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苏科版八年级上册1.2 全等三角形课后测评
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这是一份苏科版八年级上册1.2 全等三角形课后测评，共13页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc30753" 【题型1 全等三角形的判定条件】 PAGEREF _Tc30753 \h 1
\l "_Tc22248" 【题型2 灵活选择判定方法证明两个三角形全等】 PAGEREF _Tc22248 \h 3
\l "_Tc23134" 【题型3 运用全等三角形证明线段相等或角相等】 PAGEREF _Tc23134 \h 4
\l "_Tc8972" 【题型4 运用全等三角形证明线段间的位置关系】 PAGEREF _Tc8972 \h 5
\l "_Tc30844" 【题型5 运用全等三角形解决实际测量问题】 PAGEREF _Tc30844 \h 6
\l "_Tc12211" 【题型6 作辅助线构造全等三角形证明线段间的和差倍分关系】 PAGEREF _Tc12211 \h 7
\l "_Tc20909" 【题型7 与三角形全等有关的动点探究题】 PAGEREF _Tc20909 \h 8
\l "_Tc2642" 【题型8 与三角形全等有关的线段或角之间的规律的探究题】 PAGEREF _Tc2642 \h 10
【知识点 全等三角形的判定】
【题型1 全等三角形的判定条件】
【例1】（2023春·广东深圳·八年级校联考期中）如图，在△ABC和△BAD中，∠C=∠D=90°．在以下条件：①AC=BD；②AD=BC；③∠BAC=∠ABD；④∠ABC=∠BAD；⑤∠CAD=∠DBC中，再选一个条件，就能使△ABC≌△BAD，共有（ ）选择．
A．2种B．3种C．4种D．5种
【变式1-1】（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B=∠C．请结合图形，补充1个条件，使△ABE≌△ACD，则可以添加的条件是__________．
【变式1-2】（2023春·湖南长沙·八年级校联考期末）在△ABE与△DBC中，BC=BE，AB=DB，要使这两个三角形全等，还需具备的条件是（ ）
A．∠E=∠CB．∠ABD=∠CBEC．∠ABE=∠DBED．∠A=∠D
【变式1-3】（2023春·福建莆田·八年级统考期末）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对△ABC及△A'B'C'的对应边或对应角添加一组等量条件（点A'，B'，C'分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定△ABC与△A'B'C'全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．
上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是___________．（填写所有正确结论的序号）
①若第3轮甲添加∠C=∠C'=45°，则甲获胜；
②若第3轮甲添加BC=B'C'=3cm，则甲必胜；
③若第2轮乙添加条件修改为∠A=∠A'=90°，则乙必胜；
④若第2轮乙添加条件修改为BC=B'C'=3cm，则此游戏最多4轮必分胜负．
【题型2 灵活选择判定方法证明两个三角形全等】
【例2】（2023春·广东清远·八年级统考期末）如图，△ABC的高BD与CE相交于点O，OD＝OE，AO的延长线交BC于点M，请你写出图中三对全等的直角三角形，并选择其中一对全等三角形进行证明．
【变式2-1】（2023·云南·模拟预测）如图，点E在AB上，∠A＝∠B＝∠CED＝90°，CE＝ED．求证：△ACE≌△BED．
【变式2-2】（2023·福建泉州·统考二模）如图，在▱ABCD中，延长边DA至点E，使得AE=AD，连接CE交AB于点F，求证：△AEF≌△BCF．
【变式2-3】（2023春·全国·八年级期中）如图，AB//CD，∠B＝∠D，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．
（1）试判断AD与BE有怎样的位置关系，并说明理由；
（2）试说明△AOD≌△EOC．
【题型3 运用全等三角形证明线段相等或角相等】
【例3】（2023春·湖南株洲·八年级校考期中）如图，AD=CB，AB=CD，BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F．求证：
(1)△ABC≌△CDA；
(2)BE=DF．
【变式3-1】（2023春·四川南充·八年级统考期中）已知△ABN和△ACM的位置如图所示，AB=AC，AD=AE，BD=CE．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）求证：∠AME=∠AND．
【变式3-2】（2023春·山东威海·八年级统考期中）如图，AD=AC，AB=AE，∠DAB=∠CAE．
(1)写出△ADE与△ACB全等的理由；
(2)判断线段DF与CF的数量关系，并说明理由．
【变式3-3】（2023·陕西西安·八年级校考开学考试）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD、DE，若AD=DE，AC=CD．
（1）求证：△ABD≌△DCE．
（2）若BD=3，CD=5，求AE的长．
【题型4 运用全等三角形证明线段间的位置关系】
【例4】（2023春·云南红河·八年级校考期中）如图，D为△ABC的边BC上的一点，E为AD上一点，已知∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AD⊥BC．
【变式4-1】（2023春·江苏南京·八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，且AF=CE，连接BE，DF，求证：BE∥DF．
【变式4-2】（2023春·江西宜春·八年级校考期中）如图，已知AD平分∠BAC，且∠1=∠2．
(1)求证：BD=CD；
(2)判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
【变式4-3】（2023春·山东临沂·八年级统考期末）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，连接CD，C、D、E三点在同一条直线上，连接BD，BE．
(1)求证：BD=CE；
(2)判断BD与CE的位置关系并说明理由．
【题型5 运用全等三角形解决实际测量问题】
【例5】（2023春·八年级单元测试）如图，某市新开发了一个旅游区，有一湖心岛C，需测算景点A，B与C处的距离，请你设计一个方法，测量AC，BC的长度，并说明理由．
【变式5-1】（2023春·河南信阳·八年级统考期中）某建筑测量队为了测量一栋居民楼ED的高度，在大树AB与居民楼ED之间的地面上选了一点C，使B，C，D在一直线上，测得大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90°，若AB=CD=12米，BD=64米，请计算出该居民楼ED的高度．
【变式5-2】（2023春·八年级单元测试）如图，某校学生为测量点B到河对面的目标A之间的距离，他们在点B同侧选择了一点C，测得∠ABC=70°，∠ACB=40°，然后在M处立了标杆，使∠CBM=70°，为了测量A，B之间的距离，他们应该（ ）
A．直接测量BM的长B．测量BC的长
C．测量∠A的度数D．先作∠BCN=40°，交BM于点N，再测量BN的长
【变式5-3】（2023春·全国·八年级专题练习）某同学根据数学知识原理制作了如图所示的一个测量工具----拐尺,其中O为AB的中点,CA⊥AB,BD⊥AB,CA=BD,现要测量一透明隔离房间的深度,如何使用此测量工具,说明理由.
【题型6 作辅助线构造全等三角形证明线段间的和差倍分关系】
【例6】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CD=AC．
【变式6-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．
【变式6-2】（2023春·八年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，小明发现，用已学过的“倍长中线”加倍构造全等，就可以测量CD与AB数量关系．请根据小明的思路，写出CD与AB的数景关系，并证明这个结论．
【变式6-3】（2023春·八年级课时练习）如图，在四边形OACB中，CE⊥OA于E，∠1=∠2，CA=CB.求证：∠3+∠4=180°；OA+OB=2OE.
【题型7 与三角形全等有关的动点探究题】
【例7】（2023春·山东德州·八年级校考期中）如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上向点C运动，同时，点Q在线段DC上从点D向点C运动，已知点P的运动速度是2cm/s，则经过______s，△BPE与△CQP全等．
【变式7-1】（2023春·河南许昌·八年级统考期末）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=24cm，AC=12cm，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过（ ）秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不重合）
A．4B．4、12C．4、8、12D．4、12、16
【变式7-2】（2023春·甘肃定西·八年级校考期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC=68°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为 边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APB的度数是（ ）
A．118°B．125°C．136°D．124°
【变式7-3】（2023春·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AD为高，AC=12．点E为AC上的一点，使CE=12AE，连接BE，交AD于O，若△BDO≌△ADC．
备用图
(1)求∠BEC的度数；
(2)有一动点Q从点A出发沿射线AC以每秒8个单位长度的速度运动，设点Q的运动时间为t秒，是否存在t的值，使得△BOQ的面积为24？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）条件下，动点P从点O出发沿线段OB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，点F是直线BC上一点，且CF=AO．当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．
【题型8 与三角形全等有关的线段或角之间的规律的探究题】
【例8】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．
（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．
【变式8-1】（2023春·江苏·八年级专题练习）问题发现：如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC，BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE，BD，线段AE，BD之间的数量关系为______；位置关系为_______．
拓展探究：如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE，BD交于点F，则AE与BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
【变式8-2】（2023春·浙江·八年级专题练习）(1)阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB=10，AC=6．求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DE=AD，再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是______；
(2)问题解决：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF；
(3)问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．
【变式8-3】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型” 兴趣小组进行了如下探究：
（1）如图1，两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是 ，此时BD和CE的数量关系是 ；
（2）如图2，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图3，已知△ABC，请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数．
判定方法
解释
图形
边边边
(SSS)
三条边对应相等的两个三角形全等
边角边
(SAS)
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
角边角
(ASA)
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
角角边
(AAS)
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
斜边、直角边
(HL)
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
轮次
行动者
添加条件
1
甲
AB=A'B'=2cm
2
乙
∠A=∠A'=35°
3
甲
…
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc30753" 【题型1 全等三角形的判定条件】 PAGEREF _Tc30753 \h 1
\l "_Tc22248" 【题型2 灵活选择判定方法证明两个三角形全等】 PAGEREF _Tc22248 \h 3
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\l "_Tc8972" 【题型4 运用全等三角形证明线段间的位置关系】 PAGEREF _Tc8972 \h 5
\l "_Tc30844" 【题型5 运用全等三角形解决实际测量问题】 PAGEREF _Tc30844 \h 6
\l "_Tc12211" 【题型6 作辅助线构造全等三角形证明线段间的和差倍分关系】 PAGEREF _Tc12211 \h 7
\l "_Tc20909" 【题型7 与三角形全等有关的动点探究题】 PAGEREF _Tc20909 \h 8
\l "_Tc2642" 【题型8 与三角形全等有关的线段或角之间的规律的探究题】 PAGEREF _Tc2642 \h 10
【知识点 全等三角形的判定】
【题型1 全等三角形的判定条件】
【例1】（2023春·广东深圳·八年级校联考期中）如图，在△ABC和△BAD中，∠C=∠D=90°．在以下条件：①AC=BD；②AD=BC；③∠BAC=∠ABD；④∠ABC=∠BAD；⑤∠CAD=∠DBC中，再选一个条件，就能使△ABC≌△BAD，共有（ ）选择．
A．2种B．3种C．4种D．5种
【变式1-1】（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B=∠C．请结合图形，补充1个条件，使△ABE≌△ACD，则可以添加的条件是__________．
【变式1-2】（2023春·湖南长沙·八年级校联考期末）在△ABE与△DBC中，BC=BE，AB=DB，要使这两个三角形全等，还需具备的条件是（ ）
A．∠E=∠CB．∠ABD=∠CBEC．∠ABE=∠DBED．∠A=∠D
【变式1-3】（2023春·福建莆田·八年级统考期末）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对△ABC及△A'B'C'的对应边或对应角添加一组等量条件（点A'，B'，C'分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定△ABC与△A'B'C'全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．
上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是___________．（填写所有正确结论的序号）
①若第3轮甲添加∠C=∠C'=45°，则甲获胜；
②若第3轮甲添加BC=B'C'=3cm，则甲必胜；
③若第2轮乙添加条件修改为∠A=∠A'=90°，则乙必胜；
④若第2轮乙添加条件修改为BC=B'C'=3cm，则此游戏最多4轮必分胜负．
【题型2 灵活选择判定方法证明两个三角形全等】
【例2】（2023春·广东清远·八年级统考期末）如图，△ABC的高BD与CE相交于点O，OD＝OE，AO的延长线交BC于点M，请你写出图中三对全等的直角三角形，并选择其中一对全等三角形进行证明．
【变式2-1】（2023·云南·模拟预测）如图，点E在AB上，∠A＝∠B＝∠CED＝90°，CE＝ED．求证：△ACE≌△BED．
【变式2-2】（2023·福建泉州·统考二模）如图，在▱ABCD中，延长边DA至点E，使得AE=AD，连接CE交AB于点F，求证：△AEF≌△BCF．
【变式2-3】（2023春·全国·八年级期中）如图，AB//CD，∠B＝∠D，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．
（1）试判断AD与BE有怎样的位置关系，并说明理由；
（2）试说明△AOD≌△EOC．
【题型3 运用全等三角形证明线段相等或角相等】
【例3】（2023春·湖南株洲·八年级校考期中）如图，AD=CB，AB=CD，BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F．求证：
(1)△ABC≌△CDA；
(2)BE=DF．
【变式3-1】（2023春·四川南充·八年级统考期中）已知△ABN和△ACM的位置如图所示，AB=AC，AD=AE，BD=CE．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）求证：∠AME=∠AND．
【变式3-2】（2023春·山东威海·八年级统考期中）如图，AD=AC，AB=AE，∠DAB=∠CAE．
(1)写出△ADE与△ACB全等的理由；
(2)判断线段DF与CF的数量关系，并说明理由．
【变式3-3】（2023·陕西西安·八年级校考开学考试）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD、DE，若AD=DE，AC=CD．
（1）求证：△ABD≌△DCE．
（2）若BD=3，CD=5，求AE的长．
【题型4 运用全等三角形证明线段间的位置关系】
【例4】（2023春·云南红河·八年级校考期中）如图，D为△ABC的边BC上的一点，E为AD上一点，已知∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AD⊥BC．
【变式4-1】（2023春·江苏南京·八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，且AF=CE，连接BE，DF，求证：BE∥DF．
【变式4-2】（2023春·江西宜春·八年级校考期中）如图，已知AD平分∠BAC，且∠1=∠2．
(1)求证：BD=CD；
(2)判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
【变式4-3】（2023春·山东临沂·八年级统考期末）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，连接CD，C、D、E三点在同一条直线上，连接BD，BE．
(1)求证：BD=CE；
(2)判断BD与CE的位置关系并说明理由．
【题型5 运用全等三角形解决实际测量问题】
【例5】（2023春·八年级单元测试）如图，某市新开发了一个旅游区，有一湖心岛C，需测算景点A，B与C处的距离，请你设计一个方法，测量AC，BC的长度，并说明理由．
【变式5-1】（2023春·河南信阳·八年级统考期中）某建筑测量队为了测量一栋居民楼ED的高度，在大树AB与居民楼ED之间的地面上选了一点C，使B，C，D在一直线上，测得大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90°，若AB=CD=12米，BD=64米，请计算出该居民楼ED的高度．
【变式5-2】（2023春·八年级单元测试）如图，某校学生为测量点B到河对面的目标A之间的距离，他们在点B同侧选择了一点C，测得∠ABC=70°，∠ACB=40°，然后在M处立了标杆，使∠CBM=70°，为了测量A，B之间的距离，他们应该（ ）
A．直接测量BM的长B．测量BC的长
C．测量∠A的度数D．先作∠BCN=40°，交BM于点N，再测量BN的长
【变式5-3】（2023春·全国·八年级专题练习）某同学根据数学知识原理制作了如图所示的一个测量工具----拐尺,其中O为AB的中点,CA⊥AB,BD⊥AB,CA=BD,现要测量一透明隔离房间的深度,如何使用此测量工具,说明理由.
【题型6 作辅助线构造全等三角形证明线段间的和差倍分关系】
【例6】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CD=AC．
【变式6-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．
【变式6-2】（2023春·八年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，小明发现，用已学过的“倍长中线”加倍构造全等，就可以测量CD与AB数量关系．请根据小明的思路，写出CD与AB的数景关系，并证明这个结论．
【变式6-3】（2023春·八年级课时练习）如图，在四边形OACB中，CE⊥OA于E，∠1=∠2，CA=CB.求证：∠3+∠4=180°；OA+OB=2OE.
【题型7 与三角形全等有关的动点探究题】
【例7】（2023春·山东德州·八年级校考期中）如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上向点C运动，同时，点Q在线段DC上从点D向点C运动，已知点P的运动速度是2cm/s，则经过______s，△BPE与△CQP全等．
【变式7-1】（2023春·河南许昌·八年级统考期末）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=24cm，AC=12cm，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过（ ）秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不重合）
A．4B．4、12C．4、8、12D．4、12、16
【变式7-2】（2023春·甘肃定西·八年级校考期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC=68°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为 边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APB的度数是（ ）
A．118°B．125°C．136°D．124°
【变式7-3】（2023春·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AD为高，AC=12．点E为AC上的一点，使CE=12AE，连接BE，交AD于O，若△BDO≌△ADC．
备用图
(1)求∠BEC的度数；
(2)有一动点Q从点A出发沿射线AC以每秒8个单位长度的速度运动，设点Q的运动时间为t秒，是否存在t的值，使得△BOQ的面积为24？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）条件下，动点P从点O出发沿线段OB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，点F是直线BC上一点，且CF=AO．当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．
【题型8 与三角形全等有关的线段或角之间的规律的探究题】
【例8】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．
（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．
【变式8-1】（2023春·江苏·八年级专题练习）问题发现：如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC，BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE，BD，线段AE，BD之间的数量关系为______；位置关系为_______．
拓展探究：如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE，BD交于点F，则AE与BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
【变式8-2】（2023春·浙江·八年级专题练习）(1)阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB=10，AC=6．求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DE=AD，再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是______；
(2)问题解决：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF；
(3)问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．
【变式8-3】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型” 兴趣小组进行了如下探究：
（1）如图1，两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是 ，此时BD和CE的数量关系是 ；
（2）如图2，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图3，已知△ABC，请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数．
判定方法
解释
图形
边边边
(SSS)
三条边对应相等的两个三角形全等
边角边
(SAS)
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
角边角
(ASA)
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
角角边
(AAS)
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
斜边、直角边
(HL)
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
轮次
行动者
添加条件
1
甲
AB=A'B'=2cm
2
乙
∠A=∠A'=35°
3
甲
…
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