高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词精品巩固练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词精品巩固练习，文件包含专题15全称量词与存在量词5类必考点人教A版2019必修第一册原卷版docx、专题15全称量词与存在量词5类必考点人教A版2019必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc13156" 【考点1：全称量词与全称量词命题】 PAGEREF _Tc13156 \h 1
\l "_Tc11903" 【考点2：存在量词与存在量词命题】 PAGEREF _Tc11903 \h 3
\l "_Tc1308" 【考点3：全称量词命题的否定】 PAGEREF _Tc1308 \h 5
\l "_Tc29194" 【考点4：存在量词命题的否定】 PAGEREF _Tc29194 \h 6
\l "_Tc3811" 【考点5：根据全称量词命题或存在量词命题的真假求参数】 PAGEREF _Tc3811 \h 8
【考点1：全称量词与全称量词命题】
【知识点：全称量词与全称量词命题】
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示，含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．
1．（2023·全国·高一假期作业）下列命题是全称量词命题的个数是（ ）
①任何实数都有平方根;
②所有素数都是奇数;
③有些一元二次方程无实数根;
④三角形的内角和是180°．
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据全称命题的定义即可判断答案.
【详解】根据全称命题的定义可得①②④中命题，指的是全体对象具有某种性质，
故①②④是全称量词命题，③中命题指的是部分对象具有某性质，不是全称命题，
故选：D．
2．（2023·全国·高一假期作业）下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是（ ）
A．∀a,b∈R,a2+b2<0B．菱形的两条对角线相等
C．∃x0∈R,x02=x0D．一次函数的图象是直线
【答案】D
【分析】根据全称量词命题的特征,以及真命题即可结合选项求解.
【详解】对于A，∀a,b∈R,a2+b2<0为全称量词命题，但是a2+b2≥0，故是假命题，故A错误，
对于B，是全称量词命题，但是菱形的对角线不一定相等，故B错误，
对于C,是存在量词命题,故C错误，
对于D,既是全称量词命题也是真命题,故D正确，
故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习）下列命题中既是全称量词命题，又是真命题的是（ ）
A．菱形的四条边都相等B．∃x∈N，使2x为偶数
C．∀x∈R,x2+2x+1>0D．π是无理数
【答案】A
【分析】根据全称量词命题和特称量词命题的定义以及真假判断，一一判断各选项，即得答案.
【详解】对于A，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题，且是真命题.
对于B，∃x∈N，使2x为偶数，是存在量词命题.
对于C，∀x∈R,x2+2x+1>0，是全称量词命题，当x=−1时，x2+2x+1=0，故是假命题.
对于D，π是无理数，是真命题，但不是全称量词命题，
故选：A.
4．（多选）（2023·全国·高一假期作业）下列命题是全称量词命题的是（ ）
A．负数的绝对值大于0
B．所有的菱形都是平行四边形
C．负数的平方是正数
D．∀x∈R,x2−1>0
【答案】ABCD
【分析】根据全称量词命题的定义逐项判断即可.
【详解】对于A，负数的绝对值大于0即所有负数的绝对值大于0，根据全称量词命题的定义知，该命题是全称量词命题；
对于B，所有的菱形都是平行四边形，根据全称量词命题的定义知，该命题是全称量词命题；
对于C，负数的平方是正数即所有负数的平方是正数，根据全称量词命题的定义知，该命题是全称量词命题；
对于D，∀x∈R,x2−1>0，根据全称量词命题的定义知，该命题是全称量词命题.
故选：ABCD
5．（2023·高一课时练习）将“方程x2+1=0无实根”改写成含有一个量词的命题的形式，可以写成 ．
【答案】∀x∈R,x2+1≠0
【分析】根据全称量词命题的形式改写即可．
【详解】由已知，“方程x2+1=0无实根”是全称量词命题，
故可改写为：∀x∈R,x2+1≠0，
故答案为：∀x∈R,x2+1≠0．
6．（2023·高一课时练习）对于命题：①任意x∈N，都有x2>0；②任意x∈Q，都有x2∈Q；③存在x∈Z，x2>1；④存在x，y∈R，使|x|＋|y|>0，其中是全称量词命题并且是真命题的是 ．(填序号)
【答案】②
【分析】根据全称量词的定义判断①②是全称量词命题，然后判断真假即可.
【详解】只有①②是全称量词命题，当x＝0时，x2＝0，所以①是假命题．
故答案为：②
【考点2：存在量词与存在量词命题】
【知识点：存在量词与存在量词命题】
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．
1．（2023·全国·高一假期作业）下列命题中是存在量词命题的是（ ）
A．平行四边形的对边相等B．同位角相等
C．任何实数都存在相反数D．存在实数没有倒数
【答案】D
【分析】利用全程量词和存在量词的定义，找出命题中对应的量词即可得出ABC为全称量词命题，D选项为存在量词命题.
【详解】根据全称量词和存在量词的定义可知，
A选项，“平行四边形的对边相等”是所有的平行四边形性质，是全称量词命题；
B选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题；
C选项，“任何实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词，故其为全称量词命题；
D选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，其为存在量词命题.
故选：D
2．（2023·全国·高一假期作业）下列四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A．锐角三角形的内角都是锐角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使1x>2
【答案】B
【分析】根据全称量词以及存在量词命题的定义即可判断.
【详解】“都是”，“必是”是全称量词，故AC错误，
“至少”，“存在”是存在量词，故B，D是存在量词命题，
存在x=0，使得x2≤0，不存在负数使得1x>2，故D是假命题，B是真命题．
故选：B
3．（2023·江苏·高一假期作业）判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题.
(1)凸多边形的外角和等于360∘；
(2)矩形的对角线不相等；
(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4)有些实数a，b能使a−b=a+b；
(5)方程3x−2y=10有整数解.
【答案】(1)全称量词命题
(2)全称量词命题
(3)全称量词命题
(4)存在量词命题
(5)存在量词命题
【分析】由已知结合全称量词命题及存在量词命题的定义分别检验各命题．
【详解】（1）命题可以改写为：所有的凸多边形的外角和等于360∘，故为全称量词命题．
（2）命题可以改写为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．
（3）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题
（4）含存在量词“有些”，故为存在量词命题．
（5）命题可以改写为：存在一对整数x，y，使3x−2y=10成立．故为存在量词命题．
4．（2023·高一课时练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假．
(1)所有的实数a、b，方程ax＋b＝0恰有唯一解．
(2)存在实数x，使x2−2x+3＝34.
【答案】(1)全称量词命题，假命题
(2)存在量词命题，假命题
【分析】（1）利用全称量词命题和存在量词命题的定义判断，再举例判断其真假；
（2）利用全称量词命题和存在量词命题的定义判断，再利用二次函数的性质判断其真假；
【详解】（1）解：该命题是全称量词命题．
当a＝0，b＝0时方程有无数解，
故该命题为假命题．
（2）该命题是存在量词命题．
∵x2−2x+3=x−12+2≥2，
∴不存在实数x，使x2−2x+3=34，
故该命题是假命题．
【考点3：全称量词命题的否定】
【知识点：全称量词命题的否定】
全称量词命题：xM，p(x)，它的否定：∃xM，p(x).
1．（2023·全国·高一假期作业）已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球，则命题p的否定是（ ）
A．某班至多有一个男生爱踢足球
B．某班至少有一个男生不爱踢足球
C．某班所有的男生都不爱踢足球
D．某班所有的女生都爱踢足球
【答案】B
【分析】由全称量词命题的否定形式即可得答案.
【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，
故命题p的否定是某班至少有一个男生不爱踢足球．
故选：B．
2．（2022秋·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）设命题p：任意的x∈R，x2+1>0，则¬p为 （ ）
A．不存在x∈R，x2+1>0B．存在x∈R，x2+1>0
C．任意的x∈R，x2+1≤0D．存在x∈R，x2+1≤0
【答案】D
【分析】利用全称命题的否定是特称命题解答．
【详解】全称命题的否定是特称命题，
命题p：任意的x∈R，x2+1>0，则¬p为“存在x∈R，x2+1≤0”．
故选：D．
3．（2022秋·安徽合肥·高一统考期末）已知命题p:∀x∈N∗，总有x+22>0，则¬p为（ ）
A．∃x0∉N∗，使得x0+22≤0B．∃x0∈N∗，使得x0+22≤0
C．∀x∉N∗，总有x+22≤0D．∀x∈N∗，总有x+22≤0
【答案】B
【分析】据全称命题的否定为特称命题可写出命题p的否定．
【详解】根据全称命题的否定为特称命题可知，则¬p为∃x0∈N∗，使得x0+22≤0.
故选：B．
4．（2023春·湖南长沙·高二校联考期中）写出命题“∀x∈Z,x∈N”的否定： .
【答案】∃x0∈Z,x0∉N
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“∀x∈Z,x∈N”的否定为∃x0∈Z,x0∉N.
故答案为：∃x0∈Z,x0∉N.
【考点4：存在量词命题的否定】
【知识点：存在量词命题的否定】
存在量词命题：∃xM，p(x)，它的否定：xM，p(x).
1．（2023春·广东梅州·高二统考期末）命题“存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直”的否定是（ ）
A．存在一个四边形，它的两条对角线不互相垂直
B．任意一个四边形，它的两条对角线互相垂直
C．任意一个四边形，它的两条对角线不互相垂直
D．有些四边形，它们的两条对角线不互相垂直
【答案】C
【分析】根据特称命题的否定分析判断.
【详解】由题意可知：“存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直”的否定是“任意一个四边形，它的两条对角线不互相垂直”.
故选：C.
2．（2023春·广西北海·高二统考期末）命题“∃x∈R,x2−3≤0”的否定是（ ）
A．∃x∉R,x2−3<0B．∀x∈R,x2−3>0
C．∃x∈R,x2−3>0D．∀x∉R,x2−3≥0
【答案】B
【分析】根据存在量词命题的否定形式得到答案.
【详解】根据存在量词命题的否定形式可知，
命题“∃x∈R,x2−3≤0”的否定为“∀x∈R,x2−3>0”.
故选：B.
3．（湖北省新高考联考协作体2023学年高一上学期10月月考数学试题）命题“∃x0∈R,x0−x0<0”的否定是（ ）
A．∃x0∈R,x0−x0>0B．∀x∈R,x−x≥0
C．∃x0∈R,x0−x0≥0D．∀x∈R,x−x<0
【答案】B
【分析】根据特称命题的否定是全称命题求解即可.
【详解】因为命题“∃x0∈R,x0−x0<0”是特称命题，
所以命题∃x0∈R,x0−x0<0的否定是∀x∈R,x−x≥0.
故选：B.
4．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）下列命题的否定是真命题的是（ ）
A．∃m∈N,m2+1∈N
B．菱形都是平行四边形
C．∃a∈R，一元二次方程x2−ax−1=0没有实数根
D．平面四边形ABCD，其内角和等于360°
【答案】C
【分析】对A，特称命题的否定为全称命题，由m=0，计算即可判断真假；对B，全称命题的否定为特称命题，再由菱形与平行四边形的关系即可判断真假；对C，全称命题的否定为特称命题，再由判别式的符号即可判断真假；对D，由四边形的内角和计算即可判断原命题为真，特称命题的否定为全称命题为假命题．
【详解】对于A，∃m∈N，m2+1∈N，其否定为：∀m∈N，m2+1∉N，
由m=0时，0+1=1∈N，则原命题为真命题，其否定为假命题，故A不正确；
对于B，每个菱形都是平行四边形，其否定为：存在一个菱形不是平行四边形，
原命题为真命题，其否定为假命题，故B不正确；
对于C，∃a∈R，一元二次方程x2−ax−1=0没有实根，
其否定为：∀a∈R，一元二次方程x2−ax−1=0有实根，
由Δ=a2+4>0，可得原命题为假命题，命题的否定为真命题，故C正确；
对于D，平面四边形ABCD，其内角和等于360°为真命题，命题的否定为假命题，故D不正确；
故选：C.
【考点5：根据全称量词命题或存在量词命题的真假求参数】
【知识点：根据全称量词命题或存在量词命题的真假求参数的思路】
与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．
1．（2023秋·四川绵阳·高一统考期末）命题“∃x0∈R，x2+2x+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤1B．a≥1C．a＜1D．a＞1
【答案】A
【分析】由已知条件可得Δ≥0，即可解得实数a的取值范围.
【详解】因为命题“∃x0∈R，x2+2x+a=0”是真命题，则Δ=4−4a≥0，解得a≤1.
因此，实数a的取值范围是a≤1.
故选：A.
2．（2023·江苏·高一假期作业）若命题“∃x∈R，x2−4x+a=0”为假命题，则实数a的取值范围为 .
【答案】a|a>4
【分析】根据一元二次方程根的情况即可求解.
【详解】∵命题“∃x∈R，x2−4x+a=0”为假命题，∴方程x2−4x+a=0无实数根．则Δ＝−42－4a<0，解得a>4．
故答案为：a|a>4
3．（2022秋·山东淄博·高一统考期末）若命题p：“∃x∈R，mx2+2mx+3=0”为假命题，则实数m的取值范围是 ．
【答案】0≤m<3
【分析】原题转化为方程mx2+2mx+3=0有解，求出m的范围，然后在R中的补集即为所求.
【详解】因为“∃x∈R，mx2+2mx+3=0”
所以方程mx2+2mx+3=0有解，
当m=0时，方程0⋅x2+2×0⋅x+3=0无根；
当m≠0时，Δ=4m2−4m⋅3≥0，即m<0或m≥3，
又因为命题P是假命题，则 0≤m<3，
故答案为： 0≤m<3
4．（2023·全国·高一假期作业）已知集合A=x−2≤x≤5，B=xm+1≤x≤2m−1，且B≠∅.若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
【答案】2≤m≤3
【分析】首先判断出B⊆A，对B≠∅列不等式计算求解可得m的取值范围.
【详解】由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，
所以B⊆A，
B≠∅，则 m+1≤2m−1,m+1≥−2,2m−1≤5,解得2≤m≤3
综上m的取值范围是2≤m≤3.
5．（2023春·陕西西安·高二西安市第三中学校考期末）已知命题p:∃x∈R,x2−6x+a2=0，当命题p为真命题时，实数a的取值集合为A．
(1)求集合A；
(2)设集合B=a3m−2≤a≤m−1，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】(1)A=a−3≤a≤3
(2)m≥−13
【分析】（1）由题意可知x2−6x+a2=0有解，利用其判别式大于等于0即可求得答案；
（2）结合题意推出B⊆A,且B≠A，讨论B是否为空集，列出相应不等式（组），求得答案.
【详解】（1）因为p为真命题，所以方程x2−6x+a2=0有解，即Δ=36−4a2≥0，
所以−3≤a≤3，即A=a−3≤a≤3；
（2）因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以B⊆A,且B≠A，
i）当B=∅时，3m−2>m−1，解得m>12；
ii）当B≠∅时，3m−2≤m−13m−2≥−3m−1≤3，且3m−2≥−3,m−1≤3等号不会同时取得，
解得−13≤m≤12，
综上，m≥−13.
6．（2023·高一课时练习）已知集合A=x−2≤x≤5，B=xm+1≤x≤2m−1，且B≠∅.
(1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．
【答案】(1)2≤m≤3
(2)2≤m≤4
【分析】（1）根据命题p为真命题，得到B⊆A,B≠∅，从而得到不等式组，求出m的取值范围；
（2）根据命题q为真命题，得到A∩B≠∅，从而得到不等式组，求出m的取值范围.
【详解】（1）命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，故B⊆A,B≠∅，
所以m+1≤2m−1m+1≥−22m−1≤5，解得2≤m≤3，
故m的取值范围是2≤m≤3.
（2）由于命题q为真命题，则A∩B≠∅，
因为B≠∅，所以m+1≤2m−1，所以m≥2,
当m≥2时，一定有m+1≥3，
要想满足A∩B≠∅，则要满足m+1≤5，解得m≤4，
故A∩B≠∅时，2≤m≤4，
故m的取值范围为2≤m≤4.
7．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第一二二中学校校考阶段练习）已知集合A=x−1≤x≤4，B=xx<−2或x>5.
(1)求∁RB、∁RA∪B；
(2)若集合C=x2m【答案】(1)∁RB=x−2≤x≤5，∁RA∪B=xx<−1或x>4
(2)m≤−2或m≥1
【分析】（1）利用补集、交集的定义计算可得集合∁RB、∁RA∪B；
（2）分析可知A∩C=∅，分C=∅、C≠∅两种情况讨论，结合A∩C=∅可得出关于实数m的不等式（组），综合可得出实数m的取值范围.
【详解】（1）解：已知集合A=x−1≤x≤4，B=xx<−2或x>5，
则∁RA=xx<−1或x>4，∁RB=x−2≤x≤5，∁RA∪B=xx<−1或x>4.
（2）解：因为∃x0∈C，x0∈A为假命题，则∀x∈C，x∉A为真命题，所以，A∩C=∅.
①当2m≥m+1时，即当m≥1时，C=∅，则A∩C=∅成立；
②当2m解得m≤−2或m≥2，此时m≤−2.
综上所述，m≤−2或m≥1.