高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.3 集合的基本运算精品精练

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TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc29625" 【考点1：集合的并集】 PAGEREF _Tc29625 \h 1
\l "_Tc1260" 【考点2：集合的交集】 PAGEREF _Tc1260 \h 2
\l "_Tc16238" 【考点3：全集与补集】 PAGEREF _Tc16238 \h 4
\l "_Tc3322" 【考点4：含参数的集合运算】 PAGEREF _Tc3322 \h 6
\l "_Tc9237" 【考点5：集合的实际应用】 PAGEREF _Tc9237 \h 8
\l "_Tc18908" 【考点6：集合的新定义】 PAGEREF _Tc18908 \h 12
【考点1：集合的并集】
【知识点：并集】
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称作集合A与集合B的并集，记作A∪B．
1．（2023·浙江·统考模拟预测）已知集合A=1,2,3,B=2,4，则A∪B=（ ）
A．{2}B．{2,3,4}C．{1,2,3,4}D．{0,2,3,4}
【答案】C
【分析】由集合的并运算即可求解.
【详解】由题意可得A∪B= 1,2,3,4.
故选：C
2．（2023春·天津红桥·高二统考学业考试）已知集合A=−1,0,2,4,5，集合B=1,3,5，则A∪B=（ ）
A．5B．−1,0,2,4
C．−1,0,1,2,3,4,5D．−1,0,2,4,5
【答案】C
【分析】根据并集的定义直接求解即可
【详解】因为集合A=−1,0,2,4,5，集合B=1,3,5，
所以A∪B= −1,0,1,2,3,4,5，
故选：C
3．（2022秋·江西景德镇·高一统考期中）集合A=x0A．x12C．x12≤x<8D．x12【答案】B
【分析】根据并集的运算可得答案.
【详解】因为A=x0故选：B.
4．（2023春·河北邯郸·高二统考期末）已知集合A=−1,0,1,B=x∣x2−3x+2=0，则A∪B=（ ）
A．1B．1,2C．−1,0,1D．−1,0,1,2
【答案】D
【分析】先求出集合B，再由并集的定义求出A∪B.
【详解】由B=x∣x2−3x+2=0=1,2，又A=−1,0,1，
可知A∪B=−1,0,1,2.
故选：D.
5．（2023春·广西·高二校联考期中）已知集合A={−1,0,1,2}，B=x∣−1A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据集合的并运算即可求解.
【详解】由题设B=1，所以A∪B={−1,0,1,2}，故其中元素共有4个．
故选：B
【考点2：集合的交集】
【知识点：交集】
一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称作集合A与集合B的交集，记作A∩B．
1．（辽宁省抚顺市六校协作体2023学年高二下学期期末考试数学试题）已知集合A={x∣−2≤x<2},B=−3,−2,−1,0,1,2，则A∩B=（ ）
A．−2,−1,0,1,2B．−1,0,1
C．x∣−3≤x≤2D．−2,−1,0,1
【答案】D
【分析】根据集合的交集概念运算即可.
【详解】因为A={x∣−2≤x<2},B=−3,−2,−1,0,1,2，所以A∩B=−2,−1,0,1.
故选：D.
2．（甘肃省2023学年高一下学期期末数学试题）若集合A=−3,−1,2,6，B=xx>0，则A∩B=（ ）
A．{2,6}B．{−3,−1}C．{−1,2,6}D．{−3,−1,2}
【答案】A
【分析】由交集的概念进行运算即可.
【详解】对于集合B，B=xx>0,
又∵A=−3,−1,2,6，∴由交集的概念，A∩B=2,6.
故选：A.
3．（陕西省汉中市2023学年高二下学期期末校际联考理科数学试题）已知集合M=−2,−1,0,1,2，N=xx≥3或x≤−2，则M∩N=（ ）
A．−2B．0,1,2C．−2,−1,0,1D．2
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解作答.
【详解】集合M=−2,−1,0,1,2，N=xx≥3或x≤−2，
所以M∩N=−2.
故选：A
4．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）设M=x|x=k2,k∈Z,N=x|x=k+12,k∈Z，则（ ）
A．M⊆NB．N⊆M
C．M=ND．M∩N=∅
【答案】B
【分析】利用子集和集合相等的定义，结合交集的定义即可求解.
【详解】由题意可知，M=x|x=k2,k∈Z，则集合M为整数的12构成的集合，
N=x|x=k+12,k∈Z=x|x=2k+12,k∈Z，则集合N为整数中奇数的12构成的集合，
所以N⊆M，故B正确；A ，C错误；
所以M∩N=x|x=k2,k∈Z∩x|x=k+12,k∈Z=x|x=2k+12,k∈Z=N，故D错误.
故选：B.
5．（2022秋·天津和平·高一耀华中学校考期中）若集合A={0,1,3,4}，B={x∣x=5−a,a∈A}，则A∩B= .
【答案】{1,4}
【分析】由题意得B={5，4，2，1}，再求A∩B即可．
【详解】∵A={0，1，3，4}，
∴B={x|x=5−a，a∈A}={5，4，2，1}，
故A∩B={1，4}，
故答案为：{1，4}．
【考点3：全集与补集】
【知识点：全集】
一般地，如果一个集合含有所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．
【知识点：补集】
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合成为集合A相对于全集U的补集，记作．
1．（2023·全国·高一假期作业）已知全集U=1,2,3,4,A=1,3,∁UB=2,3，则A∩B=（ ）
A．{1}B．{3}C．{4}D．{1，3，4}
【答案】A
【分析】根据交并补的定义求解.
【详解】由题意得A=1,3,B=1,4，所以A∩B=1；
故选：A.
2．（2023·全国·高一假期作业）已知集合A=1,2,3,4,5,6，B=2,3，C=2,4,6，则∁AB∩C=（ ）
A．2,4,6B．1,3,4,5,6C．4,6D．2
【答案】C
【分析】根据集合的补集、交集运算即可.
【详解】因为集合A=1,2,3,4,5,6，B=2,3，C=2,4,6，
所以∁AB=1,4,5,6，所以∁AB∩C=4,6.
故选：C.
3．（2023春·贵州·高二贵州师大附中校联考阶段练习）已知集合A=x2≤x≤5，B=x3≤x<4，则∁AB=（ ）
A．2,4,5B．x2≤x<3或4≤x≤5
C．x2≤x≤3或4≤x≤5D．x2≤x<3或4【答案】B
【分析】利用补集的定义可求得集合∁AB.
【详解】因为集合A=x2≤x≤5，B=x3≤x<4，故∁AB=x2≤x<3或4≤x≤5.
故选：B.
4．（2023春·云南昆明·高二统考期中）设全集U=Z,A=x∈Z|x<0或x>6，则∁UA＝（ ）
A．x|x≤0,或x≥6B．x|x<0,或x>6
C．x|0≤x≤6D．{0，1，2，3，4，5，6}
【答案】D
【分析】根据集合的并运算即可求解.
【详解】由于U=Z,A=x∈Z|x<0或x>6，所以∁UA=0,1,2,3,4,5,6，
故选：D
5．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）设全集U=R，A=−2,−1,0,1,2，B=xx≥2，则A∩ ∁UB =（ ）
A．{1，2}B．−1,0,1
C．−2,−1,0D．−2,−1,0,1
【答案】D
【分析】由交集和补集的定义求解即可.
【详解】因为B=xx≥2所以∁UB =xx<2，
∴A∩ ∁UB =−2,−1,0,1.
故选：D.
6．（2023春·湖南益阳·高二统考期末）设全集U=R，集合A=x−2A．2B．2,3C．4,5D．5
【答案】C
【分析】根据条件，利用集合的交并补运算即可求出结果.
【详解】因为A=x−2又B=2,3,4,5，所以∁UA∩B=4,5.
故选：C.
【考点4：含参数的集合运算】
1．（2023春·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期末）已知集合M=0,2,a，N=2a,4−a，M∩N≠∅，则a的可能取值的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据交集的结果求参数.
【详解】因为M∩N≠∅，所以2a∈M或4−a∈M，
所以2a=0或2a=2或2a=a或4−a=0或4−a=2或4−a=a，
解得a=0或1或2或4，
经检验当a=0或a=2时，不满足集合中元素的互异性，
所以a的可能取值为1，4，共2个.
故选:B.
2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知集合A=x−1A．aa>12B．aa<−12C．aa≤−12D．aa<0
【答案】C
【分析】先求出集合B，再利用A∩B=∅可得实数a的取值范围.
【详解】由x−2a<0，得x<2a，所以B=xx<2a，
因为A∩B=∅，所以2a≤−1，故a≤−12．
故选：C．
3．（山东省德州市2022-2023学年高二下学期期末数学试题）已知集合A=1,2,a，B=1,1a，若A∪B=A，则a的值为 .
【答案】12/0.5
【分析】由题知B⊆A，进而根据集合关系求解即可.
【详解】由A∪B=A得B⊆A，
所以1a=2或1a=a，解得a=12或a=1，
因为a≠1，所以a=12.
故答案为：12
4．（2022秋·高一课时练习）已知集合A=x|−2≤x≤4，B=x|x>a．
（1）若A∩B≠∅，实数a的取值范围是 ．
（2）若A∩B≠A，实数a的取值范围是 ．
（3）若A∪B=B，实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】①根据集合间的运算求实数a的取值范围；②利用取反思想，先求A∩B=A时，实数a的取值范围，再求补集即可；③利用集合间的关系，即可得出答案.
【详解】①若A∩B≠∅，得a<4，所以实数a的取值范围是a<4；
②因为A∩B=A，即A⊆B，所以a<−2，所以若A∩B≠A，则a≥−2，
则实数a的取值范围是a≥−2；
③若A∪B=B，即A⊆B，所以a<−2，
则实数a的取值范围是a<−2.
故答案为：①a<4；②a≥−2；③a<−2.
5．（2023·江苏·高一假期作业）已知集合A={x|−2≤x≤5}，B=xm+1≤x≤2m−1．
(1)若A∪B=A，求实数m的取值范围；
(2)当C={x|x∈A,x∈Z}时，求C的非空真子集的个数．
【答案】(1)m≤3；(2)254
【分析】（1）依题意有B⊆A，分B=∅和B≠∅两种情况讨论，由包含关系求实数m的取值范围；
（2）由集合C中元素个数，求C的非空真子集的个数.
【详解】（1）∵A∪B=A，∴B⊆A，
①若B=∅，则m+1>2m−1，解得m<2；
②若B≠∅，则m+1≤2m−1，可得m≥2.
由B⊆A可得m+1≥−22m−1≤5，解得−3≤m≤3，此时2≤m≤3.
综上所述，实数m的取值范围是m≤3.
（2）∵C={x|x∈A,x∈Z}={−2,−1,0,1,2,3,4,5}，集合C中共8个元素，
因此，集合C的非空真子集个数为28−2=254.
6．（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知集合A=x−3(1)若m=1时，求A∪B，A∩(∁RB)；
(2)若A∩B=∅，求实数m的取值范围．
【答案】(1)A∪B=x−3(2){mm≤−2或m≥6}
【分析】（1）根据集合的交并补的运算，即可求得答案;
（2）由题意讨论集合B是否为空集，不为空集时，列出相应的不等式组，即可求得答案.
【详解】（1）因为B=x∈Rm−2又因为A=x−3因为∁RB={xx≤−1或x≥3}，
所以A∩∁RB={x−3（2）A∩B=∅时，
当B=∅时，m−2≥2m+1，解得m≤−3，
当B≠∅时，m−2<2m+12m+1≤−3或m−2<2m+1m−2≥4，解得−3综上，实数m的取值范围是{mm≤−2或m≥6}.
8．（2022秋·高一单元测试）已知集合A={xx<−1或x>3}，B=xa≤x≤a+2．
(1)若A∩B=∅，求a的取值范围；
(2)若A∪B=A，求a的取值范围．
【答案】(1)−1≤a≤1；(2)a<−3或a>3
【分析】（1）由A∩B=∅，列不等式，即可求出a的取值范围；
（2）由A∪B=A，得到B⊆A，列不等式，即可求出a的取值范围．
【详解】（1）因为A∩B=∅，所以a≥−1,a+2≤3,解得−1≤a≤1．
故a的取值范围是−1≤a≤1．
（2）因为A∪B=A，所以B⊆A，
则a+2<−1或a>3，解得a<−3或a>3．
故a的取值范围是a<−3或a>3．
【考点5：集合的实际应用】
1．（2022秋·江西赣州·高一统考期中）为丰富学生课余生活，拓宽学生视野，某校积极开展社团活动，高一（1）班参加A社团的学生有21人，参加B社团的学生有18人，两个社团都参加的有7人，另外还有3个人既不参加A社团也不参加B社团，那么高一（1）班总共有学生人数为 ．
【答案】35
【分析】求出只参加A社团和只参加B社团的人数，即可求出高一（1）班总共有学生人数.
【详解】由题意，
高一（1）班参加A社团的学生有21人，参加B社团的学生有18人，两个社团都参加的有7人，
∴只参加A社团的学生有21−7=14（人），
只参加B社团的学生有18−7=11（人），
∵另外还有3个人既不参加A社团也不参加B社团，
∴高一（1）班总共有学生人数为：14+11+7+3=35（人）
故答案为：35.
2．（2023春·河北保定·高二定州市第二中学校考阶段练习）某班有学生45人，经调查发现，喜欢打篮球的学生有20人，喜欢打羽毛球的学生有32人，其中既喜欢打篮球，又喜欢打羽毛球的学生有15人，则该班学生中既不喜欢打篮球，也不喜欢打羽毛球的学生有 人．
【答案】8
【分析】画出Venn帮助分析求解.
【详解】设全集为U，集合A表示喜欢打篮球的学生，集合B表示喜欢打羽毛球的学生，
如图所示，由图可得该班学生中既不喜欢打篮球，也不喜欢打羽毛球的学生有45−5−15−17=8人．
故答案为：8

3．（2022秋·福建泉州·高一校考阶段练习）某班有46名学生，有围棋爱好者22人，足球爱好者27人，同时爱好这两项的最多人数为x，最少人数为y，则x−y= .
【答案】19
【分析】设出集合，根据集合之间的关系，得到x,y，求出答案.
【详解】设集合A,B分别表示围棋爱好者，足球爱好者，全班学生组成全集U，
A∩B就是两者都爱好的，要使A∩B中人数最多，则A⊆B,x=22，
要使A∩B中人数最少，则A∪B=U，即22+27−y=46，解得y=3，
∴x−y=22−3=19.
故答案为：19
4．（2022秋·河南郑州·高一校考阶段练习）中国健儿在东京奥运会上取得傲人佳绩，球类比赛获奖多多，其中乒乓球、羽毛球运动备受学生追捧．某校高一（1）班40名学生在乒乓球、羽毛球两个兴趣小组中，每人至少报名参加一个兴趣小组，报名乒乓球兴趣小组的人数比报名羽毛球兴趣小组的人数3倍少4人，且两兴趣小组都报名的学生有8人，则只报名羽毛球兴趣小组的学生有 人．
【答案】5
【分析】利用Venn图，设立相应的集合，建立方程组求解即可.
【详解】设报名乒乓球兴趣小组的学生构成集合A，其元素个数为x，报名羽毛球兴趣小组的学生构成集合B，元素个数为y，其关系如下：
由题意可知:x+y−8=40x=3y−4，
解得x=35y=13，
因此只报名羽毛球兴趣小组的学生有13−8=5人．
故答案为：5
5．（2022秋·河北廊坊·高一校考阶段练习）七宝中学2020年的“艺术节”活动正如火如荼准备中，高一某班学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下：参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三；参加大舞台的人数比参加风情秀的人数多3人；两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数少7人，则此班的人数为 .
【答案】40
【分析】根据集合的交集运算，结合韦恩图即可求解.
【详解】设U=x|x为七宝中学高一某班全体学生，
集合A=x|参加大舞台的学生，
集合B=x|参加风情秀的学生，
设两个节目都参加的人数为n，只参加风情秀的人数为m，
两个节目都不参加的人数为n+7，只参加大舞台的人数为m+3，
则由参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三，
得m+n=38m+3+n+m+n+7，
解得m+n=15，
所以总的人数为15÷38=40人.
故答案为：40
6．（2023·全国·高三专题练习）我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用cardA表示有限集合A中元素的个数.例如，A=a,b,c，则cardA=3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A,B,C三类，那么，cardA∪B∪C= cardA+cardB+cardC−cardA∩B−cardB∩C−cardA∩C+cardA∩B∩C.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后代入定义中解出即可.
【详解】设集合A={参加足球队的学生}，
集合B={参加排球队的学生}，
集合C={参加游泳队的学生}，
则cardA=25,cardB=22,cardC=24，
cardA∩B=12,cardB∩C=8,cardA∩C=9
设三项都参加的有x人，即cardA∩B∩C=x，cardA∪B∪C=46，
所以由cardA∪B∪C= cardA+cardB+cardC−cardA∩B−cardB∩C−cardA∩C+cardA∩B∩C
即46=25+22+24−12−8−9+x，
解得x=4，
三项都参加的有4人，
故选：C.
【考点6：集合的新定义】
【解决集合新定义问题的着手点】
(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．
(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．
1．（2023·云南保山·统考二模）定义集合运算：A+B=zz=x+y,x∈A,y∈B，设A=1,2，B=1,2,3，则集合A+B的所有元素之和为（ ）
A．14B．15C．16D．18
【答案】A
【分析】由集合的新定义计算即可.
【详解】由题设知A+B=2,3,4,5，
∴所有元素之和为2+3+4+5=14，
故选：A.
2．（2023·安徽蚌埠·统考二模）对于数集A，B，定义A+B=x|x=a+b,a∈A,b∈B，A÷B={x|x= ab，a∈A,b∈B，若集合A= 1,2，则集合(A+A)÷A中所有元素之和为（ ）
A．102B．152C．212D．232
【答案】D
【分析】由题意，理解新定义，可得(A+A)={2，3，4}，通过A÷B的集定义与集合运算即可得出结论.
【详解】试题分析：根据新定义，数集A，B，定义A+B=x|x=a+b,a∈A,b∈B，A÷B={x|x= ab，a∈A,b∈B，集合A= 1,2，(A+A)={2，3，4}，(A+A)÷A={1，2，3，4，1.5}，则可知所有元素的和为11.5，
故选：D.
3．（2022秋·高一课时练习）对于一个集合S，若a∈S时，有1a∈S，则称这样的数集为“可倒数集”，试写出一个“可倒数集”： .
【答案】1，2，12（答案不唯一）
【分析】由“可倒数集”的定义求解即可.
【详解】由“可倒数集”的定义，若1∈S，11∈S，
若2∈S，12∈S，所以“可倒数集”可以是1，2，12.
故答案为：1，2，12（答案不唯一）.
4．（2023·全国·高三对口高考）已知集合P={4,5,6},Q={1,2,3}，定义P⊕Q={xx=p−q,p∈P,q∈Q}，则集合P⊕Q的所有非空子集的个数为 ．
【答案】31
【分析】先根据题意得到P⊕Q={1,2,3,4,5}，从而根据元素个数得到非空子集个数.
【详解】集合P={4,5,6}，Q={1,2,3}，定义P⊕Q={x|x=p−q,p∈P,q∈Q}，
则P⊕Q={1,2,3,4,5}，元素个数为5，
故集合P⊕Q的所有非空子集的个数为25−1=31.
故答案为：31
5．（2023·全国·高一专题练习）给定集合S=1,2,3,4,5,6,7,8，对于x∈S，如果x+1∉S,x−1∉S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有 个．
【答案】6
【分析】根据题意，要使S的三个元素构成的集合中不含好元素，只要这三个元素相连即可，所以找出相连的三个数构成的集合即可．
【详解】若不含好元素，则集合S中的3个元素必须为连续的三个数，
故不含好元素的集合共有1,2,3,{2,3,4},{3,4,5},4,5,6,5,6,7,6,7,8，
共有6个.
故答案为：6．
6．（2023·高一课时练习）对于任意两个正整数m，n，定义运算⊕如下：
①当m，n奇偶性相同时，m⊕n=m+n；
②当m，n奇偶性不同时，m⊕n=mn．
若集合M=(a,b)∣a⊕b=12,a,b∈N+，则M的元素个数为 ．
【答案】15
【分析】根据定义结合已知条件，对a、b分都是正偶数，都是正奇数，一个为正偶数，另一个为正奇数三种情况讨论即可求解
【详解】因为M=(a,b)∣a⊕b=12,a,b∈N+，
当a、b都是正偶数时，则集合M中含有2,10，4,8，6,6，8,4，10,2共5个元素；
当a、b都是正奇数时，则集合M中含有1,11，3,9，5,7，7,5，9,3，11,1共6个元素；
当a、b一个为正偶数，一个为正奇数，则集合M中含有1,12，12,1，3,4，4,3共4个元素；
所以M的元素共有5+6+4=15个.
故答案为：15
7．（2023春·北京朝阳·高二统考期末）已知集合M为非空数集，且同时满足下列条件：
（ⅰ）2∈M；
（ⅱ）对任意的x∈M，任意的y∈M，都有x−y∈M；
（ⅲ）对任意的x∈M且x≠0，都有1x∈M．
给出下列四个结论：
①0∈M；②1∉M；③对任意的x,y∈M，都有x+y∈M；④对任意的x,y∈M，都有xy∈M．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】由集合M满足的条件，验证给出的结论是否正确.
【详解】由题意可知，2∈M，则2−2=0∈M，结论①正确；
2∈M，有12∈M，0−12=−12∈M，12−−12=1∈M，结论②错误；
对任意的x,y∈M，则0−y=−y∈M，有x−−y=x+y∈M，结论③正确；
x,y∈M，则x−1∈M，可得1x∈M,1x−1∈M，∴1x−1x−1∈M，即1xx−1∈M，
所以x(1−x)∈M，即x−x2∈M，得x−x−x2=x2∈M，
由x,y∈M,x+y∈M，有1x+1x=2x∈M，
∴当x,y∈M，可得x2,y2,x+y22,x2+y22∈M，∴x+y22−x2+y22=xy∈M，
故结论④正确.
故答案为： ①③④
8．（2022秋·高一课时练习）已知集合S满足:若a∈S，则11−a∈S.请解答下列问题:
(1)若2∈S，则S中必有另外两个元素，求出这两个元素.
(2)证明:若a∈S，则1−1a∈S.
(3)在集合S中，元素能否只有一个?若能，把它求出来;若不能，请说明理由.
【答案】(1)−1和12；(2)证明见解析；(3)不能，理由见解析；
【分析】（1）由2∈S得到−1∈S，进而求出12∈S，得到答案；
（2）11−a∈S，进而得到11−11−a∈S，化简得到答案；
（3）令a=11−a，方程无解，得到结论.
【详解】（1）因为2∈S，所以11−2=−1∈S，
所以11−−1=12∈S，所以11−12=2∈S，循环.
所以集合S中另外的两个元素为−1和12.
（2）由题意，可知a≠1且a≠0，
由11−a∈S，得11−11−a∈S，
即11−11−a=1−a−a=1−1a∈S，
所以若a∈S，则1−1a∈S.
（3）集合S中的元素不可能只有一个.
理由如下:令a=11−a，
即a2−a+1=0.
因为Δ=1−4<0，所以此方程无实数解，所以a≠11−a.
因此集合S中不可能只有一个元素.