高一数学分层训练AB卷(人教A版2019必修第二册)第六章平面向量及其应用【单元测试B卷】(原卷版+解析)

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第六章平面向量及其应用单元检测B卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在中，角的对边分别为 ．若，则（    ）A． B． C．1 D．2．下列命题中正确的个数是（    ）①起点相同的单位向量，终点必相同；②已知向量，则四点必在一直线上；③若，则；④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.A．0 B．1 C．2 D．33．若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，与的夹角为，则力的大小为（    ）．A．7 B． C． D．14．已知向量，若，则实数m的值是（    ）A．3或 B．或1 C．3或1 D．或5．在中，，则中最小的边长为（    ）A． B．C． D．6．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为、，且、两点之间的距离为，则树的高度为（    ）A． B． C． D．7．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（    ）A． B． C． D．8．海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师．在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式，这里，a，b，c分别为的三个角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美．已知中，，则该三角形内切圆半径（    ）A． B． C． D．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（    ）A．若实数m，n使，则B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数C．对于m，，不一定在该平面内D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使10．在单位圆中，是圆上的动点（可重合），则下列结论一定成立的有（    ）A．B．在上的投影向量可能为C．D．若，则11．如图，正方形的边长为，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有（    ）A．点在线段上时，为定值B．点在线段上时，为定值C．的最大值为D．使的点轨迹长度为12．如图，在中，，延长到点，使得，以为斜边向外作等腰直角三角形，则（    ）A．B．C．面积的最大值为D．四边形面积的最大值为三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知向量，且，则__________.14．已知空间中非零向量，且，，，则 _________15．如图，为了测量两点间的距离，选取同一平面上的，两点，测出四边形各边的长度（单位：km）：，，，，且四点共圆，则的长为_________ .16．已知，，且，则的取值范围是___________.四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知向量，．(1)求；(2)已知，且，求向量与向量的夹角．18．在中，设角所对的边长分别为，且．(1)求角；(2)若的面积，，求的值．19．已知(1)当k为何值时，与共线？(2)若，且A，B，C三点共线，求m的值．20．某农户有一个三角形地块，如图所示.该农户想要围出一块三角形区域（点在上）用来养一些家禽，经专业测量得到.(1)若，求的长；(2)若，求的周长.21．在中，a、b、c分别为角A，B，C的对边，平面内点O满足，且．(1)证明：点O为三角形的外心；(2)求的取值范围．22．已知的内角的对边分别为，满足，(1)求；(2)是线段边上的点，若，求的面积.第六章平面向量及其应用单元检测B卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在中，角的对边分别为 ．若，则（    ）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根据正弦定理角化边，即可求得答案.【详解】由题意在中，由正弦定理得，为外接圆半径，故由,得 ，故选：B.2．下列命题中正确的个数是（    ）①起点相同的单位向量，终点必相同；②已知向量，则四点必在一直线上；③若，则；④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】由平面向量的概念对选项逐一判断，【详解】对于A，单位向量的方向不确定，故起点相同的单位向量，终点不一定相同，故A错误，对于B，向量，则四点共线或，故B错误，对于C，若，当时，不一定平行，故C错误，对于D，若三点共线，则，此时起点不同，终点相同，故D错误，故选：A3．若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，与的夹角为，则力的大小为（    ）．A．7 B． C． D．1【答案】D【分析】根据三力平衡得到，然后通过平方将向量式数量化得到，代入数据即可得到答案.【详解】根据三力平衡得，即，两边同平方得，即即,解得故选：D.4．已知向量，若，则实数m的值是（    ）A．3或 B．或1 C．3或1 D．或【答案】C【分析】根据向量坐标化的加减运算法则得到，再利用向量坐标化后的点乘公式得到关于的方程，解出即可.【详解】，，则，即解得或3.故选：C.5．在中，，则中最小的边长为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】易得，再根据正弦定理计算最小角的对边即可.【详解】由题意，，故中最小的边长为.由正弦定理，故.故选：B6．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为、，且、两点之间的距离为，则树的高度为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理可得，进而即得.【详解】在，，，，又，由正弦定理得：，，树的高度为(m).故选：A．7．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可.【详解】由题意,即，所以 故选：A.8．海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师．在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式，这里，a，b，c分别为的三个角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美．已知中，，则该三角形内切圆半径（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由及结合余弦定理可求得，用海伦公式求，由求.【详解】 ， ，又 ， ， ， ， ， ， ，又 ， ， ，故选：D.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（    ）A．若实数m，n使，则B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数C．对于m，，不一定在该平面内D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使【答案】AB【分析】根据基底的定义逐项判断即可.【详解】解：根据基底的定义知AB正确；对于C，对于m，，在该平面内，故C错误；对于D，m，n是唯一的，故D错误.故选:AB.10．在单位圆中，是圆上的动点（可重合），则下列结论一定成立的有（    ）A．B．在上的投影向量可能为C．D．若，则【答案】BC【分析】对选项A，D，根据平面向量的加减运算即可判断A，D错误，对选项B，根据当所成角为时，在上的投影向量为，即可判断B正确，对选项C，根据平面向量数量积概念即可判断C正确.【详解】对选项A，，故A错误.对选项B，在上的投影向量为，若，则，即所成角为.所以当所成角为时，在上的投影向量为，故B正确.对选项C，，因为是单位圆上的动点（可重合），所以，所以，故C正确.对选项D，因为，所以，所以，故D错误.故选：BC11．如图，正方形的边长为，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有（    ）A．点在线段上时，为定值B．点在线段上时，为定值C．的最大值为D．使的点轨迹长度为【答案】AC【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量的坐标运算逐项判断，可得出合适的选项.【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设点，则，，，，当点在线段上时，，，故A正确；当点在线段上时，不是定值，不为定值，故B错误；由得，则，，所以，故当时，即当点与点重合时，取得最大值，故C正确；由得，直线交轴于点，交轴于点，所以，使的点轨迹为线段，且，故D错误.故选：AC.12．如图，在中，，延长到点，使得，以为斜边向外作等腰直角三角形，则（    ）A．B．C．面积的最大值为D．四边形面积的最大值为【答案】ACD【分析】A选项：利用余弦定理列等式即可；B选项：由题意得的范围，即可得到的范围；C选项：根据几何的知识得到当时，最大，利用三角形面积公式求面积即可；D选项：将四边形的面积转化成，得到面积，再利用辅助角公式和三角函数的性质求最值即可.【详解】在中，由余弦定理得，A正确；，则，所以，B错误；易得当时，取最大值，C正确；，其中，D正确．故选：ACD.三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知向量，且，则__________.【答案】【分析】根据向量平行列出方程，求出m的值.【详解】由题意得：，解得：.故答案为：-114．已知空间中非零向量，且，，，则 _________【答案】【分析】将平方，结合数量积以及模的计算，即可求得答案.【详解】由题意可得，故，故答案为：.15．如图，为了测量两点间的距离，选取同一平面上的，两点，测出四边形各边的长度（单位：km）：，，，，且四点共圆，则的长为_________ .【答案】7【分析】根据四点共圆可得，再利用余弦定理可得，即可求得答案.【详解】∵四点共圆，圆内接四边形的对角和为 ﹒∴ ，∴由余弦定理可得 ，，∵，即 ，∴ ,解得,故答案为：716．已知，，且，则的取值范围是___________.【答案】【分析】由题意，均在圆心为原点，半径为2的圆上，再根据数量积公式，结合几何意义分析最值求解即可.【详解】由题意，，故均在圆心为原点，半径为2的圆上.①当为直径时，，又为在直径上的投影，故，此时；②当不为直径时，，设，数形结合可得在上的投影，故，即，故当，时有最小值，此时.综上可得的取值范围是.故答案为：四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知向量，．(1)求；(2)已知，且，求向量与向量的夹角．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量的坐标运算求向量的模即可；（2）由向量的模，根据向量的数量积公式转化求向量的夹角即可.【详解】（1）由题知，，所以，所以.（2）由题知，，，，所以，，所以，所以，所以，所以，因为，向量与向量的夹角为.18．在中，设角所对的边长分别为，且．(1)求角；(2)若的面积，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理边化角，或余弦定理角化边解决即可；（2）根据题意与面积公式求得， ，结合余弦定理得，由正弦定理得，即可解决.【详解】（1）解法一：因为，由正弦定理得：所以因为，所以，即因为，所以．解法二：因为，由余弦定理得：整理得，即又由余弦定理得，所以，即因为，所以．（2）由（1）得，因为的面积，所以，所以，由于，所以，又由余弦定理：，所以．所以，所以由正弦定理得，所以．19．已知(1)当k为何值时，与共线？(2)若，且A，B，C三点共线，求m的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）先求出与的坐标，然后利用两向量共线列方程可求出的值；（2）由题意可得和共线，列方程可求得m的值．【详解】（1）因为所以，，因为与共线，所以，解得；（2）因为所以，，因为A，B，C三点共线，所以，解得.20．某农户有一个三角形地块，如图所示.该农户想要围出一块三角形区域（点在上）用来养一些家禽，经专业测量得到.(1)若，求的长；(2)若，求的周长.【答案】(1)4(2)【分析】（1）在中应用正弦定理得出的长；（2）由结合面积公式得出，再由余弦定理得出，，进而得出的周长.【详解】（1）解：在中，，且，所以.因为，，所以.在，由正弦定理可得，所以.（2）因为，所以，所以，即：，可得.在中，由余弦定理可得，所以，解得或（舍去）.因为，所以.在中，由余弦定理可得所以的周长为.21．在中，a、b、c分别为角A，B，C的对边，平面内点O满足，且．(1)证明：点O为三角形的外心；(2)求的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）已知，根据向量的运算可得，得证点O为三角形的外心.（2）延长AO交外接圆于点D，则AD是圆O的直径，可得，，利用向量的加减和数量积的运算求得，因为，所以，求出二次函数的值域即可.【详解】（1）证明：由可得：，所以，即，同理：，所以，所以点O为三角形的外心.（2）由于O是三角形外接圆的圆心，故O是三边中垂线的交点．如图所示，延长AO交外接圆于点D，则AD是圆O的直径．所以，，．所以，因为，所以，令，则当时，有最小值．又因为，，所以，所以的取值范围是22．已知的内角的对边分别为，满足，(1)求；(2)是线段边上的点，若，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦函数的倍角公式与诱导公式将条件转化为关于的一元二次方程，解之即可求得；（2）在、与中，利用余弦定理及诱导公式得到关于的方程组，从而求得，从而利用三角形面积公式即可得解.【详解】（1）因为，，，所以，即，又，所以，又，所以，则，故，又，所以.（2）设，，，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，又，，所以，，整理得①，在中，由余弦定理得，则②，由①－②得，故，将代入①式得，所以的面积..