】【分析】由平面向量夹角的坐标表示求解,【详解】由题意得,,,故答案为:14.已知,则在方向上的数量投影为_______.【答案】【分析】根据投影的定义求解即可.【详解】解:由,得,所以在方向上的数量投影为.故答案为:.15.若满足的有两个,则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】利用余弦定理,则关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根即可求解.【详解】设,在中,由余弦定理得,即,整理为关于的一元二次方程,根据题意,该一元二次方程有两个不相等的正实数根,所以,解得,故答案为: .16.2021年6月,位于聊城开发区的中华路徒骇河大桥建成通车,成为聊城市的又一大地标性建筑.某人想了解大桥的最高点到地面的距离,在地面上的两点测得最高点的仰角分别为(点与在地面上的投影O在同一条直线上),又量得米,根据测量数据可得高度______米.【答案】【分析】由得出,再由正弦定理求解即可.【详解】由题可得,所以米,由正弦定理可得米.故答案为:四.解答题:本题共6小题,17题10分,剩下每题12分。共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知向量的夹角为,且.(1)求;(2)当时,求实数m.【答案】(1);(2)12.【分析】(1)利用向量数量积的运算律及已知求;(2)由向量垂直可得,结合数量积的运算律列方程求参数值即可.(1)由,则.(2)由题设,则.18.在平面直角坐标系中,已知点,, (1)若三点共线,求实数的值;(2)若,求实数的值.【答案】(1)或(2)【分析】(1)根据点的坐标得到向量,根据三点共线则向量与向量共线得到方程组,解方程组得到m的值;(2)根据两直线垂直得到向量的数量积为0,从而得到关于m的方程,解方程得到m的值.(1)由题意得,则由三点共线得存在实数,使得,即,解得或.(2)由得,即,解得.19.已知的内角,,所对的边分别为,,,若,,且.(1)求;(2)求.【答案】(1);(2)或.【分析】(1)根据正弦定理即得;(2)利用同角关系式及余弦定理即得.(1)由正弦定理得:,∴,即,解得;(2)∵,∴,∴,由余弦定理得:,∴,即,解得:或.20.如图,在中,,M,N分别为的中点.(1)若,求.(2)若,求的大小.【答案】(1)(2)【分析】(1)通过几何分析得到 再根据数量积公式求得再用余弦定理即可求解; (2)根据向量的数量积公式求出即可求解.【详解】(1)由得,为直角三角形,又因为M,N分别为的中点,所以所以所以因为,所以所以,所以.(2)由(1)知,,所以,同理,,所以,所以,所以,所以.21.如图,在中,为边上一点,且.(1)设,求实数、的值;(2)若,求的值;(3)设点满足,求证:.【答案】(1)(2)(3)证明见解析.【分析】(1)根据向量的减法运算和线性表示即可求解;(2)利用数量积的运算律求解;(2)用基底表示出向量,再用数量积运算律表示出模长,即可得证.【详解】(1)因为,所以,所以,所以;(2);(3)因为,所以,因为,,,,所以,,所以,即,得证.22.在中,角、、的对边分别为、、,且.(1)求角的大小;(2)若,的面积,求的周长.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用正弦定理即可求解;(2)根据三角形的面积公式和余弦定理即可求解.【详解】(1)因为,由正弦定理得,因为,所以,即,因为,所以.(2),所以,由余弦定理得,所以的周长为.
第六章平面向量及其应用单元检测A卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知, ,若,则实数的值为( )A. B. C. D.2.已知向量,若,则( )A.1 B. C.2 D.3. “”是“”的( )A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件4.在△ABC中,若三边之比,则等于( )A. B. C.2 D.-25.中,,则等于( )A. B. C. D.6.已知向量,满足,且与的夹角为,则( )A.6 B.8 C.10 D.147.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若,则B等于( )A. B. C. D.8.设非零向量,若,则的取值范围为( )A. B. C. D.选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得09.在中,下列关系中一定成立的是( )A. B.C. D.10.若单位向量满足,则( )A. B.C. D.11.如图,在中,是的三等分点,则( )A.B.若,则在上的投影向量为C.若,则D.若12.在中,内角所对的边分别为,根据下列条件解三角形,其中有两解的是( )A. B.C. D.三.填空题 本题共4小题,每小题5分,共20分13.已知平面向量,则与的夹角为______.14.已知,则在方向上的数量投影为_______.15.若满足的有两个,则实数的取值范围是___________.16.2021年6月,位于聊城开发区的中华路徒骇河大桥建成通车,成为聊城市的又一大地标性建筑.某人想了解大桥的最高点到地面的距离,在地面上的两点测得最高点的仰角分别为(点与在地面上的投影O在同一条直线上),又量得米,根据测量数据可得高度______米.四.解答题:本题共6小题,17题10分,剩下每题12分。共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知向量的夹角为,且.(1)求;(2)当时,求实数m.18.在平面直角坐标系中,已知点,, (1)若三点共线,求实数的值;(2)若,求实数的值.19.已知的内角,,所对的边分别为,,,若,,且.(1)求;(2)求.20.如图,在中,,M,N分别为的中点.(1)若,求.(2)若,求的大小.21.如图,在中,为边上一点,且.(1)设,求实数、的值;(2)若,求的值;(3)设点满足,求证:.22.在中,角、、的对边分别为、、,且.(1)求角的大小;(2)若,的面积,求的周长.第六章平面向量及其应用单元检测A卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知, ,若,则实数的值为( )A. B. C. D.【答案】B【分析】由平面向量平行的坐标表示求解,【详解】由题意得.故选:B2.已知向量,若,则( )A.1 B. C.2 D.【答案】C【分析】因,则=0,后由数量积的坐标运算法则可得答案.【详解】因,则,得.故选:C3. “”是“”的( )A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】A【分析】利用相等向量的概念,结合充分条件、必要条件的定义得到答案.【详解】若成立,由向量相等得到两向量的长度方向都相同,即,反之,若成立,若两向量的方向不同则推不到,所以“”是“”的充分非必要条件,故选:A.4.在△ABC中,若三边之比,则等于( )A. B. C.2 D.-2【答案】B【分析】根据正弦定理将角化边,再结合已知条件,即可求得结果.【详解】根据正弦定理可得.故选:B.5.中,,则等于( )A. B. C. D.【答案】D【分析】把用表示,把用表示,所以用表示,也用表示,然后多项式展开即可.【详解】由,而,又由已知可得,所以.故选:D6.已知向量,满足,且与的夹角为,则( )A.6 B.8 C.10 D.14【答案】B【分析】应用平面向量数量积的运算律展开所求的式子,根据已知向量的模和夹角求值即可.【详解】`由,且与的夹角为,所以.故选:B.7.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若,则B等于( )A. B. C. D.【答案】C【分析】由,设,利用余弦定理求解.【详解】解:在中,,设,由余弦定理得,因为,所以,故选:B8.设非零向量,若,则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【分析】根据向量模的性质和数量积公式,分析余弦的范围,即可得的取值范围.【详解】解:由题意,,,,故选:B.选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得09.在中,下列关系中一定成立的是( )A. B.C. D.【答案】BD【分析】利用正弦定理分析判断即可.【详解】在中,由正弦定理得,所以,所以,因为,所以,所以,所以AC错误,BD正确,故选:BD10.若单位向量满足,则( )A. B.C. D.【答案】BCD【分析】根据向量的数量积运算律以及夹角公式求解即可.【详解】因为,所以,所以,因为为单位向量,两边平方,得,即,所以或,故A错误;所以故B正确;所以,故C正确;,,所以,故D正确.故选:BCD.11.如图,在中,是的三等分点,则( )A.B.若,则在上的投影向量为C.若,则D.若【答案】AD【分析】根据平面向量线性运算的性质,结合投影向量的定义、平面向量数量积的运算性质逐一判断即可.【详解】对于A,,故A正确;对于B,因为,所以,由题意得为的一个三等分点(靠点更近),所以在上的投影向量为,故B不正确;对于C,,,故,又,所以,故,故C错误;对于D,,而,代入得,故选项D正确,故选:AD12.在中,内角所对的边分别为,根据下列条件解三角形,其中有两解的是( )A. B.C. D.【答案】BC【分析】对于A,直接判断即可;对于B,,结合即可判断;对于C,,结合即可判断;对于D,,结合即可判断.【详解】对于A,因为,所以,所以只有一解;故A错误;对于B,因为,所以由正弦定理得,因为,即,所以,所以有两解(,或),故B正确;对于C,因为,所以由正弦定理得,即,因为,所以有两解(,或,),故C正确;对于D,因为,所以由正弦定理得,由于,故,所以只有一解,故D错误;故选:BC三.填空题 本题共4小题,每小题5分,共20分13.已知平面向量,则与的夹角为______.【答案】【分析】由平面向量夹角的坐标表示求解,【详解】由题意得,,,故答案为:14.已知,则在方向上的数量投影为_______.【答案】【分析】根据投影的定义求解即可.【详解】解:由,得,所以在方向上的数量投影为.故答案为:.15.若满足的有两个,则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】利用余弦定理,则关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根即可求解.【详解】设,在中,由余弦定理得,即,整理为关于的一元二次方程,根据题意,该一元二次方程有两个不相等的正实数根,所以,解得,故答案为: .16.2021年6月,位于聊城开发区的中华路徒骇河大桥建成通车,成为聊城市的又一大地标性建筑.某人想了解大桥的最高点到地面的距离,在地面上的两点测得最高点的仰角分别为(点与在地面上的投影O在同一条直线上),又量得米,根据测量数据可得高度______米.【答案】【分析】由得出,再由正弦定理求解即可.【详解】由题可得,所以米,由正弦定理可得米.故答案为:四.解答题:本题共6小题,17题10分,剩下每题12分。共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知向量的夹角为,且.(1)求;(2)当时,求实数m.【答案】(1);(2)12.【分析】(1)利用向量数量积的运算律及已知求;(2)由向量垂直可得,结合数量积的运算律列方程求参数值即可.(1)由,则.(2)由题设,则.18.在平面直角坐标系中,已知点,, (1)若三点共线,求实数的值;(2)若,求实数的值.【答案】(1)或(2)【分析】(1)根据点的坐标得到向量,根据三点共线则向量与向量共线得到方程组,解方程组得到m的值;(2)根据两直线垂直得到向量的数量积为0,从而得到关于m的方程,解方程得到m的值.(1)由题意得,则由三点共线得存在实数,使得,即,解得或.(2)由得,即,解得.19.已知的内角,,所对的边分别为,,,若,,且.(1)求;(2)求.【答案】(1);(2)或.【分析】(1)根据正弦定理即得;(2)利用同角关系式及余弦定理即得.(1)由正弦定理得:,∴,即,解得;(2)∵,∴,∴,由余弦定理得:,∴,即,解得:或.20.如图,在中,,M,N分别为的中点.(1)若,求.(2)若,求的大小.【答案】(1)(2)【分析】(1)通过几何分析得到 再根据数量积公式求得再用余弦定理即可求解; (2)根据向量的数量积公式求出即可求解.【详解】(1)由得,为直角三角形,又因为M,N分别为的中点,所以所以所以因为,所以所以,所以.(2)由(1)知,,所以,同理,,所以,所以,所以,所以.21.如图,在中,为边上一点,且.(1)设,求实数、的值;(2)若,求的值;(3)设点满足,求证:.【答案】(1)(2)(3)证明见解析.【分析】(1)根据向量的减法运算和线性表示即可求解;(2)利用数量积的运算律求解;(2)用基底表示出向量,再用数量积运算律表示出模长,即可得证.【详解】(1)因为,所以,所以,所以;(2);(3)因为,所以,因为,,,,所以,,所以,即,得证.22.在中,角、、的对边分别为、、,且.(1)求角的大小;(2)若,的面积,求的周长.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用正弦定理即可求解;(2)根据三角形的面积公式和余弦定理即可求解.【详解】(1)因为,由正弦定理得,因为,所以,即,因为,所以.(2),所以,由余弦定理得,所以的周长为.
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