初中苏科版1.2 全等三角形精练

这是一份初中苏科版1.2 全等三角形精练，共42页。试卷主要包含了5D．3，4D．1等内容，欢迎下载使用。

本试卷满分130分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．下列命题中，假命题是（ ）
A．如果两边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等
B．如果两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等
C．如果两角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等
D．如果两角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等
2．如图所示，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，BD＝BD，由以上三个条件可以证明BAD≌BCD的理由是（ ）．
A．SASB．ASAC．AASD．HL
3．如图，已知△ABC≌△DCB，∠A=75°，∠DBC=40°，则∠DCB的度数为（ ）
A．75°B．65°
C．40°D．30°
4．“又是一年三月三”．在校内劳动课上，小明所在小组的同学们设计了如图所示的风筝框架．已知的周长为，．制作该风筝框架需用材料的总长度至少为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在△ABC中，CD为AB边上的中线，过点A作CD的垂线交CD的延长线于点E，过点B作BF⊥CD于点F．若△ACE的面积为12，△ADE的面积为3，则△BCF的面积为（ ）
A．9B．6C．4.5D．3
6．如图，△ABC的面积为1，AP垂直于∠ACB的平分线CP于点P，则△BPC的面积是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，，，，点，，在同一直线上，若，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，△ABC中， AB =AC=24 cm， BC=16cm，AD= BD．如果点P在线段BC上以 2 cm/s 的速度由B点向C点运动，同时，点 Q在线段CA上以v cm/s 的速度由C点向A点运动，那么当△BPD 与△CQP全等时，v =（ ）
A．3B．4C．2或 4D．2或3
9．如图，四边形ABCD中，AC、BD为对角线，且AC＝AB，∠ACD＝∠ABD，AE⊥BD于点E，若BD＝6，CD＝4．则DE的长度为（ ）
A．2B．1C．1.4D．1.6
10．如图，在中，，D，E是BC上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，CF交AF于点F，连接EF．给出下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确结论的字号是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DF，AB＝DF，若△ABC≌△DFE，则需添加的条件是________．（填一个即可）
12．如图，AC=DB，AO=DO，CD=100，则 A，B 两点间的距离为_______．
13．如图是由边长相等的小正方形组成的网格，则的度数为_____°．
14．如图，∠ABC＝∠ACD＝90°，BC＝2，AC＝CD，则△BCD的面积为_________．
15．如图，、两点分别位于一座假山的两端，小明想用绳子测量、两点间的距离，首先在地面上取一个可以直接到达和的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使．连接并测量出它的长度为8米，则、两点间的距离为______米．
16．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB且BD、CE相交于点O，过点O作FO⊥BD交AB于点F，连FD．若∠A﹣∠ACB＝α（0°＜α＜60°），则∠AFD＝_____．
17．如图，已知，，，B、D、E三点在一条直线上．若，，则的度数为___________．
18．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD，CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②AP＝BM；③∠APM＝60°；④△CMN是等边三角形；⑤连接CP，则CP平分∠BPD，其中，正确的是_____．（填写序号）
三、解答题（9小题，共70分）
19．如图，D是AB边上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，AE＝CE．求证：FC//AB．
20．沿着图中的虚线（小正方形虚线边），用四种不同的方法（构成4种不同图形）将下面的图形分成两个全等的图形．
21．如图，已知五边形ABCDE的各边都相等，各内角也都相等，点F、G分别在边BC、CD上，且FC=GD．
(1)求证：ΔCDF ≌ ΔDEG；
(2)求∠EHF的大小．
22．如图，中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且．
(1)求证：≌；
(2)若，，试求DE的长．
23．如图，△ABC中，点D在BC边上．
(1)在AC边上求作点E，使得∠CDE＝∠ABC； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若∠A＝65°，求∠AED的度数．
24．如图1，为了测河两岸AD两点的距离，小明绘制了如图1的草图．因操作不当，他不小心打翻了墨水瓶．

请你利用尺规，重新在图2画该草图，在△ABD的下方作∠BDC=∠DBA，在射线DC上截取DC=BA，连接BC．已知BC=5，求河岸距离．
25．如图，已知E、F是BD上的两点，BE＝DF，AE＝CF，AE∥CF，请填写AD∥BC的理由．
解：因为AE∥CF（已知），
所以∠AED＝ （两直线平行，内错角相等）．
因为BE＝DF（已知），
所以BE+EF＝DF+EF（ ），
即BF＝DE．
在△ADE与△CBF中
，
所以△ADE≌△CBF（ ）．
得∠ADE＝∠CBF（ ）．
所以AD∥BC（ ）．
26．在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE的度数为_______；
(2)设∠BAC=α，∠DCE=β．
①如图2，当点D在线段CB上，时，请你探究写出α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系．（不需证明）
27．已知：等边△ABC边长为3，点D、点E分别在射线AB、射线BC上，且BD＝CE＝a（0＜a＜3），将直线DE绕点E顺时针旋转60°，得到直线EF交直线AC于点F．
(1)如图1，当点D在线段AB上，点E在线段BC上时，说明BD+CF＝3的理由．
(2)如图2，当点D在线段AB上，点E在线段BC的延长线上时，请判断线段BD，CF之间的数量关系并说明理由．
(3)当点D在线段AB延长线上时，线段BD，CF之间的数量关系又如何？请在备用图中画图探究，并直接写出线段BD，CF之间的数量关系．
28．（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：__________；
（2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请画出图形（除图②外），并直接写出线段，，之间的数量关系．
第1章 全等三角形章末复习培优卷
注意事项：
本试卷满分130分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．下列命题中，假命题是（ ）
A．如果两边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等
B．如果两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等
C．如果两角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等
D．如果两角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等
【答案】B
【解析】
【详解】
根据全等三角形的判定定理对各选项分析论证得出正确选项．
【解答】
解：A．如果两边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等，符合判定定理边角边，是真命题．
B．如果两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等．因为两边相等，其夹角不一定相等，所以两三角形不一定全等，故是假命题．
C．如果两角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等，符合判定定理角边角，是真命题．
D．如果两角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等．两角相等，则根据三角和内角和定理可推出三个角分别相等，有一边相等，所以符合判定定理角边角，是真命题．
故选：B．
【点评】
此题考查的是全等三角形的判定，关键是每个选项是否符合全等三角形的判定定理．
2．如图所示，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，BD＝BD，由以上三个条件可以证明BAD≌BCD的理由是（ ）．
A．SASB．ASAC．AASD．HL
【答案】D
【解析】
【分析】
由于∠BAD=∠BCD=90°，AB=CB，题中还有公共边这个条件，由此就可以证明△BAD≌△BCD，全等容易看出．
【详解】
解：∵∠BAD=∠BCD=90°，AB=CB，BD＝BD，
∴△BAD≌△BCD(HL) ．
故选：D
【点睛】
本题需注意：当两个三角形有公共边时，公共边是常用的条件之一．
3．如图，已知△ABC≌△DCB，∠A=75°，∠DBC=40°，则∠DCB的度数为（ ）
A．75°B．65°
C．40°D．30°
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用全等三角形的性质得出对应角相等进而求出答案．
【详解】
解：∵△ABC≌△DCB，
∴∠D=∠A=75°，∠ACB=∠DBC=40°，
∴∠DCB=180°-75°-40°=65°，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角的度数是解题关键．
4．“又是一年三月三”．在校内劳动课上，小明所在小组的同学们设计了如图所示的风筝框架．已知的周长为，．制作该风筝框架需用材料的总长度至少为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据BF=EC以及边与边的关系即可得出BC=EF，再结合∠B=∠E、AB=DE即可证出△ABC≌△DEF（SAS），进而得出C△DEF=C△ABC=24cm，结合图形以及CF=3cm即可得出制成整个风筝框架所需这种材料的总长度．
【详解】
解：∵BF=EC，BC=BF+FC，EF=EC+CF，
∴BC=EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴C△DEF=C△ABC=24cm．
∵CF=3cm，
∴制成整个风筝框架所需这种材料的总长度为C△DEF+C△ABC-CF=24+24-3=45cm．
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理.
5．如图，在△ABC中，CD为AB边上的中线，过点A作CD的垂线交CD的延长线于点E，过点B作BF⊥CD于点F．若△ACE的面积为12，△ADE的面积为3，则△BCF的面积为（ ）
A．9B．6C．4.5D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，先求出，然后证明，即可求出△BCF的面积．
【详解】
解：根据题意，
∵△ACE的面积为12，△ADE的面积为3，
∴，
∵CD为AB边上的中线，
∴，AD=BD，
∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF，
∴△ADE≌△BDF，
∴，
∴；
故选：B
【点睛】
本题考查了三角形的中线问题，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出三角形的面积．
6．如图，△ABC的面积为1，AP垂直于∠ACB的平分线CP于点P，则△BPC的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
延长AP交BC于E，先证△ACP≌△ECP（ASA），得S△ABP＝S△BEP，AP＝PE，证出S△APB＝S△PBE，再得出S△BPC＝S△ABC，进而得出结论．
【详解】
解：延长AP交BC于点E，如图所示：
∵AP垂直∠ACB的平分线CP于P，
∴∠ACP＝∠ECP，∠APC＝∠EPC＝90°，
在△ACP和△ECP中，

∴△ACP≌△ECP（ASA），
∴S△ABP＝S△BEP，AP＝PE，
∴△APB和△BPE等底同高，
∴S△APB＝S△PBE，
∴S△BPC＝S△PBE＋S△PCE＝（S△ABE +S△ACE）＝S△ABC＝，
故答案选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积及等积变换等知识；证出△BPC的面积和△ABC面积之间的数量关系是解题的关键．
7．如图，，，，点，，在同一直线上，若，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由可证得，继而证明，由全等三角形对应角相等得到，最后由三角形的外角性质解答即可．
【详解】
解：
，，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
8．如图，△ABC中， AB =AC=24 cm， BC=16cm，AD= BD．如果点P在线段BC上以 2 cm/s 的速度由B点向C点运动，同时，点 Q在线段CA上以v cm/s 的速度由C点向A点运动，那么当△BPD 与△CQP全等时，v =（ ）
A．3B．4C．2或 4D．2或3
【答案】D
【解析】
【分析】
分两种情况讨论：
①若△BPD≌△CPQ，根据全等三角形的性质，则BD=CQ=12cm，BP=CP=BC=×16=8cm，根据速度、路程、时间的关系即可求得；
②若△BPD≌△CQP，则CP=BD=12cm，BP=CQ，得出，解出即可．
【详解】
解：∵△ABC中，AB=AC=24cm，AD=BD，
∴BD=12cm，∠B=∠C，
情况一：
若△BPD≌△CPQ，则需BD=CQ=12cm，BP=CP=BC=×16=8cm，
∵点P的运动速度为2cm/s，
∴点P的运动时间为：8÷2=4（s），
∴v=CQ÷4= 12÷4=3cm/s；
情况二：
②若△BPD≌△CQP，则CP=BD=12厘米，BP=CQ，
得出，
解得：解出即可．
因此v的值为：2或3，
故选：D．
【点睛】
此题考查了全等三角形的性质．分类讨论是解题的关键．
9．如图，四边形ABCD中，AC、BD为对角线，且AC＝AB，∠ACD＝∠ABD，AE⊥BD于点E，若BD＝6，CD＝4．则DE的长度为（ ）
A．2B．1C．1.4D．1.6
【答案】B
【解析】
【分析】
过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，根据AAS证明△AFC≌△AEB，得到AF=AE，CF=BE，再根据HL证明Rt△AFD≌Rt△AED，得到DF=DE，最后根据线段的和差即可求解．
【详解】
解：过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，
∴∠AFC=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AFC=∠AED=∠AEB=90°，
在△AFC和△AEB中，
，
∴△AFC≌△AEB（AAS），
∴AF=AE，CF=BE，
在Rt△AFD和Rt△AED中，
，
∴Rt△AFD≌Rt△AED（HL），
∴DF=DE，
∵CF=CD+DF，BE=BD-DE，CF=BE，
∴CD+DF=BD-DE，
∴2DE=BD-CD，
∵BD=6，CD=4，
∴2DE=2，
∴DE=1，
故选：B．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，根据AAS证明△AFC≌△AEB及根据HL证明Rt△AFD≌Rt△AED是解题的关键．
10．如图，在中，，D，E是BC上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，CF交AF于点F，连接EF．给出下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确结论的字号是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可证明，可判断①，根据全等三角形的性质得，，，从而可证，根据全等三角形的性质得，，可判断②，若，，等量代换即可求出，可判断③，在中，根据三角形三边关系得，等量代换即可判断④．
【详解】
解：∵，，
，
，
，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC，即，
，
，
在与中，
，
，故①正确；
，，
，
，
在与中，
，
，
，故②正确；
若，，
，
，故③正确；
，
，故④错误．
故选A．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，解题关键是正确寻找全等三角形解决问题．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DF，AB＝DF，若△ABC≌△DFE，则需添加的条件是________．（填一个即可）
【答案】∠A＝∠D 或∠ACB＝∠DEF或AC∥DE或BC＝FE或BE＝FC
【解析】
【分析】
先根据已知条件推得∠B＝∠F，加上AB＝DF，要证△ABC≌△DFE，只需要根据全等三角形的判定方法添加适当的角和边即可．
【详解】
解：∵AB∥DF，
∴，
添加∠A＝∠D，
在和中
，
∴；
添加∠ACB＝∠DEF，
在和中
，
∴；
添加AC∥DE，
∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠DEF，
在和中
，
∴；
添加BC＝FE，
在和中
，
∴；
添加BE＝FC，
∵BE＝FC，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
综上可得，添加∠A＝∠D 或∠ACB＝∠DEF或AC∥DE或BC＝FE或BE＝FC都可得到△ABC≌△DFE．
故答案为：∠A＝∠D 或∠ACB＝∠DEF或AC∥DE或BC＝FE或BE＝FC
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
12．如图，AC=DB，AO=DO，CD=100，则 A，B 两点间的距离为_______．
【答案】100
【解析】
【分析】
由，，可得，从而可得，得出，根据，则，两点间的距离即可求解．
【详解】
解：∵，，
∴，
又∵，
∴在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，两点间的距离为100．
故答案为：100．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质，解决本题的关键是判定与全等．
13．如图是由边长相等的小正方形组成的网格，则的度数为_____°．
【答案】135
【解析】
【分析】
首先利用SAS判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠2+∠3=90°．
【详解】
解：∵在△ABC和△DBE中，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴∠3=∠ACB，
∵∠ACB+∠1=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°，
故答案为：135．
【点睛】
此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．
14．如图，∠ABC＝∠ACD＝90°，BC＝2，AC＝CD，则△BCD的面积为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】
如图，作垂直于的延长线，垂足为，可知，可证，有，进而可知．
【详解】
解：如图，作垂直于的延长线，垂足为
∵，
∴
在和中
∵
∴
∴
∴
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定与性质．解题的关键在于证明三角形全等．
15．如图，、两点分别位于一座假山的两端，小明想用绳子测量、两点间的距离，首先在地面上取一个可以直接到达和的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使．连接并测量出它的长度为8米，则、两点间的距离为______米．
【答案】8
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】
解：在△CDE和△CAB中，
，
∴△CDE≌△CAB（SAS），
∴DE=AB=8m，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
16．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB且BD、CE相交于点O，过点O作FO⊥BD交AB于点F，连FD．若∠A﹣∠ACB＝α（0°＜α＜60°），则∠AFD＝_____．
【答案】45°＋α
【解析】
【分析】
延长FO交BC于H，连接DH，证明△FBO≌△HBO（ASA），推出BD垂直平分FH，得到∠AFD=∠DHC，根据四边形内角和推出∠BFO=∠ADO=∠BHO，得到∠CDO=∠CHO，由此证明△OCD≌△OCH，得到CD=CH，利用三角形内角和求出∠CHD，即可得到∠AFD的度数．
【详解】
解：如图，延长FO交BC于H，连接DH，
∵∠BAC−∠ACB＝α，
∴∠ACB＝90°−α，
∵FO⊥BD，
∴∠BOF=∠BOH＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBO=∠HBO，
∵OB=OB，
∴△FBO≌△HBO（ASA），
∴∠BFO=∠BHO，OF=OH，
∴BD垂直平分FH，
∴DF=DH，
∴∠DFH=∠DHF，
∴∠AFD=∠DHC，
∵∠BAC＝90°，∠FOD＝90°，
∴∠AFO+∠ADO＝180°，
∴∠BFO=∠ADO=∠BHO，
∴∠CDO=∠CHO，
∵CO平分∠ACB，
∴∠DCO＝∠HCO，
∵OC=OC，
∴△OCD≌△OCH（AAS），
∴CD=CH，
∴∠CDH=∠CHD=（180°-∠ACB）=45°+α，
∴∠AFD＝∠CHD＝45°＋α，
故答案为：45°＋α．
【点睛】
本题是三角形的综合问题，主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理、四边形内角和定理、角平分线的定义、全等三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理及性质定理．
17．如图，已知，，，B、D、E三点在一条直线上．若，，则的度数为___________．
【答案】25°
【解析】
【分析】
先证明△ABD≌△ACE（SAS）；再利用全等三角形的性质：对应角相等，求得∠ABD＝∠2＝30°；最后根据三角形外角的性质求∠1即可．
【详解】
∵，
∴∠1＋∠CAD＝∠CAE＋∠CAD，
∴∠1＝∠CAE；
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
∴∠ABD＝∠2＝30°；
∵∠1＝∠3－∠ABD＝55°－30°＝25°（三角形的外角性质）
∴∠1＝25°．
故答案为：25°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质；将所求的角与已知角通过全等及内角、外角之间的关系联系起来是解答此题的关键．
18．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD，CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②AP＝BM；③∠APM＝60°；④△CMN是等边三角形；⑤连接CP，则CP平分∠BPD，其中，正确的是_____．（填写序号）
【答案】①③④⑤．
【解析】
【分析】
①根据△ACD≌△BCE(SAS)即可证明AD＝BE；②根据△ACN≌△BCM(ASA)即可证明AN＝BM，从而判断AP≠BM；③根据∠CBE+∠CDA＝60°即可求出∠APM=60°；④根据△ACN≌△BCM及∠MCN＝60°可知△CMN为等边三角形；⑤根据角平分线的性质可知.
【详解】
①∵△ABC和△CDE都是等边三角形
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°
∴∠ACE＝60°
∴∠ACD＝∠BCE＝120°
在△ACD和△BCE中
∴△ACD≌△BCE(SAS)
∴AD＝BE；
②∵△ACD≌△BCE
∴∠CAD＝∠CBE
在△ACN和△BCM中
∴△ACN≌△BCM(ASA)
∴AN＝BM；
③∵∠CAD+∠CDA＝60°
而∠CAD＝∠CBE
∴∠CBE+∠CDA＝60°
∴∠BPD＝120°
∴∠APM＝60°；
④∵△ACN≌△BCM
∴CN＝BM
而∠MCN＝60°
∴△CMN为等边三角形；
⑤过C点作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图
∵△ACD≌△BCE
∴CQ＝CH
∴CP平分∠BPD.
故答案为：①③④⑤．
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的判定和性质的灵活运用，角的计算及角平分线的判定，熟练掌握三角形全等的证明方法，角平分线的判定及相关辅助线的作法是解决本题的关键.
三、解答题（9小题，共70分）
19．如图，D是AB边上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，AE＝CE．求证：FC//AB．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
由DE=FE，AE=CE，易证得△ADE≌△CFE，即可得∠A=∠ECF，则可证得FCAB．
【详解】
证明：在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠A=∠ECF，
∴FC//AB．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
20．沿着图中的虚线（小正方形虚线边），用四种不同的方法（构成4种不同图形）将下面的图形分成两个全等的图形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形进行求解即可．
【详解】
解：如图所示，即为所求；
【点睛】
本题主要考查了考查了全等图形的概念，熟知相关概念是解题的关键．
21．如图，已知五边形ABCDE的各边都相等，各内角也都相等，点F、G分别在边BC、CD上，且FC=GD．
(1)求证：ΔCDF ≌ ΔDEG；
(2)求∠EHF的大小．
【答案】(1)见解析
(2)108°
【解析】
【分析】
（1）由五边形ABCDE的各边都相等，各内角也都相等知CD＝DE，∠FCD＝∠GDE，再结合FC＝GD，利用“SAS”即可证明△CDF≌△DEG；
（2）由△CDF≌△DEG知∠FDC＝∠GED，据此得∠EHF＝∠GED+∠HDE＝∠FDC+∠HDE＝∠CDE，从而得出答案．
(1)
证明：在ΔCDF与ΔDEG中
∵五边形ABCDE的各边都相等，各内角也都相等，
∴CD=DE，∠FCD=∠GDE
又∵FC=GD
在△CDF和△DEG中，
，
∴ΔCDF ≌ ΔDEG（SAS）；
(2)
解：∵ΔCDF ≌ ΔDEG；
∴∠FDC=∠GED
∴∠EHF=∠GED+∠HDE=∠FDC+∠HDE=∠CDE=
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正多边形的性质和全等三角形的判定与性质．
22．如图，中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且．
(1)求证：≌；
(2)若，，试求DE的长．
【答案】(1)见解析；
(2)；
【解析】
【分析】
（1）根据两直线平行内错角相等；全等三角形的判定（角角边）；即可证明；
（2）由（1）结论计算线段差即可解答；
(1)
证明：∵BE∥CF，∴∠BED=∠CFD，
∵∠BDE=∠CDF，BD=CD，
∴△BDE≌△CDF（AAS）；
(2)
解：由（1）结论可得DE=DF，
∵EF=AE-AF=15-8=7，
∴DE=；
【点睛】
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定（AAS）和性质；掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
23．如图，△ABC中，点D在BC边上．
(1)在AC边上求作点E，使得∠CDE＝∠ABC； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若∠A＝65°，求∠AED的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）如图，在CD的上方作∠EDC＝∠ABC，DE交AC于点E．
（2）利用平行线的性质求解即可．
(1)
如图，点E即为所求．
(2)
∠A＝65°，由作图可知，DE//AB，
【点睛】
本题考查了尺规作图-作一个角等于已知角，平行线的判定与性质，熟练掌握两同位角相等，两直线平行、两直线平行，同位角相等是解答本题的关键．
24．如图1，为了测河两岸AD两点的距离，小明绘制了如图1的草图．因操作不当，他不小心打翻了墨水瓶．

请你利用尺规，重新在图2画该草图，在△ABD的下方作∠BDC=∠DBA，在射线DC上截取DC=BA，连接BC．已知BC=5，求河岸距离．
【答案】作图见解析；河岸距离为5．
【解析】
【分析】
先利用尺规在的下方作，再在射线上截取，连接即可画出该草图，然后根据三角形全等的判定定理证出，最后根据全等三角形的性质即可得．
【详解】
解：由题意，画出该草图如下：

在和中，，
，
，
答：河岸距离为5．
【点睛】
本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图、三角形全等的判定定理与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
25．如图，已知E、F是BD上的两点，BE＝DF，AE＝CF，AE∥CF，请填写AD∥BC的理由．
解：因为AE∥CF（已知），
所以∠AED＝ （两直线平行，内错角相等）．
因为BE＝DF（已知），
所以BE+EF＝DF+EF（ ），
即BF＝DE．
在△ADE与△CBF中
，
所以△ADE≌△CBF（ ）．
得∠ADE＝∠CBF（ ）．
所以AD∥BC（ ）．
【答案】∠CFB；等式的性质；AE＝CF，DE＝BF；SAS；全等三角形的对应角相等；内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】
根据平行线的性质得出∠AED＝∠CFB，根据线段间的和差关系求出BF＝DE，利用SAS证明△ADE≌△CBF，得出∠ADE＝∠CBF，根据平行线的判定定理判断出AD∥BC即可得出结论．
【详解】
证明：因为AE∥CF（已知），
所以∠AED＝∠CFB（两直线平行，内错角相等），
因为BE＝DF（已知），
所以BE+EF＝DF+EF（等式的性质），
即BF＝DE．
在△ADE与△CBF中，
，
所以△ADE≌△CBF（SAS），
得∠ADE＝∠CBF（全等三角形的对应角相等），
所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
故答案为：∠CFB；等式的性质；AE＝CF，DE＝BF；SAS；全等三角形的对应角相等；内错角相等，两直线平行．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
26．在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE的度数为_______；
(2)设∠BAC=α，∠DCE=β．
①如图2，当点D在线段CB上，时，请你探究写出α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系．（不需证明）
【答案】(1)90°
(2)①，过程见解析
②
【解析】
【分析】
对于（1），先说明∠BAD=∠CAE，再根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，可得∠B=∠ACE，可得答案；
对于（2），都是根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，得出角之间的关系，进而得出结论．
(1)
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE．
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE．
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=∠ACD+∠ACE=90°，
即∠DCE=90°．
故答案为：90°；
(2)
①．
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE．
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE，
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠B+∠ACB=∠DCE=．
∵+∠B+∠ACB=180°，
∴；
②．
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE．
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE．
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠DCE+∠ACB，
∴∠BAC+∠ACB=∠DCE+∠ACB，
∴∠BAC=∠DCE，
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质和判定，灵活的选择判定定理是解题的关键．
27．已知：等边△ABC边长为3，点D、点E分别在射线AB、射线BC上，且BD＝CE＝a（0＜a＜3），将直线DE绕点E顺时针旋转60°，得到直线EF交直线AC于点F．
(1)如图1，当点D在线段AB上，点E在线段BC上时，说明BD+CF＝3的理由．
(2)如图2，当点D在线段AB上，点E在线段BC的延长线上时，请判断线段BD，CF之间的数量关系并说明理由．
(3)当点D在线段AB延长线上时，线段BD，CF之间的数量关系又如何？请在备用图中画图探究，并直接写出线段BD，CF之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)BD＝CF﹣3，理由见解析
(3)若E在线段BC上，BD+CF＝3；若E在BC延长线上，CF﹣BD＝3
【解析】
【分析】
（1）根据AAS证△DBE≌△ECF，得BD+CF＝CE+BE＝BC＝3即可；
（2）根据AAS证△DBE≌△ECF，得BD＝CE＝BE﹣BC＝CF﹣BC，即可得出BD＝CF﹣3；（3）分点E在线段BC上和在BC延长线上两种情况讨论即可．
【详解】
解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠DEC＝∠DEF+∠FEC＝∠B+∠BDE且∠DEF﹣60°＝∠B，
∴∠BDE＝∠FEC，
又∵BD＝CE，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴CF＝BE，
∴BD+CF＝CE+BE＝BC＝3；
（2）如下图，设G点在FE的延长线，AF与DE交点为H，
∴∠DEG＝∠F+∠FHE＝60°，∠BCA＝∠FHE+∠BED＝60°，
∴∠F＝∠BED，
又∵∠B＝∠FCE＝60°，CE＝BD，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴CF＝BE，
∴BD＝CE＝BE﹣BC＝CF﹣BC，
即BD＝CF﹣3；
（3）①若E在线段BC上，设DE延长线交AC于点I，
∵∠ABC＝∠BDE+∠BED＝60°，∠IEF＝∠IEC+∠CEF＝60°，∠BED＝∠IEC，
∴∠BDE＝∠CEF，
又∵∠DBE＝∠ECF＝120°，CE＝BD，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴CF＝BE，
∴BD+CF＝CE+BE＝BC＝3；
②若E在BC延长线上，
∵∠ABC＝∠BDE+∠BED＝60°，∠FED＝∠FEC+∠BED＝60°，
∴∠BDE＝∠FEC，
又∵∠DBE＝∠FCE＝120°，BD＝CE，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴CF＝BE，
∴CF﹣BD＝BE﹣CE＝BC＝3；
综上，若E在线段BC上，BD+CF＝3；若E在BC延长线上，CF﹣BD＝3．
【点睛】
本题主要考查几何变换综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
28．（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：__________；
（2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请画出图形（除图②外），并直接写出线段，，之间的数量关系．
【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）图形见解析，
【解析】
【分析】
（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AG．证明△AGE和△AEF全等，则EF=GE，则EF=BE+DF，证明△ABE和△AEF中全等，那么AG=AF，∠1=∠2，∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．从而得出EF=GE；
（2）思路和作辅助线的方法同（1）；
（3）根据（1）的证法，我们可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE-BG=BE-DF．
【详解】
（1）延长至，使，连接，
∵，，
∴≌，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴≌，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
（）（）中的结论仍成立，
证明：延长至，使，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，,
∵，
∴，
∴即，
在和中，
，
∴≌，
∴，即．
（），
证明：在上截取使，
连接，
∵，，
∴，
∵在和中，
，
∴≌，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
此题主要考查了三角形全等的判定与性质，通过全等三角形来实现线段的转换是解题关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联的全等三角形.