还剩72页未读，
继续阅读
所属成套资源：苏科版八年级数学上册讲练专题特训(原卷版+解析)
成套系列资料，整套一键下载
苏科版八年级上册1.2 全等三角形同步练习题
展开
这是一份苏科版八年级上册1.2 全等三角形同步练习题，共75页。
【题型目录】
题型一、将已知图形分割成几个全等图形
题型二、结合尺规作图的全等问题
题型三、倍长中线模型
题型四、旋转模型
题型五、垂线模型
题型六、其他模型
题型七、全等三角形中的动点问题
题型八、全等三角形几何综合
【题型一 将已知图形分割成几个全等图形】
【例题1】下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于______．
【变式1-2】．如图，已知正方形中阴影部分的面积为3，则正方形的面积为________．
【变式1-3】沿着图中的虚线（小正方形虚线边），用四种不同的方法（构成4种不同图形）将下面的图形分成两个全等的图形．
【题型二 结合尺规作图的全等问题】
【例题2】已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．若，则D．点在的平分线上
【变式2-1】如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的度数为_______．
【变式2-2】李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当，时，可得到形状唯一确定的
②当，时，可得到形状唯一确定的
③当，时，可得到形状唯一确定的
其中所有正确结论的序号是______________．
【变式2-3】嘉淇同学要证，她先用下列尺规作图步骤作图：①；②以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接；③过点作，垂足为点．并写出了如下不完整的已知和求证．
（1）在方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按嘉淇的想法写出证明过程．
【题型三 倍长中线模型】
【例题3】如图，是的边上的中线，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，设BC＝a，AC＝b，若a，b满足a2﹣10a+b2﹣18b+106＝0，则CD的取值范围是 _____．
【变式3-2】中，，， 则第三边边上的中线的取值范围是______．
【变式3-3】【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到的理由是（ ）．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
(2)AD的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
【题型四 旋转模型】
【例题4】如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（ ）
A．36B．21C．30D．22
【变式4-1】如图，正三角形和，A，C，E在同一直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的结论有______________．并写出3对全等三角形___________________________．
【变式4-2】如图，P是等边△ABC内一点，且PA＝6，PC＝8，PB＝10，若△APB绕点A逆时针旋转60°后，得到△AP′C，则∠APC＝_____°．
【变式4-3】（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【题型五 垂线模型】
【例题5】如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（ ）
A．8B．4C．3D．2
【变式5-1】如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为________．
【变式5-2】如图，线段AB=8cm，射线AN⊥AB，垂足为点A，点C是射线上一动点，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为__________．
【变式5-3】在中，，，直线MN经过点C，且于D点，于E点．
（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：；
（2）当直线MN绕点C旋转到图②、图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
【题型六 其他模型】
【例题6】如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（ ）个
A．0B．1C．2D．3
【变式6-1】如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是_________．
【变式6-2】如图，的面积是10，垂直的平分线于点，则的面积是__________．
【变式6-3】已知：和都是等腰直角三角形，，连接、交于点，与交于点，与交于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．
【题型七 全等三角形中的动点问题】
【例题7】如图，在长方形的中，已知，，点以4cm/s的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以A，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则的值为（ ）
A．4B．6C．4或D．4或
【变式7-1】如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=16．点P从A点出发沿A—C—B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B—C—A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．若要△PEC与△QFC全等，则点P的运动时间为_______．
【变式7-2】如图，在△ABC中，，AC＝8cm，BC＝10cm．点C在直线l上，动点P从A点出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和2cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P和Q作PM⊥直线l于M，QN⊥直线l于N．则点P运动时间为____秒时，△PMC与△QNC全等．
【变式7-3】如图，在中，，，，点从点出发，沿线段以3cm/s的速度连续做往返运动，同时点从点出发沿线段以2cm/s的速度向终点运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，与交于点，设点的运动时间为（秒）．
(1)分别写出当和时线段的长度（用含的代数式表示）．
(2)当时，求的值．
(3)若，求所有满足条件的值．
【题型八 全等三角形的几何综合】
【例题8】如图，，，，，垂足分别是点，，若，，则的长是（ ）
A．B．2C．3D．4
【变式8-1】如图，已知四边形ABCD中，，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以的速度沿运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为_________时，能够使与全等．
【变式8-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD，交BC延长线于F，交AC于H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③=HC；④PH=PD；其中正确的有____________________．
【变式8-3】如图1，的角平分线，相交于点，
(1)发现：的度数为________；
(2)①猜想：与的数量关系为________；
②爱思考的小江对上述猜想进行了合理的推理，淘气的弟弟把他的稿纸撕了，仅剩如图2所示的部分过程，请把其余过程补充完整；
(3)拓展：如图3过点作的高记为，过点作的高记为；过点作的高记为，请写出，，之间的数量关系并说明理由．
【亮点训练】
1．如图，把沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝50°，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD＝BE；③∠DOB＝50°；④CD平分∠ACB．其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AE是经过点A的一条线段，且B，C在AE的两侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，若CE＝3，BD＝AE＝9，则DE的长是（ ）
A．5B．5.5C．6D．7
4．将斜边相等的两块三角形如图放置，其中含45°角的三角板ABC的斜边与含30°的三角板ADC的斜边重合，B、D位于AC的两侧，若S四边形ABCD＝8，连接BD．则BD的长为（ ）
A．2B．4C．8D．16
5．如图，AB，CD相交于点E，且AB=CD，试添加一个条件使得△ADE≌△CBE．现给出如下五个条件：①∠A=∠C;②∠B=∠D;③AE=CE;④BE=DE;⑤AD=CB．其中符合要求有( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
6．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，△BCD的面积为58，△ADC的面积为30，则△ABD的面积等于______．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，已知DE＝4，AD＝6，则BE的长为___．
8．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AB＝5cm，AD＝BC＝3cm，点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段BC上由点B向点C运动设运动时间为t（s），当△ADE与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为 ___cm/s．
9．如图，中，，，，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点，点和分别以每秒和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过和作于，于.设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为______.
10．如图，△ABC中，AC＝BC＝5，∠ACB＝80°，O为△ABC中一点，∠OAB＝10°，∠OBA＝30°，则线段AO的长是_____．
11．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系．
12．在边长为10厘米的等边三角形△ABC中，如果点M，N都以3厘米/秒的速度匀速同时出发．
（1）若点M在线段AC上由A向C运动，点N在线段BC上由C向B运动．
①如图①，当BD＝6，且点M，N在线段上移动了2s，此时△AMD和△BND是否全等，请说明理由．
②求两点从开始运动经过几秒后，△CMN是直角三角形．
（2）若点M在线段AC上由A向点C方向运动，点N在线段CB上由C向点B方向运动，运动的过程中，连接直线AN，BM，交点为E，探究所成夹角∠BEN的变化情况，结合计算加以说明．
专题复习 全等三角形常见重难点考查题型
【题型目录】
题型一、将已知图形分割成几个全等图形
题型二、结合尺规作图的全等问题
题型三、倍长中线模型
题型四、旋转模型
题型五、垂线模型
题型六、其他模型
题型七、全等三角形中的动点问题
题型八、全等三角形几何综合
【题型一 将已知图形分割成几个全等图形】
【例题1】下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用全等图形的概念进而得出答案．
【详解】
解：图形分割成两个全等的图形，如图所示：
故选B．
【点睛】
此题主要考查全等图形的识别，解题的关键是熟知全等的性质.
【变式1-1】在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于______．
【答案】7
【解析】
【分析】
沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形，画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度．
【详解】
解：分割方案如图所示：
由图可得，最长分割线的长度等于7．
故答案为：7．
【点睛】
本题主要考查全等形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等形的性质.
【变式1-2】．如图，已知正方形中阴影部分的面积为3，则正方形的面积为________．
【答案】6
【解析】
【分析】
利用割补法，把阴影部分移动到一边.
【详解】
把阴影部分移动到正方形的一边，恰好是正方形的一半，故正方形面积是6.
【点睛】
割补法，等面积转换,可以简便运算，化复杂为简单.
【变式1-3】沿着图中的虚线（小正方形虚线边），用四种不同的方法（构成4种不同图形）将下面的图形分成两个全等的图形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形进行求解即可．
【详解】
解：如图所示，即为所求；
【点睛】
本题主要考查了考查了全等图形的概念，熟知相关概念是解题的关键．
【题型二 结合尺规作图的全等问题】
【例题2】已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．若，则D．点在的平分线上
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可知，即可推断结论A；先证明，再证明即可证明结论B；连接OP，可证明可证明结论D；由此可知答案．
【详解】
解：由题意可知，
，
，
故选项A正确，不符合题意；
在和中，
，
，
在和中，
，
，
，
故选项B正确，不符合题意；
连接OP，
，
，
在和中，
，
，
，
点在的平分线上，
故选项D正确，不符合题意；
若，，
则，
而根据题意不能证明，
故不能证明，
故选项C错误，符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，明确以某一半径画弧时，准确找到相等的线段是解题的关键．
【变式2-1】如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的度数为_______．
【答案】35°##35度
【解析】
【分析】
连接CD，EF．由题目中尺规作图可知：，．可证，所以，可得．所以．由于AH平分，所以．即：．
【详解】
解：连接CD，EF
由题目中尺规作图可知：，
在和中
AH平分
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查知识点为，全等三角形的性质及判定、定点为圆心定长为半径的性质、平行线的判定及性质，角平分线的性质．能看懂尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质及判定、平行线的性质及判定，角平分线的性质，是解决本题的关键．
【变式2-2】李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当，时，可得到形状唯一确定的
②当，时，可得到形状唯一确定的
③当，时，可得到形状唯一确定的
其中所有正确结论的序号是______________．
【答案】②③##③②
【解析】
【分析】
分别在以上三种情况下以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，观察弧与直线AM的交点即为Q点，作出后可得答案．
【详解】
如下图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，所以不唯一，所以①错误．
如下图，当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以形状相同，所以唯一，所以②正确．
如下图，当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，所以唯一，所以③正确．
综上：②③正确．
故答案为：②③
【点睛】
本题考查的是三角形形状问题，为三角形全等来探索判定方法，也考查三角形的作图，利用对称关系作出另一个Q是关键．
【变式2-3】嘉淇同学要证，她先用下列尺规作图步骤作图：①；②以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接；③过点作，垂足为点．并写出了如下不完整的已知和求证．
（1）在方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按嘉淇的想法写出证明过程．
【答案】（1）BE；BF；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）以点 B 为圆心， BC 长为半径画弧得到BC=BE，根据题目第一句话得AE=BF；
（2）根据平行线的性质得到∠AEB=∠FBC，然后根据AAS证明△ABE≌△FCB，然后利用全等三角形的性质即可证明．
【详解】
（1）∵以点B为圆心，BC长为半径画弧
∴BC=BE
根据已知条件第一句话，得到AE=BF
故答案为：BE；BF；
（2）证明：∵CF⊥BE，
∴∠BFC=90°，
又∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠FBC．
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，
∴BE=BC，
在△ABE与△FCB中，
∴△ABE≌△FCB，
∴AE=BF
【点睛】
本题考查了尺规作图，和三角形全等的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定条件，和性质是本题的关键．
【题型三 倍长中线模型】
【例题3】如图，是的边上的中线，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
延长至点E，使，连接，证明，可得，然后运用三角形三边关系可得结果．
【详解】
如图，延长至点E，使，连接．
∵为的边上的中线，
∴，
在和中，
∴，
∴．
在中，，
即，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，根据中点倍长法构造全等三角形是解题的关键．
【变式3-1】如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，设BC＝a，AC＝b，若a，b满足a2﹣10a+b2﹣18b+106＝0，则CD的取值范围是 _____．
【答案】2＜CD＜7
【解析】
【分析】
已知等式变形后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出a与b的值，即可求出CD的取值范围．
【详解】
解：已知等式整理得：（a2−10a＋25）＋（b2−18b＋81）＝0，
即（a−5）2＋（b−9）2＝0，
∵（a−5）2≥0，（b−9）2≥0，
∴a−5＝0，b−9＝0，
解得：a＝5，b＝9，
∴BC＝5，AC＝9，
延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，
∵CD为AB边上的中线，
∴BD＝AD，
在△BCD和△AED中，
，
∴△BCD≌△AED（SAS），
∴AE＝BC＝a，
在△ACE中，AC−AE＜CE＜AC＋AE，
∴AC−BC＜2CD＜AC＋AE，即b−a＜2CD＜a＋b，
∴＜CD＜，
则2＜CD＜7．
故答案为：2＜CD＜7．
【点睛】
此题考查了配方法的应用，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【变式3-2】中，，， 则第三边边上的中线的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
如图延长AD至点E，使得DE=AD，可证△ABD≌△CDE，可得AB=CE，AD=DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，即可解题．
【详解】
解：延长AD至点E，使得DE=AD，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD
在△ABD和△CDE中，
，
∴△ABD≌△CDE（SAS），
∴AB=CE，
∵△ACE中，AC-CE＜AE＜AC+CE，即：AC-AB＜AE＜AC+AB，
∴2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5．
故答案为：1＜AD＜5．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABD≌△CDE是解题的关键．
【变式3-3】【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到的理由是（ ）．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
(2)AD的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
【答案】(1)B
(2)C
(3)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；
（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD＜8+6，求出即可；
（3）延长AD到M，使AD=DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM=AC，∠CAD=∠M，根据AE=EF，推出∠CAD=∠AFE=∠BFD，求出∠BFD=∠M，根据等腰三角形的性质求出即可．
(1)
∵在△ADC和△EDB中
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故选B；
(2)
∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE=AC=6，AE=2AD，
∵在△ABE中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故选：C．
(3)
延长AD到点M，使AD＝DM，连接BM．
∵AD是△ABC中线
∴CD＝BD
∵在△ADC和△MDB中
∴
∴BM＝AC（全等三角形的对应边相等）
∠CAD＝∠M（全等三角形的对应角相等）
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE（等边对等角）
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠M，
∴BF＝BM（等角对等边）
又∵BM＝AC，
∴AC＝BF．
【点睛】
本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
【题型四 旋转模型】
【例题4】如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（ ）
A．36B．21C．30D．22
【答案】B
【解析】
【分析】
将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得．
【详解】
解：如图，将关于AE对称得到，
则，，
，
，
，
在和中，，
，
，
，即是直角三角形，
，
，
即与的面积之和为21，
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．
【变式4-1】如图，正三角形和，A，C，E在同一直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的结论有______________．并写出3对全等三角形___________________________．
【答案】 ①②③⑤ △ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ
【解析】
【分析】
①可证明△ACD≌△BCE,从而得出AD=BE；
②可通过证明△BCQ≌△ACP，从而可证明△PCQ为等边三角形，再根据内错角相等两直线平行可证明PQ∥AE．
③由②中△BCQ≌△ACP，可证AP=BQ；
④通过证明△CDP≌△CEQ可得DP=EQ，又由图可知DE＞QE，从而④错误；
⑤通过三角形外角定理和前面△ACD≌△BCE可得该结论．
由前面的证明过程可得出三个全等三角形．
【详解】
解：①△ABC和△DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上，
∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120°
∴△ACD≌△BCE
∴AD=BE，故本选项正确；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBQ=∠CAP，
又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC，
∴△BCQ≌△ACP，
∴CQ=CP，又∠PCQ=60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠QPC=60°=∠ACB，
∴PQ∥AE，故本选项正确；
③由②△BCQ≌△ACP可得AP=BQ，故本选项正确；
④∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60°，
∴△CDP≌△CEQ（ASA）．
∴DP=EQ，
∵DE＞QE
∴DE＞DP，故本选项错误；
⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，故本选项正确；
∴正确的有：①②③⑤．
由上面证明过程可知△ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ．
故答案为：①②③⑤；△ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定定理，并能依据等边三角形三边相等，三角相等都是60°的特征判断三角形全等是解题关键．
【变式4-2】如图，P是等边△ABC内一点，且PA＝6，PC＝8，PB＝10，若△APB绕点A逆时针旋转60°后，得到△AP′C，则∠APC＝_____°．
【答案】150°
【解析】
【分析】
如图，连接PP′，根据旋转的性质证明△APP′是等边三角形，可得∠APP′=60°，PP′=PA=6，再由勾股定理的逆定理判定△P′PC是以∠P′PC为直角的直角三角形，即可求得∠APC的度数．
【详解】
解：如图，连接PP′，
∵△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C，
∴△AP′C≌△APB，
∴P′A=PA=6，P′C=PB=10，
∵旋转角是60°，
∴△APP′是等边三角形，
∴∠APP′=60°，PP′=PA=6，
∵PP′2+PC2=62+82=100，P′C2=PB2=102=100，
∴PP′2+PC2=P′C2，
∴△P′PC是以∠P′PC为直角的直角三角形，
∴∠APC=∠APP′+∠P′PC=60°+90°=150°．
故答案为150°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质．关键是通过旋转，得出旋转角及对应边的关系，判断特殊三角形．
【变式4-3】（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【答案】（1），理由见解析；（2）成立，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）典型的“夹半角模型”，延长到使得，先证，再证，最后根据边的关系即可证明；
（2）图形变式题可以参考第一问的思路，延长到使得，先证
，再证，最后根据边的关系即可证明；
【详解】
解：（1）
证明：延长到，使得
连接
∵四边形是正方形
∴，
又∵
∴
∴，
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴
（2）
证明：延长到，使得
连接
∵，
∴
又∵，
∴
∴，
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，正确的根据“夹半角模型”作出辅助线是解题的关键．
【题型五 垂线模型】
【例题5】如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（ ）
A．8B．4C．3D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知条件，观察图形得，，然后证后求解．
【详解】
解：，，于，于，
，
，
又，，
．
，，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用，，是解题的关键．
【变式5-1】如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为________．
【答案】3
【解析】
【分析】
过点作交延长线于点，先证明，则，然后根据求即可．
【详解】
解：过点作交延长线于点，
则∠DMC=90°=∠ABC，
，，
，，
，
，
，
，
，
．
故填．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积，正确作出辅助线、构造全等三角形证得成为解答本题的关键．
【变式5-2】如图，线段AB=8cm，射线AN⊥AB，垂足为点A，点C是射线上一动点，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为__________．
【答案】4cm.
【解析】
【分析】
过点E作EF⊥AN于F，先利用AAS证出△ABC≌△FCE，从而得出AB=FC=8cm，AC=FE，然后利用AAS证出△DCM≌△EFM,从而求出CM的长.
【详解】
解：过点E作EF⊥AN于F，如图所示
∵AN⊥AB，△BCE和△ACD为等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠BCE=∠ACD=∠CFE =90°，BC=CE，AC=CD
∴∠ABC+∠ACB=90°，∠FCE+∠ACB =90°，
∴∠ABC =∠FCE，
在△ABC和△FCE中
∴△ABC≌△FCE
∴AB=FC=8cm，AC=FE
∴CD= FE
在△DCM和△EFM中
∴△DCM≌△EFM
∴CM=FM=FC=4cm.
故答案为：4cm.
【点睛】
此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握用AAS证两个三角形全等是解决此题的关键.
【变式5-3】在中，，，直线MN经过点C，且于D点，于E点．
（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：；
（2）当直线MN绕点C旋转到图②、图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
【答案】（1）证明见解析，（2）图②中DE、AD、BE的等量关系是DE＝AD﹣BE，图③中DE、AD、BE的等量关系是DE＝BE﹣AD．
【解析】
【分析】
（1）由已知推出推出∠DAC＝∠BCE，根据AAS证明△ADC≌△CEB即可得到答案；
（2）与（1）证法类似可证出∠ACD＝∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，CD＝BE，即可得到线段的关系．
【详解】
解：（1）①证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵DC+CE＝DE，
∴DE＝AD+BE．
（2）图②中DE、AD、BE的等量关系是DE＝AD﹣BE，图③中DE、AD、BE的等量关系是DE＝BE﹣AD．
如图②
∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝EC﹣CD＝AD﹣BE．
DE＝AD﹣BE，
如图③
∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出全等三角形是解此题的关键．
【题型六 其他模型】
【例题6】如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（ ）个
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
利用垂直的定义得到，则，于是可对①进行判断；利用“”可证明，于是可对②进行判断；利用全等的性质得到，则根据三角形内角和和对顶角相等得到，于是可对③进行判断．
【详解】
解：，，
，，
，
即，所以①正确；
在和中，
，
，所以②正确；
，
∵∠AFD=∠MFB，
，
，所以③正确．
故选：．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
【变式6-1】如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是_________．
【答案】20°
【解析】
【分析】
延长至点E使，连接，证明是等边三角形，设，则，再证明，即可得到结果．
【详解】
解：如图，延长至点E使，连接．
∴，
∵，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴设，则．在与中，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案是．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，准确分析计算是解题的关键．
【变式6-2】如图，的面积是10，垂直的平分线于点，则的面积是__________．
【答案】5
【解析】
【分析】
延长AP交BC于E，通过垂直的平分线于点证明，从而可得，，即可求出的面积．
【详解】
延长AP交BC于E
∵垂直的平分线于点
∴，
在△ABP和△EBP中
∴
∴，
∴△ACP和△PCE等底同高
∴
∴
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了三角形的面积问题，掌握角平分线的性质、全等三角形的性质以及判定定理、三角形的面积公式是解题的关键．
【变式6-3】已知：和都是等腰直角三角形，，连接、交于点，与交于点，与交于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．
【答案】（1）证明见解析；（2）△ACB≌△DCE，△BCF≌△DCG，△AHF≌△EHG，△EHD≌△AHB
【解析】
【分析】
（1）根据SAS可证明△ACD≌△BCE，从而可知AD=BE；
（2）根据条件即可判断图中的全等直角三角形．
【详解】
解：（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴AC=BC，DC=EC，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
（2）△ACB≌△DCE，△BCF≌△DCG，△AHF≌△EHG，△EHD≌△AHB．
理由：∵AC=DC，∠ACB=∠DCE，
∴AC=CD=EC=CB，
∴△ACB≌△DCE（SAS）；
由（1）可知：∠EBC=∠DAC，∠ADC=∠BEC，
∴∠AHF=90°，
∵∠EBC=∠CEB=∠CDA，
∴△BCF≌△DCG（ASA），
∴CF=CG，
∴AF=EG，
∵∠AHF=∠EHG，∠FAH=∠HEG，
∴△AHF≌△EHG（AAS），
∴AH=EH，
又∵DE=AB，
∴Rt△EHD≌Rt△AHB（HL）．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定条件．
【题型七 全等三角形中的动点问题】
【例题7】如图，在长方形的中，已知，，点以4cm/s的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以A，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则的值为（ ）
A．4B．6C．4或D．4或
【答案】D
【解析】
【分析】
分两种情况分别计算，即可分别求得．
【详解】
解：设点P运动的时间为t，
由题意知：BP=4tcm，CQ=atcm，则PC=BC-BP=(10-4t)cm，
当时，BP=CQ，
即4t=at，解得a=4，
当时，BP=CP，CQ=AB，
即4t=10-4t，at=6，
解得，
故，解得，
故的值为4或，
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
【变式7-1】如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=16．点P从A点出发沿A—C—B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B—C—A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．若要△PEC与△QFC全等，则点P的运动时间为_______．
【答案】1或3.5或12
【解析】
【分析】
分4种情况求解：①P在AC上，Q在BC上，推出方程6-t=8-3t，②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，得到方程6-t=3t-8，Q在AC上，③P在BC上，Q在AC时，此时不存在，④当Q到A点，与A重合，P在BC上时．
【详解】
解：∵△PEC与△QFC全等，∴斜边CP=CQ，有四种情况：
①P在AC上，Q在BC上，
，
CP=12-2t，CQ=16-6t，
∴12-2t=16-6t，
∴t=1；
②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，
∴CP=12-2t=6t-16，
∴t=3.5；
③P到BC上，Q在AC时，此时不存在；
理由是：28÷6=，12÷2=6，即Q在AC上运动时，P点也在AC上运动；
④当Q到A点（和A重合），P在BC上时，
∵CP=CQ=AC=12．CP=12-2t，
∴2t-12=12，
∴t=12符合题意；
答：点P运动1或3.5或12时，△PEC与△QFC全等．
【点睛】
本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．
【变式7-2】如图，在△ABC中，，AC＝8cm，BC＝10cm．点C在直线l上，动点P从A点出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和2cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P和Q作PM⊥直线l于M，QN⊥直线l于N．则点P运动时间为____秒时，△PMC与△QNC全等．
【答案】2或6##6或2
【解析】
【分析】
设点P运动时间为t秒，根据题意化成两种情况，由全等三角形的性质得出，列出关于t的方程，求解即可．
【详解】
解：设运动时间为t秒时，△PMC≌△CNQ，
∴斜边，
分两种情况：
①如图1，点P在AC上，点Q在BC上，
图1
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
②如图2，点P、Q都在AC上，此时点P、Q重合，
图2
∵，，
∴，
∴；
综上所述，点P运动时间为2或6秒时，△PMC与△QNC全等，
故答案为：2或6．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，根据题意判断两三角形全等的条件是解题关键，同时要注意分情况讨论，解题时避免遗漏答案．
【变式7-3】如图，在中，，，，点从点出发，沿线段以3cm/s的速度连续做往返运动，同时点从点出发沿线段以2cm/s的速度向终点运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，与交于点，设点的运动时间为（秒）．
(1)分别写出当和时线段的长度（用含的代数式表示）．
(2)当时，求的值．
(3)若，求所有满足条件的值．
【答案】(1)时，，时，
(2)
(3)
【解析】
【分析】
(1)根据点F从点B出发的速度和图形解答即可；
(2)根据题意列出方程，解方程即可；
(3)分两种情况讨论，根据全等三角形的性质列式计算即可．
(1)
解：当时，，，
当时，，．
(2)
解：由题意知：，
当时，，，(舍去)．
当时，，，．
(3)
解：当时，，
当时，，
当时，，，．
当时，，，(舍去）．
∴当时，．
【点睛】
本题考查的是列代数式和全等三角形的性质的应用，根据题意求出代数式、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
【题型八 全等三角形的几何综合】
【例题8】如图，，，，，垂足分别是点，，若，，则的长是（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出∆CEB≅∆ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值.
【详解】
解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°
∴∠EBC+∠BCE=90°
∵∠BCE+∠ACD=90°
∴∠EBC=∠DCA
在∆CEB和∆ADC中，
∠E=∠ADC，∠EBC=∠DCA，BC=AC
∴∆CEB≅∆ADC(AAS)
∴BE=DC=1，CE=AD=3
∴DE=EC-CD=3-1=2
故选：B．
【点睛】
全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
【变式8-1】如图，已知四边形ABCD中，，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以的速度沿运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为_________时，能够使与全等．
【答案】3或
【解析】
【分析】
根据①当时，；②当时，两种情况进行讨论，从而可求点Q的运动速度；
【详解】
解：设运动时间为ts；
①当时，，Q的运动速度等于P点运动速度；
②当时，，则，
∴点Q的运动速度：；
故答案为：3或．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【变式8-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD，交BC延长线于F，交AC于H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③=HC；④PH=PD；其中正确的有____________________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】
由角平分线的定义，可得∠PAB+∠PBA=45°，由三角形内角和定理可得结论①；由△BPA≌△BPF可得结论②；由△APH≌△FPD可得结论④；若PH=HC，则PD=HC，由AD＞AC可得AP＞AH不成立，故③错误；
【详解】
解：∵∠CAB+∠CBA=90°，AD、BE平分∠CAB、∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=（∠CAB+∠CBA）=45°，
△PAB中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=135°，
故①正确；
∵∠ADF+∠F=90°，∠ADF+∠DAC=90°，
∴∠F=∠DAC=∠DAB，
△BPA和△BPF中：∠PBA=∠PBF，∠PAB=∠PFB，BP=BP，
∴△BPA≌△BPF（AAS），
∴BA=BF，PA=PF，
故②正确；
△APH和△FPD中：∠PAH=∠PFD，PA=PF，∠APH=∠FPD=90°，
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴PH=PD，故④正确；
若PH=HC，则PD=HC，
AD＞AC，则AD-PD＞AC-HC，即AP＞AH，不成立，
故③错误；
综上所述①②④正确，
故答案为：①②④
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识；掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
【变式8-3】如图1，的角平分线，相交于点，
(1)发现：的度数为________；
(2)①猜想：与的数量关系为________；
②爱思考的小江对上述猜想进行了合理的推理，淘气的弟弟把他的稿纸撕了，仅剩如图2所示的部分过程，请把其余过程补充完整；
(3)拓展：如图3过点作的高记为，过点作的高记为；过点作的高记为，请写出，，之间的数量关系并说明理由．
【答案】(1)60
(2)①；②见解析
(3)，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义可得∠，再根据三角形外角的性质可得结论；
（2）①猜想；②在上取一点使得连接根据证明得到，再根据证明△即可得到结论；
（3）证明即可得到结论．
(1)
∵的角平分线，相交于点，
∴∠
∵，
∴∠
∴∠
∴∠
故答案为
(2)
①猜想：与的数量关系为证明见②；
故答案为：
②在上取一点使得连接如图2，
∵平分∠
∴∠
在和中
∴
∴
又由（1）得
∴∠∠∠
∴∠
∴∠
在和中
∴△
∴
∴
(3)
理由如下：
由（2）②知：
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质以及三角形的面积公式等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
【亮点训练】
1．如图，把沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由于折叠，可得三角形全等，运用三角形全等得出，利用平行线的性质可得出则即可求．
【详解】
解：∵沿线段折叠，使点落在点处，
∴ ，
∴ ，
∵，，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质及三角形内角和定理、平行线的性质；解题的关键是，理解折叠就是得到全等的三角形，根据全等三角形的对应角相等就可以解决．
2．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝50°，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD＝BE；③∠DOB＝50°；④CD平分∠ACB．其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
由∠DAB＝∠CAE，可得∠DAC＝∠BAE，再通过SAS可证明△ADC≌△ABE，再利用全等三角形的性质可进行判断．
【详解】
解：∵∠DAB＝∠CAE，
∴∠DAB＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△ADC和△ABE中，
，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，
∵∠AFD＝∠BFO，
∴∠BOD＝∠BAD＝50°，
故①②③正确，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明△ADC≌△ABE是解题的关键．
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AE是经过点A的一条线段，且B，C在AE的两侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，若CE＝3，BD＝AE＝9，则DE的长是（ ）
A．5B．5.5C．6D．7
【答案】C
【解析】
【分析】
先证明△ABD≌△CAE，再结合三角形全等性质可得AD，再根据DE=AE-AD可得答案．
【详解】
解：∵BD⊥AE于D，∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠ABD =90°，∠CAE+∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB=∠AEC=90°,
又∵BD＝AE＝9，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE=3，
∴DE=AE-AD=9-3=6．
故选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形性质和判定．能根据同角的余角相等得出角相等是解题关键．
4．将斜边相等的两块三角形如图放置，其中含45°角的三角板ABC的斜边与含30°的三角板ADC的斜边重合，B、D位于AC的两侧，若S四边形ABCD＝8，连接BD．则BD的长为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【解析】
【分析】
将△BCD绕点B逆时针旋转90°，得到△BCE，可证D、A、E在一条直线上，△DBE是等腰直角三角形，面积是8，即可求出BD的长．
【详解】
解：将△BCD绕点B逆时针旋转90°，得到△BCE，
可知，BE=BD，∠BCD=∠BAE，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∴∠BAE +∠BAD=180°，
∴D、A、E在一条直线上，
∴△DBE是等腰直角三角形，面积等于四边形ABCD的面积，即，
，，
故选：B
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是恰当作辅助线，得到等腰直角三角形．
5．如图，AB，CD相交于点E，且AB=CD，试添加一个条件使得△ADE≌△CBE．现给出如下五个条件：①∠A=∠C;②∠B=∠D;③AE=CE;④BE=DE;⑤AD=CB．其中符合要求有( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】D
【解析】
【分析】
延长DA、BC使它们相较于点F ，首先根据AAS证明△FAB≌△FCD，然后根据全等三角形的性质即可得到AF=FC，FD=FB，进而得到AD=BC，即可证明△ADE≌△CBE，可判断①、②的正误；根据SAS证明△ADE≌△CBE，即判断③、④的正误；连接BD，根据SSS证明△ADB≌△CBD，根据全等三角形的性质得到∠A=∠C，结合①即可证明⑤．
【详解】
延长DA、BC使它们相较于点F
∵∠DAB=∠DCB，∠AED=∠BEC
∴∠B=∠D
又∵∠F=∠F，AB=CD
∴△FAB≌△FCD
∴AF=FC，FD=FB
∴AD=BC
∴△ADE≌△CBE，即①正确；
同理即可证明②正确；
∵AE=CE，AB=CD
∴DE=BE
又∵∠AED=∠BEC
∴△ADE≌△CBE，③正确；
同理即可证明④正确；
连接BD，
∵AD=CB，AB=CD，BD=BD
∴△ADB≌△CBD
∴∠DAB=∠BCD
∴△ADE≌△CBE，⑤正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定方法，主要包括：SSS、SAS、AAS、ASA，难点在于添加辅助线来构造三角形全等，关键在于应根据所给的条件判断应证明哪两个三角形全等．
6．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，△BCD的面积为58，△ADC的面积为30，则△ABD的面积等于______．
【答案】28
【解析】
【分析】
延长交于，由证明，得出，得出，进而得出，即可得出结果．
【详解】
如图所示，延长交于，
∵平分，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：28．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，证明三角形全等得出是解题关键．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，已知DE＝4，AD＝6，则BE的长为___．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据AAS证明△ACD≌△CBE，再利用其性质解答即可．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠BCE=∠CAD，
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE，
∴BE=CD，CE=AD，
∴BE=CD=CE−DE=AD−DE=6−4=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定和性质，要根据AAS证明△ACD≌△CBE是解题的关键．
8．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AB＝5cm，AD＝BC＝3cm，点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段BC上由点B向点C运动设运动时间为t（s），当△ADE与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为 ___cm/s．
【答案】1 或
【解析】
【分析】
根据题意可得当和时两种情况讨论，然后根据全等三角形对应边相等分别列出方程求解即可．
【详解】
解：设点F的运动速度为x m/s，
由题意可得，，，，
当时，
∴，
∴，
解得：，
∴此时点F的运动速度为1m/s；
当时，
，，
∴，，
解得：，．
∴此时点F的运动速度为m/s；
故答案为：1 或 ．
【点睛】
此题考查了三角形全等的判定和性质，几何动点问题，解题的关键是根据题意分情况讨论，分别根据全等三角形的性质列出方程求解．
9．如图，中，，，，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点，点和分别以每秒和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过和作于，于.设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为______.
【答案】或7或8
【解析】
【分析】
易证∠MEC＝∠CFN，∠MCE＝∠CNF．只需MC＝NC，就可得到△MEC与△CFN全等，然后只需根据点M和点N不同位置进行分类讨论即可解决问题．
【详解】
①当0≤t＜4时，点M在AC上，点N在BC上，如图①，
此时有AM＝2t，BN＝3t，AC＝8，BC＝15．
当MC＝NC即8−2t＝15−3t时全等，
解得t＝7，不合题意舍去；
②当4≤t＜5时，点M在BC上，点N也在BC上，如图②，
若MC＝NC，则点M与点N重合，即2t−8＝15−3t，
解得t＝；
当5≤t＜时，点M在BC上，点N在AC上，如图③，
当MC＝NC即2t−8＝3t−15时全等，
解得t＝7；
④当≤t＜时，点N停在点A处，点M在BC上，如图④，
当MC＝NC即2t−8＝8，
解得t＝8；
综上所述：当t等于或7或8秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等．
故答案为：或7或8．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定以及分类讨论的思想，可能会因考虑不全面而出错，是一道易错题．
10．如图，△ABC中，AC＝BC＝5，∠ACB＝80°，O为△ABC中一点，∠OAB＝10°，∠OBA＝30°，则线段AO的长是_____．
【答案】5
【解析】
【分析】
作∠CAO的平分线AD，交BO的延长线于点D，连接CD，由等边对等角得到∠CAB＝∠CBA＝50°，再推出∠DAB＝∠DBA，得到AD＝BD，然后可证△ACD≌△BCD，最后证△ACD≌△AOD，即可得AO＝AC＝5．
【详解】
解：如图，作∠CAO的平分线AD，交BO的延长线于点D，连接CD，
∵AC＝BC＝5，
∴∠CAB＝∠CBA＝50°，
∵∠OAB＝10°，
∴∠CAD＝∠OAD＝＝＝20°，
∵∠DAB＝∠OAD+∠OAB＝20°+10°＝30°，
∴∠DAB＝30°＝∠DBA，
∴AD＝BD，∠ADB＝120°，
在△ACD与△BCD中
∴△ACD≌△BCD（SSS）
∴∠CDA＝∠CDB，
∴∠CDA＝∠CDB＝＝＝120°，
在△ACD与△AOD中
∴△ACD≌△AOD（ASA）
∴AO＝AC=5，
故答案为5．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解决本题的关键.
11．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系．
【答案】（1）证明见解析；（2）；理由见解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
（2）延长到点，使，连接，证明，可得，即
（3）连接，过点作于，证明，，进而根据即可得出结论．
【详解】
解：（1）方法1：在上截，连接，如图．
平分，
．
在和中，，
，
，．
，．
．
，
．
方法2：延长到点，使得，连接，如图．
平分，
．
在和中，，
．
，．
，
．
，
，
．
（2）、、之间的数量关系为：．
（或者：，）．
延长到点，使，连接，如图2所示．
由（1）可知，
．
为等边三角形．
，．
，
．
．
，
为等边三角形．
，．
，
，
即．
在和中，，
．
，
，
．
（3），，之间的数量关系为：．
（或者：，）
解：连接，过点作于，如图3所示．
，．
．
在和中，，
，
，．
在和中，
，
．
，
，
．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．
12．在边长为10厘米的等边三角形△ABC中，如果点M，N都以3厘米/秒的速度匀速同时出发．
（1）若点M在线段AC上由A向C运动，点N在线段BC上由C向B运动．
①如图①，当BD＝6，且点M，N在线段上移动了2s，此时△AMD和△BND是否全等，请说明理由．
②求两点从开始运动经过几秒后，△CMN是直角三角形．
（2）若点M在线段AC上由A向点C方向运动，点N在线段CB上由C向点B方向运动，运动的过程中，连接直线AN，BM，交点为E，探究所成夹角∠BEN的变化情况，结合计算加以说明．
【答案】（1）①证明见解析；②经过或秒后，△CMN是直角三角形；（2）∠BEN＝60°，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）①根据题意得出AM＝BD，AD＝BN，根据等边三角形的性质得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，利用SAS定理证明△AMD≌△BDN；
②分∠CNM＝90°、∠CMN＝90°两种情况，根据直角三角形的性质列式计算即可；
（2）证明△ABM≌△CAN，根据全等三角形的性质得到∠ABM＝∠CAN，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【详解】
（1）①∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
当点M，N在线段上移动了2s时，AM＝6厘米，CN＝6厘米，
∴BN＝BC﹣CN＝4厘米，
∵AB＝10厘米，BD＝6厘米，
∴AD＝4厘米，
∴AM＝BD，AD＝BN，
在△AMD和△BDN中，
，
∴△AMD≌△BDN（SAS）；
②设经过t秒后，△CMN是直角三角形，
由题意得：CM＝（10﹣3t）厘米，CN＝3t厘米，
当∠CNM＝90°时，
∵∠C＝60°，
∴∠CMN＝30°，
∴CM＝2CN，即10﹣3t＝2×3t，
解得：t＝，
当∠CMN＝90°时，CN＝2CM，即2（10﹣3t）＝3t，
解得：t＝，
综上所述：经过或秒后，△CMN是直角三角形；
（2）如图所示，由题意得：AM＝CN，
在△ABM和△CAN中，
，
∴△ABM≌△CAN（SAS），
∴∠ABM＝∠CAN，
∴∠BEN＝∠ABE+∠BAE＝∠CAN+∠BAE＝60°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判断以及列一元一次方程动点相关问题，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；一元一次方程与几何图形的相结合的题，多数会涉及到动点的问题，需要对动点的位置进行讨论，讨论时要注意讨论全面，做到不重不漏，通常会按照从左到右或从上到下的方位进行考虑．
【题型目录】
题型一、将已知图形分割成几个全等图形
题型二、结合尺规作图的全等问题
题型三、倍长中线模型
题型四、旋转模型
题型五、垂线模型
题型六、其他模型
题型七、全等三角形中的动点问题
题型八、全等三角形几何综合
【题型一 将已知图形分割成几个全等图形】
【例题1】下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于______．
【变式1-2】．如图，已知正方形中阴影部分的面积为3，则正方形的面积为________．
【变式1-3】沿着图中的虚线（小正方形虚线边），用四种不同的方法（构成4种不同图形）将下面的图形分成两个全等的图形．
【题型二 结合尺规作图的全等问题】
【例题2】已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．若，则D．点在的平分线上
【变式2-1】如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的度数为_______．
【变式2-2】李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当，时，可得到形状唯一确定的
②当，时，可得到形状唯一确定的
③当，时，可得到形状唯一确定的
其中所有正确结论的序号是______________．
【变式2-3】嘉淇同学要证，她先用下列尺规作图步骤作图：①；②以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接；③过点作，垂足为点．并写出了如下不完整的已知和求证．
（1）在方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按嘉淇的想法写出证明过程．
【题型三 倍长中线模型】
【例题3】如图，是的边上的中线，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，设BC＝a，AC＝b，若a，b满足a2﹣10a+b2﹣18b+106＝0，则CD的取值范围是 _____．
【变式3-2】中，，， 则第三边边上的中线的取值范围是______．
【变式3-3】【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到的理由是（ ）．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
(2)AD的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
【题型四 旋转模型】
【例题4】如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（ ）
A．36B．21C．30D．22
【变式4-1】如图，正三角形和，A，C，E在同一直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的结论有______________．并写出3对全等三角形___________________________．
【变式4-2】如图，P是等边△ABC内一点，且PA＝6，PC＝8，PB＝10，若△APB绕点A逆时针旋转60°后，得到△AP′C，则∠APC＝_____°．
【变式4-3】（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【题型五 垂线模型】
【例题5】如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（ ）
A．8B．4C．3D．2
【变式5-1】如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为________．
【变式5-2】如图，线段AB=8cm，射线AN⊥AB，垂足为点A，点C是射线上一动点，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为__________．
【变式5-3】在中，，，直线MN经过点C，且于D点，于E点．
（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：；
（2）当直线MN绕点C旋转到图②、图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
【题型六 其他模型】
【例题6】如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（ ）个
A．0B．1C．2D．3
【变式6-1】如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是_________．
【变式6-2】如图，的面积是10，垂直的平分线于点，则的面积是__________．
【变式6-3】已知：和都是等腰直角三角形，，连接、交于点，与交于点，与交于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．
【题型七 全等三角形中的动点问题】
【例题7】如图，在长方形的中，已知，，点以4cm/s的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以A，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则的值为（ ）
A．4B．6C．4或D．4或
【变式7-1】如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=16．点P从A点出发沿A—C—B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B—C—A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．若要△PEC与△QFC全等，则点P的运动时间为_______．
【变式7-2】如图，在△ABC中，，AC＝8cm，BC＝10cm．点C在直线l上，动点P从A点出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和2cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P和Q作PM⊥直线l于M，QN⊥直线l于N．则点P运动时间为____秒时，△PMC与△QNC全等．
【变式7-3】如图，在中，，，，点从点出发，沿线段以3cm/s的速度连续做往返运动，同时点从点出发沿线段以2cm/s的速度向终点运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，与交于点，设点的运动时间为（秒）．
(1)分别写出当和时线段的长度（用含的代数式表示）．
(2)当时，求的值．
(3)若，求所有满足条件的值．
【题型八 全等三角形的几何综合】
【例题8】如图，，，，，垂足分别是点，，若，，则的长是（ ）
A．B．2C．3D．4
【变式8-1】如图，已知四边形ABCD中，，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以的速度沿运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为_________时，能够使与全等．
【变式8-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD，交BC延长线于F，交AC于H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③=HC；④PH=PD；其中正确的有____________________．
【变式8-3】如图1，的角平分线，相交于点，
(1)发现：的度数为________；
(2)①猜想：与的数量关系为________；
②爱思考的小江对上述猜想进行了合理的推理，淘气的弟弟把他的稿纸撕了，仅剩如图2所示的部分过程，请把其余过程补充完整；
(3)拓展：如图3过点作的高记为，过点作的高记为；过点作的高记为，请写出，，之间的数量关系并说明理由．
【亮点训练】
1．如图，把沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝50°，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD＝BE；③∠DOB＝50°；④CD平分∠ACB．其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AE是经过点A的一条线段，且B，C在AE的两侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，若CE＝3，BD＝AE＝9，则DE的长是（ ）
A．5B．5.5C．6D．7
4．将斜边相等的两块三角形如图放置，其中含45°角的三角板ABC的斜边与含30°的三角板ADC的斜边重合，B、D位于AC的两侧，若S四边形ABCD＝8，连接BD．则BD的长为（ ）
A．2B．4C．8D．16
5．如图，AB，CD相交于点E，且AB=CD，试添加一个条件使得△ADE≌△CBE．现给出如下五个条件：①∠A=∠C;②∠B=∠D;③AE=CE;④BE=DE;⑤AD=CB．其中符合要求有( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
6．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，△BCD的面积为58，△ADC的面积为30，则△ABD的面积等于______．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，已知DE＝4，AD＝6，则BE的长为___．
8．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AB＝5cm，AD＝BC＝3cm，点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段BC上由点B向点C运动设运动时间为t（s），当△ADE与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为 ___cm/s．
9．如图，中，，，，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点，点和分别以每秒和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过和作于，于.设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为______.
10．如图，△ABC中，AC＝BC＝5，∠ACB＝80°，O为△ABC中一点，∠OAB＝10°，∠OBA＝30°，则线段AO的长是_____．
11．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系．
12．在边长为10厘米的等边三角形△ABC中，如果点M，N都以3厘米/秒的速度匀速同时出发．
（1）若点M在线段AC上由A向C运动，点N在线段BC上由C向B运动．
①如图①，当BD＝6，且点M，N在线段上移动了2s，此时△AMD和△BND是否全等，请说明理由．
②求两点从开始运动经过几秒后，△CMN是直角三角形．
（2）若点M在线段AC上由A向点C方向运动，点N在线段CB上由C向点B方向运动，运动的过程中，连接直线AN，BM，交点为E，探究所成夹角∠BEN的变化情况，结合计算加以说明．
专题复习 全等三角形常见重难点考查题型
【题型目录】
题型一、将已知图形分割成几个全等图形
题型二、结合尺规作图的全等问题
题型三、倍长中线模型
题型四、旋转模型
题型五、垂线模型
题型六、其他模型
题型七、全等三角形中的动点问题
题型八、全等三角形几何综合
【题型一 将已知图形分割成几个全等图形】
【例题1】下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用全等图形的概念进而得出答案．
【详解】
解：图形分割成两个全等的图形，如图所示：
故选B．
【点睛】
此题主要考查全等图形的识别，解题的关键是熟知全等的性质.
【变式1-1】在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于______．
【答案】7
【解析】
【分析】
沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形，画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度．
【详解】
解：分割方案如图所示：
由图可得，最长分割线的长度等于7．
故答案为：7．
【点睛】
本题主要考查全等形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等形的性质.
【变式1-2】．如图，已知正方形中阴影部分的面积为3，则正方形的面积为________．
【答案】6
【解析】
【分析】
利用割补法，把阴影部分移动到一边.
【详解】
把阴影部分移动到正方形的一边，恰好是正方形的一半，故正方形面积是6.
【点睛】
割补法，等面积转换,可以简便运算，化复杂为简单.
【变式1-3】沿着图中的虚线（小正方形虚线边），用四种不同的方法（构成4种不同图形）将下面的图形分成两个全等的图形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形进行求解即可．
【详解】
解：如图所示，即为所求；
【点睛】
本题主要考查了考查了全等图形的概念，熟知相关概念是解题的关键．
【题型二 结合尺规作图的全等问题】
【例题2】已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．若，则D．点在的平分线上
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可知，即可推断结论A；先证明，再证明即可证明结论B；连接OP，可证明可证明结论D；由此可知答案．
【详解】
解：由题意可知，
，
，
故选项A正确，不符合题意；
在和中，
，
，
在和中，
，
，
，
故选项B正确，不符合题意；
连接OP，
，
，
在和中，
，
，
，
点在的平分线上，
故选项D正确，不符合题意；
若，，
则，
而根据题意不能证明，
故不能证明，
故选项C错误，符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，明确以某一半径画弧时，准确找到相等的线段是解题的关键．
【变式2-1】如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的度数为_______．
【答案】35°##35度
【解析】
【分析】
连接CD，EF．由题目中尺规作图可知：，．可证，所以，可得．所以．由于AH平分，所以．即：．
【详解】
解：连接CD，EF
由题目中尺规作图可知：，
在和中
AH平分
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查知识点为，全等三角形的性质及判定、定点为圆心定长为半径的性质、平行线的判定及性质，角平分线的性质．能看懂尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质及判定、平行线的性质及判定，角平分线的性质，是解决本题的关键．
【变式2-2】李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当，时，可得到形状唯一确定的
②当，时，可得到形状唯一确定的
③当，时，可得到形状唯一确定的
其中所有正确结论的序号是______________．
【答案】②③##③②
【解析】
【分析】
分别在以上三种情况下以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，观察弧与直线AM的交点即为Q点，作出后可得答案．
【详解】
如下图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，所以不唯一，所以①错误．
如下图，当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以形状相同，所以唯一，所以②正确．
如下图，当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，所以唯一，所以③正确．
综上：②③正确．
故答案为：②③
【点睛】
本题考查的是三角形形状问题，为三角形全等来探索判定方法，也考查三角形的作图，利用对称关系作出另一个Q是关键．
【变式2-3】嘉淇同学要证，她先用下列尺规作图步骤作图：①；②以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接；③过点作，垂足为点．并写出了如下不完整的已知和求证．
（1）在方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按嘉淇的想法写出证明过程．
【答案】（1）BE；BF；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）以点 B 为圆心， BC 长为半径画弧得到BC=BE，根据题目第一句话得AE=BF；
（2）根据平行线的性质得到∠AEB=∠FBC，然后根据AAS证明△ABE≌△FCB，然后利用全等三角形的性质即可证明．
【详解】
（1）∵以点B为圆心，BC长为半径画弧
∴BC=BE
根据已知条件第一句话，得到AE=BF
故答案为：BE；BF；
（2）证明：∵CF⊥BE，
∴∠BFC=90°，
又∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠FBC．
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，
∴BE=BC，
在△ABE与△FCB中，
∴△ABE≌△FCB，
∴AE=BF
【点睛】
本题考查了尺规作图，和三角形全等的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定条件，和性质是本题的关键．
【题型三 倍长中线模型】
【例题3】如图，是的边上的中线，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
延长至点E，使，连接，证明，可得，然后运用三角形三边关系可得结果．
【详解】
如图，延长至点E，使，连接．
∵为的边上的中线，
∴，
在和中，
∴，
∴．
在中，，
即，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，根据中点倍长法构造全等三角形是解题的关键．
【变式3-1】如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，设BC＝a，AC＝b，若a，b满足a2﹣10a+b2﹣18b+106＝0，则CD的取值范围是 _____．
【答案】2＜CD＜7
【解析】
【分析】
已知等式变形后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出a与b的值，即可求出CD的取值范围．
【详解】
解：已知等式整理得：（a2−10a＋25）＋（b2−18b＋81）＝0，
即（a−5）2＋（b−9）2＝0，
∵（a−5）2≥0，（b−9）2≥0，
∴a−5＝0，b−9＝0，
解得：a＝5，b＝9，
∴BC＝5，AC＝9，
延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，
∵CD为AB边上的中线，
∴BD＝AD，
在△BCD和△AED中，
，
∴△BCD≌△AED（SAS），
∴AE＝BC＝a，
在△ACE中，AC−AE＜CE＜AC＋AE，
∴AC−BC＜2CD＜AC＋AE，即b−a＜2CD＜a＋b，
∴＜CD＜，
则2＜CD＜7．
故答案为：2＜CD＜7．
【点睛】
此题考查了配方法的应用，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【变式3-2】中，，， 则第三边边上的中线的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
如图延长AD至点E，使得DE=AD，可证△ABD≌△CDE，可得AB=CE，AD=DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，即可解题．
【详解】
解：延长AD至点E，使得DE=AD，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD
在△ABD和△CDE中，
，
∴△ABD≌△CDE（SAS），
∴AB=CE，
∵△ACE中，AC-CE＜AE＜AC+CE，即：AC-AB＜AE＜AC+AB，
∴2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5．
故答案为：1＜AD＜5．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABD≌△CDE是解题的关键．
【变式3-3】【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到的理由是（ ）．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
(2)AD的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
【答案】(1)B
(2)C
(3)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；
（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD＜8+6，求出即可；
（3）延长AD到M，使AD=DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM=AC，∠CAD=∠M，根据AE=EF，推出∠CAD=∠AFE=∠BFD，求出∠BFD=∠M，根据等腰三角形的性质求出即可．
(1)
∵在△ADC和△EDB中
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故选B；
(2)
∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE=AC=6，AE=2AD，
∵在△ABE中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故选：C．
(3)
延长AD到点M，使AD＝DM，连接BM．
∵AD是△ABC中线
∴CD＝BD
∵在△ADC和△MDB中
∴
∴BM＝AC（全等三角形的对应边相等）
∠CAD＝∠M（全等三角形的对应角相等）
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE（等边对等角）
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠M，
∴BF＝BM（等角对等边）
又∵BM＝AC，
∴AC＝BF．
【点睛】
本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
【题型四 旋转模型】
【例题4】如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（ ）
A．36B．21C．30D．22
【答案】B
【解析】
【分析】
将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得．
【详解】
解：如图，将关于AE对称得到，
则，，
，
，
，
在和中，，
，
，
，即是直角三角形，
，
，
即与的面积之和为21，
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．
【变式4-1】如图，正三角形和，A，C，E在同一直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的结论有______________．并写出3对全等三角形___________________________．
【答案】 ①②③⑤ △ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ
【解析】
【分析】
①可证明△ACD≌△BCE,从而得出AD=BE；
②可通过证明△BCQ≌△ACP，从而可证明△PCQ为等边三角形，再根据内错角相等两直线平行可证明PQ∥AE．
③由②中△BCQ≌△ACP，可证AP=BQ；
④通过证明△CDP≌△CEQ可得DP=EQ，又由图可知DE＞QE，从而④错误；
⑤通过三角形外角定理和前面△ACD≌△BCE可得该结论．
由前面的证明过程可得出三个全等三角形．
【详解】
解：①△ABC和△DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上，
∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120°
∴△ACD≌△BCE
∴AD=BE，故本选项正确；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBQ=∠CAP，
又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC，
∴△BCQ≌△ACP，
∴CQ=CP，又∠PCQ=60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠QPC=60°=∠ACB，
∴PQ∥AE，故本选项正确；
③由②△BCQ≌△ACP可得AP=BQ，故本选项正确；
④∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60°，
∴△CDP≌△CEQ（ASA）．
∴DP=EQ，
∵DE＞QE
∴DE＞DP，故本选项错误；
⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，故本选项正确；
∴正确的有：①②③⑤．
由上面证明过程可知△ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ．
故答案为：①②③⑤；△ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定定理，并能依据等边三角形三边相等，三角相等都是60°的特征判断三角形全等是解题关键．
【变式4-2】如图，P是等边△ABC内一点，且PA＝6，PC＝8，PB＝10，若△APB绕点A逆时针旋转60°后，得到△AP′C，则∠APC＝_____°．
【答案】150°
【解析】
【分析】
如图，连接PP′，根据旋转的性质证明△APP′是等边三角形，可得∠APP′=60°，PP′=PA=6，再由勾股定理的逆定理判定△P′PC是以∠P′PC为直角的直角三角形，即可求得∠APC的度数．
【详解】
解：如图，连接PP′，
∵△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C，
∴△AP′C≌△APB，
∴P′A=PA=6，P′C=PB=10，
∵旋转角是60°，
∴△APP′是等边三角形，
∴∠APP′=60°，PP′=PA=6，
∵PP′2+PC2=62+82=100，P′C2=PB2=102=100，
∴PP′2+PC2=P′C2，
∴△P′PC是以∠P′PC为直角的直角三角形，
∴∠APC=∠APP′+∠P′PC=60°+90°=150°．
故答案为150°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质．关键是通过旋转，得出旋转角及对应边的关系，判断特殊三角形．
【变式4-3】（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【答案】（1），理由见解析；（2）成立，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）典型的“夹半角模型”，延长到使得，先证，再证，最后根据边的关系即可证明；
（2）图形变式题可以参考第一问的思路，延长到使得，先证
，再证，最后根据边的关系即可证明；
【详解】
解：（1）
证明：延长到，使得
连接
∵四边形是正方形
∴，
又∵
∴
∴，
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴
（2）
证明：延长到，使得
连接
∵，
∴
又∵，
∴
∴，
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，正确的根据“夹半角模型”作出辅助线是解题的关键．
【题型五 垂线模型】
【例题5】如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（ ）
A．8B．4C．3D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知条件，观察图形得，，然后证后求解．
【详解】
解：，，于，于，
，
，
又，，
．
，，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用，，是解题的关键．
【变式5-1】如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为________．
【答案】3
【解析】
【分析】
过点作交延长线于点，先证明，则，然后根据求即可．
【详解】
解：过点作交延长线于点，
则∠DMC=90°=∠ABC，
，，
，，
，
，
，
，
，
．
故填．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积，正确作出辅助线、构造全等三角形证得成为解答本题的关键．
【变式5-2】如图，线段AB=8cm，射线AN⊥AB，垂足为点A，点C是射线上一动点，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为__________．
【答案】4cm.
【解析】
【分析】
过点E作EF⊥AN于F，先利用AAS证出△ABC≌△FCE，从而得出AB=FC=8cm，AC=FE，然后利用AAS证出△DCM≌△EFM,从而求出CM的长.
【详解】
解：过点E作EF⊥AN于F，如图所示
∵AN⊥AB，△BCE和△ACD为等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠BCE=∠ACD=∠CFE =90°，BC=CE，AC=CD
∴∠ABC+∠ACB=90°，∠FCE+∠ACB =90°，
∴∠ABC =∠FCE，
在△ABC和△FCE中
∴△ABC≌△FCE
∴AB=FC=8cm，AC=FE
∴CD= FE
在△DCM和△EFM中
∴△DCM≌△EFM
∴CM=FM=FC=4cm.
故答案为：4cm.
【点睛】
此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握用AAS证两个三角形全等是解决此题的关键.
【变式5-3】在中，，，直线MN经过点C，且于D点，于E点．
（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：；
（2）当直线MN绕点C旋转到图②、图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
【答案】（1）证明见解析，（2）图②中DE、AD、BE的等量关系是DE＝AD﹣BE，图③中DE、AD、BE的等量关系是DE＝BE﹣AD．
【解析】
【分析】
（1）由已知推出推出∠DAC＝∠BCE，根据AAS证明△ADC≌△CEB即可得到答案；
（2）与（1）证法类似可证出∠ACD＝∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，CD＝BE，即可得到线段的关系．
【详解】
解：（1）①证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵DC+CE＝DE，
∴DE＝AD+BE．
（2）图②中DE、AD、BE的等量关系是DE＝AD﹣BE，图③中DE、AD、BE的等量关系是DE＝BE﹣AD．
如图②
∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝EC﹣CD＝AD﹣BE．
DE＝AD﹣BE，
如图③
∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出全等三角形是解此题的关键．
【题型六 其他模型】
【例题6】如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（ ）个
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
利用垂直的定义得到，则，于是可对①进行判断；利用“”可证明，于是可对②进行判断；利用全等的性质得到，则根据三角形内角和和对顶角相等得到，于是可对③进行判断．
【详解】
解：，，
，，
，
即，所以①正确；
在和中，
，
，所以②正确；
，
∵∠AFD=∠MFB，
，
，所以③正确．
故选：．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
【变式6-1】如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是_________．
【答案】20°
【解析】
【分析】
延长至点E使，连接，证明是等边三角形，设，则，再证明，即可得到结果．
【详解】
解：如图，延长至点E使，连接．
∴，
∵，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴设，则．在与中，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案是．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，准确分析计算是解题的关键．
【变式6-2】如图，的面积是10，垂直的平分线于点，则的面积是__________．
【答案】5
【解析】
【分析】
延长AP交BC于E，通过垂直的平分线于点证明，从而可得，，即可求出的面积．
【详解】
延长AP交BC于E
∵垂直的平分线于点
∴，
在△ABP和△EBP中
∴
∴，
∴△ACP和△PCE等底同高
∴
∴
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了三角形的面积问题，掌握角平分线的性质、全等三角形的性质以及判定定理、三角形的面积公式是解题的关键．
【变式6-3】已知：和都是等腰直角三角形，，连接、交于点，与交于点，与交于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．
【答案】（1）证明见解析；（2）△ACB≌△DCE，△BCF≌△DCG，△AHF≌△EHG，△EHD≌△AHB
【解析】
【分析】
（1）根据SAS可证明△ACD≌△BCE，从而可知AD=BE；
（2）根据条件即可判断图中的全等直角三角形．
【详解】
解：（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴AC=BC，DC=EC，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
（2）△ACB≌△DCE，△BCF≌△DCG，△AHF≌△EHG，△EHD≌△AHB．
理由：∵AC=DC，∠ACB=∠DCE，
∴AC=CD=EC=CB，
∴△ACB≌△DCE（SAS）；
由（1）可知：∠EBC=∠DAC，∠ADC=∠BEC，
∴∠AHF=90°，
∵∠EBC=∠CEB=∠CDA，
∴△BCF≌△DCG（ASA），
∴CF=CG，
∴AF=EG，
∵∠AHF=∠EHG，∠FAH=∠HEG，
∴△AHF≌△EHG（AAS），
∴AH=EH，
又∵DE=AB，
∴Rt△EHD≌Rt△AHB（HL）．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定条件．
【题型七 全等三角形中的动点问题】
【例题7】如图，在长方形的中，已知，，点以4cm/s的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以A，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则的值为（ ）
A．4B．6C．4或D．4或
【答案】D
【解析】
【分析】
分两种情况分别计算，即可分别求得．
【详解】
解：设点P运动的时间为t，
由题意知：BP=4tcm，CQ=atcm，则PC=BC-BP=(10-4t)cm，
当时，BP=CQ，
即4t=at，解得a=4，
当时，BP=CP，CQ=AB，
即4t=10-4t，at=6，
解得，
故，解得，
故的值为4或，
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
【变式7-1】如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=16．点P从A点出发沿A—C—B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B—C—A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．若要△PEC与△QFC全等，则点P的运动时间为_______．
【答案】1或3.5或12
【解析】
【分析】
分4种情况求解：①P在AC上，Q在BC上，推出方程6-t=8-3t，②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，得到方程6-t=3t-8，Q在AC上，③P在BC上，Q在AC时，此时不存在，④当Q到A点，与A重合，P在BC上时．
【详解】
解：∵△PEC与△QFC全等，∴斜边CP=CQ，有四种情况：
①P在AC上，Q在BC上，
，
CP=12-2t，CQ=16-6t，
∴12-2t=16-6t，
∴t=1；
②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，
∴CP=12-2t=6t-16，
∴t=3.5；
③P到BC上，Q在AC时，此时不存在；
理由是：28÷6=，12÷2=6，即Q在AC上运动时，P点也在AC上运动；
④当Q到A点（和A重合），P在BC上时，
∵CP=CQ=AC=12．CP=12-2t，
∴2t-12=12，
∴t=12符合题意；
答：点P运动1或3.5或12时，△PEC与△QFC全等．
【点睛】
本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．
【变式7-2】如图，在△ABC中，，AC＝8cm，BC＝10cm．点C在直线l上，动点P从A点出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和2cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P和Q作PM⊥直线l于M，QN⊥直线l于N．则点P运动时间为____秒时，△PMC与△QNC全等．
【答案】2或6##6或2
【解析】
【分析】
设点P运动时间为t秒，根据题意化成两种情况，由全等三角形的性质得出，列出关于t的方程，求解即可．
【详解】
解：设运动时间为t秒时，△PMC≌△CNQ，
∴斜边，
分两种情况：
①如图1，点P在AC上，点Q在BC上，
图1
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
②如图2，点P、Q都在AC上，此时点P、Q重合，
图2
∵，，
∴，
∴；
综上所述，点P运动时间为2或6秒时，△PMC与△QNC全等，
故答案为：2或6．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，根据题意判断两三角形全等的条件是解题关键，同时要注意分情况讨论，解题时避免遗漏答案．
【变式7-3】如图，在中，，，，点从点出发，沿线段以3cm/s的速度连续做往返运动，同时点从点出发沿线段以2cm/s的速度向终点运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，与交于点，设点的运动时间为（秒）．
(1)分别写出当和时线段的长度（用含的代数式表示）．
(2)当时，求的值．
(3)若，求所有满足条件的值．
【答案】(1)时，，时，
(2)
(3)
【解析】
【分析】
(1)根据点F从点B出发的速度和图形解答即可；
(2)根据题意列出方程，解方程即可；
(3)分两种情况讨论，根据全等三角形的性质列式计算即可．
(1)
解：当时，，，
当时，，．
(2)
解：由题意知：，
当时，，，(舍去)．
当时，，，．
(3)
解：当时，，
当时，，
当时，，，．
当时，，，(舍去）．
∴当时，．
【点睛】
本题考查的是列代数式和全等三角形的性质的应用，根据题意求出代数式、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
【题型八 全等三角形的几何综合】
【例题8】如图，，，，，垂足分别是点，，若，，则的长是（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出∆CEB≅∆ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值.
【详解】
解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°
∴∠EBC+∠BCE=90°
∵∠BCE+∠ACD=90°
∴∠EBC=∠DCA
在∆CEB和∆ADC中，
∠E=∠ADC，∠EBC=∠DCA，BC=AC
∴∆CEB≅∆ADC(AAS)
∴BE=DC=1，CE=AD=3
∴DE=EC-CD=3-1=2
故选：B．
【点睛】
全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
【变式8-1】如图，已知四边形ABCD中，，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以的速度沿运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为_________时，能够使与全等．
【答案】3或
【解析】
【分析】
根据①当时，；②当时，两种情况进行讨论，从而可求点Q的运动速度；
【详解】
解：设运动时间为ts；
①当时，，Q的运动速度等于P点运动速度；
②当时，，则，
∴点Q的运动速度：；
故答案为：3或．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【变式8-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD，交BC延长线于F，交AC于H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③=HC；④PH=PD；其中正确的有____________________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】
由角平分线的定义，可得∠PAB+∠PBA=45°，由三角形内角和定理可得结论①；由△BPA≌△BPF可得结论②；由△APH≌△FPD可得结论④；若PH=HC，则PD=HC，由AD＞AC可得AP＞AH不成立，故③错误；
【详解】
解：∵∠CAB+∠CBA=90°，AD、BE平分∠CAB、∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=（∠CAB+∠CBA）=45°，
△PAB中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=135°，
故①正确；
∵∠ADF+∠F=90°，∠ADF+∠DAC=90°，
∴∠F=∠DAC=∠DAB，
△BPA和△BPF中：∠PBA=∠PBF，∠PAB=∠PFB，BP=BP，
∴△BPA≌△BPF（AAS），
∴BA=BF，PA=PF，
故②正确；
△APH和△FPD中：∠PAH=∠PFD，PA=PF，∠APH=∠FPD=90°，
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴PH=PD，故④正确；
若PH=HC，则PD=HC，
AD＞AC，则AD-PD＞AC-HC，即AP＞AH，不成立，
故③错误；
综上所述①②④正确，
故答案为：①②④
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识；掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
【变式8-3】如图1，的角平分线，相交于点，
(1)发现：的度数为________；
(2)①猜想：与的数量关系为________；
②爱思考的小江对上述猜想进行了合理的推理，淘气的弟弟把他的稿纸撕了，仅剩如图2所示的部分过程，请把其余过程补充完整；
(3)拓展：如图3过点作的高记为，过点作的高记为；过点作的高记为，请写出，，之间的数量关系并说明理由．
【答案】(1)60
(2)①；②见解析
(3)，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义可得∠，再根据三角形外角的性质可得结论；
（2）①猜想；②在上取一点使得连接根据证明得到，再根据证明△即可得到结论；
（3）证明即可得到结论．
(1)
∵的角平分线，相交于点，
∴∠
∵，
∴∠
∴∠
∴∠
故答案为
(2)
①猜想：与的数量关系为证明见②；
故答案为：
②在上取一点使得连接如图2，
∵平分∠
∴∠
在和中
∴
∴
又由（1）得
∴∠∠∠
∴∠
∴∠
在和中
∴△
∴
∴
(3)
理由如下：
由（2）②知：
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质以及三角形的面积公式等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
【亮点训练】
1．如图，把沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由于折叠，可得三角形全等，运用三角形全等得出，利用平行线的性质可得出则即可求．
【详解】
解：∵沿线段折叠，使点落在点处，
∴ ，
∴ ，
∵，，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质及三角形内角和定理、平行线的性质；解题的关键是，理解折叠就是得到全等的三角形，根据全等三角形的对应角相等就可以解决．
2．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝50°，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD＝BE；③∠DOB＝50°；④CD平分∠ACB．其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
由∠DAB＝∠CAE，可得∠DAC＝∠BAE，再通过SAS可证明△ADC≌△ABE，再利用全等三角形的性质可进行判断．
【详解】
解：∵∠DAB＝∠CAE，
∴∠DAB＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△ADC和△ABE中，
，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，
∵∠AFD＝∠BFO，
∴∠BOD＝∠BAD＝50°，
故①②③正确，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明△ADC≌△ABE是解题的关键．
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AE是经过点A的一条线段，且B，C在AE的两侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，若CE＝3，BD＝AE＝9，则DE的长是（ ）
A．5B．5.5C．6D．7
【答案】C
【解析】
【分析】
先证明△ABD≌△CAE，再结合三角形全等性质可得AD，再根据DE=AE-AD可得答案．
【详解】
解：∵BD⊥AE于D，∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠ABD =90°，∠CAE+∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB=∠AEC=90°,
又∵BD＝AE＝9，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE=3，
∴DE=AE-AD=9-3=6．
故选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形性质和判定．能根据同角的余角相等得出角相等是解题关键．
4．将斜边相等的两块三角形如图放置，其中含45°角的三角板ABC的斜边与含30°的三角板ADC的斜边重合，B、D位于AC的两侧，若S四边形ABCD＝8，连接BD．则BD的长为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【解析】
【分析】
将△BCD绕点B逆时针旋转90°，得到△BCE，可证D、A、E在一条直线上，△DBE是等腰直角三角形，面积是8，即可求出BD的长．
【详解】
解：将△BCD绕点B逆时针旋转90°，得到△BCE，
可知，BE=BD，∠BCD=∠BAE，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∴∠BAE +∠BAD=180°，
∴D、A、E在一条直线上，
∴△DBE是等腰直角三角形，面积等于四边形ABCD的面积，即，
，，
故选：B
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是恰当作辅助线，得到等腰直角三角形．
5．如图，AB，CD相交于点E，且AB=CD，试添加一个条件使得△ADE≌△CBE．现给出如下五个条件：①∠A=∠C;②∠B=∠D;③AE=CE;④BE=DE;⑤AD=CB．其中符合要求有( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】D
【解析】
【分析】
延长DA、BC使它们相较于点F ，首先根据AAS证明△FAB≌△FCD，然后根据全等三角形的性质即可得到AF=FC，FD=FB，进而得到AD=BC，即可证明△ADE≌△CBE，可判断①、②的正误；根据SAS证明△ADE≌△CBE，即判断③、④的正误；连接BD，根据SSS证明△ADB≌△CBD，根据全等三角形的性质得到∠A=∠C，结合①即可证明⑤．
【详解】
延长DA、BC使它们相较于点F
∵∠DAB=∠DCB，∠AED=∠BEC
∴∠B=∠D
又∵∠F=∠F，AB=CD
∴△FAB≌△FCD
∴AF=FC，FD=FB
∴AD=BC
∴△ADE≌△CBE，即①正确；
同理即可证明②正确；
∵AE=CE，AB=CD
∴DE=BE
又∵∠AED=∠BEC
∴△ADE≌△CBE，③正确；
同理即可证明④正确；
连接BD，
∵AD=CB，AB=CD，BD=BD
∴△ADB≌△CBD
∴∠DAB=∠BCD
∴△ADE≌△CBE，⑤正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定方法，主要包括：SSS、SAS、AAS、ASA，难点在于添加辅助线来构造三角形全等，关键在于应根据所给的条件判断应证明哪两个三角形全等．
6．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，△BCD的面积为58，△ADC的面积为30，则△ABD的面积等于______．
【答案】28
【解析】
【分析】
延长交于，由证明，得出，得出，进而得出，即可得出结果．
【详解】
如图所示，延长交于，
∵平分，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：28．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，证明三角形全等得出是解题关键．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，已知DE＝4，AD＝6，则BE的长为___．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据AAS证明△ACD≌△CBE，再利用其性质解答即可．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠BCE=∠CAD，
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE，
∴BE=CD，CE=AD，
∴BE=CD=CE−DE=AD−DE=6−4=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定和性质，要根据AAS证明△ACD≌△CBE是解题的关键．
8．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AB＝5cm，AD＝BC＝3cm，点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段BC上由点B向点C运动设运动时间为t（s），当△ADE与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为 ___cm/s．
【答案】1 或
【解析】
【分析】
根据题意可得当和时两种情况讨论，然后根据全等三角形对应边相等分别列出方程求解即可．
【详解】
解：设点F的运动速度为x m/s，
由题意可得，，，，
当时，
∴，
∴，
解得：，
∴此时点F的运动速度为1m/s；
当时，
，，
∴，，
解得：，．
∴此时点F的运动速度为m/s；
故答案为：1 或 ．
【点睛】
此题考查了三角形全等的判定和性质，几何动点问题，解题的关键是根据题意分情况讨论，分别根据全等三角形的性质列出方程求解．
9．如图，中，，，，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点，点和分别以每秒和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过和作于，于.设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为______.
【答案】或7或8
【解析】
【分析】
易证∠MEC＝∠CFN，∠MCE＝∠CNF．只需MC＝NC，就可得到△MEC与△CFN全等，然后只需根据点M和点N不同位置进行分类讨论即可解决问题．
【详解】
①当0≤t＜4时，点M在AC上，点N在BC上，如图①，
此时有AM＝2t，BN＝3t，AC＝8，BC＝15．
当MC＝NC即8−2t＝15−3t时全等，
解得t＝7，不合题意舍去；
②当4≤t＜5时，点M在BC上，点N也在BC上，如图②，
若MC＝NC，则点M与点N重合，即2t−8＝15−3t，
解得t＝；
当5≤t＜时，点M在BC上，点N在AC上，如图③，
当MC＝NC即2t−8＝3t−15时全等，
解得t＝7；
④当≤t＜时，点N停在点A处，点M在BC上，如图④，
当MC＝NC即2t−8＝8，
解得t＝8；
综上所述：当t等于或7或8秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等．
故答案为：或7或8．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定以及分类讨论的思想，可能会因考虑不全面而出错，是一道易错题．
10．如图，△ABC中，AC＝BC＝5，∠ACB＝80°，O为△ABC中一点，∠OAB＝10°，∠OBA＝30°，则线段AO的长是_____．
【答案】5
【解析】
【分析】
作∠CAO的平分线AD，交BO的延长线于点D，连接CD，由等边对等角得到∠CAB＝∠CBA＝50°，再推出∠DAB＝∠DBA，得到AD＝BD，然后可证△ACD≌△BCD，最后证△ACD≌△AOD，即可得AO＝AC＝5．
【详解】
解：如图，作∠CAO的平分线AD，交BO的延长线于点D，连接CD，
∵AC＝BC＝5，
∴∠CAB＝∠CBA＝50°，
∵∠OAB＝10°，
∴∠CAD＝∠OAD＝＝＝20°，
∵∠DAB＝∠OAD+∠OAB＝20°+10°＝30°，
∴∠DAB＝30°＝∠DBA，
∴AD＝BD，∠ADB＝120°，
在△ACD与△BCD中
∴△ACD≌△BCD（SSS）
∴∠CDA＝∠CDB，
∴∠CDA＝∠CDB＝＝＝120°，
在△ACD与△AOD中
∴△ACD≌△AOD（ASA）
∴AO＝AC=5，
故答案为5．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解决本题的关键.
11．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系．
【答案】（1）证明见解析；（2）；理由见解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
（2）延长到点，使，连接，证明，可得，即
（3）连接，过点作于，证明，，进而根据即可得出结论．
【详解】
解：（1）方法1：在上截，连接，如图．
平分，
．
在和中，，
，
，．
，．
．
，
．
方法2：延长到点，使得，连接，如图．
平分，
．
在和中，，
．
，．
，
．
，
，
．
（2）、、之间的数量关系为：．
（或者：，）．
延长到点，使，连接，如图2所示．
由（1）可知，
．
为等边三角形．
，．
，
．
．
，
为等边三角形．
，．
，
，
即．
在和中，，
．
，
，
．
（3），，之间的数量关系为：．
（或者：，）
解：连接，过点作于，如图3所示．
，．
．
在和中，，
，
，．
在和中，
，
．
，
，
．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．
12．在边长为10厘米的等边三角形△ABC中，如果点M，N都以3厘米/秒的速度匀速同时出发．
（1）若点M在线段AC上由A向C运动，点N在线段BC上由C向B运动．
①如图①，当BD＝6，且点M，N在线段上移动了2s，此时△AMD和△BND是否全等，请说明理由．
②求两点从开始运动经过几秒后，△CMN是直角三角形．
（2）若点M在线段AC上由A向点C方向运动，点N在线段CB上由C向点B方向运动，运动的过程中，连接直线AN，BM，交点为E，探究所成夹角∠BEN的变化情况，结合计算加以说明．
【答案】（1）①证明见解析；②经过或秒后，△CMN是直角三角形；（2）∠BEN＝60°，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）①根据题意得出AM＝BD，AD＝BN，根据等边三角形的性质得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，利用SAS定理证明△AMD≌△BDN；
②分∠CNM＝90°、∠CMN＝90°两种情况，根据直角三角形的性质列式计算即可；
（2）证明△ABM≌△CAN，根据全等三角形的性质得到∠ABM＝∠CAN，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【详解】
（1）①∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
当点M，N在线段上移动了2s时，AM＝6厘米，CN＝6厘米，
∴BN＝BC﹣CN＝4厘米，
∵AB＝10厘米，BD＝6厘米，
∴AD＝4厘米，
∴AM＝BD，AD＝BN，
在△AMD和△BDN中，
，
∴△AMD≌△BDN（SAS）；
②设经过t秒后，△CMN是直角三角形，
由题意得：CM＝（10﹣3t）厘米，CN＝3t厘米，
当∠CNM＝90°时，
∵∠C＝60°，
∴∠CMN＝30°，
∴CM＝2CN，即10﹣3t＝2×3t，
解得：t＝，
当∠CMN＝90°时，CN＝2CM，即2（10﹣3t）＝3t，
解得：t＝，
综上所述：经过或秒后，△CMN是直角三角形；
（2）如图所示，由题意得：AM＝CN，
在△ABM和△CAN中，
，
∴△ABM≌△CAN（SAS），
∴∠ABM＝∠CAN，
∴∠BEN＝∠ABE+∠BAE＝∠CAN+∠BAE＝60°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判断以及列一元一次方程动点相关问题，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；一元一次方程与几何图形的相结合的题，多数会涉及到动点的问题，需要对动点的位置进行讨论，讨论时要注意讨论全面，做到不重不漏，通常会按照从左到右或从上到下的方位进行考虑．
相关试卷
初中数学苏科版八年级上册第一章 全等三角形1.2 全等三角形课时作业： 这是一份初中数学苏科版八年级上册<a href="/sx/tb_c17289_t7/?tag_id=28" target="_blank">第一章 全等三角形1.2 全等三角形课时作业</a>，共101页。
中考数学一轮复习专题6.1圆的基本性质重难点题型讲练(4大题型，105题)(讲练)(原卷版+解析)： 这是一份中考数学一轮复习专题6.1圆的基本性质重难点题型讲练(4大题型，105题)(讲练)(原卷版+解析)，共141页。
中考数学一轮复习8.1统计与概率重难点题型讲练(4大题型)(讲练)(原卷版+解析)： 这是一份中考数学一轮复习8.1统计与概率重难点题型讲练(4大题型)(讲练)(原卷版+解析)，共94页。试卷主要包含了获得这组数据的方法是等内容，欢迎下载使用。
